復(fù)數(shù)的幾何意義 高一數(shù)學(xué)

2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步精品課堂（滬教版2020必修第二冊）第9章復(fù)數(shù)９．２復(fù)數(shù)的幾何意義

（第1課時）１復(fù)平面與復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示

復(fù)數(shù)a＋bi（a、b∈R）一一對應(yīng)于有序?qū)崝?shù)對（a，b），而有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標(biāo)系中的點Z（a，b）又是一一對應(yīng)的．因此，可以用平面直角坐標(biāo)系中的點Z（a，b）表示復(fù)數(shù)Z＝

a＋bi。

如圖9-2-1，在平面上建立直角坐標(biāo)系，以坐標(biāo)為（a，b）的點Z表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi，就可在平面上的點的集合與復(fù)數(shù)集合之間建立一個一一對應(yīng)．這樣用來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面

在復(fù)平面上，x軸上的點具有（a，０）形式的坐標(biāo)，從而對應(yīng)的都是實數(shù)，所以把x軸叫做實軸（realaxis）；同理，狔軸上的點（除坐標(biāo)原點外）都對應(yīng)純虛數(shù)，所以把y軸叫做虛軸（imaginaryaxis）．坐標(biāo)原點表示實數(shù)０。

如圖9-2-2，共軛復(fù)數(shù)z＝a＋bi和

＝a－bi（a、b∈R）在復(fù)

平面上所對應(yīng)的點Z（a，b）和犣Z（a，－b）關(guān)于x軸對稱；反之，如果復(fù)平面上的兩個點關(guān)于x軸對稱，那么這兩個點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)互為共軛．特別地，如果b＝０，即z是實數(shù)，則

，此時z、

在復(fù)平面上所對應(yīng)的點是位于實軸上的同一點．

例１在復(fù)平面上有點A（2,0）、B（0，－1）、C（－2,3）、D（4,－3），分別寫出這四個點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)并求這些復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點的坐標(biāo)．

這些復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)分別是

，它們在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別是A′（2,0）、B（O,1）、C（－２，－３）、D（4,3）.２復(fù)數(shù)的向量表示上一章我們學(xué)過平面向量的坐標(biāo)表示，知道通過平面直角坐標(biāo)系，可在平面向量與平面上的點之間建立一一對應(yīng)．現(xiàn)在，我們以平面直角坐標(biāo)系為媒介，又可以通過復(fù)數(shù)與平面上的點的一一對應(yīng)，在復(fù)數(shù)與平面向量之間建立一一對應(yīng)．如圖9-2-3，復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a、b∈R）在復(fù)平面上對應(yīng)坐標(biāo)為（a，b）的點Z，而點Z又對應(yīng)于平面向量

＝（a，b），從而復(fù)數(shù)z＝a＋bi對應(yīng)于平面向量

＝（a，b）．有了這些對應(yīng)，我們可以把復(fù)數(shù)z＝a＋bi方便地看作是復(fù)平面上的點z（a，b）或向量例２在復(fù)平面上作出表示下列復(fù)數(shù)的向量：解在復(fù)平面上，表示復(fù)數(shù)

的向量分別為圖9-2-4中的向量

例３

設(shè)復(fù)平面上的點A和點B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為

和

試用

和

表示復(fù)平面上的向量

所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z．

解復(fù)平面上的點A與點B的坐標(biāo)分別為（

）與（

），故向量

＝（

），它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是

．再由復(fù)數(shù)減法法則，可得z＝

注意，平面上起點不在原點的向量所表示的復(fù)數(shù)是該向量相應(yīng)的位置向量所表示的復(fù)數(shù)．上例說明，這個復(fù)數(shù)是向量終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)與起點對應(yīng)的復(fù)數(shù)之差．

例４設(shè)z∈C復(fù)平面上的點Z與Z分別表示z與zi．

求證：

證明令z＝x＋yi（x、y∈R），則zi＝－y＋xi，從而＝（x，y），

＝（－x，y），它們的數(shù)量積是→·犗犣′

yx＝０，所以３復(fù)數(shù)加法的平行四邊形法則

我們已經(jīng)知道向量的加法適用平行四邊形法則，在將復(fù)數(shù)與平面向量建立一一對應(yīng)后，兩個復(fù)數(shù)的和是否與對應(yīng)的向量的和一致呢？也就是說，在復(fù)平面上是否也可以用平行四邊形法則表述復(fù)數(shù)的加法呢？

如圖9-2-5，復(fù)數(shù)

對應(yīng)向量

，復(fù)數(shù)

對應(yīng)向量

．由于復(fù)數(shù)

，因此z對應(yīng)于向量這說明，兩個復(fù)數(shù)的和所對應(yīng)的向量就是原來兩個復(fù)數(shù)所對應(yīng)向量的和，即以

與

為鄰邊的平行四邊形的對角線所表示的向量．這就是復(fù)數(shù)加法的平行四邊形法則．同樣，兩個復(fù)數(shù)的差

所對應(yīng)向量是兩個向量

的差

例５如圖9-2-6，在復(fù)平面上給定平行四邊形OABC，其中點A與點C分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)

與,求點B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)

解

由平行四邊形ABCD，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的平行四邊形法則，點B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為課本練習(xí)１．當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足下列條件時，分別指出z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點Z的位置：（１）z是正實數(shù)；

（２）z是負(fù)實數(shù)；（３）z是實部小于零、虛部大于零的虛數(shù)；（４）z是虛部小于零的純虛數(shù)．２．如果復(fù)數(shù)

在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在第四象限，求m的取值范圍

３．設(shè)復(fù)數(shù)３－４i與５－６i在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量分別為

（O為坐標(biāo)原點），求向量

及

所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．

４．已知復(fù)平面上有點C（2,4）和點D，使得向量

所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－３－I．求點D的坐標(biāo)．隨堂檢測解：點A表示的復(fù)數(shù)是4+3i；點B表示的復(fù)數(shù)是3-3i；點C表示的復(fù)數(shù)是-3+2i；點D表示的復(fù)數(shù)是-3-3i；點E表示的復(fù)數(shù)是5；點F表示的復(fù)數(shù)是-2；點G表示的復(fù)數(shù)是5i；點H表示的復(fù)數(shù)是-5i.1.說出圖中復(fù)平面內(nèi)各點所表示的復(fù)數(shù)(每個小方格的邊長為1).2.已知在復(fù)平面內(nèi)，描出表示下列復(fù)數(shù)的點.(1)2＋5i；(2)－3＋2i；(3)2－4i；(4)－3－i；(5)5；(6)－3i.A(2,5)B(-3,2)C(2,-4)D(-3,-1)E(5,0)F(0,-3)??????解：(1)這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量如圖示.3.已知復(fù)數(shù)2＋i,－2＋4i,－2i,4,(1)在復(fù)平面內(nèi)畫出這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量；(2)求這些復(fù)數(shù)的模.A(2,1)B(－2,4)C(0,－2)D(4,0)(2)

4.設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)z