2023年河南省高考理科數(shù)學第二次質檢試卷及答案解析

2023年河南省高考理科數(shù)學第二次質檢試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1

1.（5分）已知集合A={R1W（-）x≤2},B={x∣-2<x≤l},則（CRA）∩B=（）

A.[-1,0]B.（-2,-I）

C.（-8,-1）U（0,1]D.（-2,-?）u（0,1]

2.（5分）已知復數(shù)z=l-i,則-yJ的實部為（）

Z2+2Z

1111

A.—B.—TTTC.一D.—F

101055

3.（5分）從3,5,7,11這四個質數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為mb,共可得到/g〃

-∕gb的不同值的個數(shù)是（）

A.6B.8C.12D.16

4.（5分）在正項等比數(shù)列{&〃}中，671=2,〃2+4是小，的等差中項，則44=（）

A.16B.27C.32D.54

5.（5分）已知點F是雙曲線/一1=1的右焦點，點P是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點，

且PF與X軸垂直，點Q是雙曲線漸近線上的動點，則IPQl的最小值為（）

3>∕3CG33>[3??/773

A.12~B.V3—2C.14—2~D.V3+?

6.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該

7.(5分)已知點C(2,0),直線履-y+&=0(?≠0)與圓(x-1)2+(y-1)2=2交于A,

8兩點，則“aABC為等邊三角形”是“k=l"的（

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

ex+X,x<0

8.（5分）已知函數(shù)f。）=有4個不同的零點，則正實數(shù)ω的范

sin（ωx-7r-τ）,0≤x≤π

圍為（）

?-得,?）b?弓,竽）c?得,?d?弓,?

9.（5分）在448€'中，點￡為4（7的中點,芯=2∕?,8E與CF交于點P,且滿足而=ABE,

則人的值為（）

1123

A.一B.—C.—D.一

3234

10.（5分）己知函數(shù)/（x）=SinX+αcosX滿足：/（x）≤若函數(shù)/（x）在區(qū)間卬，%2]

上單調(diào)，且/（Jn）V（X2）=0,則當∣X1+X2∣取得最小值時，COS（X1+X2）=（）

?11√3√3

A.一κrB.-rC.—knD.—

2222

1

IL（5分）在正項數(shù)列｛.｝中'G=l,a"】一W=1-記%=（而項受i+l而百舒整

數(shù)加滿足/g（10119+l）<m<lg（10120+l）,則數(shù)列｛加｝的前a項和為（）

55911

A.—B.—C.—D.—

11122224

12.（5分）若函數(shù)/（x）的定義域為R,且/（2x+l）為偶函數(shù)，f（χ-1）的圖象關于點（3,

3）成中心對稱，則下列說法正確的個數(shù)為（）

αy（%）的一個周期為2

@f（22）=3

③求1/（i）=57（i∈N）

④直線x=4是/（X）圖象的一條對稱軸

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）曲線y=（αx+2）",在點（0,2）處的切線的斜率為-2,則〃=.

14.（5分）（1+?）4（1-a）6的展開式中X的系數(shù)為.

15.（5分）過原點且相互垂直的兩條直線分別交拋物線x2=2y于4,B兩點（A,8均不與

坐標原點重合），則拋物線的焦點到直線AB的最大距離為

16.（5分）在三棱柱48。-4181。中，平面48（7_1平面441818,平面皮7。81_1平面441818,

側棱CCl與底面所成的角為60°,AB=4,AΛ∣=2,。為481的中點，二面角4-4C

-8的正切值為2次，則四棱錐C-AAiDB的外接球的表面積為.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,且COSA+WsinA=呼.

（1）求角C；

（2）若c=4,AABC的面積為46，求小b.

18.（12分）相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%,城鄉(xiāng)居民達

到《國民體質測定標準》合格以上的人數(shù)比例達到90%以上.某市一健身連鎖機構對其

會員進行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為會員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），圖2

若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及

以上）兩類，將一個月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會員稱為“健身達人”，15次及以

下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達人”中有;是“年輕人”.

（I）現(xiàn)從該健身連鎖機構會員中隨機抽取一個容量為100的樣本，根據(jù)圖的數(shù)據(jù)，補全

下方2X2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“健身達人”與年齡有關？

年輕人非年輕人合計

健身達人

健身愛好者

合計

附:

P(/C20.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

2_n(ad—be)

K-(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

(2)將(1)中相應的頻率作為概率，該健身連鎖機構隨機選取3名會員進行回訪，設3

名會員中既是“年輕人”又是“健身達人”的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學

期望.

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABCo的底面48C。為菱形，平面外。！.平面ABCC,ZBAD

=60o,PA=PD=痘,AB=2,M為尸C上一點，且俞=3Λ?.

(1)求異面直線AP與。M所成角的余弦值.

PN

(2)在棱P8上是否存在點N,使得AN〃平面8OM?若存在，求一的值；若不存在，

%V

20.(12分)已知橢圓C：—+=l(α>b>0)的長軸長為4,Fi,正2為C的左、右焦點，

1

點P(不在X軸上)在C上運動，且CoSNnPF2的最小值為］

(1)求橢圓C的方程；

(2)過放的直線/與橢圓C交于不同的兩點M,N,記aFiMN的內(nèi)切圓的半徑為r,

求r的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x√-e(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(x)的最小值；

(2)若函數(shù)g(X)=f(x)-&/nx有且僅有兩個不同的零點，求實數(shù)人的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計分.

22.(10分)在平面直角坐標系XOy中，曲線M的參數(shù)方程為卜=1+噂'os。(8為參數(shù)，

(y=1+y∕5sinθ

θe[O,2π)),直線A的參數(shù)方程為C為參數(shù)，α∈(0,加，直線上口，

垂足為O?以O為坐標原點，X軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

(1)分別求出曲線M與直線/2的極坐標方程；

(2)設直線/1、/2分別與曲線M交于A、C與B、D,順次連接A、B、C、。四個點構

成四邊形ABCD,求HBI2+∣BC∣2+∣CD∣2+∣D4∣2.

23.已知二次函數(shù)/(x)=Q∕+%X+C,

(I)已知m4c是正實數(shù)，且/(1)=1,求證：√Ξ+√6+√Ξ≤√3;

一e2

(II)若對任意x∈R,不等式/(x)224x+b恒成立，求的最大值,

2023年河南省高考理科數(shù)學第二次質檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1

1.(5分)已知集合A={x∣lW(-)jr≤2},8={x∣-2<xWl},則(CRA)CB=()

A.[-1,OJB.(-2,-1)

C.(-8,-Du(0,1]D.(-2,-1)U(0,I]

1

【解答】解：因為集合A={x∣lW(-)A≤2}={X∣-I≤X≤0),

集合8={M-2<XW1},

所以CRA={x∣x<-1或x>0},

所以(CRA)C8={x∣-2<x<-1或0<xWl}=(-2,-1)U(0,IJ.

故選：D.

2.(5分)已知復數(shù)z=l-i,則5二的實部為()

Z2+2Z

1111

A.—B.-77?C.-D.—F

101055

【解答】解：因為z=l-i,

所以Z2+2Z=(1-Z)2+2(I-Z)=2-4/,

?，112+4i2+4i11

所以-----=-----=-------------=-----=一+一i,

Z2+2Z2-4i(2-4i)(2+4i)20105

11

所以商石的實部為

故選：A.

3.（5分）從3,5,7,11這四個質數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為mb,共可得到

-∕gb的不同值的個數(shù)是（）

A.6B.8C.12D.16

【解答】解：由于句α-∕gb=仞今所以從3,5,7,11中取出兩個不同的數(shù)分別賦值

給“和b共有/=12種，

并且計算結果不會重復，所以得到不同的值有12個.

故選：C

4.（5分）在正項等比數(shù)列｛劭｝中，αι=2,。2+4是m,。3的等差中項，則。4=（）

A.16B.27C.32D.54

【解答】解:設等比數(shù)列｛如｝的公比為夕（g>o）,

?.?Q2+4是m,43的等差中項，41=2,

Λ2（Λ2+4）=〃1+。3,即4（q+2）=2+27,

:?q=3或4=0（舍去），

，44=2X33=54.

故選：D

5.（5分）已知點F是雙曲線為2一]=1的右焦點,點P是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點，

且P尸與X軸垂直，點Q是雙曲線漸近線上的動點，則IPQl的最小值為（）

A1/o?,3塔/?,3

A.12-Br.V?-2Cr.11+一2—D?V3+[

【解答】解：由雙曲線方程可得，點F坐標為（2,0）,將x=2代入雙曲線方程，得y

=+3,

由于點P在第一象限，所以點P坐標為（2,3）,

因為雙曲線的漸近線方程為百X±y=0,

2√3+3

所以點P到雙曲線的漸近線的距離為二年，

因為Q是雙曲線漸近線上的動點，

2^?∕3—3/e3

所以IPQI的最小值為F-=V3---

故選:B.

6.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該

多面體的體積為（

28

B.8C.D.10

3

【解答】解：如圖，這是所求多面體的直觀圖,

E

它可以看成由直三棱柱與四棱錐組合而成，所以體積V=（j×2×3）×2+j×（2×2）×

3=10.

故選：D.

7.（5分）已知點C（2,0）,直線依-y+A=0（左#0）與圓（X-I）?+（y-1）2=2交于A,

8兩點，則“AABC為等邊三角形”是“k=l”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：設圓心為O,易知。（1,1）,半徑r=√∑

當BC為等邊三角形時，CDLI,而kcD=Jj=-1,

因為kcD?k=-1,所以々=1,

當上=1時，直線/為：X->'+1=0,而/CcD=^7^=-l,

所以ZcDA=-1,所以。JJ,所以aABC為等腰三角形，

因為ICDl=√（2-l）2+l2=√2,

圓心到直線1的距離為d=IlhIl=即笆?=

√ι÷ι2a1

所以圓心D、為XABC的重心，同時也是aABC的外心，

所以AABC為等邊三角形，

所以"AABC為等邊三角形”是ak=Γ的充要條件，

故選：A.

ex+X,x<0

8.（5分）已知函數(shù)f。）=7r有4個不同的零點，則正實數(shù)ω的范

sin（ωx一4），0≤x≤π

圍為（）

?-弓，?）b?弓，苧）c?4，?d?弓，?

xx

【解答】解：當XVO時，f（?）=e+χff（X）=e+?>0,

所以，/（x）在（-8,0）上單調(diào)遞增，

因為/(一1)=：-1V0,/(-?=

所以，當x<0時，存在唯一的XOe(T，一務，使得/(χo)=0,

所以，當XVO時，/(x)有1個零點.

x

IeSi÷nMX,±%<)0,0≤x≤∕4個不同的零點“

因為函數(shù)/(x)

所以，當0≤x≤τr時,/(%)=S譏(S，有3個不同的零點,

令(JI)X—4=3

因為0≤X≤7T,所以3X—E=te[―E，ωπ—勺,

所以,函數(shù)y=sim在［一,，即一舟上有3個零點,

913

所以2ττ≤ωπ—?<3π,解得一≤ω<—,

444

所以，正實數(shù)3的范圍為小?).

故選：B.

9.(5分)在AABC中，點E為AC的中點,第=2∕?,BE與CF交于點尸,且滿足而ABE,

則人的值為()

1123

A.-B.-C.—D.-

3234

【解答】解：如圖,

因為點E為4C的中點，AF=2FB,

所以AP=AF+尸P=4F+xFC=A尸+x(?AC-AF)=(1-x)AF+xAC,AP=AB+

BP=AB+λBE=ABλ{AE-AB)=(I-λ)AB+λAE=竽族+^4E

3(1—4)Λ3~2λ

所以J，即----------+-=-------=--1?解得入=

222

.2=x

所以人的值為去

故選：B.

10.(5分)已知函數(shù)/(x)=SinX+αcosX滿足：/(x)≤若函數(shù)f(x)在區(qū)間田，X2]

上單調(diào)，且/(?)4/(%2)=0,則當∣X1+X2∣取得最小值時，COS(XI+%2)=()

?11√3√3

A.—?,Br.—Cr.ηrD.—

2222

【解答】解：因為/(x)=Siru:+〃COSX=√1+α2

22

?√1+asin｛x+卬)≤√1+α,(其中CoS口=(?,sinφ=∣。),

Jl+α2J1+Q2

I/?/

因為f(x)≤∕G),所以fG)=√fTΞ7,即5+∕Q=√ΓT/,解得Q=√5,

所以/(%)=sinx+WCoSX=2sin(x+分

令為+為=∕c7Γ,k∈Z,則％=kτr—k∈Z,

所以/(x)的對稱中心為(∕cτr—3，0),k∈Z,

因為函數(shù)/(x)在區(qū)間㈤，X2]上單調(diào)，且f(Xl)tf(x2)=0,則棄，0)為了(X)

的對稱中心，

X1+χ7TC9τr

所以^=kτι-keZ,即％ι+&=2∕cττ—?-,kCZ,

2π

當左=0時，IXI+X2∣取得最小值

所以CoS(Xl+X2)=COS?=一宏

故選：A.

1

11.(5分)在正項數(shù)列｛“"｝中'G=1,碌+1-W=1,記%=(即+1)(冊+]+1)(即+即+1).整

數(shù)相滿足/g(10119+l)<m<lg(10120+l),則數(shù)列｛為｝的前口項和為()

55911

A.—B.—C.—D.—

11122224

【解答】解：因為m=l,α"ι-c?=1,所以｛W｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以W=1+(n—1)×1=n,又因為a〃>0,所以。九=√n,

所以b=________1_Jn+\-標=I_I

n(V∏÷1)(V∏4-1+1)(V∏÷7∏÷1)(?∕π÷1)(7∏÷1+1)+1Jzi+1+1

因為119=∕glθ"9<∕g(1O119+1)<∕^1O12O=12O,12O=?1O,2O<?(IO12O+I)<?10121

=121,

整數(shù)小滿足/g(lθ"9+ι)<m<∕g(10屹0+1),所以zn=i20,{w}的前120項和為a20=

1____1_]_____1_]_]________1=______1__

1+1√2+l+√2+l√3+l+√3+l√4+l+√120+l√121+1-1+111+1-

5

12'

故選:B.

12.(5分)若函數(shù)f(x)的定義域為R,且/(2x+l)為偶函數(shù)，,(X-1)的圖象關于點(3,

3)成中心對稱，則下列說法正確的個數(shù)為()

◎(x)的一個周期為2

@f(22)=3

③鵡/(O=57(1∈/V)

④直線x=4是/(x)圖象的一條對稱軸

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：因為f(2x+l)偶函數(shù)，所以/(1-2x)=∕(l+2x),則F(I-X)=∕(l+x),

即函數(shù)f(x)關于直線x=l成軸對稱，

因為函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)fG-1)的圖象向左平移1個單位，所以函數(shù)/(x)關

于點(2,3)成中心對稱，則/(2-χ)=6-∕(2+x),且/(2)=3,

對于①，?.'/(x+2)=6-∕(2-χ)=6-/(I-(X-I))=6-∕(l+χ-l)=6-∕(x),

：.f(x+4)=f(2+x+2)=6-∕(x+2)=6-[6-/(X)]=/(x),則函數(shù)/(x)的周期T

=4,故①錯誤；

對于②，f(22)=∕(2+4×5)=/(2)=3,故②正確；

對于③，/(1)=/(2-1)=6-/(2+1),則f(1)+f(3)=6,f(4)=/(O)=F(I

-1)=/(1+1)=/(2)=3,則f(2)+f(4)=6,

由I9÷4=4-3,則∑昌/(0=/(1)+/(2)+-+/(19)=4(/(1)√(2)√(3)+f

(4))+/(17)+/(18)4/(19)=4X(6+6)+/'(1)+/(2)+/(3)=48+6+3=57,故

③正確；

對于④，/(4+x)=∕(x),/(4-χ)=/(-χ),而函數(shù)/(x)不是偶函數(shù)，所以f(4+x)

=∕(4-χ)不恒成立，故④錯誤.

故選：B.

二、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)曲線y=(Or+2)F在點(0,2)處的切線的斜率為-2,則a=-4

【解答】解：?y—(ax+2)ex,得y'-aex+(OX+2)ex-(αx+α+2)ex,

由題意，y'IX=O=α+2=-2,得”=-4.

故答案為：-4.

14.(5分)(1+√x)4(l-石)6的展開式中X的系數(shù)為-3.

【解答】解：(1+√x)4(l-√x)6=(1-x)4(l-√x)2=(1-x)4(l-2√x+x),(1-χ)

4的展開式通項公式為△+1=α?14-r(-x)r,

當r=0時，Tl=Cf=1,故1x=x,

當r=l時,T2=Cl■(—X)——4x,故-4XT=-4x,

故X-4X=-3x,所以(1+04(1-夜)6的展開式中X的系數(shù)為-3.

故答案為：-3.

15.（5分）過原點且相互垂直的兩條直線分別交拋物線，=2），于A,8兩點（A,B均不與

3

坐標原點重合），則拋物線的焦點到直線AB的最大距離為一.

—2-

【解答】解：：拋物線的方程為∕=2y,

1

.?.p=l,焦點尸(0,分,

根據(jù)題意可設A（X1，苧），B（X2,身則&=(X1，竽)，OB=(x2

,：OALOB,.?.A?0?=%ι%2+^iJ^-=0,又XU2*0,

χ2χ2

,XU2=-4,k=??=

ABx2~xll

.?.直線48：y-y?=????-(%-x1),

.”_Xi+1v_Xl(XI+金),A

..y_2%2+2，

--xι+x2

??>/v--i-?r-?'

?x+x

??yl=-22~,~?%+2,

直線AB過定點(0,2),

.?.拋物線的焦點到直線AB的距離的最大值為焦點F(0,去與定點(0,2)之間的距離,

.?.拋物線的焦點到直線AB的最大距離為2-；=∣?

3

故答案為：

16.（5分）在三棱柱ABC-AiBiCi中，平面ABC_L平面AAI切8,平面BCCiBi，平面AAl8ιB,

側棱Cel與底面所成的角為60°,AB=4,AAl=2,。為AIBl的中點，二面角AI-AC

-B的正切值為2次，則四棱錐C-A41。B的外接球的表面積為—.

—3—

【解答】解：過C作直線/J_平面4488,如圖所示：

；平面A8C_L平面AAifiiB,平面BCejBlJ_平面AA?B?B,則/u平面ABC,且/u平面

BCCiBi,

又；平面ABCC平面BCCIBI=BC,故直線I即為直線BC,

平面AAIBlB,且ABU平面AAiBiB,

.".BCLAB,

過4作AiEJMB,垂足為E,

；平面ABCj_平面AAIBlB,平面ABCrI平面AAl8∣B=4B,AiEu平面AAIBl8,

.?.4E_L平面ABC,且ACU平面ABC,

J.A?ELAC,

ii￡EFlAC,垂足為凡A?EΠEF^E,A↑E,EFU平面4EF,

故ACj■平面4EF,且AiFu平面4EF,

：.ACVA?F,故二面角A?-AC-B的平面角為NAIFE,

：二面角AI-Ae-B的正切值為28，即NAlFE為銳角，

點E在線段AB上，且"=2√W,即EF=4f,

又：側棱CCl與底面ABC所成的角為60°,且CCi〃A41,

二側棱44與底面ABC所成的角為60°,且4E，平面ABC,故N4A3=60°,

AE

可得AAsinAABAE=AAcosAABfγ11

AiE=1??1=V3∕1??1=1,EF=而=2

/7/71

則S譏NBAC=養(yǎng)=宏，且Z?B4Ce(0,πJ),故NBAC=30°,

可得AC=竽,

?'BB?=BιD=2,NBBlD=60°,則4BSO為等邊三角形，可得Bo=2,

.?.四邊形ABDAi為等腰梯形，故四邊形ABDA1的外接圓即為AAAiB的外接圓，

連接BAi,故四棱錐C-MiDB的外接球即為三棱錐C-AAiB的外接球，

可得%=JA?E2+BE2=26,貝∣J4IB2+4]42='B2,gpAA?1A]B,

VBC±￥ffiAA?B?B,AAlU平面A4ι8ιB,貝IJBuLΛA∣,BCCiAiB=B,BC,AiBc5FjS

AiBC,

.?.A4J_平面4BC,且AICU平面4BC,

則AAl_L4C,

即4A8C,Z?AιBC為共斜邊BC的直角三角形，取AC的中點0,連接OB,04,

則OA=OB=OC=OAi,故三棱錐C-AAI8的外接球的球心即為0,其半徑R==

4√3

可得四棱錐C-AAiDB的外接球的表面積S=4兀(竽)2=竽.

64ττ

故答案為：-y-.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,且COSA+√5sinA=罕.

(1)求角C；

(2)若c=4,Z?ABC的面積為4√5,求mb.

【解答】解：(1)因為CoSA+V5sinΛ=整理可得：CCOSA+gcsirLA=4+/?,

由正弦定理可得：sinCcosA+√3sinCsirL4=sinA+sinB,

??ABC,SinB=Sin(A+C)=SinACOSC+cosASinC,

所以√^sinCsinΛ=sinA+sinλcosC,三角形中，sinΛ≠O,

所以V^SinC-CoSC=1,即Sin(C—1)=?,

OZ

在三角形中，可得C—1=也

OO

可得C=*

1叵

（2）由（1）可得SMBC=T7。SinC=^-?Λ=4√3,

可得川?=I6①

由余弦定理可得COSC=q嶄萬￡，而C=4，

即二=史?T6,可得.+/=32,②，

22×16

由①②可得＜?=必=16,BPb=a=4.

18.（12分）相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%,城鄉(xiāng)居民達

到《國民體質測定標準》合格以上的人數(shù)比例達到90%以上.某市一健身連鎖機構對其

會員進行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為會員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），圖2

為會員一個月內(nèi)到健身房次數(shù)分布扇形圖.

若將會員按年齡分為"年輕人"（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及

以上）兩類，將一個月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會員稱為“健身達人”，15次及以

下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達人”中有:是“年輕人”.

（1）現(xiàn)從該健身連鎖機構會員中隨機抽取一個容量為100的樣本，根據(jù)圖的數(shù)據(jù)，補全

下方2X2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“健身達人”與年齡有關？

年輕人非年輕人合計

健身達人

健身愛好者

合計

附:

P(K2^ko)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

“2_n(ad—be)

K=(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

(2)將(1)中相應的頻率作為概率，該健身連鎖機構隨機選取3名會員進行回訪，設3

名會員中既是“年輕人”又是“健身達人”的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學

期望.

【解答】解：(1)根據(jù)年輕人標準結合圖1可得年輕人占比為80%,

則年輕人人數(shù)為IOOX80%=80,

則非年輕人為20人，

根據(jù)圖2表格得健身達人所占比60%,

5

所以其人數(shù)為IOoX60%=60,根據(jù)其中年輕人占比一，

6

所以健身達人中年輕人人數(shù)為60X尚=50,則非年輕人為10人，

O

健身愛好者人數(shù)為IOO-60=40,再通過總共年輕人合計為80人，則健身愛好者中年輕

人人數(shù)為80-50=30,

根據(jù)非年輕人總共為20人，則健身愛好者中非年輕人人數(shù)為20-10=10,

所以列聯(lián)表為:

年輕人非年輕人合計

健身達人501060

健身愛好者301040

合計8020100

9

IoOX(50x10-3OXIO)Z

2≈1.042<3.841,

K80x20x60x40

所以沒有95%的把握認為“健身達人”與年齡有關;

1

(2)由(1)知，既是年輕人又是健身達人的概率為5,

則隨機變量X滿足二項分布X~B(3,分1，X=0,1,2,3,

P(X=0)=Cθ(l-∣)3=∣,

P(X=I)=CE)1?(l-勺2=看

P(X=2)=Cf(J)2?(l-i)1=∣,

P(X=3)=廢8)3=1,

故X的分布列：

故X的數(shù)學期望為E(X)=1×∣+2×∣+3×∣=∣.

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABCQ的底面ABC。為菱形，平面平面ABCC,ZBAD

=60°,PA^PD=√5,AB=2,M為PC上一點，且P力=3&.

(1)求異面直線A尸與OM所成角的余弦值.

PN

(2)在棱PB上是否存在點N,使得AN〃平面BZ)M?若存在，求一的值；若不存在，

【解答】解：(1)設。是Ao的中點，連接OP,OB,

由于Pa=PZ)=√I,所以OP_LAO,

由于平面∕?O1.平面ABCD且交線為AO,OPU平面∕?D,

所以OPJ_平面ABCD,

由于OBU平面A8CD,所以。PJ_03,

在菱形ABC。中，ZBAD=60Q,所以三角形ABO是等邊三角形，所以OBLAQ,

故。4,OB,OP兩兩相互垂直，由此建立空間直角坐標系如圖所示，

Pi

OP=√Γ≡1=2,P(0,O,2),A(LO,O),B(O,√3,O),C(—2,

√3,O),D(-l,O,O),

AP=(-1,O,2),DM=DP+PM=DP+^PC=(1,0,2)+∣(-2,√3,-2)=

，13√31、

(一2'^^4',2)'

所以直線AP與。M所成角為e,

則…解η缶T第

→1?1T

(2)DM=(-?,誓，分，DB=(I,√3,0),

設平面BDM的法向量為蔡=(x,y,z),

1,3√3,1

則n?DM=-尹+丁'+產(chǎn)=°n,

G?DB=X+V3y=0

TPN

故可設幾=(一6,2√3,-15).N任平面BQM,設k=九

則PN=λPB,AN=AP+PN=AP+λPB=(-1,0,2)+Λ(0,√3,-2)=(-1,

√3λ,2-2λ),

若AN〃平面BDM,則眾.∏=6+62-15(2-2Λ)=-24+36Λ=0,

解得a=孑

PN2

所以在棱P8上是存在點N,使得AN〃平面BDM且丁=一.

PB3

X2V2

20.（12分）已知橢圓C：—÷—=I伍〉匕〉0）的長軸長為4,Fi,尸2為C的左、右焦點,

1

點尸（不在X軸上）在C上運動，且COSNBP正2的最小值為1

(I)求橢圓C的方程；

(2)過放的直線/與橢圓C交于不同的兩點N,記△為MN的內(nèi)切圓的半徑為r,

求/?的取值范圍.

42y2

【解答】解：⑴因為橢圓C：—+≈l(α>b>O)的長軸長為4,所以2α=4,α=2,

設IPFl|,尸尸2|的長分別為相，n,m+n=2a=4,

則在△FiPF2中，由余弦定理可得COS出PF?=m2?^4"=⑺+"七：-2儂=

史—空—1

mn(手)2Iα23

2b121

當且僅當m=n時取等號，從而F-1=-,

a22

力2?

得-?=一，.*.?2=3,

α24

Xa2V2

所以橢圓的標準方程為二+.=L

43

(2)設M(xι,yι),N(無2,”)，

1

由題意，根據(jù)橢圓的定義可得△/IMN的周長為4a=8,SANMFl=+|&N|+

1

?NM?)r=4r,所以r=ΞSAWMFI,

設/的方程為X=O+1,聯(lián)立橢圓方程3X2+4)2=12,

整理可得(4+3P)y^+6ty-9=0)易知△>(),

且％+'2=一含，％%=一品，

Ill

ff,ff

SANMFl=SAFlFZM+?^?F1F2N=2∣l2∣1%I+|?四∣=2∣l2∣，僅2一月I

2

=/&F?I√(yι+y2)-4yιy2

V