2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)《平面向量》測(cè)試卷及答案解析

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《平面向量》

選擇題（共12小題）

1.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知向量；=（In-1,1），1=（2,4），若；〃K則實(shí)數(shù)加

=（）

A.1B.-1C.3D.一旦

22

2.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知向量？=（g，1）,K是單位向量，若［22一芯='石，

則之與式的夾角為（）

A.—B.—c.22LD.IZL

6336

3.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）尸是4∕I8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若最=3血+在，則S^BP：S

△ABC=（）

A.1：4B.1：3C.2：3D.2：1

4.（2022春?福州期中）在邊長(zhǎng)為2的正方形ZBCO中，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為邊

C。上的動(dòng)點(diǎn)，S-DF=CE,貝∣JBF?EF的最小值為（）

A.3B.5C.-1D.0

5.（2022春?福州期中）已知向量a=（1,m-1）,b=（Μ，2）,若a，b，則實(shí)數(shù)〃?=

（）

A.2B.2C.-1D.-2

3

6.（2022春?馬尾區(qū)校級(jí)月考）已知向量屈=（7,6），BC=(-3,m),AD=(-1,2m>

若4C,。三點(diǎn)共線，則膽=()

A.?B.2C.-J-D.2

2323

7.（2022春?平潭縣校級(jí)月考）已知非零向量之，E滿足√5|1∣=2∣bb且EIGG），

則之與E的夾角為()

A.—B.—C.—D.

6436

8.(2022春?福清市校級(jí)月考)已知448C中，AB=2,NC=I,Aβ?AC=bO為AABC

第1頁(yè)（共23頁(yè)）

所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足了+2通+3祈=G則正的值為（）

A.-4B.-1C.1D.4

9.（2021?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)模擬）騎自行車(chē)是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受

大眾喜愛(ài)，如圖是某一自行車(chē)的平面結(jié)構(gòu)示意圖，己知圖中的圓前輪），圓。（后輪）

的半徑均為√5,AABE,ABEC,Z?ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)尸為后輪上

的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車(chē)的過(guò)程中，菽?而的最大值為（）

10.（2021春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期中）已知直角三角形48C中，N∕=90°,AB=2,∕C=4,點(diǎn)

P在以/為圓心且與邊BC相切的圓上，則方.元的最大值為（）

5555

11.（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）在梯形/8CD中，AB//CD,NDAB=90°,/8=2,CD=4D

=1,若點(diǎn)M在線段8。上，則藻?赤的最小值為（）

A.3B.-?-C.二D.?

520520

12.（2018秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）若4∕8C外接圓圓心為O,半徑為4,且K+2蒜+2菽=6

則以,誣的值為（）

A.14B.2√7C.√7D.2

二.填空題（共4小題）

第2頁(yè)（共23頁(yè)）

13.（2022春?福州期中汜知向量2,E的夾角為60。，∣W+2芯=2√ξ,=1,則IZ=.

14.（2022春?平邑縣校級(jí)月考）如圖，在矩形ZBCD中，/8=4,BC=5,M,N是BC上

的兩動(dòng)點(diǎn)，M在N的左邊，RMN=2,則μ?幣3的最小值為.

15.（2021秋?福州期中）已知點(diǎn)尸為棱長(zhǎng)等于4的正方體NBCz>-48IClG內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn),

且IPAl=4，則Pc；?PD；的值達(dá)到最小時(shí)，PC；與PD；夾角的余弦值為-

16.（2021?福州模擬）已知△力BC為等腰直角三角形，AB=AC=29圓M為AZBC的外接

圓，ME=?（MA+MB）.貝∣JME?CE=；若P為圓”上的動(dòng)點(diǎn)，則PJVPE的最大

2

值為.

Ξ.解答題（共4小題）

17.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）己知梯形/8C。中，AB//CD,AB=2CD,E為BC的中點(diǎn),

F為BD與4E的交點(diǎn)、,AD=λAB+μAE.

（1）求人和μ的值；

（2）若AB=2α,BC=6,ZABC=45o,求欣與麗所成角的余弦值.

18.（2022春?閩侯縣校級(jí)月考）在平行四邊形中，AB=2,/0=1,若Al,N分別是

f

迪.BC,CD上的點(diǎn)，且滿足例」-=∣9∣=卜,k€（0,1）.

IBCIICDI

（I）當(dāng)NDAB=90°,k」時(shí)，求向量Nji和直夾角的余弦值；

2

（Il）當(dāng)NDAB=60°時(shí)，求疝?祈的取值范圍.

19.（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系XQy中，已知/（1,5）,B（7,1）,C

（1,2）.

（1）若四邊形4BC。為平行四邊形，求正與加夾角的余弦值；

第3頁(yè)（共23頁(yè)）

(2)若M、N分別是線段/C、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段MV上運(yùn)動(dòng)，求證?而的最大

值.

20.(2021秋?福州期中)已知函數(shù)Z=(2,√3).E=(Sin2(x+?卷A

f(X)=ZE-L

(1)求函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸方程：

(2)將函數(shù)/(x)圖像先向左平移生個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的工(縱坐

122

標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，當(dāng)x∈[0,工!時(shí)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間.

4

第4頁(yè)(共23頁(yè))

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《平面向量》

參考答案與試題解析

一.選擇題(共12小題)

1.(2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)已知向量Z=(m-1,1=(2,4>若軟〃b，則實(shí)數(shù)加

=()

A.1B.-1C.?D.-A

22

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題：對(duì)應(yīng)思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用向量平行的等價(jià)條件得4(W-1)-2=0,從而求得.

【解答】解：...；=(mT,1)，b=(2,4>a〃b，

Λ4(∕n-1)-2=0,

解得m--↑

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)已知向量Z=(J1),E是單位向量，若∣2='Q=J石,

則之與式的夾角為()

A.?B.-c.22LD.IZL

6336

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)；與E的夾角為0,把12；-芯=05兩邊平方可求得CoS仇然后可求得以

【解答】解：設(shè)之與E的夾角為0，

因?yàn)閆=(√5,IA5是單位向量，所以把|22一芯=03兩邊平方可求得：4X4-2X2

Xa*b+1=13,所以a?b=1，

所以2Xlcosθ=l,所以COSe=工，所以θ=2Ξ-.

23

第5頁(yè)(共23頁(yè))

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）尸是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若而=3m+而，則S△?＞：S

△ABC=（）

A.I：4B.I：3C.2：3D.2：I

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理?

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求出而=3而，再利用三角形的面積公式求解即可.

【解答】解：：而=3直+而，

/.CB-PB=3PA.即瓦而=3隹，

?CP=3PA-BPAC=APA,

?'?SΛABP!SMBC=PA：AC—1：4,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，三角形的面積公式，屬于中檔題.

4.（2022春?福州期中）在邊長(zhǎng)為2的正方形NBC。中，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為邊

CO上的動(dòng)點(diǎn)，且DF=CE,則而?加的最小值為（）

A.3B.5C.-1D.0

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)E（2,a）,（0≤α≤2）,F（2-a,2）,則

BF-EF=（a-l）2÷3＞即可求最小值?

【解答】解：以以為原點(diǎn)，AB,所在直線分別為X軸y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

第6頁(yè)（共23頁(yè)）

則Z(O,O),B(2,0),設(shè)E(2,α),(OWaW2),

由于Z)F=CE,則F(2-a,2),

BF=(^a,2),EF=(-a,2-a),

所以而EF=a2+4-2a=(a-l)2+3)

當(dāng)α=l時(shí)，(BF-EF)min=S-

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2022春?福州期中)已知向量Z=(1,/77-1),b=(陽(yáng)，2),若之，總則實(shí)數(shù)加=

()

A.2B.2C.-1D.-2

3

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由兩向量垂直，數(shù)量積為0,求得機(jī)的值.

【解答】解：因?yàn)橄蛄縒=(1,m-1),b=(機(jī)，2),

若a?b'則a,b=w+2(m-1)=0,

解得加=2.

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

6.(2022春?馬尾區(qū)校級(jí)月考)已知向量至=(7,6)，BC=(-3,m>AD=(-1,2m))

第7頁(yè)(共23頁(yè))

若4C,。三點(diǎn)共線，則機(jī)=（）

A.3B.2C.-J-D.工

2323

【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平行向量（共線）.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用向量共線定理即可得出.

【解答】解：AC=AB+BC=（4,6+∕M）,而=（-l,2m）,

'：A,C,D三點(diǎn)共線,

.?4×2m-（-1）（6+m）=0,

解得

3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2022春?平潭縣校級(jí)月考）已知非零向量之，與滿足√5Il1=2∣bb且EIGG），

則2與E的夾角為（）

A.—B.—C.—D..??

6436

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由向量垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出。金大）=。己_12=而?pQcos<W,E>-I芯2=o,

從而COS<z,E>=喙，由此能求出Z與芯的夾角.

【解答】解：非零向量之，百茜足我l?1=2∣bb且EIG-E），

；?b”（a-b）=彳吊V2=Ia∣*l?cos<a,b>-Ib|2=0>

，亭對(duì)cos<Z,1>=魯a∣2,.?.cos<[,

.?.<Z,b>∈[0,π],

則之與式的夾角為三?

6

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的夾角的求法，考查向量垂直的性質(zhì)、向量夾角余弦等基礎(chǔ)知識(shí),

第8頁(yè)（共23頁(yè)）

考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.（2022春?福清市校級(jí)月考）已知AZBC中，/8=2,/C=l,AB?AC=1.O為AABC

所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足水+2而+3沃=萬(wàn)，則而,前的值為（）

A.-4B.-1C.1D.4

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】分別令/C,BC的中點(diǎn)為Λ/,N,則可化簡(jiǎn)式子得而+23=6,于是。為線段

MN的靠近N的三等分點(diǎn)，再計(jì)算數(shù)量積即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.F∕8C中，AB=2,/C=l,AB?AC=L。為a∕8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，

且滿足水+20B+30C=0.

設(shè)NC的中點(diǎn)為M,BC的中點(diǎn)為M則示+氏=2而，0B+0C≈2QN

???OM+2ON=0,

O為線段MN的靠近N的三等分點(diǎn),

?AO?BC=<AM+TO)?(AC-AB)=(1AC+-2×1AB)?(AC-AB)=∣AC2-∣AB2

232

-IIc-AB=I-I-L=.

6236

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，確定O點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

9.（2021?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)模擬）騎自行車(chē)是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受

大眾喜愛(ài)，如圖是某一自行車(chē)的平面結(jié)構(gòu)示意圖，己知圖中的圓Z（前輪），圓。（后輪）

的半徑均為√5,AABE,LBEC,AECO均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)尸為后輪上

第9頁(yè)（共23頁(yè)）

的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車(chē)的過(guò)程中，正?花的最大值為()

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模.

【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后將涉及到的點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)，其中P點(diǎn)坐

標(biāo)借助于三角函數(shù)表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解.

【解答】解：據(jù)題意：圓。(后輪)的半徑均為"BE,ABEC,Z?ECD均是邊長(zhǎng)

為4的等邊三角形.點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系：

則/(-8,0),5(-6,W^)'C(-2,2√ξ).

圓。的方程為/+y2=3,可設(shè)P(JEeClSα,愿Sina),

所以m=(6,2√3)?BP=(√3cos(l+6,√3sind-2√3)-

故AC?BP=6sinα+6MCOSa+24=12GSina+??-eosɑ)+24

=12sin(Q4JL)+24≤12+24=36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)量積的運(yùn)算、三角函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)

生的數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).屬于中檔題.

第10頁(yè)(共23頁(yè))

10.（2021春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期中）已知直角三角形N8C中，ZΛ=90o,AB=2,AC=4,點(diǎn)

P在以Z為圓心且與邊BC相切的圓上，則瓦.正的最大值為（）

A16+16遙B16+8遍C-?θ.D因

~5'-5-'^5^,~5

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)40為斜邊BC上的高，由三角形的面積公式求出工。的值，連接

一■■一一?.?，—.

PA,由向量數(shù)量積和加法的運(yùn)算性質(zhì)可得說(shuō).同=（PA+Aβ）?（PA+AC）=PA~+PA?

（AB+AC）=M?+PA?（AB+AC），分析可得當(dāng)PA與（AB+AC）同向時(shí)，PA*（AB+AC）

5

取得最大值，據(jù)此計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，直角三角形/8C中，N∕=90°,設(shè)/D為斜邊8C上的高,

又由/8=2,∕C=4,則m=3X4=小后，

√4+165

連接PA,則圓/的半徑/=|西=生區(qū)，

5

PB.pc=（PA+AB）?（PA+AC）=PA2+PA?（AB+AC）=型+PA?（AB÷AC）,

5

當(dāng)而與（AB+AC）同向時(shí),PA-（AB+AC）取得最大值,

此時(shí)I同=生叵，IAB+AC=√4+16=2√5,

5

則以,（標(biāo)+正）的最大值為生叵X2√m=8,

5

故而.而的最大值為也+8=國(guó)，

55

故選：D.

第11頁(yè)（共23頁(yè)）

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

11.（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）在梯形中，AB//CD,ND48=90°,AB=2,CD=AD

=1,若點(diǎn)M在線段8。上，則疝?而的最小值為（）

A.3B.-?C.D.-L

520520

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題：數(shù)形結(jié)合；向量法；平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】以直，標(biāo)為基底，并且設(shè)DH=入DB'0≤λ≤1,然后用基底將NjJ,而表示出

來(lái)，最終把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于人的函數(shù)，求其最小值即可.

：在梯形/8CO中，AB//CD,ZDAB=90°,AB=2,CD=AD=?,

?DB=AB-AD,4DM=λDB=λ(AB-AD)>OW入Wl,

AM=AD+DM=λAB+(l-λ)AD,α=DM-DC=λ(AB-AD)-yAB=

1?>

(λ-)AB-λAD,

...1.2.2pQ19>

??AM-CM=λ(λ-y)AB+λ(λ-l)AD+(-2λ"+∣?λ十)AB?AD=

4入(入-?)+入(入T)=5(入2-^^,

當(dāng)χ工時(shí)，AM?而的最小值為-?.

1020

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，共線向量基本定理，向量數(shù)量

第12頁(yè)（共23頁(yè)）

積的運(yùn)算，配方求二次函數(shù)最值的方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

12.（2018秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）若ANBC外接圓圓心為。，半徑為4,且水+2族+2.=萬(wàn)，

則以?誣的值為（）

A.14B.2√7C.√7D.2

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用.

【分析】取BC的中點(diǎn)E,再根據(jù)已知推出點(diǎn)4,E,。三點(diǎn)共線，且E為線段的靠

近4的四等分點(diǎn)，AE^?,OE=3,最后向量數(shù)量積可得.

【解答】解：取BC的中點(diǎn)E,

..，“一*?，—?”，?，―一?，

由0A+2AB+2AC=（W0A+4AE=0，得AeI=4AE-

所以點(diǎn)/,E,。三點(diǎn)共線，且E為線段］。的靠近/的四等分點(diǎn)，

Vτlθ=4,：.AE=\,OE=3,

在直角三角形OEC中可得CE=√7,

，以?連=|旗|而cos∕∕CE=I感I晶-?1=∣而?∣而=2|而2=2X7=14.

ICAI

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬中檔題.

二.填空題（共4小題）

13.（2022春?福州期中）已知向量之,芯的夾角為60。，G+2^5=2√^,I芯=1,則IZ=2

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由平面向量模的運(yùn)算，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算即可得解.

【解答】解：向量之，4的夾角為60。，∣I+2?=2√3.∣^Q=1,

則；2+后后+4/=12,所以；2+2Il1-8=0,

第13頁(yè)（共23頁(yè)）

所以Ial=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

14.(2022春?平邑縣校級(jí)月考)如圖，在矩形ZBCD中，/8=4,BC=5,M,N是Be上

的兩動(dòng)點(diǎn)，/在N的左邊，且Λ∕N=2,則京?市的最小值為_(kāi)巫_.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】以8為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)M(x,0),則N(x+2,0),利用平面

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出M?而，再根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求得結(jié)果.

【解答】解：以8為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：

設(shè)M(X,0),則N(x+2,0),其中OWXW3,

所以疝=(X，-4),DN=(X-3,-4),

所以Iii?DN=Λ?2-3x+16=(x-3)2+空，

24

所以x=3時(shí)，AM?祈的最小值為區(qū).

24

故答案為：55.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生建模能力及向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2021秋?福州期中)已知點(diǎn)尸為棱長(zhǎng)等于4的正方體ZBCD-∕ι8ιCιOι內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn),

第14頁(yè)(共23頁(yè))

且IPAl=4，則Flc；?pD；的值達(dá)至:最小時(shí),PCI.與PD：夾角的余弦值為。.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】以。為原點(diǎn)，DA,DC、DDl為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(x,y,

z),利用坐標(biāo)表示∣R4∕=4,則點(diǎn)P的軌跡是以/為球心，4為半徑的球面一部分，計(jì)算

PC；.PD；的值，它表示點(diǎn)尸到點(diǎn)M(0，2,4)的距離的平方再減去1,

從而求得呵?不環(huán)的值達(dá)到最小時(shí)PA/的值，根據(jù)因?yàn)镻∕W=J?C]Dj所以有P功，

PC?,即PC；與pD；夾角的余弦值為°?

【解答】解：以。為原點(diǎn)，DA、DC、DDI為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，

由棱長(zhǎng)為4,得力(4,0,0),Ci(0,4,4),Di(0,0,4),

設(shè)P(x,y,z),

由IPAI=4.

即(X-4)2+f+z2=[6,(1),

所以點(diǎn)P的軌跡是以力為球心，以4為半徑的球面的一部分，

又PCI=(-χ,4-y>4-z)，PD]=(-χ,-y>4-z)，

所以PC；?PD；=χ2-4y+y2+(z-4)W+(y-2)2+(z-4)2-4,(2)

它表示點(diǎn)P到點(diǎn)"(0,2,4)的距離的平方再減去4,

由圖形知，當(dāng)P為4”與(1)所在的球面交點(diǎn)時(shí)，

西?可的值達(dá)到最小,

第15頁(yè)(共23頁(yè))

此時(shí)∕Λ∕=6,AP=4,

所以PΛ∕=6-4=2,

因?yàn)镻M=^LrT）,

2%1

所以有PDlJ_Pe1,

即PC；與PD；夾角的余弦值為θ,

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間直角坐標(biāo)系與空間向量的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目.

16.（2021?福州模擬）已知448C為等腰直角三角形，AB=AC=2,圓M為4/8C的外接

圓，HE=l（MA+MB），則MR?CK=2；若尸為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，則WPE的最大值

2

為，±加一

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意知，M為BC的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn),由邁?CE=ME?CE?cosZMEC,

得解；設(shè)尸為ME的中點(diǎn)，根據(jù)極化恒等式可推出而?玩=而2-A,當(dāng)E,M,P三點(diǎn)、

4

共線時(shí)，I而取得最大值，得解.

【解答】解：由題意知，/W為BC的中點(diǎn)，

???ME=A（MA+MB）.

2

.?.E為18的中點(diǎn)，ME=IJC=I,圓M的半徑r=Lc=√5

22

作出如圖所示的圖形，

在Rt△/（7￡中，∕C=2,4E=LB=1,.?.CE=√ξ,cosZACE=至

2CE√5

ΛME?^CE=ME?CE?cosZMEC=ME?CE?cosZACE=l×y∕5×2_7

第16頁(yè)（共23頁(yè)）

設(shè)尸為ME的中點(diǎn)，

則，?米=』（訶+正）2-（而-應(yīng)）2]=工（4屈2一72）=由2_（上就2=而2

.1

4

當(dāng)E,M,P三點(diǎn)共線時(shí)，I而取得最大值為r+1=√2÷X

22

此時(shí)而?說(shuō)取得最大值，為（√2+^2-JL=2+√5.

24

故答案為：2,2+√2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，熟練掌握平面向量的運(yùn)算法則，以及極化

恒等式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

Ξ.解答題（共4小題）

17.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知梯形/8CZ）中，AB//CD,AB=2CD,E為BC的中點(diǎn),

尸為8。與/E的交點(diǎn)，AD=λAB+μAE.

（1）求人和μ的值；

（2）若N8=2√1,BC=6,NABC=45°,求前與前所成角的余弦值.

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）由向量的運(yùn)算得出標(biāo)=VQ+2足，進(jìn)而得出入和μ的值；

（2）由向量的運(yùn)算得出EAU-CB+H,而=正.以,進(jìn)而得出

I嬴|,I曲氤.而，再由數(shù)量積公式求解即可?

【解答】解：（1）梯形/8CQ中，AB//CD,AB=2CD,E為BC的中點(diǎn)，

則而（標(biāo)

=AB+BC+CD=^-AB+BC=^-AB+2BE=?-AB+2-AB）=-∣-AB+2AE）

又由標(biāo)=λ標(biāo)+|1箴，可得入=得，μ=2?

（2）N4尸。是就與而所成的角，設(shè)向量而與而所成的角為0,

EA=EB+BA?CB+B?則EA—CB+BA+CBBA=9+8-12=5;

24

而=五+而=前年或，貝Ul而I2=而21—?2—?

療BA+BCBA=2+36+12=50;

則I前Iw,I而I=√50'

第17頁(yè)（共23頁(yè)）

?-yCB2+yBA2+∣-CB?BA=-18+4+9=-5'

θEA-BD?-5_√Iδ

所以CoS

"∣EA∣IBDI=√5×5√2-^o^

所以就與BD所成角的余弦值為J∏L.

10

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.（2022春?閩侯縣校級(jí)月考）在平行四邊形/8Cr）中，AB=2,AD=?,若M,N分別是

邊BC,CD上的點(diǎn)，且滿足例JL=?l=k,Ae（0，1）?

IBCIICDI

（I）當(dāng)ND∕8=90°,k」時(shí)，求向量氤和同夾角的余弦值;

2

（II）當(dāng)/。/8=60°時(shí)，求京?訕的取值范圍.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（I）畫(huà)出圖形，建立直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式計(jì)算可得；

（II）畫(huà)出圖形，建立直角坐標(biāo)系，利用比例關(guān)系、向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算求出

AM?AN，然后通過(guò)二次函數(shù)求出數(shù)量積的范圍.

【解答】解：（）當(dāng)

IND48=90°,k=?以《為原點(diǎn)，AB,力。所在直線為X,y

軸建立直角坐標(biāo)系,

如圖所示，則Z(O,O),M(2,?),N(l,1),

2

所以融=(2,?!),AN=(1,1),

2

所以C°s<高，AM>j>?=-.===一=E迎,

IAMIIANIJDG34

所以向量Ei和幅夾角的余弦值為包爆?.

34

第18頁(yè)（共23頁(yè)）

(II)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則B(2,O),A(0,0),D(?,返_),C(?,1).

2222

因?yàn)镮史Ih?L=k,k€(0,1),

IBCIICDI

所以Iji=I5+左前=語(yǔ)左屈=(2+K,返外，

22_

AN=AD÷DN=AD÷(DC→DC)=(工，場(chǎng))+(if)(2,0)=2k,近)，

2222

所以京?頷=(2+K,2Z‰)?(Σ-2?,近)=-F-2A+5=-(Kl)2+6.

2222

因?yàn)樯?0,1),二次函數(shù)的對(duì)稱軸為％=-1,

故當(dāng)品(0,1)時(shí)，-廬-2%+56(2,5),

所以疝?額的取值范圍為(2，5).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的綜合應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積，二次函數(shù)的最值

問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.(2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系XQy中，已知/(1,5),B(7,1),C

(1,2).

(1)若四邊形48CD為平行四邊形，求而與而夾角的余弦值；

(2)若M、N分別是線段力C、8C的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，求正?而的最大

值.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

第19頁(yè)(共23頁(yè))

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和平面向量數(shù)量積性質(zhì)求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)

及平面向量運(yùn)算性質(zhì)求解.

【解答】解：（1）因?yàn)樗倪呅?8。為平行四邊形，AC=（0，-3）,BA=（-6,4,）,

BC=(-6,1),

所以而=箴+前=(-6，4)+(-6,1)=(-12,5),DB=(12,-5),

所以正與而夾角的余弦值.J，‘PL=』_=巨.

IACI-IDBI3-1313

(2)因?yàn)锳/、N分別是線段4C、BC的中點(diǎn)，所以Λ∕(l,3.5),N(4,1.5),

設(shè)尸(x,y),MP=λMN)λ∈[0