函數(shù)與導數(shù)-2023年高考數(shù)學一輪復習（全國通用）（解析版）

考向10函數(shù)與導數(shù)

1.【2022年全國甲卷第6題】6.當X=I時，函數(shù)/(x)=alnx+^取得最大值—2,貝!∣∕'(2)=

X

A.-1B.--C.-D.I

22

【答案】B

,

【解析】∕(x)=--4.由條件，得V⑴="=-2,所以q=6=一2,BPf?χ)=--+^,

Xχ-[f(?)=a-b=0Xχ-

221

所以廣(2)=-]+球=一故選B.

2.【2022年乙卷文科第11題】11.函數(shù)f(%)=cosx+第+l)sin%+l在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為

A.B.--,2EC.--,-+2D.—至3+2

22222222

【答案】D

,

【解析】/'(x)=(x+l)cosx,當Xe(O當時，∕(x)>0;當Xeq苧時，ιf(χ)<O;當Xe穹,2π)時,

/(X)>O.所以,/(X)極小值=∕(y)=~；"X)極大值=/(|)=∣+2.X/(O)=八2兀)=2,所以

/(X)miL樗)=~；/(x)M=嗎+2.故選D.

3.【2022年新高考1卷第10題】10.已知函數(shù)/(x)=丁一χ+1,則()

A./S)有兩個極值點B./(χ)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=∕(x)的切線

【答案】AC

【解析】由題，∕,(X)=3Λ2-1,令∕?(X)>0得χ>#或x<_曰,

令ro)<o得—B<x<2,

33

所以/(X)在上單調(diào)遞減，在(-8,-,+00)上單調(diào)遞增,

所以χ=±且是極值點，故A正確；

3

因"—理)=1+半>。，/(理)=1一竿>0'〃-2)=-5<0，

所以，函數(shù)〃元)在卜8,-日)上有一個零點，

當x≥日時，"χ)≥∕∣*)>0,即函數(shù)/(x)在γ,+∞上無零點，

綜上所述，函數(shù)/O)有一個零點，故B錯誤；

令∕ι(x)=X3-X,該函數(shù)的定義域為R，M-X)=(-x)3一(一X)=-X3+x=-,

則Kx)是奇函數(shù)，(0,0)是h{x}的對稱中心，

將Kx)的圖象向上移動一個單位得到/(χ)的圖象，

所以點(0,D是曲線y=/(X)的對稱中心，故C正確；

令r(x)=3fτ=2,可得χ=±l,又/⑴=F(T)=I,

當切點為(1,1)時，切線方程為y=2x-l,當切點為(一1,1)時，切線方程為v=2x+3,

故D錯誤.

故選：AC

4.【2022年新高考1卷第12題】12.已知函數(shù)/*)及其導函數(shù)/(x)的定義域均為R,記g(x)=∕'(x),

若/(|-2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B?g(-∕]=0C./(-1)=/(4)D.g(T)=g(2)

【答案】BC

【解析】因為/g(2+x)均為偶函數(shù)，

127

所以g(2+x)=g(2-X),

所以/(3-X)=〃尤)，g(4-x)=g(x),則/(T)=f(4),故C正確;

3

函數(shù)/(χ),g(χ)的圖象分別關于直線x=—,x=2對稱，

2

又g(x)=f'(x),且函數(shù)/S)可導，

所以g(I)=O,g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以引一不=g-=。，g(T)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯誤；

若函數(shù)/(X)滿足題設條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設條件，所以無法確定F(X)的函數(shù)值，

故A錯誤.

故選：BC.

5.[2022年新高考2卷第14題】寫出曲線y=InIx∣過坐標原點的切線方程:,.

【答案】①.y=-x②.y=--x

ee

【解析】因為y=ln∣x∣,當x>0時y=lnx,設切點為(玉,由丁'=1，所以VIΛ=Λ?=一,所以

X?

切線方程為y-lnx0='(x-/)，又切線過坐標原點，所以TnXo=—(一/)，解得飛=e,所以切線

??

方程為y-l=1(x-e),即y=1x；

ee

當x<0時y=ln(-x),設切點為(x∣,ln(-χ)),由丁'=工，所以VLF=所以切線方程為

X?i

y-ln(-x1)=-(x-x,),

x?

又切線過坐標原點，所以-ln(-玉)='(一王)，解得x∣=-e,所以切線方程為y-l=-!-(x+e),即

?i-e

y^--x；故答案為：y=1χ;y=一，X

eee

6.[2022年新高考1卷第15題】若曲線y=(x+α)e*有兩條過坐標原點的切線，則α的取值范圍是

【答案】(fo,-4)(0,y)

【解析】易得曲線不過原點，設切點為(Λ0,(x<)+α)e"),則切線斜率為：

,

∕(Λ0)=(Λ0+α+l)e".可得切線方程為y-(Λ0+α)e"=(xl)+α+l)e"(x-X(1),又切線過原點，可得

-(XO+α)e'>=-x0(x°+α+l)e*,化簡得+α?—。=0(X),又切線有兩條，即※方程有兩不等實根，

由判別式A=α2+4a>0,得.<γ,或α>0.

7.[2022年乙卷理科第16題】已知X=XI和X=X2分別是函數(shù)/(X)=2ax-ex2(a>O且471)的極小值點

和極大值點，若玉<々，則。的取值范圍是

【答案】(o,W

【解析】f?x)=2(ax]na-ex)至少要有兩個零點x=2和x=/，我們對其求導，

f(X)=2αv(lna)2-Ie,

(1)若α>l,則/"(X)在R上單調(diào)遞增，此時若/"(XO)=()，則f(x)在(一陶玉))上單調(diào)

遞減，在(%,+⑹上單調(diào)遞增，此時若有X=%和X=X2分別是函數(shù)/(X)=2ax-ex1(a>0且αHl)的

極小值點和極大值點，則不>々，不符合題意。

(2)若0<α<l,則/(%)在R上單調(diào)遞減，此時若/"(而)=(),則f(x)在(一陶玉))上

單調(diào)遞增，在(Xo,+8)上單調(diào)遞減，且Xo=Iog'、2。此時若有X=XI和X=X2分別是函數(shù)

(Inay

κ2

/(%)?2a-ex(a>O且ɑ≠1)的極小值點和極大值點，且玉<馬，則需滿足/(x0)>O，即

—^―>elog,,/'、，=a'na>/c、，=>Inαh*">In,t.?=>-^-lna>l-ln(ln?)2，可解得α>e或

Ina,(lna)2(Ina)?(Ina)?Ina'"

O<α<J,由于0<α<l,取交集即得0<。<!。

1.求曲線內(nèi)(X)的切線方程的類型及方法

(1)己知切點P(Xo,")，求y√(x)過點尸的切線方程：求出切線的斜率/(Xo),由點斜式寫出方程;

(2)已知切線的斜率為A求月?(X)的切線方程：設切點P(Xo,州)，通過方程柱f'(xo)解得xo,再由點斜式

寫出方程；

(3)已知切線上一點(非切點)，求的切線方程：設切點P(XO,/)，利用導數(shù)求得切線斜率尸(Xo),再

由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得心，最后由點斜式或兩點式寫出方程.

(4)若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜率，

再由后尸(XO)求出切點坐標(沏,和)，最后寫出切線方程.

(5)①在點P處的切線即是以P為切點的切線，P一定在曲線上.

②過點P的切線即切線過點P,P不一定是切點.因此在求過點尸的切線方程時，應首先檢驗點P是

否在已知曲線上.

2.利用導數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等式((x)>0

(∕,(x)<0)在給定區(qū)間上恒成立.一般步驟為：

⑴求尸(X);

(2)確認尸(X)在(0,份內(nèi)的符號；

(3)作出結論，/'(X)>O時為增函數(shù)，/'(X)<0時為減函數(shù).

注意：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論.

3.由函數(shù)/(x)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

⑴可導函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上/'(x)20(或/'(x)≤0)(∕'(X)在該區(qū)間的

任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值

范圍；

(2)可導函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是/'(x)>O(或/'(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，

這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉化成了不等式問題；

(3)若已知一(X)在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時，可先求出/(X)的單調(diào)區(qū)間，令/是其單

調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

4.利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，一般先由零點的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，再利

用導數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解.

5.求函數(shù)/(x)在［”,例上最值的方法

(1)若函數(shù)/(x)在［”,句上單調(diào)遞增或遞減，/⑷與/S)一個為最大值，一個為最小值.

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(小份內(nèi)有極值，先求出函數(shù)/(x)在區(qū)間①，力上的極值，與/伍)、/S)比較，其

中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

(3)函數(shù)/(x)在區(qū)間(m6)上有唯---個極值點時，這個極值點就是最大(或最小)值點.

注意：(1)若函數(shù)中含有參數(shù)時，要注意分類討論思想的應用.

(2)極值是函數(shù)的“局部概念”，最值是函數(shù)的“整體概念”，函數(shù)的極值不一定是最值，函數(shù)的最值

也不一定是極值.要注意利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象直觀研究確定.

6.利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法：

(1)分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值,

根據(jù)要求得所求范圍.一般地，/(x)≥α恒成立，只需/(?,“",Na即可；f(x)≤α恒成立，只需

/(x)max≤α即可?

(2)函數(shù)思想法：將不等式轉化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，

然后構建不等式求解.

易錯點1：導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的

考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.(2)利用導數(shù)

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的

優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結合思想的應用.

易錯點2:導數(shù)與函數(shù)的極(最)值

求函數(shù)處0在S，句上的最大值和最小值的步驟

(1)求函數(shù)在(4,6)內(nèi)的極值；

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值/〃)，心)；

(3)將函數(shù)兀V)的各極值與人公，人勿比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。

易錯點3:對“導函數(shù)值正負”與“原函數(shù)圖象升降”關系不清楚

廣(幻>0。Κ€41^11...0/(幻增區(qū)間9,8和...

廣(X)<O=X∈CUDU…=F(X)增區(qū)間為C。和…

x∈。時廣(幻〉0=>/(處在區(qū)間。上為增函數(shù)

尤∈。時r(X)<On/(X)在區(qū)間。上為減函數(shù)

X∈。時「(x)=On/(x)在區(qū)間。上為常函數(shù)

討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可化歸為求解導函數(shù)正或負的相應不等式問題的討論.

一、單選題

1.曲線y=χe'+2x-2在X=O處的切線方程是()

A.3x+y+2=0B.2x+y+2=0

C.2x-y-2-0D.3x-y-2=0

【答案】D

【解析】y=xex+2x-2,則y'=(x+l)e*+2,當x=OB?,y=-2,)M=3,

所以切線方程為y-(-2)=3X,即3x-y-2=O.

故選：D.

2.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為尸(x),且滿足/(x)=24'(l)+lnx,則/'(1)=()

A.-eB.-1C.ID.e

【答案】B

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=24'(l)+lnx,可得r(x)=2∕"⑴+g

所以/'(l)=2f'(l)+l,則r(l)=T.故選：B.

3.曲線>=xln(2x+5)在x=-2處的切線方程為()

A.4x—y+8=0B.4x+y+8=0

C.3x—y+6=0D.3x+γ+6=0

【答案】B

【解析】因為y=xln(2x+5),所以y=[xln(2x+5)]'=ln(2x+5)+St，所以Ml=Y.

又當x=-2時，γ=xlnl=0,故切點坐標為(-2,0),所以切線方程為4x+y+8=0.

故選：B.

4.函數(shù)/(x)=gχ2-]nx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-?,l)B.(0,1)C.(1收)D.(0,2)

【答案】B

【解析】/(X)的定義域為(0,+8)

解不等式f'(x)=x--=(V~1)(V+I)<0,可得0<x<1,

XX

故函數(shù)/U)=-InX的遞減區(qū)間為(OJ).故選：B.

2

5.已知函數(shù)/(x)=∕+2COSX,設α=f(2°5),?=∕(θ.5),c=∕(log052),貝I]()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】F(X)=X2+2CoSX,定義域為R,

/(-x)=(-x)2+2COS(-X)=X2+2COSX=/(X),所以f(x)是偶函數(shù)，

/'(x)=2x-2sinx,令g(x)=2x-2sinx,則g'(x)=2-2cosx20,

所以在R上尸(x)單調(diào)遞增，Z(O)=O,

即在(0,+∞)上/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

2

因為C=/(Iog052)=/(-1)=/(1),205>1>0.5，

所以/(20?5)>∕(1)>∕(0.52),即α>c>。,

故選：A

6.已知函數(shù)f(x)=+cosx,尸(X)是函數(shù)/(X)的導函數(shù)，則尸(X)的圖像大致是()

【答案】C

【解析】/(x)=→2+cosx,則/'(X)=；X-SinX,則函數(shù)f'(x)為奇函數(shù)，排除BD；

∕,[y]=?-l<O,排除A；

故選：C.

7.若函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=Jχ3對任意的%>%>o,不等式如>曳尹二X恒成立,則整數(shù)機的最小

3g(x∣)-8(工2)

值為()

A.2B.1C.OD.-1

【答案】A

【解析】因為g(x)=；Y單調(diào)遞增，%>%>。，所以gα)>g(∕)>o,即g(χ)-g(w)>o,

xxx

原不等式恒成立可化為帆g(%)-"Zg(W)>J(i)-^2f(2)恒成立，

即%>x2>0時，加8(玉)一工|/(不)〉〃吆(工2)72/(%2)恒成立，

即函數(shù)人(X)=Wg(X)-^(X)=TX3-xlnx在(0,+∞)上為增函數(shù)，

所以〃'(X)=Znr2-InX-1≥0在(0,+∞)上恒成立，

、lnx÷l?,、InX+1,,、21nx+l

即απm≥——,令A(zX)=—二，則rltM1zX)=-------3-,

XXX

當。vr<eT時，MX)>0，-X)單調(diào)遞增，當χ>∕時，MX)<0,A(X)單調(diào)遞減，故當丫一「；時，函數(shù)

U'√V%C人一C

.,、Inx+1,,.1/+“e

MX)=一^的最l大值為5,

即機≥∣恒成立，由〃ZeZ知，整數(shù)，〃的最小值為2.

故選：A

8.已知函數(shù)/(?)?ɑe?-?,若有且僅有兩個正整數(shù)，使得/(x)<0成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

?-?VJb??vj

Γ9∩「12、

c??■與Jd??vj

【答案】C

2O

【解析】由/(x)<0且x>0,得a(x+2)<土，設g(χ)=工，Mx)=a(x+2),

ee

g,(X)="己知函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在Q,y)上單調(diào)遞減，

e'

ρ(↑)1&⑵1a(3)Q

函數(shù)∕z(x)=a(x+2)的圖象過點(-2,0),??-=-,τ??=-,表去二不，結合圖象，因為

1^~^(-~z)?eZ(一，jQ?z)?e

911.9/1

所ccr以豆≤"亞

故選：C

二、填空題

9.已知拋物線/=啰(4>0)在》=1處的切線過點(2,|),則該拋物線的焦點坐標為.

【答案】U

1?O

【解析】由題意得：由V=αy可得y=2?∕,求導可得y=4χ,故切線斜率為K

aaa

1?

故切線方程為y-~L=Wa-I)

aa

又因為該切線過點(2,∣),所以∣-1=?∣(2T),解得α=2

拋物線方程為f=2y,焦點坐標為(0,；).

故答案為：［ɑ,?j

10.已知"x)=(x+l)e',函數(shù)/(x)的圖象在X=O處的切線方程為.

【答案】2x-y+l=0

【解析】由"x)=(x+l)e*得/'(x)=e'+(x+l)e',所以在X=O處的切線的斜率為∕'(0)=e°+(0+l)e°=2,

又/(。)=1,故切點坐標(0,1),所以所求的切線方程為yT=2x,即2x-y+l=0,

故答案為：2x->?+l=0.

11.若函數(shù)/(X)=丘-e'有兩個零點，則k的取值范圍為.

【答案】(e,48)

1Y1X

【解析】因為AX)=丘-e'有兩個零點，即奴一/=0有兩個零點=7==有兩個解，即y=7與)，=一的圖

kek'e

Y1—Y

象有兩個交點，令g(x)=??(A?∈R),則g'(x)=-L，

ee

所以當xe(fo,l)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當X∈(L切)時,g")<0,g(x)單調(diào)遞減;

所以g(x)a=g⑴=［，又因當x<。時，g(x)='<0,

當x>0時，g(x)=2>0,當X=O時，^(χ}=~=0,

ee

要使y=J與y=W的圖象有兩個交點，所以即k的取值范圍為(e,?).

故答案為：(e,+8).

2

12.關于函數(shù)/(x)=x+;~,有下列4個結論：

1+e7

①函數(shù)"X)的圖象關于點(0,1)中心對稱；②函數(shù)“X)無零點；

③曲線y=√(χ)的切線斜率的取值范圍為C，1]④曲線y=∕(χ)的切線都不過點(0,0)

其中錯誤結論為.

【答案】②③

7??Opx

【解析】由已知：f{x)+f(-x)=x+-——--x+-———=-——-+----7=2,故①正確；

l÷e1+e1+el÷e

2O.2

E1J∕(0)=1>0,f(-2)=-2+產(chǎn)^<-2+2=0(或f(-2)=-2+；—=?j?<0)知函數(shù)/⑺在(-2,0)內(nèi)

1+e1+e-l+e-7

有零點，故②不正確；

山"?=I-正了=Je*+e-*+2且e'+e-≥2當且僅當x=°取等號知:/'("的值域為[則，故③錯

誤；

若曲線y=∕(χ)存在過點(0,0)的切線，設切點為(八/(加))，則由導數(shù)的幾何意義與斜率公式得：

2

X”'n+---

I__至—=_1+e,化簡得：(m+l)em+l=0,令g(x)=(x+l)e'+1,則g'(x)=(x+2)e*,當x<-2時,

(l+ew)2m

√(x)<0,當χ>-2時，g'(x)>0,故gC‰=g(-2)=l-e-2>0,所以函數(shù)g(x)無零點，因此方程無實數(shù)

解，假設不成立，故④正確.

綜上，錯誤結論為：②③.

故答案為：②③.

一、單選題

?.（2022.海南海口?二模）在核酸檢測時，為了讓標本中OMi的數(shù)量達到核酸探針能檢測到的閾值，通常

采用PCR技術對OVA進行快速復制擴增數(shù)量.在此過程中，ON4的數(shù)量X0（單位：〃g/〃L）與PCR擴

增次數(shù)”滿足X"=XOXl.6",其中X0為DNA的初始數(shù)量.已知某待測標本中DNA的初始數(shù)量為01〃g/〃L,

核酸探針能檢測到的DNA數(shù)量最低值為10〃g/,則應對該標本進行PCR擴增的次數(shù)至少為（）（參

考數(shù)據(jù)：Ig1.6≈0.20,In1.6≈0.47）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【解析】由題意知X。=?！梗琗n=10，令Io=O.1x1.6",得16=100,取以10為底的對數(shù)得“l(fā)gl?6=2,

2

所以"=τ√^∑≈ιo.

Ig1.6

故選：B.

2.（2022?全國?模擬預測（理））血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結合的血

紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般

不低于95%,在95%以下為供氧不足.當人體長時間處于高原、高空或深海環(huán)境中，容易引發(fā)血氧飽和度

降低，產(chǎn)生缺氧癥狀，此時就需要增加氧氣吸入量.在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：

S（t）=S°eK'描述血氧飽和度5Q）（單位：%）隨給氧時間f（單位：時）的變化規(guī)律，其中SO為初始血氧飽

和度，K為參數(shù).已知品=57,給氧1小時后，血氧飽和度為76.若使得血氧飽和度達到正常值，則給氧

時間至少還需要（）（結果精確到0.1,ln3≈l.l,ln4≈1.4,In5≈1.6）

A.0.4小時B.0.5小時C.0.6小時D.0.7小時

【答案】D

【解析】設使得血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要”1小時，

由題意可得57e'=76,57e~=95,兩邊同時取自然對數(shù)并整理，

764955

得K=In—=In-=In4-In3,Kt-In—=In-=In5-In3,

573573

則t=等二曾≈ττ~τι≈i?7-則給氧時間至少還需要o?7小時

In4-ln31.4-1.1

故選：D

3.（2022.全國.模擬預測（理））已知函數(shù)/（x）=C+CIX+上/+/八+lcy++??x"Ck,

35Kn

〃為正奇數(shù)），/'（切是"H的導函數(shù)，則r（ι）+∕（o）=（）

A.2"B.2n'

C.2,,+lD.2π-'+l

【答案】D

n

【解析】因為〃X)=C!+c5+?Cx、卜胃++lcy++lc>,

35Kn

所以"0)=C=I,

所以/'(X)=C,+Ck+c：f++cy-'++cχτ,

則r⑴=c；+c：+c：++c++C-,

其中C,+C+C++c：++c>2n-',

所以/'⑴=2"T,所以/'⑴+/(0)=2"T+l;故選：D

4.(2022?江蘇蘇州?模擬預測)若X,y∈(O,+∞),x+lnx=e'+siny,則()

A.ln(x-y)<OB.ln(y-x)>OC.χ<e`D.y<lnx

【答案】C

【解析】設=X-SinX,x>0,貝Ur(X)=I-CoSX≥0(不恒為零)，

故“X)在(0,+8)上為增函數(shù)，故F(X)>/(0)=0,

所以x>sinx,故y>siny在(0,+OO)上恒成立,

所以X+InX<ev+y=ev÷Inev,

但g(x)=x+lnx為(0,+8)上為增函數(shù)，故χ<e，即lnx<y,

所以C成立，D錯誤.

取X=e,考慮l+e=e?v+siny的解，

若y≥e+l,則e'≥e印>5>e+2≥l+e-siny,矛盾,

故y<e+l即y-x<l,止匕時ln(y-x)<O,故B錯誤.

取y=l,考慮χ+lnx=e+sinl,

若x≤2,則x+lnx≤2+ln2<3<e+J<e+sinl,矛盾，

2

故x>2,此時x-y>l,此時In(X-y)>0,故A錯誤，故選：C.

二、多選題

5.(2022.全國?模擬預測)已知函數(shù)2(x)=αlnx+x,g(x)=sinx,若MX)=F(X)-g(x),則下列說法正

確的是()

A.當α=-l時，/(x)有2個零點

B.當α=0時，/(x)恒在g(x)的上方

C.若力(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則0≥0

D.若〃(x)在(0,2%)有2個極值點，則-;

【答案】BC

【解析】對于選項A,當α=-l時=/(x)=-lnx+x,則7(X)=-J+1,當Xe(0,1)時，∕,(x)<0,當Xe(Ly)

時，/'(x)>0,所以“力在((U)上單調(diào)遞減，在(l,+∞)上單調(diào)遞增，所以〃力的最小值為/⑴=1,即

沒有零點，所以A選項錯誤；

對于選項B,當α=0時，MX)=/(x)-g(X)=X-SinX,則〃'(x)=I-COSX≥0,所以〃(x)在(0,+巧上單調(diào)

遞增，且MX)>0,即F(X)>g(x),所以B選項正確;

對于選項C,易知〃<》)=烏+1-COSX(X>0),當“≥0時，因為x>0,1-COSX≥0,則∕z'(x)Zθ,所以MX)

在(0,+⑹上單調(diào)遞增，符合要求；當α<0時，則當Xe(O,-3時，→-2,此時

∕ι,(x)<-2+l-cosx=-(l+∞sx)<0,所以MX)在上單調(diào)遞減，不符合要求，所以C選項正確；

對于選項D,當OWaWq時，∕f(x)=2+I-CoSX≥0在(0,2兀)上恒成立，所以函數(shù)〃(為在(0,2π)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/7。)在(0,2π)不存在極值點，

當-g≤αvθ時，/(x)=g+l-cosx≥0在∣π,2π)上恒成立，所以函數(shù)〃(x)在［π,2π)單調(diào)遞增，所以函數(shù)人。)

在［π,2π)不存在極值點，x∈(0,π］時〃(X)=E+1-CoSX單調(diào)遞增，即函數(shù)〃⑴在(0,可至多存在一個極值點,

所以D選項錯誤.故選：BC.

6.(2022.全國.模擬預測)已知"χ)=3XlnX-(21。則()

A./(x)的定義域是提+8)

B,若直線y=加和/(x)的圖像有交點，則“ie(-oo,-∣ln2

,.72√3,

Cr.In-<-----1

63

D-m∣>?∣(20一1)

【答案】AC

x>01/、1

【解析】A：G=>x≥%,所以/(%)的定義域為[;,+00),故A正確;

2.x-1≥Uλ2

B；∕,(x)=3^1nx+l-√2x-lj,設g(x)=lnx+l-j2x-l,

則"

布g'(x)≤0在百+oo)上恒成立，故g(x)在g,+oo)上單調(diào)遞減,

Eg(I)=O,所以當xe[g,l)時尸(x)>0,當XG(I,-)時尸(x)<O,

則/S)在耳，1)上單調(diào)遞增，在(l,+∞)上單調(diào)遞減,

所以皿=/(i)=τ,若直線y=%與/a)的圖像有交點，則∕M≤τ,故B錯誤;

C：由B中的分析，g()<g(l),代入得1∏,<竽—1,故C正確;

D：由B中的分析，/(I卜”1),代入得∣ln5<2夜-1,故D錯誤.

故選：AC

三、填空題

7.(2022.山東?煙臺二中模擬預測)請寫出一個定義在R上的函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，無最小值，且

最大值為2.其解析式可以為/(X)=

【答案】-爐+2或(--+2,TM+2等)(答案不唯-)

【解析】根據(jù)題中的條件可知函數(shù)是偶函數(shù)，最大值為2,所以F(X)=-—+2滿足題中的條件，再如

/(x)≈-√+2,再如/(x)=小+2等等(答案不唯一).

故答案為：-Y+2或(_/+2,-W+2等)(答案不唯一).

8.(2022?河北邯鄲?二模)已知點P為曲線y=號上的動點，。為坐標原點.當IoH最小時，直線OP恰

好與曲線y=”lnx相切，則實數(shù)α=一.

【答案】-e

【解析】設P(XSlnX),所以IoPI=JX2+§)2.Qn幻2,

2

設g(x)=χ2+(%?(lnx)2,g，(x)=2x+(%2(ln.L士Z匕

eXX

1222

當X>—時，InX>—1=>finX>—,2x~>—,所以g'(x)>O,g(x)單.調(diào)遞增，

ee'ee

1222

」[0<X<—InX<—1—≥——InX<——,∑rx~<-y,

ete^ee^

所以g'(χ)<o,g(χ)單調(diào)遞減，

當X=I時，函數(shù)g(χ)有最小值，即IOH有最小值，所以P(L-3,

eee

此時直線OP的方程為y=T,設直線y=-X與曲線y=αl∏x相切于點(x0,αlm?),

由y=Hnxny'=q=>q=-1=>Xo=-α,顯然(x0,Hnxo)在直線,=一刀上，

xxO

則4ht?=-Xo,因此有qln(-α)=α=>α=-e,故答案為：-e

9.已知函數(shù)f(x)U+αlMαeR)若函數(shù)“χ)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)Q的取值范圍是.

【答案】((L：)

【解析】由于函數(shù)不單調(diào)，則函數(shù)在定義域內(nèi)有極值點，<W-p^'+7°,°令函數(shù)

5(x)=?.X>O1g(x)=T,所以函數(shù)g(χ)在區(qū)間(O,D上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，+8)上單

調(diào)遞減，Λ(0)=θ?乂*>O時，O(X)>0,9⑴=：,所以(0?7).

10.(2022?上海?模擬預測)設函數(shù)"X)滿足/(X)=∕(占'定義域為D=[0,y>),值域為A,若集合

｛γly=∕(χ),χ∈[θ,G｝可取得A中所有值，則參數(shù)”的取值范圍為.

【答案】[存?,+8),

【解析】令X=—、得，X=近二?或X=此二1(舍去)；

x+l22

r11√5-lE

-

當"與時，771"√5-ι+1"^l.故對任意χ..與，

都存在％w[o,>—1=%，故/(χ)=∕ɑ,),

2x+1

I-r-_石-1

>

故A=3y=∕(x),xe[O,m為｝，而當O,,x<g^時，^x+?√5-l+1^2,

故當A=｛y∣y=∕(x),χe[0,α]｝時，參數(shù)”的最小值為止二1,

2

故參數(shù)。的取值范圍為[鋁，+8),故答案為：[鋁，+∞).

四、解答題

11.(2022?全國?模擬預測(理))對于區(qū)間Mn］,?m,ri),(nt,ri?,(m,n),其中“>∕n,統(tǒng)一將加稱

為這四類區(qū)間的長度.已知函數(shù)f(x)=e'+χ2-or(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴當α=e+2時，求/(x)在區(qū)間［∣,2］上的值域的區(qū)間長度；

(2)若"x)在區(qū)間口，2］上單調(diào)遞增，那么xe［0,3］時，值域的區(qū)間的長度是否存在最小值？若存在，求

出最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)(e-lp;(2)存在，最小值為e3-3e+4

【解析】⑴當α=e+2時，函數(shù)"x)=e'+x2-(e+2)x,x∈［l,2］,

.?.∕,(x)=eτ+2x-(e+2),

?.?∕'(χ)是增函數(shù)，

.?.raw。)=。，

.?.∕(x)=e2+f-(e+2)x在區(qū)間［1,2］是增函數(shù)，

???函數(shù)”x)在區(qū)間［1,2］上.的值域為［f⑴J⑵］=［-l,e2-2e］,

，值域區(qū)間的長度為e2-2e+l=(e-l)2.

⑵；函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，.?.在區(qū)間［1,2］卜J'(x)≥0,即e'+2x-αN0,?"We+2.

①若α≤l,則f'(0)=l-a≥0,且尸(力遞增.

二在區(qū)間［0,3］kΓ(x)≥O,從而f(x)在［0,3］上遞增，.?.函數(shù)的值域為［"O)J(3)］,

Λn-m=∕(3)-∕(0)=(e3+9-3a)-l=e3+8-30,

?α≤l,—m=e3+8-3cι≥e,+5?

②若α=e+2,則/'(l)=e+2-a=0,且/'(可遞增.

?在區(qū)間［0,l］±∕((x)≤0;在區(qū)間［l,3］±∕,(x)≥0,

???/(X)在區(qū)間［0,1］上遞減,在區(qū)間［1,3］上遞增，

/n=∕(l)=e+l-α=-l,π=max{∕(0),∕(3)}=^l,e1-3-3e∣=e,-3-3e,

?>?n-m=e^-3e+4.

③若IVaVe+2,則八O)=l-ovO,/(l)=e+2-a>0,且若(%)遞增.

???在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在x=f,使得r(f)=e?2"a=0,

當x∈［0j］上，Γ(x)≤0,在區(qū)間上,3］上,∕r(x)≥0,

???“X)在區(qū)間［0可上遞減，在區(qū)間匕3］上遞增

...m=∕(r)=ez+t2-at,n=max{∕(θ),∕(3)}=^l,e3+9-3a},

Vl<^<e÷2,ΛW=max{/(O)√(3)}={1,e3+9-3tz}=e3+9-,

32t23

/.n-m-/(3)-∕(r)=(e+9-3々)-("+Z-at^=-e-r+αr-3?÷e+9,

;隱零點f滿足：e'+2f-Q=0,，消〃可得：n—m=—^-t2+at-3a+e3÷9=(Z—4)ef+^2—6/+e3÷9,

???不妨記M。=(，-4)"+產(chǎn)―6l+e3+9,r∈(0,l),???〃⑺=。-3戶+256=(，-3乂或+2)<0,

??.Λ(r)=(r-4)ez÷r2-6r+e3÷9,r∈(θ,l)遞減，ΛΛ(z)∈(∕ι(l),A(0))=(e3-3e+4,e3÷5),

ΛA(r)>e3-3e+4,.*.n-m>^-3e+4.

綜上，當α≤l時，H—/W≥e3+5：

當α=e+2時，77-/?/=e3—3e÷4：

當IVaVe+2時，e3-3e÷4，

,?,e3+5>e3-3e+4，

，當α=e+2時,〃一機取得最小值e3-3e+4,

???函數(shù)”力在x∈［0,3］的值域區(qū)間的長度的最小值為e3-3e+4?

12.(2022?上海?華師大二附中模擬預測)已知定義域為。的函數(shù)y=∕(x).當aeθ時，若g(x)="x)7(G

X-Cl

CxeD,x≠a)是增函數(shù)，則稱f(x)是一個"7(a)函數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)y=2f+χ+2(xeR)是否為T⑴函數(shù)，并說明理由；

(2)若定義域為［0,+8)的7-(0)函數(shù)y=s(x)滿足S(O)=0,解關于Λ的不等式s(22)<加⑵；

(3)設P是滿足下列條件的定義域為R的函數(shù)y=W(x)組成的集合：①對任意"eR,W(X)都是7(")函數(shù)；

②W(O)=W⑵=2,W(T)=W⑶=3.若W(X)≥m對一切W(X)eP和所有XeR成立，求實數(shù)加的最大值.

【答案】(1)是，理由見解析(2)(0』)(3)%=1

【解析】(1)是，理由：由題，g(χ)=Qx~x+2匕(1"+2)=2X+3(eR,XWI)為增函數(shù)，

x

故y=2rz+χ+2(X∈R)是T(I)函數(shù).

⑵因為y=s(χ)是7(0)函數(shù)，且S(O)=0,所以g(x)=邛是[0,+向上的增函數(shù)，

因為s(24)有意義，所以2≥0,顯然，4=0時不等式不成立，下設4>0,

此時,v(2Λ)<Λ√2)等價于叢也<Ma,

2Λ2

由g(x)的單調(diào)性得，2Λ<2,即所求不等式的解集為(0,1).

(3)由題意，W(X)是7(0)函數(shù)，故y=竺處二是增函數(shù)，從而當χ<0時，W(X)-2<W⑵-a=。即W(X)>2；

而W(X)是7(2)函數(shù)，故)，=也華是增函數(shù)，從而當x>2時，也生等￥=(),即W(X)>2,

X—2x—2.0—2

當0<x<2時，同理可得，W(X)-2>W/)"=_]且W(X)-2<W(3)-2=1,故W(X)>2r且W(X)”，故

X-1x-23-2

W(x)>max{x,2-x}=l+∣x-l∣≥1.

因此，當山￡1時，W(X)≥m對一切XeR成立.

下證，任意機>1均不滿足要求，由條件②知，機≤2.

另一方面，對任意Me(l,2],定義函數(shù)=善卜τ+等，容易驗證條件②成立.

對條件①，任取〃wR,有％，(x)-%(")=S(χ+吁S+7-MiXTT

X-U44X-U

注意到y(tǒng)=*+"-