高考數(shù)學(xué)-導(dǎo)數(shù)概念及函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值（解析版）

專題05導(dǎo)數(shù)概念及函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

一、思維方法

二、查缺補漏

考點一：導(dǎo)數(shù)的運算考點二：求切線的方程

考點三：求曲線的切點坐標(biāo)考點四：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象問題

考點五：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用考點六：不含參函數(shù)的單調(diào)性

考點七：討論含參函數(shù)的單調(diào)性考點八：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

考點九：利用導(dǎo)數(shù)比較大小考點十：利用導(dǎo)數(shù)解不等式

考點十一：根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值考點十二：已知函數(shù)求極值

考點十三：根據(jù)極值求參數(shù)的值（范圍）考點十四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

三、真題訓(xùn)練

2021年真題2022年真題

四、熱點預(yù)測

單選題：共8題多選題：共4題

填空題：共4題解答題：共6題

【思維方法】

1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用

運算法則求導(dǎo).

2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.

4.求曲線在點P（xo,yo）處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在P處的導(dǎo)

數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導(dǎo)數(shù)不存在，則切線垂直

于X軸，切線方程為X=X0.

5.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.切點坐標(biāo)

不知道，要設(shè)出切點坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等建立方程（組）求解，求出切點坐標(biāo)是解

題的關(guān)鍵.

6.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)

的方程（組）并解出參數(shù)：

⑴切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；

(2)切點在切線上；

(3)切點在曲線上.

7.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)范圍時，注意化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

8.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

⑴確定函數(shù)人大)的定義域；

(2)求了(x)；

(3)解不等式/(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

9.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討

論.

(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點和

函數(shù)的間斷點.

10.個別導(dǎo)數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如於)=/,/(X)=3X2^0(/,(X)

=0在x=0時取到)，兀乃在R上是增函數(shù).

11.(1)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件/(x)20(或/(x)W0),x

G(a,力恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)

注意參數(shù)的取值是了(力不恒等于0的參數(shù)的范圍.

(2)如果能分離參數(shù)，則盡可能分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系.

12.若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,力上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為了(x)=0在(a,勿上有解.

13.利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的

問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性比較大小.

14.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目中若

存在人為與了(X)的不等關(guān)系時，常構(gòu)造含人勸與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題

設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.

15.由圖象判斷函數(shù)y=/(x)的極值，要抓住兩點：(1)由y=『(x)的圖象與x軸的交

點，可得函數(shù)y="x)的可能極值點；(2)由導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象可以看出y=f(x)

的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點.

16.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)兀。極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)Xx)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)了(無);

(3)解方程/(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

⑷列表檢驗/(X)在/(x)=0的根xo左右兩側(cè)值的符號；

(5)求出極值.

17.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0

和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

18.導(dǎo)數(shù)值為0不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢

驗.

19.求函數(shù)火刈在閉區(qū)間［出加上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點

的函數(shù)值汽a),汽切與人勸的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.

20.若所給的閉區(qū)間團，口含參數(shù)，則需對函數(shù)人為求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，

判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)人x)的最值.

【查缺補漏】

【考點一】導(dǎo)數(shù)的運算

【典例1】(多選題)下列求導(dǎo)運算正確的是()

A.后)=一送BLy”

C.(xcosx)f=—sinxD.Q-j』1+5

2xr2

【解析】對于A,(=)=—去?Qnx)'=—金豕，對于B,(Xe)=(x+2x)e\對

于C,(xcosx)r=cosx—xsinx,對于D,；)=l+p.

故選AD.

【典例2】若於尸上+2x了21”T,則小尸

21

【解析】由已知/(x)=x—lnx+1一/

【典例3】設(shè)函數(shù)/)=昂.若了⑴蘭，貝|。=.

［解析］由…(七)丁，可得了(1尸備%;*即

解得a=1.

【考點二】求切線的方程

【典例1】曲線y=3(f+x)ex在點(0,0)處的切線方程為.

【解析】y=3(2x+l)ex+3(^2+x)ex=3ex(x2+3x+1),

所以曲線在點(0,0)處的切線的斜率％=00*3=3,所以所求切線方程為3x—y=

0.

【典例2】曲線y=lnx+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為

【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為(xo,yo),

因為y=lnx+x+l,所以

所以切線的斜率為1+1=2,解得xo=l.

所以yo=ln1+1+1=2,即切點坐標(biāo)為(1,2),

所以切線方程為y—2=2(x—1),即2x—y=0.

【典例3】已知於)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，段)=ln(—x)+3x,則曲線產(chǎn)危)在

點(1,—3)處的切線方程是.

【解析】設(shè)x>0,則一無<0,八一x)=lnx—3無，又人尤)為偶函數(shù)，/U)=lnx—3%，

，(%)=:一3,/(1)=—2,切線方程為y=—2x—1,即2x+y+l=0.

【考點三】求曲線的切點坐標(biāo)

【典例1】在平面直角坐標(biāo)系x0y中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A

處的切線經(jīng)過點(一e,—l)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標(biāo)是,此

時切線方程為.

【解析】設(shè)n),則曲線y=lnx在點A處的切線方程為y—m).

又切線過點(一e,—1),所以有“+l='(m+e).

再由幾=lnm,解得根=e,n=\.

故點A的坐標(biāo)為(e,1),

切線方程為X—ey=O.

x21

2.已知曲線丁=了一31nx的一條切線的斜率為5,則切點的橫坐標(biāo)為()

A.3B.2C.1D.|

【解析】設(shè)切點的橫坐標(biāo)為xo,

r21

*.*曲線丁=4-31nx的一條切線的斜率為1,

解得xo=3或xo=-2(舍去，不符合題意)，

即切點的橫坐標(biāo)為3.

故選A.

【考點四】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象問題

【典例1】如圖，點A(2,l),B(3,0),E(x,0)(xN0),過點E作OB的垂線I.記AAOB

在直線/左側(cè)部分的面積為S,則函數(shù)S=/(x)的圖象為下圖中的()

【解析】函數(shù)的定義域為［0,+oo),當(dāng)xG［0,2］時，在單位長度變化量Ar內(nèi)面積

變化量AS大于0且越來越大，即斜率/(%)在［0,2］內(nèi)大于0且越來越大，因此，

函數(shù)S=/(x)的圖象是上升的且圖象是下凸的；

當(dāng)x?(2,3)時，在單位長度變化量Ax內(nèi)面積變化量AS大于0且越來越小，即斜

率/(x)在(2,3)內(nèi)大于0且越來越小，因此，函數(shù)S=/(x)的圖象是上升的且圖象

是上凸的；

當(dāng)xG［3,+8)時，在單位長度變化量Ax內(nèi)面積變化量AS為0,即斜率/(無)

在［3,+8)內(nèi)為常數(shù)0,此時，函數(shù)圖象為平行于X軸的射線.

故選D.

【典例2】已知y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y=Ax+2是

曲線丁=兀0在x=3處的切線，令g(x)=_^(x)，g，(x)是g(x)的

導(dǎo)函數(shù)，則g'(3)=.

【解析】由題圖可知曲線y=/(x)在x=3處切線的斜率等于

-p-V(3)=-|-

；g(x)=^x)，,g'(x)=Ax)+4(x)，

g'(3)=<3)+3/(3),又由題意可知火3)=1,

??.g，(3)=l+3X(-￡|=0.

【典例3］如圖所示，y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線Z：y=kx+3是曲線y=?r)在x

f(x)

=1處的切線，令/1。)=一一，"(X)是"⑴的導(dǎo)函數(shù)，則旗1)的值是()

Ji

A.2B.1

【解析】由圖象知，直線/經(jīng)過點(1,2).

則上+3=2,k=~l,從而/(1)=—1,且五1)=2,

.f(無)xf(x)—f(x)

由h(x)=",侍h'(x)="2，

所以/z,(l)=r(l)-Xl)=-l-2=-3.

故選D.

【考點五】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

【典例1】(多選題)已知函數(shù)人》)=5—Inx,若兀r)在x=xi和x=X2(xi#X2)處切

線平行，則（)

AJ-?J-l

=B.xiX2<128

\/xiy/x22

C.XI+X2<32D.X?+X5>512

3^一:（X>O）,因為兀0在X=X1和X=X2（X1#X2）處切線

【解析】由題意知了（x）=

平行’所以/（》1）=/（32）,即2\1^一丁=2y/j^一石化簡得7^+京^=]'故A正

確；由基本不等式及廿雙可得上+/

x,9>2,即xiX2>256,故B

錯誤；xi+%2>2y[xix2>32,故C錯誤；X?+J^>2XIX2>512,故D正確.故選AD.

【典例2】已知函數(shù)八元）=0?%〃>0）與g（x）=2f—皿心0）的圖象在第一象限有公

共點，且在該點處的切線相同，當(dāng)實數(shù)機變化時，實數(shù)〃的取值范圍為（）

A&，+8BS+°°

c(o,1D[O,4

【解析】設(shè)在第一象限的切點為4（X0,州）,

4xo=2x§—m,

所以xo>O,

{m>0,

由m=2看一4%0>0和xo>O,解得xo>2.

4xn4x

由上可知。=*,令//(%)=菽，

CCx>2,

.4(1—x)

則h'(x)=—

4(1—%)

因為x>2,所以"(x)=—<0,

4x

械0=菽在（2,+8）上單調(diào)遞減,

C

所以即

0</z(x)<*,[故選D.

【典例3】函數(shù)y（x）=lnx—ax在x=2處的切線與直線以一y一1=0平行，則實

數(shù)<7=（）

A.-lB.|C.|D.l

【解析】'.,fix)=\nx—ax,：.f(x)=\—a.

Ji

，曲線y=/(x)在x=2處切線的斜率k=f⑵,

因此;一a=a,；.a=：.

故選B.

【考點六】不含參函數(shù)的單調(diào)性

【典例1】函數(shù)五x)=f—21nx的遞減區(qū)間是()

A.(0,1)B.(l,+8)

C.(—8,1)D.(T,1)

22(尤+1)(x—1)

【解析】./(x)=2x—;=------------；------------(尤>0),

.??當(dāng)x?(0,1)時，/(x)<0,人乃為減函數(shù)；

當(dāng)x?(l,+8)時，f(x)>0,/(x)為增函數(shù).故選A.

【典例2】函數(shù)五x)=(x—3)e*的遞增區(qū)間是()

A.(—8,2)B.(0,3)

C.(l,4)D.(2,+8)

【解析】f(x)=(x-3)d+(x—3)(e)=(尤一2)e"

令了(x)>0,解得x>2,故選D.

【典例3】已知定義在區(qū)間(一兀，兀)上的函數(shù)火x)=xsinx+cosx,則兀0的遞增區(qū)

間是.

【解析】/(x)=sinx+xcos%—sinx=xcosx.

令/(x)=xcosx>Q,

則其在區(qū)間(一兀,兀)上的解集為(一兀,圄山野，

即兀0的單調(diào)遞增區(qū)間為(一兀,一)和(0,S

【考點七】討論含參函數(shù)的單調(diào)性

【典例1】已知函數(shù)Hx)=|ax2—(a+l)x+lnX,a>0,試討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)

性.

【解析】函數(shù)五X)的定義域為(0,+8),

/(x)=ax-(a+l)+；

“X2—(〃+1)%+1(依-1)(%—1)

XX

(1)當(dāng)0<。<1時，(>1,

.,.x￡(0,1)和\,+8)時，/(x)>0；

'll'0時，/任)<°，

函數(shù)4x)在(0,1)和g,+8)上單調(diào)遞增，在［1,0上單調(diào)遞減;

(2)當(dāng)。=1時，1=1,

.../(x)N0在(0,+8)上恒成立,

，函數(shù)兀X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(3)當(dāng)a>\時，0<^<1,

.?.xG(0,0和(1，+8)時，7(x)>0；

?1，1)時，了(無)<°，

...函數(shù)凡X)在(0,0和(1,+8)上單調(diào)遞增，在,，1)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)0<a<l時，函數(shù)兀r)在(0,1)和+8)上單調(diào)遞增，在11,力上單調(diào)

遞減；

當(dāng)a=\時，函數(shù)次x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時，函數(shù)於)在(0,0和(1，+8)上單調(diào)遞增，在色1］上單調(diào)遞減.

21—1

【典例2］已知?X)=Q(%—lnx)+—X2—，〃>0，討論火工)的單調(diào)性.

【解析】火的的定義域為(0,+8),

a2?2(ax2—2)(x—1)

f^=a-~~^=了

當(dāng)xG(O,1)U+°°時，r(x)>o,

當(dāng)時，/?<0.

(2)當(dāng)a=2時，A/|=1,在x￡(0,+8)內(nèi)，/(X)>O,人勸遞增.

(3)當(dāng)a>2時，Ovi<b

0u(i,+8)時，了@>0,

當(dāng)xG0,

當(dāng)i)時，/㈤<s

綜上所述，當(dāng)0<a<2時，/(x)在(0,1)和6J1,+8)內(nèi)遞增，在［1,、/馬內(nèi)遞減.

當(dāng)。=2時，夫x)在(0,+8)內(nèi)遞增；

(，1)內(nèi)遞減.

當(dāng)。>2時，於)在0,+8)內(nèi)遞增，在

【典例3】已知函數(shù)人x)=a尤+lnx(a?R),求人x)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】由已知得了(x)=a+:=.(x>0),

Ji人

①當(dāng)時，由于x>0,故ax-\-l>0,/(x)>0,

所以人X)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,+8).

②當(dāng)。<0時，令/(x)=0,得X=一

在區(qū)間(0,一J上，/(%)>0,在區(qū)間?,+H上，/(x)<0,

所以函數(shù)_/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(o,—0,單調(diào)遞減區(qū)間為(一5，+8).

【考點八】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

b

【典例1】已知X=1是y(x)=2x+;;+lnx的一個極值點.

(1)求函數(shù)火X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=?x)—若函數(shù)g(x)在區(qū)間［1,2］內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)。的

?X

取值范圍.

b

【解析】(l)/(x)=2x+i+lnx,定義域為(0,+°°).

b,12x2+x-Z?

：.f(x)=2-^+~=x2

b

因為x=l是?x)=2x+1+lnx的一個極值點,

所以/(1)=0,即2—。+1=0.

解得6=3,經(jīng)檢驗，適合題意，所以6=3.

2/+x—3

所以/(?=

令了(x)<0,得0<x<l.

所以函數(shù);(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

3+。,a,1,a

(2)g(x)=/(x)—二^=2x+lnx--(x>0),g，a)=2+1+j(x>0).

因為函數(shù)g(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

所以g%x)20在［1,2］上恒成立，

即2+：+/20在［1,2］上恒成立，

所以2X2—x在［1,2］上恒成立，

所以〃2(—2X2-X)max,［1,2］.

因為在［1,2］上，(—2X2—X)max——3,

所以—3.

所以實數(shù)〃的取值范圍是［—3,+8).

【典例2］若函數(shù)ynR+d+mx+l是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍

是()

A.生+8)B(-8,|

%，+8)D.［—8,0

【解析】由丁=/+冗2+小+1是R上的單調(diào)函數(shù)，

所以y=3f+2x+加三0恒成立，或y=3x2+2x+mC0恒成立，

顯然y'=3x2+2x+根NO恒成立，

則/=4—12Z0,所以加斗

故選AC.

【典例3】設(shè)函數(shù)氏0=52—91nx在區(qū)間［a—1,。+1］上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的

取值范圍是.

9

【解析】易知八%）的定義域為（0,+°°）,且了（龍）=%—二

Ji

9

又x>0,令/（x）=%——W0,得0<xW3.

因為函數(shù)人X）在區(qū)間3—1,。+1］上單調(diào)遞減，

a—1>0,

所以解得l<aW2.

［a+lW3,

【考點九】利用導(dǎo)數(shù)比較大小

【典例1】（多選題）定義在（0,期上的函數(shù)人x）,已知/（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有

cosx-f（x）+sinx-J（x）<0f^iL,則有（）

A.周>也用B.小局>局

C周〉書局D.限於小局

【解析】構(gòu)造函數(shù)g（x尸察》4臼.則g，（x）J⑴工3fx<。，

即函數(shù)g（x）在I。，駕上單調(diào)遞減，所以g（*ge，所以局>小局，同理，且用

>4S即也周>小局，故選CD.

【典例2］已知丁=%）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時不等式加）+4（x）<0

成立，若。=3°-3八3°，3）,b=logn3-f（logn3）,c=log3^-y^log3^,則a,b,c的大小

關(guān)系是（）

A.a>b>cB,c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【解析】設(shè)g(x)=V(x),

則g'(x)=Ax)+邛(力，

又當(dāng)x<0時，f(x)-\-xf(x)<0,

.,.x<0時，g'(x)<0,g(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減.

由y=/(x)在R上為奇函數(shù)，

知g(x)在R上為偶函數(shù)，

；.g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

c=g(log3^=g(—2)=g(2),

又0<^3<1<303<73<2,

03

g(log7t3)<g(3)<g(2),即b<a<c.

故選D.

【典例3]已知函數(shù)Hx)=xsinx,x?R,則_/[1),五1),《一§的大小關(guān)系為()

B貝)卻尚

c.周次1)>《制

Dj一部周次1)

【解析】因為Hx)=xsinx,所以火一x)=(—x>sin(—x)=;tsinx=/(x),所以函數(shù)於)

是偶函數(shù)，所以《一|]=局.又當(dāng)野時，/(x)=sinx+xcosx>0,所以函數(shù)

危)在(0,野上是增函數(shù)，所以局勺⑴勺尊，即小加⑴颼I，故選A.

【考點十】利用導(dǎo)數(shù)解不等式

【典例1】已知人為在R上是奇函數(shù)，且了(x)為人防的導(dǎo)函數(shù)，對任意xGR,均

f(x)

有1A成立，若八―2)=2，則不等式火工)>—2廠1的解集為()

A.(—2,+°0)B.(2,+8)

C.(—8,-2)D.(—8,2)

f(x)

【解析】於)七/一可'(%)一加2.加)<0.

人f(%)

令g(x)=2工，

小)()

則g'(x)」f-(-%---~--f全X---,-I-n-2-，

：.g\X)<Q,則g(X)在(一8,+8)上是減函數(shù).

由五—2)=2,且犬x)在R上是奇函數(shù)，

得火2)=—2,則媳)=￡笠=一

「f(x)1

又火x)>—2-x1=2X>—g=g(2)，即gO)>g(2),

所以x<2.

故選D.

【典例2］已知函數(shù)段)=3x+2cosx.若。=/3&)，b=fil),c=/log27),則a,

b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

【解析】由題意，得了(尤)=3—2sinx.

因為一IWsinxWl,所以，(x)>0恒成立，

所以函數(shù)人x)是增函數(shù).

因為正>1,所以36>3.

又Iog24<log27<log28,即2<log27<3,

所以2<log27<3也，

所以/2)</(log27)<^3V2),即b<c<a.

故選D.

【典例3】函數(shù)八%)的導(dǎo)函數(shù)為〃x),對任意xGR,都有/(x)>—加0成立，若人也

2)=1,則滿足不等式危舊的x的取值范圍是()

A.(l,+8)B.(0,1)

C.(ln2,+8)D.(0,In2)

【解析】對任意xGR,都有/(x)>-/x)成立，即/(x)+Hx)>0.

令g(x)=e-y(x),

則g")=eV(x)+)x)]>0,

所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.

不等式即e%>)>1,即g(x)>l.

因為加12)=2,

所以g(ln2)=*"(In2)=2x1=l.

故當(dāng)x>ln2時，g(x)>g(ln2)=1,

所以不等式8。)>1的解集為(1112,+8).

故選C.

【考點十一】根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

【典例1】設(shè)函數(shù)人x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了(X),且函數(shù)y=,『

(1—x)/(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()

A.函數(shù)人X)有極大值人2)和極小值汽1)'

B.函數(shù)火工)有極大值/一2)和極小值火1)

C.函數(shù)人x)有極大值人2)和極小值五-2)

D.函數(shù)人x)有極大值1一2)和極小值人2)

【解析】由題圖可知，當(dāng)尤<一2時，了(x)>0；

當(dāng)一2<x<l時，/(^)<0；當(dāng)1<%<2時，/(x)<0；

當(dāng)x>2時，/(x)>0.

由此可以得到函數(shù)應(yīng)￥)在X=—2處取得極大值，

在x=2處取得極小值.

故選D.

【典例2】設(shè)函數(shù)而c)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(x),且函數(shù)g(x)=3(x)的圖象

如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()

A<x)有兩個極值點

B次-2)為函數(shù)的極大值

C._/(x)有兩個極小值

D人-1)為4x)的極小值

【解析】由題圖知，當(dāng)無6(—8,—2)時，g(x)>0,.-.f(x)<0,

當(dāng)XG(—2,0)時,g(x)<0,.,./(x)>0,

當(dāng)xG(0,1)時，g(x)<0,.寸㈤<0,

當(dāng)xG(l,+8)時，g(x)>o,.?./(元)>0,

.?優(yōu)x)在(一8,-2),(0,1)上單調(diào)遞減，

在(一2,0),(1,+8)上單調(diào)遞增.

故ABD錯誤，C正確.

故選C.

【典例3】(多選題)函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則()

A.—3是函數(shù)y=/(x)的極值點

B.-1是函數(shù)y=/(x)的極小值點

口=%)在區(qū)間(一3,1)上單調(diào)遞增

D.-2是函數(shù)丁=兀0的極大值點

【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x?(—8,—3)時，/(x)<0,當(dāng)x?(—3,—

1)時，/(x)>0，所以函數(shù)y=/(x)在(一8,—3)上單調(diào)遞減，在(一3,—1)上單調(diào)

遞增，可知一3是函數(shù)y=/(x)的極值點，所以A正確.

因為函數(shù)y=/(x)在(一3,1)上單調(diào)遞增，可知一1不是函數(shù)y=/(x)的極小值點，

一2也不是函數(shù)y=/(x)的極大值點，所以B錯誤，C正確，D錯誤.

故選AC.

【考點十二】已知函數(shù)求極值

【典例1】已知函數(shù)八x)=lnx—ax(aGR).

⑴當(dāng)。=3時，求於)的極值；

⑵討論函數(shù)人乃在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).

【解析】⑴當(dāng)時，4r)=lnL；x,函數(shù)的定義域為(0,+8)且一￡=

乙乙人N

2一二

~2^9

令/(尤)=0,得x=2,

于是當(dāng)x變化時，r(x),/X)的變化情況如下表.

X(0,2)2(2,+8)

+0——

?In2-1

故;(x)在定義域上的極大值為火x)極大值=/(2)=ln2—1,無極小值.

(2)由(1)知，函數(shù)兀0的定義域為(0,+°°)，

/W=1-?=1一〃元

-A/X,

當(dāng)時，/(x)>0在(0,+8)上恒成立，

則函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點;

當(dāng)a>0時，若xd[o,0，則/(x)>0,

若+8),則了任)<0,

故函數(shù)在x=(處有極大值.

綜上可知，當(dāng)aWO時，函數(shù)八X)無極值點，

當(dāng)。>0時，函數(shù)y=/(x)有一個極大值點，且為x=1.

【典例2】已知函數(shù)求函數(shù)4x)的極值.

【解析】因為人的二%2—l—2alnx(x>0),

2a2(x2—g)

所以了(x)=2x「

xx

①當(dāng)〃<0時，因為％>0,且所以/(x)>0對x>0恒成立，所以八工)在(0,

+8)上單調(diào)遞增，/(X)無極值.

②當(dāng)6>0時，令/(x)=O,解得汝=如，冗2=—,(舍去).

所以當(dāng)X變化時，/(%),“X)的變化情況如下表：

X(0,\[a)(y[a,+°°)

rw—0+

?極小值

所以當(dāng)時，?r)取得極小值，且五，^)=("\/^)2—1—2aln,\[a=a-1-tzlna,

無極大值.

綜上，當(dāng)。<0時，函數(shù)?￥)在(0,+8)上無極值.

當(dāng)。>0時，函數(shù)Hx)在x=g處取得極小值a—1—alna,無極大值.

【典例3】已知函數(shù)段)=x—1+義??&e為自然對數(shù)的底數(shù))，求函數(shù)於)的

極值.

【解析】求導(dǎo)得，了(x)=l—名，當(dāng)aWO時，f(x)>0,/(x)為(一8,十8)上的增函

V

數(shù)，所以函數(shù)火》)無極值.

當(dāng)。>0時，令/(x)=0,得6^=<7,即x=lna,

當(dāng)尤6(—8,山a)時，/(x)<0；

當(dāng)xG(lna,+8)時，/(x)>0.

所以五x)在(一8,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

故兀0在x=lna處取得極小值且極小值為火Ina)=lna,無極大值.

綜上，當(dāng)aWO時，函數(shù)五x)無極值；

當(dāng)a>0時，y(x)在x=lna處取得極小值Ina,無極大值.

【考點十三】根據(jù)極值求參數(shù)的值(范圍)

【典例口已知x=；是函數(shù)Hx)=x(lnax+1)的極值點，則實數(shù)a的值為()

AAeB."eC.lD.e

【解析】因為函數(shù)“x)=x(lnax+l)有極值點，

所以了(%)=(lnax+l)+l=2+lnax.

因為冗=：是函數(shù)“x)=x(lnax+1)的極值點，

c

所以=2+=0.

所以=—2,解得4Z=1.

故選B.

.4....

【典例2】已知函數(shù)兀0=必一加十力.若兀￥)在。+3)上存在極大值，則a

的取值范圍是.

2

【解析】/(AOMBX2—2ax=%(3%—2a),令1(%)=0,得%i=O,

當(dāng)〃=0時，兀0單調(diào)遞增，兀0無極值，不合題意.

當(dāng)a>0時，火工)在％=半處取得極小值，在冗=0處取得極大值，

則a—l<O<a+3,又a>0,所以Q<a<1.

°

當(dāng)。<0時，兀0在1=胃處取得極大值，在尤=0處取得極小值，

則。一lu^va+B,又a<0,所以一9<a<0.

所以。的取值范圍為(一9,0)U(0,1).

【典例3］已知在％=—1處有極值0,則a-\-b=.

【解析】f(x)=3X2+6ax-\-b,

/(-1)=0,4=1,。=2,

由題意得，解得或<

/(-I)=0,［。=3b=9.

當(dāng)a=l,b=3時，f(x)^3x2+6x+3^3(x-\-l)2^Q,

在R上單調(diào)遞增，

.?猶x)無極值，

所以。=1,0=3不符合題意,

當(dāng)。=2,0=9時，經(jīng)檢驗滿足題意.

.,.a+b=ll.

【考點十四】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

【典例1】已知函數(shù)g(x)=aln無+九2—(a+2)x(aGR).

(1)若。=1,求g(x)在區(qū)間［1,e］上的最大值;

(2)求g(x)在區(qū)間［1,e］上的最小值力他).

【解析】.,.g(x)=lnx+%2—3x,

?卬(無)=：+2%-3=(2%—1)(%—1)

x

V%e[l,e],?卬(%)20,

；?ga)在[1,e]上單調(diào)遞增,

??g(x)max=g(e)=e2-3e+1.

(2)g(x)的定義域為(0,+8),

g'(x)=(+2x—(a+2)

.A/

2/—(〃+2)%+〃

X

(2x-4)(％—1)

X

①當(dāng)gwi,即aW2時，g(x)在［1,e］上單調(diào)遞增，h(d)=g(l)=-a—l；

②當(dāng)l<^<e,即2<a<2e時，g(x)在1,，上單調(diào)遞減,在售e上單調(diào)遞增，h(d)

⑷—,￡12

一21—aIn2一4〃一。；

③當(dāng)自2e,即aN2e時，g(x)在［1,e］上單調(diào)遞減，h(a)—g(e)==(1—e)t7+e2—2e.

’—a-1,a<2,

綜上，h(a)=<2<o<2e,

、(1—e)tz+e2—2e,〃N2e.

【典例2】已知函數(shù)g(x)=lnx—宗+Z?在區(qū)間［1,3］上的最小值為1,求g(x)在

該區(qū)間上的最大值.

【解析】依題意知，g(x)的定義域為(0,+°°).

因為g(x)=lnx一"十。，

1x

所以對g(x)求導(dǎo)，得g'(x)=1—a

4—%2(2—.x)(2+x)

~4x~4x

當(dāng)2)時,g'(x)>0,當(dāng)尤e(2,3)時,g'(x)<0,

所以g(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，在［2,3］上單調(diào)遞減，

在區(qū)間［1,3］上,g(x)max=g(2)=ln2—b.

19

又g(l)=-g+。，g(3)=ln3—g+。，

g(3)—g(l)=ln3—1>0,

所以g(X)min=g(l)=—1+/?=1,

95

解得。=R,所以g(2)=ln2+g.

于是函數(shù)g(x)在區(qū)間［1,3］上的最大值為g(2)=ln2+1.

%2

【典例3】設(shè)函數(shù)/)滿足力(x)+2動㈤=弓，火2)=M，則x>0時，加)()

4O

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值

12

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2")，則/(尤)=4(》)+2求x)=?g(2)=2?貫2)=向

所以人》)=&￥，

xgf(x)~2g(x)e*—2g(x)

小尸?=?

記h(xj—^—lg{x),則h'(x)=ex—2g'(x)~—(x—2),當(dāng)0<x<2時，h'(x)<0,所以

力(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>2時，"(x)>0,所以/z(x)單調(diào)遞增.

h(x)

故ma)］min=e2—2g(2)=0,所以/(尤)=一^5—e0恒成立，故函數(shù)兀0既無極大值

也無極小值.故選D.

【真題訓(xùn)練】

1.(2021?乙卷)設(shè)oWO,若x=a為函數(shù)/(x)=a(x-a)2Qx-b)的極大

值點，則()

A.a<bB.a>bC.ab<.crD.ab>d1

【解析】令/(無)=0,解得x=a或x=。，即x=a及.x=b是/(x)的兩個零點,

當(dāng)。>0時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使尤=。是/（無）的極大值點，則函數(shù)/

（無）的大致圖象如下圖所示，

則0<a<b；

當(dāng)。<0時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x=a是/（3的極大值點，則函數(shù)/

（x）的大致圖象如下圖所示,

綜上，ab>a2.

故選：D.

2.（2021?新高考I）若過點（a,b）可以作曲線y=e*的兩條切線，則（）

A.eb<.aB.ea<bC.0<。<於D.Q<.b<.ea

【解析】函數(shù)是增函數(shù)，y'=">0恒成立，

函數(shù)的圖象如圖，y>0,即切點坐標(biāo)在x軸上方，

如果（a,。）在x軸下方，連線的斜率小于0,不成立.

點（a,。）在x軸或下方時，只有一條切線.

如果（a,。）在曲線上，只有一條切線；

（a,b）在曲線上側(cè)，沒有切線；

由圖象可知（。，。）在圖象的下方，并且在x軸上方時，有兩條切線，可知0V

b<ea.

故選：D.

法二：設(shè)過點(a,b)的切線橫坐標(biāo)為f,

則切線方程為y=—(x-7)+/,可得(a+1-/),

設(shè)f(?)=，(a+1-/),可得f⑺=e'(a-Z),tE(-°°,a),f(r)

>0,f(r)是增函數(shù)，

te(a,+8),f(?)<o,f(r)是減函數(shù)，

因此當(dāng)且僅當(dāng)0<0<e〃時，上述關(guān)于f的方程有兩個實數(shù)解，對應(yīng)兩條切線.

故選：D.

3.(2021?新高考n)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x)：f(x)

=x2.

dy(X1X2)=/(Xl)/(X2)；②當(dāng)花(0,+8)時，f(x)>0；@f(x)

是奇函數(shù).

2=22

【解析】/(X)=/時，f(x1X2)=(x1X2)x1x2=f(x1)f(X2)；當(dāng)在(0,

+°°)時，f(x)=2x>0；f(x)=2x是奇函數(shù).

故答案為：/(x)=/.

另解：幕函數(shù)/(x)=^(a>0)即可滿足條件①和②；偶函數(shù)即可滿足條件③，

綜上所述，取/(x)即可.

4.(2021?新高考I)函數(shù)/(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為.

【解析】法一、函數(shù)/1(x)=|2x-1|-2/〃x的定義域為(0,+8).

當(dāng)?時，f(%)=\2x-1|-2lnx=-2x+l-2lnx,

此時函數(shù)/(x)在(0,點上為減函數(shù)，

當(dāng)■時，f(x)—\2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx,

則#(x)=2上=2"),

XX

當(dāng)xC(p1)時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(1,+8)時，f(%)>o,f(%)單調(diào)遞增，

,：f(x)在(0,+8)上是連續(xù)函數(shù)，

.,.當(dāng)XC(0,1)時，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)XC(1,+8)時，于3單調(diào)遞增.

當(dāng)尤=1時/(%)取得最小值為/(I)=2X1-1-2歷1=1.

故答案為：1.

法二、令g(x)=|2x-1|,h(%)=2lnx,

分別作出兩函數(shù)的圖象如圖：

由圖可知，/(x)蕓/1(1)=1,

則數(shù)/(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為1.

故答案為：L

5.(2021?上海)已知/(x)=鼻+2,則尸(1)=

X

【解析】因為/(X)=-+2,

X

令/(x)=1,即旦+2=1,解得x=-3,

x

故/1(1)=-3.

故答案為：-3.

2x-l

6.(2021?甲卷)曲線y=《運在點(-1,-3)處的切線方程為

【解析】因為丁="，(-1,-3)在曲線上,

x+2

2(x+2)-(2x-l)5

所以y=

(x+2產(chǎn)(x+2)2

所以V"」=5,

則曲線丁=紅'在點(-1，-3)處的切線方程為：

x+2

y-(-3)=5[x-(-1)],即5x-y+2=0.

故答案為：5x-y+2=0.

7.(2022?乙卷)函數(shù)/(%)=cosx+(x+1)sin%+l在區(qū)間[。，2TC]的最小值、最

大值分別為()

”，三+2

22

【解析】/(x)cosx+(x+1)sinx+1,xE[0,2n],

貝U/(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx,

令cosx=0得，-或弓

...當(dāng)xRO,-y)時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)(與，等)時，f

(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xE(得二2n］時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞

."(x)在區(qū)間［0,2n］上的極大值為八5)=9+2,極小值為/(等)=-等,

又,：于(0)=2,f(如)=2,

；?函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2川的最小值為-等，最大值為皆+2，

故選：D.

8.(2022?新高考I)(多選)已知函數(shù)/(x)=x3-x+L則()

A./(x)有兩個極值點

B.f(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【解析】，(x)=3N-l,令/(%)>0,解得*<零或x>喙，令/(%)

<0,解得當(dāng)〈除，

OO

減，且f+9>o,f陣)=9-平>0,

0y□y

：.f(%)有兩個極值點，有且僅有一個零點，故選項A正確，選項5錯誤；

又f(%)(-%)=--x+1-x3+x+l=2,則f(尤)關(guān)于點(0,1)對稱,故選

項C正確；

假設(shè)y=2x是曲線y=f(x)的切線，設(shè)切點為(a,b),則3a7=2,解得］a=l

L2a=blb=2

或

lb=-2

顯然(1,2)和(-1,-2)均不在曲線y=/(x)上，故選項。錯誤.

故選：AC.

9.(2022?新高考I)若曲線y=(x+a)有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則。的取

值范圍是.

x

【解析】y'="+(x+a)eS設(shè)切點坐標(biāo)為(xo,(%o+a)eo)，

xx

切線的斜率k=eo+(Xo+a)eo,

xXXs

，切線方程為y-(xo+tz)eo=(e°+(x0+a)e)(x-xo),

xXoX

又,切線過原點，，-(沏+。)eo=(e+(xo+a)e°)(-&)，

-

整理得：XQ2+axQa=O,

?.?切線存在兩條，...方程有兩個不等實根，

/.A=a2+4a>0,解得aV-4或a>0,

即a的取值范圍是(-8,-4)U(0,+8),

故答案為：(-8,-4)U(0,+8).

10.(2022?新高考H)曲線y=ln\x\過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程

為，?

【解析】當(dāng)x>0時，y=lnx,設(shè)切點坐標(biāo)為(xo,livco'),

,.丁=工，...切線的斜率左=：,

XX。

???切線方程為丁-加3二;^-^),

x0

又,切線過原點，.-lnxo=-1,

??%o——e9

???切線方程為y~1=—(x-e)，即x-ey=O，

e

當(dāng)xVO時，y=ln(-x),與的圖像關(guān)于y軸對稱,

，切線方程也關(guān)于y軸對稱，

，切線方程為x+ey=O,

綜上所述，曲線y=/”|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條切線方程分別為x-ey=O,x+ey=O,

故答案為：x-ey=O,x+ey—Q.

11.（2022?乙卷）已知x=xi和x=X2分別是函數(shù)/（x）=2。-ex2（。>0且a

W1）的極小值點和極大值點.若Xl<龍2,則。的取值范圍是.

【解析】對原函數(shù)求導(dǎo)（%）=23na-ex）,分析可知：f（x）在定義

域內(nèi)至少有兩個變號零點，

對其再求導(dǎo)可得：f"（x）=2a，Una）2-2e,

當(dāng)a>l時，易知/（x）在R上單調(diào)遞增，此時若存在配使得尸（xo）=0,

則/（X）在（-8,X0）單調(diào)遞減，（X0,4-00）單調(diào)遞增，

此時若函數(shù)/（X）在％=即和X=X2分別取極小值點和極大值點，應(yīng)滿足陽>松,

不滿足題意；

當(dāng)0<a<l時，易知/（x）在R上單調(diào)遞減，此時若存在xo使得/（xo）=

0,

則/（%）在（-8,xo）單調(diào)遞增，（%o,+8）單調(diào)遞減，且x°=loga~^~~

（lna）

此時若函數(shù)/（X）在X=X1和無=X2分別取極小值點和極大值點，且X1VX2，

故僅需滿足f（xo）>0,

—^―_1/re

BP：7?—>elog