2023-2024學(xué)年廣東省汕頭市南翔中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

2023年廣東省汕頭市南翔中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為。，滿足力+詬+及=5,A點(diǎn)在側(cè)

面PBC上的射影H是aPBC的垂心，PA=6,則此三棱錐體積最大值是()

A.12B.36C.48D.24

參考答案：

B

略

2.設(shè)品是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{斯}的前〃項(xiàng)和，若則公比q的取值范

圍是()

A.q>0B.0<^<1

C.0<^<1D.0<4<1或q>l

參考答案：

B

空”=二加用

3^092,則成3=()

1221

A.3B.3C.3D.3

參考答案：

B

4.集合A={x|父一2xWO},B={x|1g(x—1)WO},則ACIB=

A、{x|l〈xW2}B、{x|lVxW2}C、{x|-l<x<0}D、{x|xW2}

參考答案:

B

Y?y▲D9((

?/■r|\r!B，*I|A■I?or■/Q*〃1]1?01\■191gvm■B*AIIv■)?■?*11■I

0(xll<x^2)?所以4ns?(xll?W2)?故逸B??

5.等差數(shù)列｛.J的前R項(xiàng)和為I,邑=10,&S=1M,等比數(shù)列傳)中，。3=么，

牛=與，則々=()

A.2B.±4C.-4D.4

參考答案：

D

略

6.已知f(x)的定義域是(0,+oo),f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)<f

(x),則不等式C*f(x2+x)>e'"2f(2)的解集是()

A.(-8,2)U(1,+oo)B.(-2,1)

C.(-oo,-l)U(2,+oo)D.(-1,2)

參考答案：

A

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

f(x)

【分析】構(gòu)造新函數(shù)g(x)=X,通過求導(dǎo)得到g(X)的單調(diào)性，所解的不等式轉(zhuǎn)化

為求g(x2+x)>g(2),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，求解得答案.

f(X)

【解答】解：設(shè)g(x)=ex,(x>0),

f'(x)_f(x)

vf(x)<f(x),.-.g/(x)=ex>0,

.?.g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，

f(x2+x)>f(2)

2

由e-Xf(x2+x)>e>~f(2),得e*%e?,即g(x2+x)>g⑵，

AX2+X>2,

解得：x<-2或X>1.

二不等式erf(x2+x)>ex2-2fQ)的解集是(-8,-2)U(1,+oo).

故選：A.

7.若e是自然對數(shù)的底數(shù)，則()

1ln21觸251M2

->——>一->————>->——

B.?2C.■?2

參考答案:

8.設(shè)等差數(shù)列｛aj滿足：cos2a3cos2a5-sin2a3sin2a5-cos2a3=sin(ai+a?),a&W2,k?Z

且公差de(-1,0),若當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)，數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S”取得最大值，則首項(xiàng)

出的取值范圍是()

A.[2,2m]B.(2,2Ji)C.[4,2口]D.(4,2Ji)

參考答案：

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【分析】利用三角函數(shù)的倍角公式、積化和差與和差化積公式化簡已知的等式，根據(jù)公差

d的范圍求出公差的值，代入前n項(xiàng)和公式后利用二次函數(shù)的對稱軸的范圍求解首項(xiàng)ai取

值范圍.

2222

【解答】解：Vcosa3cosa5-sina3sina5-cos2a3=sin(ai+a?),

??cosa3cos@5-sina3sllias-cosas+sin@3=sin(ai+a77,

即cos2a3(cos2a5-1)-sin2a3(sin2a5-1)二sin2a4,

即-cos2a3sin2a5+sin2a3cos2a5=sin2a4,

即(sinascosas-cosassinas)(sinascosas+cosassinas)二sin2a4,

即sin(as-as)sin(as+a5)=sin2a4,

EP-sin2dsin(2a4)=sin2a4,

k-

’.'a#2,sin2a4W0,

sin(2d)=-1.

Vde(-1,0),.\2dE(-2,0),

K.

則2d=W,d=-4.

n(n-l)dn(n-l)冗冗冗

由S?=nai+2=nai+2X(-4)=-8n2+(ai+8)n.

4.

對稱軸方程為n=兀(ai+8),

由題意當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)，數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和S”取得最大值，

1542LI2L

解得：<ai<2JI.

2<K(ai+8)<2,4

7冗

首項(xiàng)熱的取值范圍是(丁，2"),

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了三角函數(shù)的有關(guān)公式，考查了等差數(shù)列

的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了二次函數(shù)取得最值得條件，考查了計(jì)算能力.

9.設(shè)復(fù)數(shù)zl,z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，zl=2+i,則zlz2=()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

參考答案：

A

略

10.等差數(shù)列口J的前都項(xiàng)之和為工，若%+4為一個(gè)確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中

也可以確定的是()

A.56B.$11C.%

D.

參考答案：

B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲

和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有種。

參考答案：

600

12.設(shè)向量小滿足口咽=-2=/，則"牛.

參考答案：

”已知T"用那么T"用二

參考答案：

3

22

14.已知直線Lx?可-3=0與圓C:V=4相切，貝/=.

參考答案：

本題考查直線與圓的位置關(guān)系.因?yàn)閳AC：K+丫2=4的圓心為(0,0),半徑為2,直線

2=_2_=±—

l：M+.my-3=0與圓C：x*+jr*=4相切，所以一百^1,解得m二.

/(x)="J3sincosaw+cos2aw--(a>>0)—

15.函數(shù)2，其最小正周期為2,則

0=.

參考答案：

2

x?1

―=l(w>0),二大苞

16.已知雙曲線冽3的一條漸近線方程為2則掰的值為.

參考答案：

12

，之0

”0

17.（文）若不等式組卜+2x44表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則s的取值范圍

是.

參考答案：

0<s42或324

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分12分）

已知拋物線C："=物（7>°）的焦點(diǎn)為尸，直線立一丁+2=°交拋物線c于A"兩

點(diǎn)，P是線段

的中點(diǎn)，過F作x軸的垂線交拋物線°于點(diǎn)2.

（1）。是拋物線。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)題13）,若直線過焦點(diǎn)R,求|四?岫的最小

值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)P,使I*1#畫=|物一@|?若存在，求出p的值；若不存在，

說明理由.

參考答案：

1

（1）5；（2）存在，4.

試題分析：（1）根據(jù)題意，求出P,可得拋物線的方程，利用拋物線的定義求

I網(wǎng)+網(wǎng)的最小值；（2）假設(shè)存在，拋物線，=2刀與直線>=女）2聯(lián)立消去/

設(shè)川』（巧必），通過A>0及韋達(dá)定理推出P（2P<P*2）,Q（2p,2吐通過

以岸二°化簡，結(jié)合韋達(dá)定理，求出P即可.

試題解析：⑴...直線21一戶'2=°與/軸的交點(diǎn)為@2）,

.他2）,則拋物線。的方程為'=8,，準(zhǔn)線17=-2,

設(shè)過。作2JGJJ于G,貝|1網(wǎng)+步司=如+網(wǎng)，

當(dāng)￡、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，|四）|D￡|取最小值2+3=5.

\Yr

//

_______.

0?

<2）假設(shè)存在，拋物線/=2刀與直線”2x+2聯(lián)立方程組得：/-4內(nèi)—4「=0,

設(shè)/（。m）津（七,力），帥以+《=4p.xpc!=Tp,；.Q（2p,2p）,

?：\IQA^QB\=\IQA-QB\,：.QA1QB,則

由值@=0得：（玉-2p）（9-2p）+（y-2Px乃-2p）=0,

（演一2「乂巧-29）+（打+2-29乂與+2—2「）=0,

5%巧+（4-6p）（凝+巧）+8p‘-8P+4=0,

代入胃4P2+3p-l=0,

解再P=!如=-i（舍去）.

考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì).

2

./（x）--4atar

19.已知awK,函數(shù)、,x

（1）討論函數(shù),（X）的單調(diào)性；

（2）若X二2是〃4的極值點(diǎn)，且曲線>=/（4在兩點(diǎn)小./■））,

。(4/(巧))(《<!<?)處的切線互相平行，這兩條切線在y軸上的截距分別為4、匕,

求44的取值范圍.

參考答案：

-ln2.0

(1)見解析；(2)13)

【分析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

(2)由x=2是/(X)的極值點(diǎn)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求出相對應(yīng)的切線方程，根據(jù)

=—?Ani4=—.If-]

切線平行可得不，同理，巧.求出仇-打，再構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)，即可求出從-岳的取值范圍

、2aax:-2

r(x)=-F—=-5-

【詳解】(1)

①當(dāng)agO時(shí)，f(x)V0在x￡(0,+oo)上恒成立，/.f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減;

X€

②當(dāng)a>0時(shí),時(shí)f(x)<0,*1時(shí)，f(X)>0,

即f⑺在"(V)上單調(diào)遞減，在

2=2

(2)???x=2是f(x)的極值點(diǎn)，，由(1)可知■

a=L設(shè)在P(xi,f(xi))處的切線方程為七3卜島

y

在Q(X2,f(X2))處的切線方程為

2.1211.11

——y?=——y?-?=一

若這兩條切線互相平行，則玉XI盯xi,X1X，2

2、，且O<X1<X2<6,62Xi,43

.,.xi￡(3,4)令x=0,則xl

力」%N爐<。

”1.a—12x-x

.,.g（X）在區(qū)間1，旬上單調(diào)遞減，Wb6°

即b「b2的取值范圍是13）.

工*_N

【解法二】：2*「2,

R(x)=?+lnf^-ll-2

令x12J,其中xG(3,4)

力+斗」■J*11J土>Q

。.x-2r(x-2)X5(X-2)

R(x)w得M2。

函數(shù)g(x)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞增，13

(-hxol

??.b「b2的取值范圍是13).

【解法三】Ixi法2=2（X1+X2）,

b1f，，-=牛「'）+心_冷曰）.3=JI.*

?1*,?1*5*2*1**7*2].3*，

?x『"乜5g=T">=Q"

設(shè)'1+x,則（l+x）‘xx（l，x）,

Vx?212人...g，（X）>0,

...函數(shù)g（x）在區(qū)間（亍，）上單調(diào)遞增，

8（*）e信-帖》。）信-『2。）

；.131,；.bi-b2的取值范圍是（3）.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的方法，考查學(xué)

生解決問題的綜合能力，屬于難題

/J*=1

20.已知4B、尸是雙曲線7-廬-上不同的三點(diǎn)，且43連線經(jīng)過坐標(biāo)原

點(diǎn)，

k“-2

若直線上4、尸B的斜率乘積”求雙曲線的離心率；

參考答案：

解：設(shè)⑷巾加網(wǎng)孫兒則3（-冏.-?）

???48、尸在雙曲線上

4-和…唔-￥口……⑵

21.（本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐S-ABCD中，ASAD是邊長為a的正三角形，平面SAD,平面

ABCD,四邊形ABCD是菱形，=60*,P是AD的中點(diǎn)，Q是SB的中點(diǎn)。

（I）求證:PQ||平面SCD;

（II）求二面角B-PC-Q.的余弦值。

（18題圖）

參考答案:

ur/t（【的中/月.逢慢Q#.OR由如，D3BC；BC.QR“BC且

I

0A所以尸QRU"）??？讄7/邊正尸「.」必平行四邊形.所以尸9/.0R.

<PQa乎而SC'D,DRc^SSCD所以/°〃平面SCD,--------------------S分

{1!)由*件期1aAW為等取三前期.且P*AD的中點(diǎn).

ABPxAD.RH.SP1AD.TSISADlflfiABCD

.??SPlfBlABCD.因此.以P力量標(biāo)?#./?/為x