2024春九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)極速提分法第7招求二次函數(shù)表達(dá)式的九種方法作業(yè)課件新版北師大版

第7招求二次函數(shù)表達(dá)式的九種方法北師版九年級(jí)下

例典例剖析已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－3)，且過(guò)點(diǎn)P(2，0)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．【解題秘方】結(jié)合已知條件設(shè)出頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入求解即可．解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－3)，∴可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x－1)2－3.又∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)P(2，0)，∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.方法1利用一般式求二次函數(shù)表達(dá)式分類訓(xùn)練1

[2023·牡丹江]如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求△BCP的面積．2已知拋物線C：y1＝－x2＋mx＋n，直線l：y2＝kx＋b，拋物線C的對(duì)稱軸與直線l交于點(diǎn)A(－1，5)，點(diǎn)A與拋物線C的頂點(diǎn)B的距離是4.(1)求拋物線C的表達(dá)式；方法2

利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)表達(dá)式【解】∵拋物線C：y1＝－x2＋mx＋n的對(duì)稱軸與直線l：

y2＝kx＋b交于點(diǎn)A(－1，5)，點(diǎn)A與拋物線C的頂點(diǎn)B的距離是4，∴B(－1，1)或(－1，9)．∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9，即拋物線C的表達(dá)式為y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.(2)若y2隨著x的增大而增大，且拋物線C與直線l都經(jīng)過(guò)x軸上的同一點(diǎn)，求直線l的表達(dá)式．3如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接OE，D是拋物線的頂點(diǎn)．方法3利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)表達(dá)式(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；【解】由拋物線y＝－x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(3，0)，可知拋物線的表達(dá)式為y＝－(x＋1)(x－3)，即y＝

－x2＋2x＋3.C(0，3)，D(1，4)．(3)若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，且S△ABP＝4S△COE，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【點(diǎn)技巧】當(dāng)遇到拋物線與x軸交于某兩個(gè)點(diǎn)求拋物線表達(dá)式的問(wèn)題時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式可簡(jiǎn)便運(yùn)算．4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋4x－3的圖象的頂點(diǎn)是A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，0)．方法4

利用平移法求二次函數(shù)表達(dá)式(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y＞0時(shí)x的取值范圍；【解】把點(diǎn)B(1，0)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋4x－3，得0＝

a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.

∴A(2，1)．易知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，B，C關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴C(3，0)．根據(jù)圖象可知，當(dāng)y＞0時(shí)，1＜x＜3.(2)平移該二次函數(shù)的圖象，使點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)A的位置上，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．【解】易知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－3)，∴要使點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)A的位置上，則拋物線就要先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，可得平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－(x－4)2＋5.5[2023·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考]已知一次函數(shù)y＝－2x＋c與二次函數(shù)y＝ax2＋bx－4的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝－1.(1)請(qǐng)求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式；【解】∵一次函數(shù)y＝－2x＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，∴將點(diǎn)A(1，－1)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y＝－2x＋c，方法5利用對(duì)稱軸求二次函數(shù)表達(dá)式(2)直接寫出二次函數(shù)值大于一次函數(shù)值的自變量x的取值范圍______________．x＜－5或x＞16[2022·南充]如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面.安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)2.5m；噴頭高4m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)3m，那么噴頭高_(dá)_______m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m.8方法6

利用圖象中的信息求二次函數(shù)表達(dá)式【點(diǎn)撥】7“兔飛猛進(jìn)”諧音成語(yǔ)“突飛猛進(jìn)”．在自然界中，野兔善于奔跑跳躍，“兔飛猛進(jìn)”名副其實(shí)．野兔跳躍時(shí)的空中運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．方法7利用表格信息求二次函數(shù)表達(dá)式(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．通過(guò)對(duì)某只野兔一次跳躍中水平距離x(單位：m)與豎直高度y(單位：m)進(jìn)行的測(cè)量，得到以下數(shù)據(jù)：水平距離x/m00.411.422.42.8豎直高度y/m00.480.90.980.80.480根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答下列問(wèn)題：①野兔本次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為________m，最大豎直高度為________m；2.80.98②求滿足條件的拋物線的表達(dá)式；【解】由①可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1.4，0.98)，∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－1.4)2＋0.98，將x＝0，y＝0代入y＝a(x－1.4)2＋0.98，得a(0－1.4)2＋0.98＝0，解得a＝－0.5，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－0.5(x－1.4)2＋0.98(0≤x≤2.8)(2)已知野兔在高速奔跑時(shí)，某次跳躍的最遠(yuǎn)水平距離為

3m，最大豎直高度為1m．若在野兔起跳點(diǎn)前方2m處有高為0.8m的籬笆，則野兔此次跳躍________(填“能”或“不能”)躍過(guò)籬笆．能8[2023·徐州]如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4，將它剪去4個(gè)全等的直角三角形，得到四邊形EFGH.設(shè)AE的長(zhǎng)為x，四邊形EFGH的面積為y.方法8

利用幾何建模求二次函數(shù)表達(dá)式(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；【解】∵正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4，4個(gè)直角三角形全等，AE的長(zhǎng)為x，∴AD＝4，AE＝DH＝x，∠A＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∴AH＝4－x，四邊形EFGH為菱形．∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四邊形EFGH是正方形，∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16.(2)當(dāng)AE取何值時(shí)，四邊形EFGH的面積為10?【解】當(dāng)y＝10時(shí)，即2x2－8x＋16＝10，解得x＝1或x＝3.∴當(dāng)AE取1或3時(shí)，四邊形EFGH的面積為10.(3)四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解】存在．∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，2＞0，∴y有最小值，最小值為8，即四邊形EFGH的面積有最小值，最小值為8.92023·深圳蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它的出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．方法9利用建立實(shí)際問(wèn)題模型求二次函數(shù)表達(dá)式如圖①，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構(gòu)成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點(diǎn)E，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖