2023屆高考數(shù)學三輪復習卷：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值（含解析）

2023屆高考數(shù)學三輪沖刺卷：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值

一、選擇題(共20小題；)

1.函數(shù)f(x)=3%-4∕(χe[o,ι])的最大值是()

A.1B.-C.0D.-1

2

2.若方程爐-3%+血=0在[0,2]上有解，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[0,2]

C.[-2l0]D.(—∞,—2)U(2,+8)

3.函數(shù)/(x)=e%-X(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[一1,1]上的最大值是()

1

A.l+iB.1C.e+1D.e-1

e

4.函數(shù)/O)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是()

1

A.1B;C.0D.-1

2

5.函數(shù)f(x)=/一3x-1,若對于區(qū)間[-3,2]上的任意X1，x2,都有If(XI)-fG?)∣≤3則實

數(shù)t的最小值是()

A.20B.18C.3D.0

6.已知函數(shù)/(%)=(2x-x2)ex,則()

A√(√2)是/(x)的極大值也是最大值

B.∕(√2)是f(x)的極大值但不是最大值

C.∕(-√2)是/(x)的極小值也是最小值

D./(x)沒有最大值也沒有最小值

7.設直線X=t與函數(shù)f(x)=/,g(X)=Inx的圖象分別交于點M1N,則當IMN|達到最小時t的

值為()

A1BC至D.—

??Ξ22

8.函數(shù)f(x)=3x-4爐，(x∈[0,1])的最大值是()

A.iB.-1C.0D.1

2

x

9.函數(shù)/(x)=∣e(sinx+cosx)在區(qū)間p閆上的值域為()

A,[?,?e?B.(i,iei)C.[l,e?]D.(l,

10.已知f(x)=3sinx-πx,對任意的Xe(O弓)，給出以下四個結(jié)論：

Φf(x)>0:

②f'(x)<O:

③f(x)>O;

④f(x)<O?

其中正確的是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

11.函數(shù)y=T的最大值為()

A.e^1B.eC.e2D.-

3

12.若函數(shù)∕?(x)=x3-3x2-9x+k在區(qū)間[-4,4]上的最大值為10,則其最小值為()

A.-10B.-71C.-15D.-22

13.把長為12Cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形的面積之和的

最小值是()

A3怖2

A.——Cm4B.4cm2C.3√2cm2D.2√3cm2

2

14.函數(shù)/(%)=3x-4/(X∈[0,l])的最大值是()

A.1B.-C.OD.-1

2

15.函數(shù)/(%)=Xlnx的最小值是()

A.eB."eC.e-1D.-e^1

16.已知函數(shù)/(x)=/+τn與函數(shù)g(x)=-ln∣-3x(X∈[∣,2∣)的圖象上至少存在一對關于x軸

對稱的點，則實數(shù)M的取值范圍是()

A.∣∣+ln2,2]B.[2-ln2,∣+lnz]

C.S+ln2,2-ln2]D.[2-ln2,2]

M

17.已知函數(shù)/^(x)=/一7n%2+27UC+1,r(χ)是函數(shù)/(χ)的導數(shù)，且函數(shù)∕(X)的圖象關于直線

X=I對稱，若f(x)≥l在[l,n]上恒成立，則實數(shù)Ti的取值范圍為()

A.(-∞,∣]B.(~∞--0C.[∣,+∞)D.[π,+∞)

18.若函數(shù)/(X)=∣x3+x2-∣在區(qū)間(ɑ,a+5)上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)

19./(x)=X3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值是()

A.-2B.0C.2D.4

20.若對任意的正實數(shù)％,不等式e'≥ax+/Ex恒成立，則正整數(shù)a的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題(共5小題；)

21.y=%-e”在R上的最大值是.

22.如果對于函數(shù)/(%)定義域內(nèi)任意的3都有/(%)≥M(M為常數(shù))，稱M為/(X)的下界，下

界M中的最大值叫做f(x)的下確界.定義在[l,e]上的函數(shù)/(x)=2x-1+Inx的下確界

M=.

23.若函數(shù)fM=/一3ax—a在((U)內(nèi)有最小值，則實數(shù)Q的取值范圍為.

24.設直線％=￡與函數(shù)/(%)=/,g(%)=Inx的圖象分別交于點M,N,則當IMNl達到最小時

t的值為.

25.己知函數(shù)/"(x)=e*+minx(τn∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù))，若對任意正數(shù)與，X2<當Xι>

x2時都有/(x1)-/(x2)>x2-%1成立，則實數(shù)m的取值范圍是.

三、解答題(共5小題；)

26.已知函數(shù)/(x)=(x+α)eL其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，α∈R.

(1)求函數(shù)<x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當X∈［0,4］時，求函數(shù)f(x)的最小值.

27.己知函數(shù)f(x)=lnx+?，其中α為常數(shù)，且α>0.

(1)若曲線y=/(x)在點(Lf(I))處的切線與直線y=∣x+l垂直，求a的值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上的最小值為點求α的值.

28.證明：ex-Inx>2.

29.已知函數(shù)/(%)=Inx+

(1)當QVo時，求函數(shù)/0)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在［l,e］上的最小值是|,求α的值.

30.已知函數(shù)/(%)=/+α%+b,g(χ)=2x+a(a,e∈R),且函數(shù)/(%)與g(%)的圖象至多有一

個公共點.

(1)證明：當工≥0時，f(x)≤(x÷b)2；

(2)若不等式f(ɑ)-f(b)≥L(ɑ2一b2)對題設條件中的q,匕總成立，求L的最小值.

答案

1.A【解析】f'(x)=3-12/,令/(X)=3-12/>o,解得-g<χ<g,

f(x)在［θ曰上單增，在去1］單減，/(χ)max=∕Q)=l.

2.A【解析】令f(x)=/-3x+m,則f'(X)=3χ2-3=3(久+l)(x-1).因為當x6(0,1)時，

r(x)<O,當Xe(1,2)時，/'(%)>0,所以f(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，在［1,2］上單調(diào)遞增,且圖象

是連續(xù)的.又因為f(0)=τn<∕(2)=2+m，所以方程/一3x+m=O在［0,2］上有解，只需

/(1)≤0且f(2)≥0,得一2≤m≤2.

3.D

4.A

5.A

【解析】因為r(x)=3/-3=3(x+1)(X-1),令f'(x)=0,得x=±l,且f(一3)=

-19J(-1)=IJ(I)=-3,/(2)=1,所以在區(qū)間［-3,2］±/(x)max=l,∕(x)min=-19,由題意知，

在［-3,2］上，IfGOmax-F(X)min∣≤3所以t≥20,則實數(shù)t的最小值為20.

6.A【解析】由題意得r(x)=(2-2x)eX+(2x-χ2)e?ιc=(2—χ2)e*,當-√∑<x<√∑時，

/'(X)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當X<一企或無>或時，/,(X)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，所以

f(x)在X=√Σ處取得極大值，在X=-√Σ處取得極小值，又/(√Σ)=2(√Σ-l)e√1>0,/(-√2)=

2(—√2—l)e-λ^<0,當XT+8時，f(x)→—8,當XT-8時，/(χ)→0,所以f(x)無最小值，

有最大值，且f(或)是f(x)的極大值，也是最大值.

7.D【解析】由題可得IMNl=X2—［nx(x>0),不妨令∕ι(x)="—］11χ,則“(X)=2x—令

∕ι'(x)=0解得%=γ.

因為當Xe(O,當)時，"(x)<0,當x∈(^,+∞)時，”(x)>0,

所以當X=當時，IMNl達到最小，即t=凈.

8.D【解析】函數(shù)f(x)=3x-4x3的導數(shù)為∕,(x)=3-12x2=3(1-4x2),

由f'(x)=O,可得X=：(—之舍去)，

f(x)在［θ,J遞增，81)遞減，

可得f(x)在X=T處取得極大值，且為最大值L

9.A【解析】∕,(x)=∣ex(sin%+cosx)+^ex(cos%—sinx)=excos%,

當0≤%≤1時，f(x)≥0,

所以f(x)是［θ用上的增函數(shù).

所以f(x)的最大值在％=1處取得，∕g)=∣ei,

f(x)的最小值在x=0處取得，/(0)=i.

所以函數(shù)值域為品聞

10.D

【解析】由己知∕,(x)=(3sinx—πx)'=3cosx—π,

因為％∈j)'

所以cos%∈(0,1),

所以rθ)V0,

所以f(x)在XW(O,以，是減函數(shù)，

所以f(x)<f(0)=0；故②④正確.

11.A【解析】令,=Onx叱mχ.χ?=手=o,x=e,

X2X2

當x>e時，y'<0；

當X<e時，V>0，y極大值=/(e)=；，

在定義域內(nèi)只有一個極值，

所以Smax=；?

12.B【解析】f'(x)=3x2-6%-9=3(X-3)(x+1).

由/(%)=0，得％=3或%=—1.又/"(—4)=k—76,

/(3)=fc-27,

/(-l)=k+5,/(4)=fc-20.

由/(x)max=+5=10,得A=5，

所以/COmin=k-76=-71.

13.D【解析】設一個三角形的邊長為％cm,則另一個三角形的邊長為(4-％)cm,兩個三角形的面

積之和為

S-—X2÷—(4-%)2=-X2—2√3x+4√3.

44z2

令S'=V3x-2√3=0,貝IJX=2,

所以Smin=2√3cm2.

14.A【解析】∕,(X)=3-12X2,

令f'M=0，則％(舍去)或％=$

/(θ)=o,/(D=-1,

染)=1'j

所以/(x)在［0,1］上的最大值為1.

15.D

【解析】/(%)的定義域為(0,+8),f(χ)的導數(shù)/'(%)=1+Inx.

令r(%)>0,解得令r(X)VO,解得OVxVa

從而/(%)在(Oq)上單調(diào)遞減，在@,+8)上單調(diào)遞增.

所以，當％=，時，f(%)取得最小值一不

16.D【解析】由題意知方程/(%)+g(%)=/+血—］n：—3%=0在住,2］上有解，等價于m=

-X2+3%—Inx.

令h(x)=-x2+3x—Inx,則h'(x)=-儂，).

令∕ΓQ)=O,得％=；或1,則由九(1)=2,h(2)=2-ln2,比較大小知九(%)πiax=2,

九(X)min=2-In2.

所以實數(shù)m的取值范圍是［2-ln2,2］.

17.C【解析】依題意可得f'(X)=3/-2mx+2n,

因為7'O)的圖象關于直線％=|對稱，

所以一二2=2,解得=2,

63rn

故/(%)=X3—2x2+2nx+1,

因為f(x)≥1在［‰π］上恒成立，

所以n≥-//-2%)在［ifτι］上恒成立，

因為函數(shù)g(x)=-i(x2-2x)在［l,π］上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)在［l,π］上的最大值為:，

所以n≥點

故實數(shù)n的取值范圍為原+8).

18.C【解析】由題意，得/'(%)=/+2%=%(%+2),

故f(%)在(-8,-2),(0,+8)上是增函數(shù)，在(一2,0)上是減函數(shù)，

作出其圖象如圖所示，

令2X?+%2—2=一三得，%=?；?=—3,

333

則結(jié)合圖象可知，dlɑn°,

LQ+5>0,

解得a∈［-3,0).

19.C

20.B

【解析】當x=l時，有Q≤e,所以正整數(shù)Q的可能取值為1,2.

當α=2時，不等式為ex-2x≥x2lnx,即三一？一Inx≥0對任意的x>0恒成立.

記gM=W-inχ,則g'M=鋁藝+?-j="-21jr)(%>0),

顯然e%>x,所以當％∈(0,2)時，g<%)V0,函數(shù)g(%)單調(diào)遞減；

當％∈(2,+8)時，g,(χ)>0,函數(shù)g(%)單調(diào)遞增.

所以g(%)≥g(2)=](e2-4—41n2)>0,所以當α=2時;對任意的正實數(shù)》,不等式e"≥Q%+

%2Inx恒成立，

所以正整數(shù)Q的最大值為2.

21.-1

22.1

【解析】根據(jù)下確界的定義，滿足函數(shù)的最小值大于M,函數(shù)/(%)=2》一1+111%在定義[1,6|上單

調(diào)遞增，???x=l時，函數(shù)有最小值/(1)=1,即函數(shù)的下確界為1.

23.(0,1)

【解析】∕,(x)=3x2-3α,

由于/(%)在(0,1)內(nèi)有最小值，故a>0且r(x)=0的解為％ι=√H,X2=-?[a,同時返6(0,1),

所以OVQV1.

24.史

2

【解析】當X=t時，/(t)=t2,g(t)=Int,

所以y=IMNI=t2-lnt(t>0).

所以y'=2t—?=個=??fl

當0<t<當時，y'<0；

當t>當時，y'>0.

所以y=IMNI=/一mt在t=當時有最小值.

25.[0,+∞)

【解析】依題意得，對于任意的整數(shù)與，x2,當∕>X2時，都有/(Xi)-%>/(孫)一冷，

因此函數(shù)g(%)=/(%)-%在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，

于是當％>0時，g'M—f'M—1=e"+?—1≥0,即%(ex—1)≥—m恒成立?

記∕ι(%)=%(e*-1),X>0,則有

h,(x)=(x+l)ex—1

>(0+l)e0-1

=0(x>0),

h(%)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),h(x)的值域是(0,÷∞),

因此-m≤0,m≥0.

故所求實數(shù)m的取值范圍是[0,+∞).

26.(1)因為/(%)=(%+ɑ)e”,x∈R,

所以∕,(x)=(%+Q+l)ex.

令f'M=0，得％=—CL—1.

當X變化時，/(X)和rα)的變化情況如下：

X(―∞,—a—1)—a—1(—a—1,+∞)

∕,(χ)-O+

fM、/

故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(一啊一。一1)；單調(diào)增區(qū)間為(一a-1,+8).

(2)由(1),得f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,—a-l)；單調(diào)增區(qū)間為(一a—1,+8).

所以當-a-l≤O,即a≥-l時，f(x)在［0,4］上單調(diào)遞增，故/(x)在［0,4］上的最小值為

/Wmin=F(O)=a；

當O<—a—1<4,即—5<a<—1時，f(?x)在(O,-?a—1)上單調(diào)遞減，f(x)在(―a—1,4)上單調(diào)

a1

遞增,故/(x)在［0,4］上的最小值為/(x)min=/(-a-D=-e-^;

當一a-1≥4,即a≤-5時，f{x}在［0,4］上單調(diào)遞減，故f(x)在［0,4］上的最小值為f(x)πiin=

/(4)=(a+4)e4.

a,a≥-1,

-e-ɑ-?,-5<a<-1,

{(a+4)e",a≤—5.

27.(1)∕?'(x)=-+-χ~^-χ)1_?(>o),

jXXi=XX2=Xix

因為曲線y=/(x)在點(Ij(I))處的切線與直線y=∣x+l垂直，

所以∕,(1)=—2,即1—Q=—2,解得a=3.

(2)(i)當OVa≤1時,∕,(x)>O在(1,2)上恒成立，這時f(x)在［1,2］上為增函數(shù)，

λ/(?)min=/(?)=ɑ-1≤0,不合題意，舍去?

(ii)當IVQ<2時，由∕,(x)=O得，X=aE(1,2),

,

X∈(l,a)時有∕(x)<O,/(x)在［lfa］上為減函數(shù)；

X∈(Q,2)時有/,(%)>O,/(x)在［af2］上為增函數(shù).

???/(?)min=f3)=Ina.

令Ina=%得a=粕6(1,2),滿足題意.

(iii)當Q≥2時，∕l(x)<O在(1,2)上恒成立，這時/(x)在［1,2］上為減函數(shù)，

λ/(χ)min=/(2)=1∏2÷-1≥ln2>|,不合題意，舍去?

綜上所述，a=√e.

28.設/(x)=ex—lnx(x>0),則∕,(x)=ex—?,

令h(x)=/'(%),則h,(x)=ex+?>0,

所以r(%)在(0,+8)上是增函數(shù)，

又rG)=后一2VO,r(l)=e-l>O,

所以在6，1)上存在％0使/'(%0)=0,即X0=-ln??

所以在(O,xo)±∕(x)單調(diào)遞減,在(x0,+∞)±∕(x)單調(diào)遞增,

所以/(%)在％=而處有極小值，也是最小值，

所以/(%o)=θ?-InXo=?+X0>2,

故/(x)>2,即e"—Inx>2.

29.(1)易得函數(shù)/(%)=Inx+亍的定義域為(0,+8),

")=5-委=詈

因為α<0,X∈(0,+∞)?

所以rα)