第07講 直線與圓綜合問題【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊）（原卷版）

第07講直線與圓綜合問題【人教A版2019】·模塊一直線與圓的位置關(guān)系·模塊二直線與圓相交問題·模塊三直線與圓的方程的應(yīng)用·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點(diǎn)個數(shù)兩個一個零個圖形d與r的關(guān)系d<rd=rd>r方程組

解的情況有兩組不

同的解僅有一組解無解(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實(shí)數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當(dāng)d<r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d>r時，直線與圓相離.2．圓的切線及切線方程(1)自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)：

①若點(diǎn)在圓外，則過此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；

②若點(diǎn)在圓上，則過此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；

③若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過此點(diǎn)不能作圓的切線.

(2)求過圓上的一點(diǎn)的圓的切線方程：

①求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.②重要結(jié)論：a.經(jīng)過圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

b.經(jīng)過圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

c.經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P的切線方程為.【考點(diǎn)1判斷直線與圓的位置關(guān)系】【例1.1】（2023春·貴州·高二校聯(lián)考期末）圓C：x2+y2+4x-2y+1=0與直線lA．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定【例1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓C：(x-1)2+(y-1)2=1與直線lA．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）M(x0,y0)為圓A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交【變式1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)Px0,y0為圓C:x2A．相交 B．相離 C．相切 D．相切或相交【考點(diǎn)2直線與圓的相切問題】【例2.1】（2023秋·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期末）過點(diǎn)M-3,3作圓C：x-1A．4x+3y+3=0 B．4x-3y+21=0 C．x+y=0 D．x-y+6=0【例2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）從圓x2-2x+y2-2y+1=0A．12 B．35 C．32【變式2.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在圓C:x-a2+y2=a2a>0．上，點(diǎn)A0,2，若PAA．x=0或7x+24y-48=0 B．x=0或7x-24y-48=0C．x=1或24x-7y-48=0 D．x=1或24x+7y-48=0【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓O:x2+y2=1，直線3x+4y-10=0上動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓O的一條切線，切點(diǎn)為A．1 B．2 C．3 D．2模塊二模塊二直線與圓相交問題1．圓的弦長問題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.

②若交點(diǎn)坐標(biāo)無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.2．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點(diǎn)到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運(yùn)算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦就是經(jīng)過這點(diǎn)的直徑，過這點(diǎn)和最長弦垂直的弦就是最短弦.【考點(diǎn)3圓的弦長問題】【例3.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l:x-2y+3=0與圓C:x2+y2-2x-6y+6=0交于A．1655 B．855 C．【例3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線l：x+y+m=0與圓C：x+12+y-12=4交于A，BA．±2 B．±2 C．±6 D【變式3.1】（2023·全國·模擬預(yù)測）過三點(diǎn)A(1,0)，B(2,1)，C(2,-3)的圓與直線x-2y-1=0交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|?=（A．455 B．655 C．【變式3.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知過點(diǎn)P1,3的直線l被圓x-22+y2=4截得的弦長為A．4x+3y-13=0 B．3x+4y-15=0C．3x+4y-15=0或x=1 D．4x+3y-13=0或x=1【考點(diǎn)4直線與部分圓的相交問題】【例4.1】（2023春·四川成都·高二?？计谥校┲本€y=x+b與曲線x=1-y2有且只有一個公共點(diǎn)，則bA．b=2 B．-1<b<1或C．-1<b≤1 D．-1<b≤1或b=-【例4.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l:x+y+t=0，曲線C:y=4-x2，則“l(fā)與C相切”是“t=-22A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4.1】（2023春·山西晉城·高二?？奸_學(xué)考試）直線y=x+b與曲線y=1-4-x2有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)bA．1-22,1+22C．-1,1+22 D．【變式4.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)2,0引直線l與曲線y=1-x2相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時，直線A．±3 B．-33 C．±【考點(diǎn)5直線與圓有關(guān)的最值問題】【例5.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2-2x=0，過直線l:y=x+2上的動點(diǎn)M作圓C的切線，切點(diǎn)為A．22 B．2 C．322【例5.2】（2023春·河北保定·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)M在圓C：x+12+y+22=1上，直線l：2m+1x+m+1y-m+3=0（A．52+1 B．52-1 C．【變式5.1】（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）過直線l：3x+4y-1=0上一點(diǎn)P作圓M：x2+(y-4)2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，BA．1 B．2 C．2 D．2【變式5.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是圓x-12+y-62=425上的點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線x-y=0上的點(diǎn)，點(diǎn)RA．7 B．335 C．6 D．模塊三模塊三直線與圓的方程的應(yīng)用1．直線與圓的方程的應(yīng)用(1)解決實(shí)際問題的步驟：①審題：認(rèn)真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確題中已知和待求的數(shù)據(jù)；②建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，通過點(diǎn)的坐標(biāo)及已知條件，求出幾何模型的方程；③求解：利用直線、圓的性質(zhì)等有關(guān)知識求解；④還原：將運(yùn)算結(jié)果還原為對實(shí)際問題的解釋.(2)建系原則

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系要把握兩個原則：

①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸所在的直線為坐標(biāo)軸.到兩個定點(diǎn)的距離問題，可以選擇兩個定點(diǎn)所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標(biāo)軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標(biāo)軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.如與三角形有關(guān)的問題，可以考慮將三角形的三個頂點(diǎn)全部放在坐標(biāo)軸上.【考點(diǎn)6直線與圓的方程的應(yīng)用】【例6.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個長方形（長、寬分別為8m、4m）和圓弧構(gòu)成，截面總高度為6m，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5

(1)試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出圓弧所在圓的一般方程；(2)車輛通過隧道的限制高度為多少米？【例6.2】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）某公園有一形狀可抽象為圓柱的標(biāo)志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側(cè)有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離10米．在建筑物底面中心O的東北方向202米的點(diǎn)A處，有一360°(1)在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)？(2)求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度．【變式6.1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規(guī)劃在公路l上選兩個點(diǎn)P?Q，并修建兩段直線型道路PB?QA.規(guī)劃要求，線段PB?QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A,B到直線l的距離分別為AC和BD（C,D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；(2)在規(guī)劃要求下，點(diǎn)Q能否選在D處？并說明理由.【變式6.2】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?模塊四模塊四課后作業(yè)1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2+2x-4y=0，直線l:2x-y-1=0，則圓A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過圓C的圓心2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓C:x2+y2+2x+4y-3=0上到直線A．2個 B．3個 C．4個 D．無數(shù)個3．（2023·全國·高二課堂例題）已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為（

）A．(x+1)2+(y-1)2C．(x-1)2+(y-1)4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓C：x2+y2-6x+4y-4=0，則過點(diǎn)MA．x+2y-2=0 B．x-y-5=0C．x+y-3=0 D．x-2y-6=05．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)-33,0且傾斜角為π3的直線l交圓x2+yA．42 B．22 C．2106．（2023·全國·高一專題練習(xí)）一條光線從點(diǎn)A-2,3射出，經(jīng)x軸反射后，與圓C：x-3A．3x-4y-6=0或4x-3y-1=0 B．4x-3y+6=0或3x-4y-1=0C．4x+3y-6=0或3x-4y-1=0 D．3x-4y+6=04x+3y-1=07．（2023春·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在某濱海城市A附近的海面出現(xiàn)臺風(fēng)活動，據(jù)監(jiān)測，目前臺風(fēng)中心位于城市A的東偏南60°方向，距城市A300km的海面點(diǎn)P處，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移動．已知該臺風(fēng)影響的范圍是以臺風(fēng)中心為圓心的圓形區(qū)域，半徑為1003km．則城市A受臺風(fēng)影響的時間為（

A．5h B．53h C．523h8．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）已知圓O：x2+y2=2，過直線l：2x+y=5在第一象限內(nèi)一動點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，直線AB與兩坐標(biāo)軸分別交于MA．12 B．1625 C．25169．（2023春·福建莆田·高二?？茧A段練習(xí)）若P是直線l:x+2y-25=0上一動點(diǎn)，過P作圓O:x2+y2A．3 B．3 C．2 D．210．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1:(x-2)2+(y+3)2=1，圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9，A．52+4 BC．52 D．11．（2022·全國·高二專題練習(xí)）判斷下列直線l與圓C的位置關(guān)系：(1)l:x+y-1=0，C:x(2)l:2x-y-1=0，C:x(3)l:2x+1=0，C:x12．（2022秋·北京·高二?？计谥校┮阎獔AC過點(diǎn)(1,1)，圓心為(2,0)．(1)求圓C的方程；(2)判斷直線y=x-4與圓C的位置關(guān)系；(3)已知過點(diǎn)P(1,3)的直線l交圓C于A,B兩點(diǎn)，且AB=2，求直線l13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系圓C經(jīng)過O、A、B(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東60°行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險