卷01（解析版）-2023年高考數(shù)學自主招生練習卷(新高考版)

2023年高考培優(yōu)卷（一）

數(shù)學（新高考版）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自

己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第【I卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一'單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求.

1.若z-i=l-∣z-l∣i,貝IJlZ-NI=（）

A.1B.√2C.2D.?

【答案】A

【詳解】設z=α+Ai,（a,6eR,i為虛數(shù)單位）.

因為z-i=l-IZ-Ili,

_____________α=1a=l

所以α+（6-l）i=l-+⑹,所以工?*了~~>解得：

1-1

所以z=l+彳i,z=l-J,

272

所以|z-*=Iil=I

故選：A

2.已知集合A={x∣O<x<l},3={XIlOg2工<1},則（）

A.AryB=AB.AlB=R

C.AB=BD.AC8=0

【答案】A

【詳解】因為B={x∣log2X<l},所以B={x∣0<x<2}.

因為A={x∣0<x<l},所以4B=A,A?B=B.

對照四個選項，只有A正確.

故選A.

3.已知等差數(shù)列{〃“}的公差為d,隨機變量X滿足P（X=i）=4（0<4<l）,i=L2,3,4,

則d的取值范圍是（）

1?

A.B.C.D.

66

【答案】D

【詳解】因為隨機變量X滿足P（X=i）=4?（0<4<l）,i=123,4,

所以P(X=I)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1,

也即4+4+%+%=1,又因為｛可｝是公差為d的等差數(shù)列，

所以a“=α∣+("-1)4,則有。2=卬+“，a3=ai+2d,a4=al+3d,

13

所以4+4+d+4+2d+q+3d=4α∣+6d=1,則4=一,d,

0<---d<?

42

0<---d<?

因為0<q<l,所以<；彳，解得一EVd

O<1÷1J<I66

42

Oj+為<1

42

故選：D.

4.長郡中學體育節(jié)中，羽毛球單打12強中有3個種子選手，將這12人任意分成3個組（每

組4個人），則3個種子選手恰好被分在同一組的概率為（)

1

?-?B.-cd

4?I??

【答案】A

【詳解】由已知條件得

將12人任意分成3組，不同的分組方法有《中

種,

144

3個種子選手分在同一組的方法有*CC工C種,

A2

A；_3

故3個種子選手恰好被分在同一組的概率為

C%C：C：^55

A；

故選：A.

5.過.ABC的重心任作一直線分別交AB、AC于點。、E,若AO=尤A8,AE=yAC,

且p*0,則1+1=()

Xy

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【詳解】設ΛBC的重心為點G,延長AG交BC于點M,則M為線段BC的中點,

因為￡>、G、E三點共線，設。G=ZIoE，GPAG-AD=A(Af-AZ)),

所以，AG=(?-λ)AD+λAE=(?-λ)xAB+λyAC,

因為M為BC的中點，^}AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC,

22',22

2I-I

因為G為√WC的重心，W∣JAG=-AM=-Aβ+-AC,

所以，(l-Λ)x=Λy=∣,所以，→∣=3(l-λ)+3Λ=3.

故選：B.

22

6.已知雙曲線C:\-3=l(n>0∕>0)的左頂點為A,右焦點為尸，以尸為圓心的圓與

雙曲線C的一條漸近線相切于第一象限內(nèi)的一點8.若直線AB的斜率為g,則雙曲線C的

離心率為()

455

A.-B.—C.—D.2

334

【答案】C

【詳解】雙曲線C的漸近線方程為y=±2χ,則直線08的斜率為2(0為坐標原點)，

aa

所以，直線M的斜率為易知點尸(C,0)、A(-β,0),

所以，直線跳■的方程為y=-?(χ-c),

b1

由題意可得L=/-r=F=]'即α+c=勸'

所以，(4+c『=9必=9(/一〃2),則c+α=9(c-a),故e，=：.

故選：C.

7.已知一個裝滿水的圓臺形容器的上底半徑為6,下底半徑為1,高為5石，若將一個鐵

球放入該容器中，使得鐵球完全沒入水中，則可放入的鐵球的表面積的最大值為()

A.32πB.36πC.48πD.32√3π

【答案】C

【詳解】表面積最大時，沿上下底面直徑所在平面作出剖面圖如圖所示，

顯然此時圓F與等腰梯形A88的上底以及兩腰相切，則建立如圖所示宜角坐標系，

由題意得8(1,0),C(6,5g),則怎C=孚=6，

則直線BC所在宜線方程為y=√3(x-l),BP√3Λ-y-√3=0

設尸(OJ)，表面積最大時球的半徑為R，

則R=M=56-，則點F到直線BC的距離等于半徑R,

卜'一百IΓ

則有kΓ，

解得/=36或11√L0<Z<5√3,

.?√=3√3，此時￡尸=56-3/=26,

貝IJS=4πR?=4π×(2√3)2=48π

故選：C.

2

8.若7"=5,8"=6,J=2+e>則實數(shù)。，b,C的大小關系為()

A.a>c>bB.c>b>a

C.b>c>aD.h>a>c

【答案】B

【詳解】由已知可得，a=log,5=曾，?=log86=^f,

In7In8

22/o\2Ine2

由e'2+e2可得，廠m2+2),所以，=而包=證旬?

設=則r(x)=S”(：+,2)TInX

V7In(X+2)人JJLχ(χ+2)ln2(x+2)

因為x>l,?X+2>X>1,In(?+2)>?nX>0,

所以(x+2)In(X+2)-XInX>0即>0,

所以“X)在(l,+∞)匕為增函數(shù)，

又α=∕(5),?=/(6),。=/(合)，又e2>6>5,所以c>6>“.

故選：B.

二'多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.

9.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了割圓術，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓

內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長，這種用極限思想解決數(shù)學問題的

方法是數(shù)學史上的一項重大成就.現(xiàn)作出圓f+V=2的一個內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形

的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中可能是該正八邊形的一條邊所在直線的方

程為()

A.x+(0-l)y-3=0B.(l-√2)x-y+√2=0

C.X-V2÷1jy+?ν2=0D.^?∕2—1jx—y+?^2-0

【答案】ABD

【詳解】由圖可知：

所以直線4民笈,8,。后的方程分別為丫=￡^卜-&),〉=(1-&卜+夜，

J=(Λ∕2-1)Λ+?∕2,y=[￠[+3).

整理.為——般式即犬+(夜一l)y->∕^=0,(l-λ∕^)x-y+V^=O,(λ∕2-ljx-y+λ∕2=0,

犬-(0-11+&=0,前三個分別對應題中的A,B,D選項，而正八邊形中，AB與EF,

BC與FG,CD與GH,OE與A”所在直線分別平行，由第四個式子可知，正八邊形各邊所

在直線不可能為選項C.

故選:C.

10.已知函數(shù)F(X)=SinlX+2卜in1,則()

A."x)是偶函數(shù)B.7(x)在區(qū)間/手上單調(diào)遞減

C./(x)的周期為nD./(x)的最大值為3

【答案】ABD

【詳解】對于選項A：/(r)=SinlTI+2卜in(τ)∣=sinW+2卜inx∣=/(x),所以/(x)是偶函

數(shù)，故選項A正確；

對于選項B：當xe(-背亍時，SinW=Sin(-x)=-sinx,因為SinX>0,所以卜inx∣=sinx,

所以/(X)=-Sinx+2SinX=SinX在區(qū)間gT單調(diào)遞減，故選項B正確；

對于選項C：/(?)=3sin?=3≠/(π+?^)=sin(π+^)+21sin(π+?)∣=1,即/*)的周期不是

兀，故選項C錯誤：

對于選項D：由函數(shù)為偶函數(shù)，研究當x≥0時，當x∈[2E,2E+π](AeN)時，

/(x)=sinX+2sinX=3sinx:當x∈[2E+兀,2E+2ττ](A∈N)時，/(x)=sinx-2sinx=-sinx,

所以當x=2E+],AeZ,AX)的最大值為3,又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在R上的最大值

為3,故選項D正確.

故選：ABD.

11.下列說法正確的是()

A."。>葉是“〃2>從，,的充要條件B.若x>l,貝力=x+工的最小值是3

X-I

C.若aLb,則卜+20=∣〃-2?∣D.若｛〃,,｝是等差數(shù)列，則％=生+6

【答案】BC

【詳解】選項A：當α=-l>-2=，時，不成立；

當α=-2,b=l時，/>〃成立，α>力不成立.

則“a>b”是“/>從，，的既不充分也不必要條件判斷錯誤；

選項B：若x>l,則y=x?ι——!—=(X-I)4——-——Fl>2j(x-l)?—！—+1=3

X?X~~~?VX~~1

當且僅當χ=2時等號成立，則y=χ+—1的最小值是3.判斷正確；

X-I

選項C：若〃_!_/?，則〃.。=O，

則,+2陷-∣π-2ft∣=a+4α?0+4b-(α-4o?0+4b)=Scrb=O

則∣α+2?∣2=Ia-兩，貝巾+%卜卜一2?∣.判斷正確;

選項D：若｛%｝是等差數(shù)列，則%—(%+%)=d-4,d-q不一定為0,

則4=%+4不成立.判斷錯誤.

故選：BC

12.已知函數(shù)/(x)=d—V+1,則()

A./(x)有兩個極值點B./(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=∕(χ)的對稱中心D.直線y=x是曲線y="χ)的切線

【答案】AD

【詳解】/(x)=V-f+ι定義域為R,y-(x)=3√-2x=x(3x-2),

z、2

令/'(x)=0,解得：Λ?=0,Λ2=-,

2O

令用χ)>0得：χ>-Wcχ<o,令廣(力<0得：O<x<j,

所以F(X)在χ<o,x>；上單調(diào)遞增，在o<χ<:上單調(diào)遞減，

故0為/(?)的極大值點，I為/(?)的極小值點，A正確；

/(0)=l>0,/(-l)=-l<0,由零點存在性定理得：(-1,0)上存在1個零點,

因為/(I)=故〃x)=V—￠+1在(0,+∞)上無零點,

綜上：結合函數(shù)單調(diào)性可知/(x)有1個零點，B錯誤；

/(-x)+∕(x)-x3-x2+l+∕-x2+l-2√+2,不恒等于2,故點(0,1)不是曲線y=∕(x)

的對稱中心，C錯誤;

f'(x)=3χ2-2x,用1)=3-2=1,/(1)≈1,

故y=∕(χ)在X=I處的切線方程為y—l=x—1,即N=x,

故直線y=x是曲線y=∕(χ)的切線，D正確.

故選：AD

二'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.若曲線Y=/-2/+,”與曲線y=4∕+ι有一條過原點的公切線，則機的值為

40

【答案】8或

【詳解】因為過原點斜率不存在的直線為x=0,該直線與曲線y=4f+i不相切，

所以設曲線y=4d+i的過原點的切線的方程為y=丘，切點為B(Λ2,%),

則A=8々，,y2=4^2+1，

所以入2=±；，

當％=工時，k=4,

2

所以直線y=4x與曲線y=d-2f+w相切，設切點為A(χ,y),

*232

則y∣=4x∣,3XI-4X1=4,jl=x1-2xl+∕n,

2

所以X=-W或玉=2,

W2.40

力％=一§時，機=一萬，

當芭=2時，機=8,

當工2=—］時，k=-4,

則為=-4七，???-4x3=-4,y3=xl-2xj+m,

滿足方程34-4芻=-4的解不存在，故加不存在.

40

所以機=8或〃2=-----,

27

40

故答案為：8或-二.

27

14.已知直線y=2x+2與拋物線丁="2(。＞0)交于己Q兩點，過線段PQ的中點作X軸

的垂線，交拋物線于點4若kP+4Q∣=∣AP-AQ∣,則°=.

【答案】2

【詳解】聯(lián)立方程組.消去y得：or2-2x-2=0(α>0),

設P(七,y),Q(X2,%),

22

則?j+X=—，XX=—，

2aa12

則點A的橫坐標X=土產(chǎn)=B，則縱坐標為y=α(1j=[,即點4的坐標為

?AP+AQ?=?AP-AQ?,

2-222

.?.AP+AQ+2APAQ=AP+AQ-2AP?AQ,

.?.ARAQ=O,

APA-AQf

11

?i~~"%一)112

「?----r×-----τ-=-l?LI∣Jxx—(玉+/)+1%—(?i+、2)+==0，

??l2aaa

?vi----??-v------

。a

玉+々)+

Xy2=(2x1+2)(2X2+2)=4ΛIX2+4(4,

∣

y+y2=(2X1+2)+(2Λ?+2)=2(X1+X2)+4,

.".??i??+/4——IfΛ,∣+々)+4-----1——=O,

Va)aa

即一竺+斗4-3]+4，+馬=0,解得α=2或(舍)

aa?a)aa'2

故答案為：2.

15.函數(shù)/(X)=向T-COSn[T,3]上所有零點之和為.

【答案】4

【詳解】函數(shù)"X)=舟-I-COSTU=O,即R刁=1+8S口，

1

函數(shù)戶商和y=l+cosπr都關于X=I對稱,

1

所以函數(shù)y=k∣和y=l+cosπr的交點也關于X=I對稱,

如圖畫出兩個函數(shù)在區(qū)間［-1,3］的函數(shù)圖象，

兩個函數(shù)圖象有4個交點，利用對稱性可知,

交點橫坐標的和玉+Λ?+Λ3+x4=2×2=4.

故答案為：4

16.在正三棱錐P-ABC中，AB=4,。是PC的中點，且Az)J則該三棱錐內(nèi)切球的

表面積為.

32-16^π

【答案】

【詳解】解：如圖，取BC中點E,連接。￡AE,

由題知aABC為等邊三角形，設。為A8C中心，連接OP,

由正三棱錐的性質(zhì)可知QPL平面ABC,

設Λ4=2α,

因為。是PC的中點，BC中點為E，

所以DE"PB,DE=a,

因為ΛB=4,一ABC為等邊一角形，

所以AE=2√5,

因為ADJ_依，

所以A￡>_L￡>E,

所以AZ)2=12-/,

AP2+PC2-AC2

所以‘在"45,C…C

J尸始丁2APPC

即嗎U=M≠,解得α=√∑,

4/8/

所以正三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA=PB=PC=20，

所以OP=?∣AP2-AO2=&2夜）2-尋2同=手，

ft-io.,1,?11..,?2??∕68-^2

;升以，VpAAr=1,Sr∩?OP=—X—x4x4xsi∩60X------=------

P-ABC3Aa"Cγ3233

因為正三棱錐P-ABC的表面積為S=SAHC+3S.C=4石+3X；X4X2=4百+12,

設該三棱錐內(nèi)切球的半徑為R,

所以，由L曲=JSR得R=兆S=3二=壬=紀鄧二碼=逑二包，

3S4√3+12√3+363

所以，該三棱錐內(nèi)切球的衣面積為4πN=%二?述

四'解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.

17.已知公差不為0的等差數(shù)列｛(｝的前〃項和為S“，且q,%，%成等比數(shù)列，％?4=

⑴求數(shù)列｛4｝的前〃項和S

(2)若〃≥2,J[J1+L+J≤系,求滿足條件的〃的集合.

--

O2???1?4—1ofl—14U

【答案】⑴a“=2〃-l;S,=〃2

(2)｛2,3,4｝

【詳解】(I)設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因為4，生，。5成等比,所以=46,即得“∣(α∣+4d)=(q+d)2

化簡得2卬/=筋,又因為dH0,所以2q=d.

因為W,4=4,所以(4+d)(4+2√)=q+7d,即得a：=0

解得α∣=0或者4=1

當q=0時，d=2q=0不合題意舍;

〃(q+a“)rt(l+2n-l)

當α∣=l時，d=2α∣=2,則q=2"-l,S,,=——■fl2

22

(2)因為不二

]

當〃22時，2/

?3

2

由題祜If喘，化簡得〉∕τ*?

即9√-31n-20≤0.(9w+5)(∕ι-4)≤O

解得〃44,又因為“≥2.所以2≤"44("eN*),

所以〃e{2,3,4}

18.如圖，在梯形ABCr)中，ABHCD,ZD=60°.

(1)若AC=3,求Aa)周長的最大值；

(2)若CD=2AB,ZfiCD=75°,求tanND4C的值.

【答案】⑴9

(2)3+招.

【詳解】(1)在-ACD中，AC2=AD2+DC'-2AD-DCcosD=AD2+DC2-ADDC

=(AD+DC)2-3ADDC≥(AD+DQ2_3(仞；I>C)=(AZ)ICDy,

即S04"+'",解得：AD+DC≤6,當且僅當AD=DC=3時取等號.

4

故工ACz)周長的最大值是9.

(2)設Nft4C=α,則ZDC4=120°-<z,ΛBCA=a-45°.

CDAC

在,ACD中,

Sinasin60°

AC2sin(^z-45o)SinIO5。

在中,(-<>)Sinlo5。'兩式相除得，

sinα45Sinasin60°

因為SinIO5。=sin(45。+60o)=sin45ocos60o+cos45osin60o=逆;立,

2/e

#-?/^)sinɑ=2瓜CGSa，故tanZDAC=tana=-∣=----j==3+λ∕3.

√6-√2

19.混管病毒檢測是應對單管病毒檢測效率低下的問題，出現(xiàn)的一個創(chuàng)新病毒檢測策略，

混管檢測結果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結果為陽性，則參

與該混管檢測的人中至少有一人為陽性.假設一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相

互獨立且均為p(0<"<l)?目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數(shù)

/(X)=2+KX,這里X指該組樣本N個人中患病毒的人數(shù)?

K

⑴證明：E[”X)]≥2)?N;

(2)若O<p<l(T4,10≤K≤20.證明：某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中

大概率恰有一人為陽性.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【詳解】(1)由題意可得X滿足二項分布XB(NM,

由E(OX+b)=αE(X)+6知,E[f(X)^]=-+K-E(X)=-+K-pN≥2y[p-N,當且僅當

KK

M=@時取等號；

(2)記A=P(混管中恰有1例陽性I混管檢測結果為陽性)，

E=P(混管中恰有i例陽性)=C[p'(l-p產(chǎn)，i=O,L,K,

令MX)=e'-x—l,-2×10^3<X<2×10^3,

則"(x)=eA—1,

當XW(-2x10-3,0)時,“(χ)<o,∕l(χ)為單調(diào)遞減,

當Xe(0,2x10-3)時，MX)>0,MX)為單調(diào)遞增，所以〃(x)≥∕z(0)=0,

2x0332x03

且力(-2X10")=e-'^'-(-2×1O^)-1≈O,A(2X10^)=e''-(2×lO)-l≈0,

JA

所以當-2x10-3<χ<2χl(f3,e-x-l?OBPe≈x+l,兩邊取自然對數(shù)可得Xaln(X+1),

所以當0<p<10^4,10≤K≤20時,

所以(1_p)"=eK∣Mi)Be*P2]_∕ζt?,

KP(I-P廣他「1-(K-I)PI/、

則A=?

I-Bl-(l-p)?

故某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性.

20.如圖，在四棱錐P-Aec。中，底面ABCO是菱形，PAL平面ABCD,平面PAB，平

P

M

AB

(1)證明：AB±BC?,

(2)若P4=AB,M為PC上的點，當PC與平面ABΛ∕所成角的正弦值最大時，求器的值.

【答案】(D證明見解析

,/平面A4BJL平面PBC,平面PAfic平面PBC=PB,AEU平面PAB,AE?PB,AEL平

面PBC

又：BCU平面PBC,

，AElBC.

又：_L平面ABCD,BCU平面ABCD.

PAlBC.

乂YAEPA=A,PA,AEU平面PAB,

/.BC人平面R4S,

又；ABU平面PAB-

/.ABJ.BC.

(2)由(I)知，以A為坐標原點，A?M),AP分別為x,χz軸建立空間直角坐標系A—xyz,

如圖所示，

P

M

/?>√×Λ?

/∕k?…\…

，j、/

[。，w

ABx

；底面ABeO是菱形，且AB_/BC,，底面ABCZ)為正方形,

設E4=M=1,則B(l,0,0),C(l,l,0),P(0,0,l),

所以AB=(1,0,0),PC=(1,1,-1),

設PM=λPC=(Λ,A,-Λ),(O≤Λ≤1),則AM=AP+PM=(λ,2J-A).

設平面ABM的一個法向量為n=(x,y,Z),

n±AB〃?AB=0[x=0

則<=>?=>s

nVAMn-AM=0[λx+λy+(?-λ)z=G

設PC與平面ABM所成角為θ,

Λ

14

則sin蚱gs<%PC>∣=百Xj宿［一百xj2；_22+l,

當4=!時，sin。的最大值為好.

23

②當2=1時，取力=（0,0』），則sin，=ICOS<”,PC>∣=gr??*=@<逅，

√3×133

.?.綜述：PC與平面ABM所成角的正弦值最大時為遠，此時嬰=』.

3PC2

r2v2

21.已知￡、G是雙曲線C?τ-j?=l（.>0力>0）的左、右焦點.

（1）求證：雙曲線C上任意一點M到雙曲線兩條漸近線的距離之積為常數(shù)；

⑵過《且垂直于X軸的直線交C于P、Q兩點，∣pg|=|p。，且C過點（1,0）,求雙曲線

C的方程.

【答案】（1）證明見解析；

（2）x2-^-=l.

2

【詳解】⑴設P(X。,%)是雙曲線匕任一點，則號-4=1,即從片-∕W=a%2,

Crb~

雙曲線的兩條漸近線方程為加±紗=0,

???P到兩條漸近線的距離之積為四。+麗河。一"%|=忙喘-。討=為常數(shù).

(Γ+tra2+b2a2+b2

(2)-(-c,0),

上Q