二項(xiàng)式定理全歸納（十五個(gè)題型）-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型練習(xí)（解析版）

考向38二項(xiàng)式定理全歸納

J經(jīng)典題型目錄）

經(jīng)典題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

經(jīng)典題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

經(jīng)典題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

經(jīng)典題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

經(jīng)典題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

經(jīng)典題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

經(jīng)典題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

經(jīng)典題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

經(jīng)典題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

經(jīng)典題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

經(jīng)典題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

經(jīng)典題型十二：近似計(jì)算問題

經(jīng)典題型十三：證明組合恒等式

經(jīng)典題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和

經(jīng)典題型十五：楊輝三角

1經(jīng)典真題）

（2022.全國(guó).高考真題）的展開式中Xyi的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

【答案】-28

(IT(X+=(χ+y)ii-9(χ+y)s.

【解析】因?yàn)?/p>

所以（X+y)'的展開式中含∕y6的項(xiàng)為C"2y6-2c03y5=-28√∕,

X

（X+力8的展開式中χ2y6的系數(shù)為-28

故答案為：-28

2345

(2022?浙江?高考真題)已知多項(xiàng)式(元+2)真-I),=α0+aλx+a2x+a3x+a4x+a5x,則％=

+。2+。3+。4+。5=.

【答案】8-2

【解析】含爐的項(xiàng)為:X.e??x?(-1)3+2?C<X2?(-1)2=-4x2+12X2=8x2,故生=8：

令X=0,即2=%,

令X=1,即O=%+。]+/+/+%+%，

.?.Cl[+%+%+%+%=-2,

故答案為：8s-2.

知識(shí)點(diǎn)1、二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題

(1)二項(xiàng)式定理

一般地，對(duì)于任意正整數(shù)〃，都有：ω+?r=cy+cy-,?++cχ-r?r++c?"(〃eN,),

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(“+力”的二項(xiàng)展開式.

式中的C∕"7∕做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第廠+1項(xiàng)：Tm=CvP,

其中的系數(shù)C：(尸0,1,2,N)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

(2)二項(xiàng)式5+份”的展開式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有“+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；

②二項(xiàng)式系數(shù)：第廠+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；,最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的基指數(shù)〃.字母〃降基排列，次數(shù)由”到O；字母人升基排列，次

數(shù)從O到"，每一項(xiàng)中，a,人次數(shù)和均為〃；

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是c；,c：,c3…，C,;,…，c：’，項(xiàng)的系數(shù)是。與匕的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系

數(shù)).

(3)兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式:

①(αW=C>α"-C,α""++(-ir?cχ-r?r++(-1)"?C∕"(nwN*)

lrπ

②(l+x)"=1+C5+C>2++cnx++x

(4)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：TZ=Cafr(r=o,ι,2,3,

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C：；

②字母6的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③。與6的次數(shù)之和為

注意：①二項(xiàng)式(a+8)"的二項(xiàng)展開式的第∕÷1項(xiàng)€>"-7/和(b+α)"的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)

是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的。和6是不能隨便交換位置的.

②通項(xiàng)是針對(duì)在3+6)"這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(α-b)"的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是=(-1廠C,/"方

(只需把看成。代入二項(xiàng)式定理).

2、二項(xiàng)式展開式中的最值問題

(D二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即C：=C：；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即CM=C"T+C：”.

②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離'’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C=Cr:

③二項(xiàng)式系數(shù)和令4=6=1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C+G+d++c;++C：=2",變形式

C,+d++c;++C'?=2"-1.

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令4=1,h=-l,

則優(yōu)-c：+c：-c；++(-?re;;=(1-1)"≈0,

從而得到：C>+C：+C：…+C『+…=C+d++￡”+…=g?2"=2"T.

⑤最大值：

如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)”是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)7；的二項(xiàng)式系數(shù)C：最大；

→J

Λ-l〃+1

如果二項(xiàng)式的基指數(shù)"是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)7；小，T向的二項(xiàng)式系數(shù)C7，C7相等且最大.

————+1

22

(2)系數(shù)的最大項(xiàng)

求(α+?x)"展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為44,…，4“，設(shè)

[A>A

第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有川一'，從而解出/?來.

lΛ+,≥A-

知識(shí)點(diǎn)3、二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例：

rr

(1)設(shè)(α+8)"=d0"+Ck/+C"'-"2++cy-b++C?”,

二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)”,人的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取α,匕的

值.

①令"=∕7=l,可得：2"=C>+C"+C：

②令α=l,6=1,可得：O=d^^C,;+C：-C；+(-1)C",即：

c：+c：++c;=c：+c；++c;T(假設(shè)〃為偶數(shù))，再結(jié)合①可得:

c[+c；++q=α+c;++cτ=2"τ.

,,2

(2)若/(X)=anx"+an^x"^'+<7,,.2x^++atx+a0,貝!]

①常數(shù)項(xiàng)：令X=0,得af,=f(O).

②各項(xiàng)系數(shù)和：令X=1,得/⑴=%+α∣+tz2++an_,+all.

③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

(/)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+生+%+="D+"T);

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+q+%+JDT(T)

(可簡(jiǎn)記為：”為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配)

(〃)當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為%+%+/+=/⑴7-D；

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+《+6+=F(%止O.

(可簡(jiǎn)記為：〃為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配)

若/(幻=%+。2M1n,同理可得.

3+a2x++?-IX-+anx

注意：常見的賦值為令X=O,X=1或％=T,然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.

1、求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求再將k的值代回通項(xiàng)求解,注

意&的取值范圍(A=°,1,2,L,〃),

(1)第〃z項(xiàng)：：此時(shí)Kl=Zn,直接代入通項(xiàng).

(2)常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?令通項(xiàng)中“變?cè)钡哪持笖?shù)為O建立方程.

(3)有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡幕笖?shù)為整數(shù)建立方程.

2、解題技巧：

(1)形如(αι+b)",(ax1+bx+c)n?a,b,CeR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令工

=1即可.

(2)對(duì)形如(以+力尸3,b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.

(3)若於)=的+干ιx+'2Λ2+…+「X，則/U)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為人1),.

奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為"+包+如+…=/(1)+/(—D,

2

偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為αι+α3+fl5+...=/⑴-"F.?

2

J經(jīng)典題型練)

經(jīng)典題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

1.(2022?湖南?模擬預(yù)測(cè))已知(x+qj的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160,則實(shí)數(shù)“=()

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】B

【解析】(x+qj展開式的通項(xiàng)為:

取r=3得到常數(shù)項(xiàng)為C；?/=20√=-160,解得α=-2.

故選：B

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（儀-展開式中的常數(shù)項(xiàng)為一160,則a=（）

A.-1B.1C.±1D.2

【答案】B

【解析】（以二）的展開式通項(xiàng)為4+I=C（Or產(chǎn)卜：［=（-2）rα6^rQx6^2r（0≤r≤6,r∈/V）,

，令6—2r=0,解得〃=3,

6

.?.（依-目的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（=（-2）%6-3c>6-6=T6O∕=760,

?*?a3—1

：.a=l

故選：B.

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知二項(xiàng)式［丁+￡］的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為40,則。=（）

A.2B.-2C.2或-2D.4

【答案】C

【解析】由7；+I=C02（5T）.（￡）=G優(yōu)產(chǎn)-%令10—3r=4,解得r=2,所以一項(xiàng)的系數(shù)為《病=皤/=40,

解得α=±2.

故選：C

經(jīng)典題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

4.（2022?廣東廣州?高三階段練習(xí)）若（2五-七］的展開式中第2項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該

展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-160B.160C.-1120D.1120

【答案】A

七）展開式中的第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

【解析】因?yàn)?6

.??=《，解得：〃=6,

6

展開式通項(xiàng)公式為:J=G(2用=q?(-ι),?26-r?x3^r,

令3-r=0,解得：r=3,該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為CMT）'23=-160,

故選：A

5.(2022?福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知（。為常數(shù)）的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二

項(xiàng)式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-90B.-10C.10D.90

【答案】A

【解析】因?yàn)榻穑?/p>

（“為常數(shù)）的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和與二項(xiàng)式系數(shù)的和相等,

所以(〃一1)5=25,得α=3,

55

所以一可=?

15-5r

則其展開式的通項(xiàng)公式為*+I=G（3&廣'=q?35-r?(-i)rχ~

15-5r

令=0,得/?=3,

6

所以該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C；?35^3?（-1）3=-90,

故選：A

6.（2022?山東青島?高三開學(xué)考試）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.80B.-80C.160D.-160

【答案】D

3

【解析】由于X」互為倒數(shù)，故常數(shù)項(xiàng)為笫4項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為C>3=20×(-8)=-160,

XO

故選：D

’展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開式中常數(shù)項(xiàng)為

7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知二項(xiàng)式

()

A.-120B.-20C.15D.20

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可得2?=64,解得"=6,

則U-3展開式的通項(xiàng)為C"6τjJy=(-)'晨/2,，

XX

令6—2r=0,得廠=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為：C：產(chǎn)3Y=-C：=_”經(jīng)=_20.

6tX)63×2×1

故選：B.

經(jīng)典題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

8.(2022?江蘇南通?高三階段練習(xí))(；丁一白尸的二項(xiàng)展開式中有理項(xiàng)有()

A.3項(xiàng)B.4項(xiàng)C.5項(xiàng)D.6項(xiàng)

【答案】B

【解析】-七尸二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為加=Gtgχ2)Z?(-《)’=品(-1)苗嚴(yán)4吟，

因?yàn)?4r≤10,所以當(dāng)r=0,3,6,9時(shí)，為有理項(xiàng)，共4項(xiàng)，

故選：B

9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))若(3-57—2?)"的展開式中有且僅有三個(gè)有理項(xiàng)，則正整數(shù)"的

取值為()

A.4B.6或8C.7或8D.8

【答案】B

【解析】(3-24)"的通項(xiàng)公式是a=0卜匠廠?卜2?)'

5〃-2r

=C>3"-J(-2)&丁

設(shè)其有理項(xiàng)為第，?+l項(xiàng)，則X的乘方指數(shù)為嗎空，依題意咚“為整數(shù)，

66

注意到0≤r≤",對(duì)照選擇項(xiàng)知〃=4、6、8,

逐一檢驗(yàn)：〃=4時(shí)，r=1,4,不滿足條件；

〃=6時(shí)，r=0>3、6,成立；

"=8"j,r=2>5、8,成立

故選：B.

10.(2022?重慶市第十一中學(xué)校高三階段練習(xí))已知二項(xiàng)式，("eN*)的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之

和為64,則展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和為()

A.119B.168C.365D.520

【答案】C

【解析】由題意知：2"=64,即〃=6；

則(XI-7=)"=(x~^?)6，

?∣XyJX

r6rf

???(x-J≈)6的展開式的通項(xiàng)公式為：T,^Cb-x-?(-?)'=(-2)?C-?X,r=θ,1,2,3,4,5,6,

√x√x

展開式中有理項(xiàng)是r=0,2,4,6時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，

故展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和為：(-2)。C+(-2fC+(-2)4<+(-2)6<=365.

故選：C.

11.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))在(2?+或產(chǎn)的展開式中，有理項(xiàng)共有()

A.3項(xiàng)B.4項(xiàng)C.5項(xiàng)D.6項(xiàng)

【答案】C

172-5r

24rr

［解析】由題意可得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+i=q4(2√^)-(?=2'-C^4x~

根據(jù)題意可得，與"為整數(shù)時(shí)，展開式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，

6

則r=0,6,12,18,24,共有5項(xiàng)，

故選：C.

12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))若展開式中只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開式中有理項(xiàng)

的項(xiàng)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】(F)展開式中只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，所以〃=6,

則（√7+g）展開式通項(xiàng)為7；T==C；XW,

因?yàn)?≤r≤6,所以當(dāng)r=0,2,4,6時(shí)為有理項(xiàng)，所以有理項(xiàng)共有4項(xiàng),

故選：D.

經(jīng)典題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

13.（2022?湖北?高三開學(xué)考試）已知二項(xiàng)式0A-￡）”的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則該展開

式中X的系數(shù)為（）

A.-405B.405C.-81D.81

【答案】A

【解析】令x=l,可得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為2"=32on=5,

則（］=（-1丫35飛狂如-%-，=（-1）守-匕/'"’2），

由題意Wl=1，即r=l,

所以展開式中含X項(xiàng)的系數(shù)為-34C=-405.

故選：A.

14.（2022?黑龍江哈爾濱?高三開學(xué)考試）在的展開式中V的系數(shù)為（)

45C.至

B.D.7

T8

【答案】D

【解析】二項(xiàng)式（五+；XJ展開式的通項(xiàng)為7；M=G（石［nJ

令4+gr=5,解得r=2,所以I=C=7√,

故展開式中V的系數(shù)為7.

故選：D

21

15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在。-一）”的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則一的系數(shù)為（）

XX

A.-80B.80C.-40D.40

【答案】A

【解析】二項(xiàng)式系數(shù)的和為2"=32,所以〃=5,展開式的通項(xiàng)為&=GX3?(-4y=(-2yc"j,令

X

5-2r=-l,W∣Jr=3,

所以上的系數(shù)為(-2)3(2；=-8().

X

故選：A

16.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))(l+xy+(l+xY+…+(l+x)9的展開式中/的系數(shù)是()

A.45B.84C.120D.210

【答案】C

【解析】(1+x)~+(1+x)3+…+(1+χ)9的展開式中，

含公項(xiàng)的系數(shù)為G+C；+C：+...+C；y=120,

故選：C.

17.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若(l+x)”的展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)為7,則展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是

()

A.7B.21C.35D.21或35

【答案】B

【解析】由題意,展開式的通項(xiàng)為&I=CK(r=0,1,,〃)，

所以某一項(xiàng)的系數(shù)為7,即C：=7,解得"=7,r=l或〃=7,r=6,

所以展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是C；=21.

故選：B.

經(jīng)典題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

18.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(ι+--χ)展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為()

A.5B.-5C.15D.-15

【答案】B

【解析】(I+，Xj=(I+χτ-x)5,(1+E-Xr表示5個(gè)(I+/-%)相乘，

展開式中出現(xiàn)/有兩種情況，第一種是(l+χ-'-x)5中選出3個(gè)-X和2個(gè)1,

第二種是(l+χT-x)’中選出4個(gè)-X和1個(gè)χT,

所以展開式中含有V項(xiàng)有C1τ)3χl2=70/和c；(-x)4(py=5χ3,

所以/項(xiàng)的系數(shù)為-10+5=-5、

故答案為：B

19.(2022?江西南昌?高三階段練習(xí))(4x+1+4)的展開式中含二3的項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-1B.180C.-11520D.11520

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，要得到含χ-3的項(xiàng)，貝.4x+?!→4丫中有3項(xiàng)?！■與2項(xiàng)4相乘，或者有4項(xiàng)上與1項(xiàng)4x相

IXJXX

乘.

故(4X+'+4)的展開式中含一的項(xiàng)為CUj×42+C;^?(4Λ-)=180X^3.

即(4x+g+4)的展開式中含K'的項(xiàng)的系數(shù)為180.

故選：B

20.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(x+2)，-3z)4的展開式中，所有不含Z的項(xiàng)的系數(shù)之和為()

A.16B.32C.27D.81

【答案】D

【解析】(x+2y-3z),展開式的通項(xiàng)公式為J=G(X+2y廣(-3z)',

若展開式中的項(xiàng)不含z,則r=0,此時(shí)符合條件的項(xiàng)為(x+2y)4展開式中的所有項(xiàng)，

令x=y=l,可得所有不含Z的項(xiàng)的系數(shù)之和為(1+2x1)4=81,

故選：D.

21.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))卜+：+))4的展開式中號(hào)的系數(shù)為()

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【解析】卜+:+y）4=卜+J+y4的通項(xiàng)公式7；M=C；k+￡]r/,

令r=2,則（=《卜+_1）y2=c1χ4+3+2χ）y2,

2

所以馬的系數(shù)為C：=6,

JT

故選：B

J

22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在（f-2x-3）5的展開式中含Jl。和含丁的項(xiàng)的系數(shù)之和為（）

A.-674B.-675C.-1080D.1485

【答案】A

【解析】（/-2X-3）5=（X-34X+1）5,則”的系數(shù)為1,

Y的系數(shù)為C^（-3）4C;+4（-3）3+以（-3）5盤=-675,

所以在卜2-2犬-3）'的展開式中含鈔和含/的項(xiàng)的系數(shù)之和為-675+1=-674.

故選：A.

23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（4+3y-5『的展開式中，/丁的系數(shù)為（）

A.-135B.-75C.75D.135

【答案】D

【解析】（石+3y-5）6可看作5個(gè)因式（4+3y-5）相乘，

所以其展開式中含/V的項(xiàng)為4個(gè)因式取?,2個(gè)因式取3y,

所以（4+3y-5）6展開式中含石的系數(shù)為C：X32=135.

故選：D.

經(jīng)典題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

24.（2022?浙江邵外高三階段練習(xí)）（x+y）（x-y）6的展開式中Y;/的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】-5

【解析】根據(jù)題意,1V的項(xiàng)在（x+y）（x-y）6的展開式中有兩項(xiàng)，

分別為:木廢治（一丫）4和＞戢/（_〉）3,即15dy4和-20X,4,

則x14的系數(shù)為：15-20=-5.

故答案為：-5.

25.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))(χ2-3)(x+gj的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

【答案】-45

【解析】(x+')6展開式通項(xiàng)公式為&I=C)6τ(J√=αχ63,

XX

6-2r=0,r=3,6-2r=-2,尸=4,

所以所求常數(shù)項(xiàng)為-3XC：+或=-45,

故答案為：-45.

232345

26.(2022?全國(guó)?清華附中朝陽(yáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))(x+1)(2x-3)=a0+ajx+a2x+a3x+a4x+a5xr則4=

【答案】-20

【解析】由(X+1)2(2X-3)3=(Y+2X+1)(2A3)3,要得柄,則

YC；(-3)'(2x)2+2ΛCθ(-3)°(2x)3=-36√+16x4=-20x4,所以%=-20,

故答案為：-20

27.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和為-3,則該展開式中的

常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】-120

【解析】(2x+?)(x—的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為—3,

令X=1,(2÷tz)×(-l)=-3,

x-∣l的展開式中XT的項(xiàng)為C；/1BP--,

X

x-2）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T60+40=-120.

2x+一

故答案為：T2（）.

28.（2022?河北邢臺(tái)?高三開學(xué)考試）展開式中的d項(xiàng)的系數(shù)是

【答案】30

/?r6—r

【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為C；?x6-r一”=(-1)?C>x2

33

令6-=O解得廠=4；令6-y=3,解得r=2.

6

所以展開式中的d項(xiàng)的系數(shù)是（一1）4.屋+（-1）2.仁=30.

故答案為：30

29.（2022?浙江?杭十四中高三階段練習(xí)）卜+?

（χ+y）5的展開式中rU的系數(shù)為..（用數(shù)

字作答）

【答案】15

【解析】.卜+[y2

(χ+y)5=x(x÷y)5+-(χ+y)5,

X

其中x(x+yF的展開式通項(xiàng)為7i=H*∕^*?y"=C?χ6Y?y*,￠=0,1,2,3,4,5,故％=4時(shí)，得含/y，的項(xiàng)為

C"N=5X3;

Y(X+y)5的展開式通項(xiàng)為S,=Yq?∕Jy=α?x~?y*,r=0,l,2,3,4,5,故z?=2時(shí)，得含fy"的項(xiàng)為

XX

C；x2/=IOx2/.

因此，式子h+11lx+y）5的展開式中，含x?∕的項(xiàng)為5χ2y4+10fy4=]5χ2y4,即系數(shù)為15.

X

故答案為：15.

30.(2022?四川?樹德中學(xué)高三階段練習(xí)(理))[+*)(l+x)6展開式中/的系數(shù)為.

【答案】26

【解析】(l+x)6展開式第r+1項(xiàng)J=C孑，

r=3H'J',C*3=20/,r=5時(shí)，C1x5=6x5,

.?.(l+g}l+x)6展開式中Y系數(shù)26.

故答案為：26.

31.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知(x+l)(XT)'則4+%的

值為.

【答案】-1

【解析】令X=On%=-1,

由(X-I)5的展開式的通項(xiàng)為7；M=CJ√^r(-l)r,

令5-r=2,得r=3,令5-r=3,得r=2,

所以4=C(T)3+C(T)2=0,

所以小+“3=-1.

故答案為：-1

32.(2022淅江省淳安中學(xué)高三開學(xué)考試)已知卜[的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20,則m=.

【答案】-1

【解析】由題意可得。+￡)5的展開式的通項(xiàng)公式為刀“=C#5Tqy=C=5d,r=o,1,,5,

故當(dāng)5-2r=T時(shí),即r=3時(shí),7；=IOx-1,

當(dāng)5-2r=l時(shí)，即尸=2時(shí)，7；=IOx,

故(X-V)(x+」)的常數(shù)項(xiàng)為XXloXT+(-m)XLloX=20,解得

故答案為：-1

經(jīng)典題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

33.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在（x+l）"（〃eN*）的展開式中，若第5項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則〃

的值不可能是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】當(dāng)〃=7時(shí)，（a+。）'的展開式有8項(xiàng)，3+6）7的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)C；，c：,最大，

即第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；

當(dāng)∕l=8時(shí)，（“+bp的展開式有9項(xiàng)，（4+b）8的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)C；最大，

即第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；

當(dāng)〃=9時(shí)，（α+b）9的展開式有10項(xiàng)，（α+b）9的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)C；,C最大，

即第五項(xiàng)和第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

當(dāng)〃=10時(shí)，（“+b）κ）的展開式有11項(xiàng)，（α+Z√0的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)C：。最大，

即第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

故選：D.

34.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（1+2x）7展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A.280X3B.560X4C.280x3?∣56（）x4D.672/和56θd

【答案】C

rr

（解析1（1+2x）7展開式的通項(xiàng)公式為Tr+l=C^（2x）=C；?2Z,

因?yàn)椋╨+2x）7展開式共有8項(xiàng)，

所以第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

所以（1+2x）7展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為C；?23d和C.24X4,

即為2801和560x4,

故選：C

35.（2022?湖南?高三階段練習(xí)）設(shè)m為正整數(shù)，（x+y）”"的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為α,（x+y）?"的

展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為6.若15α=8b,則m的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】（x+y）2"'的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為CM,故a=C￡,（x+y）2"用的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)

的最大值為《角或G鬻，兩者相等，不妨令b=O,則有15C^=8G向，解得：m=l.

故選：C

36.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）［4+￡［的展開式中X的系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)的最大值,則a的值為（）

A.2B.3C.4D.-2

【答案】A

【解析】因?yàn)椋?+21的展開式的通項(xiàng)公式為卻=仁（五廠e）=cw；芳，令言=1,即I時(shí),

X的系數(shù)為5α,而二項(xiàng)式系數(shù)最大值為C；=10,所以5q=10,GPα=2.

故選：A.

經(jīng)典題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

37.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知（l-3x）”的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

【答案】1215√

【解析】令x=l,則（1-3力”的展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為（-2）"=64=26,則〃=6；

由（l-3x）"的展開式通項(xiàng)公式=Q（-3）rZ知二項(xiàng)展開式的系數(shù)最大項(xiàng)在奇數(shù)項(xiàng),

設(shè)二項(xiàng)展開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,

[禺(-3)—《2(_3廠(r+2)(r+l)≥(6-r)(5-r)×9

λjr22化簡(jiǎn)可得:

[ca-3)≥Q-(-3Γ(8-r)(7-r)×9≥r(r-l)

經(jīng)驗(yàn)證可得r=4,

則該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為4=*（-3）4χ4=1215x4.

故答案為：1215X4.

38.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）（XT），的展開式中系數(shù)最小項(xiàng)為第項(xiàng).

【答案】6

【解析】（X-I）9的展開式的通項(xiàng)公式為（+I=CiXy（T）',其中系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號(hào)差異,

又第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，則第6項(xiàng)系數(shù)最小.

故答案為：5.

39.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若（6+忘”展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)

為.

【答案】5376

【解析】展開式的通項(xiàng)公式為G=2"CXk，由題意可得，2<>C：：+2C：+22C：=163,解得〃=9,

∣8-3*[2i'C*≥2Λ+IC?1

k

設(shè)展開式中TM=2CgX^~項(xiàng)的系數(shù)最大，則j2*cf>2ZCfT

解得E≤Z≤g,

又Y%eN,k=6,

6

故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T1=2C：=5376.

故答案為：5376.

經(jīng)典題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

40.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若（I-X）7=%+乎+%/++%/,則μ+同+同++∣o7∣=.

（用數(shù)字作答）

【答案】127

7,

【解析】因?yàn)椋↖-X）=4+4*+見/++a1x,

所以X奇次方系數(shù)為負(fù)，X偶次方系數(shù)為正，

=

所以IaIl+∣<?∣+&I+÷∣fl?∣-4+a2-ai+α4-a5+aβ-a1,

7

對(duì)于（I-X）'=%+a/+//++a1x,

令X=-1,得%%+〃4-〃5+〃6-。7=2’，

令X=0,得%=1,

l

兩式相減，得—“I+。2—。3+“4一+4-Ci7=2—1=127,

即∣6Z1∣+∣（‰∣÷∣?∣++∣Ο7∣=127.

故答案為：127

20222020

41.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）?（1-0x）°=tz0+alx+a2x+???+?020x,若

O1+202+3a3+???+2O2O?o=2020?則非零實(shí)數(shù)a的值為()

A.2B.0C.1D.-1

【答案】A

202

【解析】:(I-詞°=%+qx+%χ2+…+/o2oχQ),對(duì)其兩邊求導(dǎo)數(shù)，

2l92019

.?.2020×(-a)(l-0r)°=Λl+?+???+2O2O?ox,

2019

令X=1,M2020×(-a)(1-6Z)=?,+2?+???+2O2O?2o,①

Xal+2a2+3a3+???+2O2Oo,o,o=2020?(α≠0),②

Λ2020×(-w)(l-a)20'9=2020α(α≠0),Λ1-?=-1,解得a=2,

故選：A.

0

42.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知(1+X)"-'=%+4∣x+生廠+%χ3+÷?2∣Λ^^^',則

。2。2。+2“239+3“238+4。2。17++2020α∣+202Iao=()

A.2021X22021B.2021×22020

C.2020×22021D.2020X22020

【答案】B

【解析】依題意，a*=%,keN,k≤2G2T,

2021!

當(dāng)&31時(shí)，(2021-k)ali=(2021-Z)C‰=202IC；M=202IC裝—

(2021-k)!?Z!

_______2020!

2021-=2021(/-瑞),

[2020-(JI-1)]!?(?-l)!

2021

X(2021-?)?÷20214

[k=l_

202120212021

=02021(*1-喝)+202IC射=2021ZCKLZC露

A=IVJi=O2=1

=2021(22°2,-22020)=2021×2202f).

故選：B

2222022

43.(多選題)(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若(l+x)+(l+x)2++(l+x)°=?+?x÷+02022x,則()

A.4=2022=

B.Cl202O23

20222022

C.∑(-l),α,=-lD.∑(-1),-?=1

/=If=∣

【答案】ABD

【解析】當(dāng)X=O時(shí)，2022=%,故A對(duì)；

=,

a2=C2+C3+C4++C；022=C；+C；+C：++C2022?2O23B對(duì);

令X=-I,則0=%—4+出—+。4一。2021+°2022，

2022

??.Z(-1)%=-4=-2022,故C錯(cuò)；

/=1

22022

對(duì)等式(1+x)+(1+x)2++(1+x)^°^=α0+axx++02022x兩邊求導(dǎo)，

22022021

B∣H+2(l+x)+3(l+x)+??+2O22(l+x)'=ax+2a2x++2O22?2x

令X=—1,則1=q—2〃2+3%—44++20214021—2022tz2θ22，

2022

X(T)Hq=I,故D對(duì)，

/=1

故選：ABD.

經(jīng)典題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

44.(2022.浙江.模擬預(yù)測(cè))已知多項(xiàng)式(￡一3工+2)4=4+4》+〃2/++?xs,則q+%+%+%=，

a??

【答案】-648-96

【解析】因?yàn)?χ2-3x+2)4=4+4》+°2*2++?Λ8,

令x=l可得0=%+q+々++/①；

-

令X=-1可得64=%-q+a2-%+%^^%+?cι1+4②>

兩式相減，整理可得q+a3+a5+%=-648.

227

對(duì)(/-3x+2)=afl+alx+a2x++6/兩邊求導(dǎo)可得，4(x-3x+2)(2x-3)=αl+2a2x++808x,

令X=0,可得q=-96.

故答案為：-648：-96.

45?(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若(l+x)9-Or(I+x)9的展開式中，所有X的偶數(shù)次幕項(xiàng)的系數(shù)和為64,則正實(shí)

數(shù)a的值為.

3

【答案】4

4

【解析】設(shè)(I+%)。一以(l+x)9=(l-0r)(l+x)9

1345β891

=π0+<71x+a2x+O3X+a4x+a5x+a6x+a1x+?x+a9x+6∕10x0.

令X=1,得2'x(l—々，=4+4+2+/+%+%+%+%+/+"，)+Go①；

令X=T,得0=4-4+%