解三角形-2022年高考數(shù)學(xué)訓(xùn)練（解析版）

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練

專題13解三角形

一、單選題(本大題共10小題，共50分)

1.在AABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若2αcosC=b,則4ABC的形狀是

()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】C解：???b=2acosC,

???由正弦定理得SinB=2sinAcosC,

Vβ=yr—(^4+C),

Sin(A+C)=2sinAcosC1

貝(JsiτL4cosC+CosAsinC=2sinAcosC9

SinAcosC—CosAsinC=0,

即SinG4-C)=0,

VA.C∈(0,Tr),

.?.A-Ce(-πfπ)f則/一C=O,

??A=C9

??.△ABC是等腰三角形.

故選：C.

2.如圖，在△4BC中，點(diǎn)。在邊AB上，CDIBC,AC=5√3,CD=5,BD=2AD,則

Ao的長(zhǎng)為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】解：設(shè)AD=3可得BD=23BC=√4t2-25,

在直角三角形88中，可得‘°SB=亨

_4t2-25+9t2-75

在三角形48C中，可得CoSB

2?3t?√4t2-25

即為V4/-25_4d-25+9d-75

2t—2?3t?√4t2-25

即2(4g一25)=為2—75,解得t=5,

可得AZ）=5,

故選：B.

3.海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望。島和3島成60。的視角，從5島望C

島和A島成75。的視角，則以C間的距離是（）

A.10√T海里B.吧匹海里C.5√Σ海里D.5倔每里

3

【答案】D

【解析】解：由題意可得，A=60o,B=75°,NC=I80。-60。-75。=45。

根據(jù)正弦定理可得，?=?FC=蜷=5幾故選D.

sιn60osιn45o√2

2

4.在AABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為人b、c,若角A、C、8成等差數(shù)列，角C

的角平分線交AB于點(diǎn)。，且CD=遮，a=3b,則C的值為（）

A.3B.?C.亭D.2√3

【答案】C

【解析】解：由題意，得｛：：?_→?

由SAABC=SAACD+SABw

得!”bsin?aCD>?iιι??eCD?s???,

232626

所以Q匕=Q+b,

所以助2=鉆，解得b=g（b=O舍去），

故Q=3b=4

故C=√α2+62-2ab?cost'=—,

3

故選C.

5.如圖，要測(cè)量電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是不在。點(diǎn)測(cè)得塔頂A的

仰角是士水平面上的一伙力-；.CDlo?n,則電視塔A5的高度為（）m

6

A.20B.30C.40D.50

【答案】A

【解析】解：由題題意，設(shè)4B=x,則BD=百》，BC=X

在ADBC中，?BCD=60o,CD=40,

根據(jù)余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC-CD-CoS4DCB

即：（8丫產(chǎn)=（40）2+x2-2×40?x?cos60o

整理得/+20%-800=0,解之得X=-40（舍去）或X=20

即所求電視塔的高度為20米.

故選A.

6.為測(cè)出小區(qū)的面積，進(jìn)行了一些測(cè)量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所

示，則小區(qū)的面積為（)

A.

B.Zkm2

4

?i-√r3.2

cC.A?rrι

4

D.Ukm2

4

【答案】D

【解析】解：如圖連接AC,

根據(jù)余弦定理可得

AC2=AB2+BC2_2abXBCCOSB=3,

即AC=√3,

由于叱+"C?=AB2,

所以Z?C8=90°,?BAC=30°,

所以W4C=45°-30o=15o,?DCA=105°-90°=15°,

所以ZJMC=?DCA

所以AADC為等腰三角形，

設(shè)4。=CC=x,40=150。，

由余弦定理/+X2+√3x2=3=?X2=3(2-√3),

故所求面積為：X1X遙+：X3(2-√ξ)X(=平.

故選D

C

D

.????105°?jkm

________A,

2km_____,

7.已知直三棱柱ABC-力IBlCl的底面是正三角形，AB=25。是側(cè)面BCGBI的中心，

球。與該三棱柱的所有面均相切，則直線AO被球。截得的弦長(zhǎng)為（）

A√∏BgQ3舊D3√IU

*105105

【答案】D

【解析】解：因?yàn)榍?。與直三棱柱ABC—AB】G的所有面均相切，且直三棱柱4BC—

的底面是正三角形，

所以球心。為該三棱柱上、下底面三角形重心連線的中點(diǎn),

如圖所示，設(shè)球。的球心為O,底面三角形A8C的重心為0',連接。0

則。。'1底面ABC.

設(shè)BC的中點(diǎn)為E,連接AE,易知點(diǎn)。'在AE上,

連接。。、DE,因?yàn)?。是?cè)面BBIClC的中心，所以四邊形。0'ED為正方形,

設(shè)球0的半徑為r,則山AB=2√3,

可得r=2√^x當(dāng)Xl=1，易得/W=Ir2+(2√3×y)2=√10-

連接OA,可得OA=Jr2+(2√3XX∣)2=√5.

。。2+心-4。2_3或

???cos?ADO=

2D。AD-10

故所求弦長(zhǎng)為2r?cos?ADO=嚶.

故選。.

8.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,若直線bx+ycos4+cosB=O與

αx+ycosB+cos4=0平行，則AABC一定是()

A.銳角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰或者直角三角形

【答案】C

【解析】解：T直線b%+ycosA+cosB=0與αx+ycosB+cosA=0平行，

/.—b=-co-s-A,

acosB

解得bcosB=acosA,

???利用余弦定理可得：bXM龍=αχMW,

2ac2bc

整理可得：c2(b2—α2)=(h2+a2)(?2—a2),

解得：c2=a2+爐或b=a,

而當(dāng)a=b時(shí)，兩直線重合，不滿足題意；

則AABC是直角三角形.

故選C.

9.海倫不僅是古希臘的數(shù)學(xué)家，還是一位優(yōu)秀的測(cè)繪工程師.在他的著作行則地術(shù)》中最

早出現(xiàn)了已知三邊求三角形面積的公式，即著名的海倫公式S=

?/p(p—a)(p—b')(jp—c)>這里P=?(a+b+c),a,b,C分別為團(tuán)ABC的三個(gè)角A,B,

C所對(duì)的邊，該公式具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn)，形式很美.已知因ABC中，p=12,c=9,

CoSA=|,則該三角形內(nèi)切圓半徑()

A.√2B.√3C.√10D.√5

【答案】D

【解析】解：因?yàn)镻=Xa+b+c),所以a+b+c=2p,

因?yàn)镻=12,c=9,所以a+b=15,

三角形的內(nèi)切圓半徑r=-??,

a+?+c

由余弦定理得

CoSA—"+2。bc一。=-3>

所以(6-。)(8+。)+81=124即b-5a=-27,

所以Q=7,b=8,

所以S=JP(P—a)(p—6)(P—C)=√12×(12-7)(12-8)(12-9)=12√5)

所以r=\/5>

故選。

10.在ZABC中，若；?+熹=2(黑+熹)，則()

A.C的最大值為?B.C的最大值為半

C.C的最小值為WD.C的最小值為?O

【答案】A

【解析】解：因?yàn)楦?磊=2（康+磊）,

匕匚1“11C/COSA,CoS8、

所以而7+I忑G=2(=+研),

sin∕l+sinBC(sinBCoSA+cosBSin4)

所以—~J-=2-------：~—------

sinASinBsinASinB

_2Sin(4+B)_2SinC

sinASinBsinASinB

所以SinA+sinB=2sinCf

由正弦定理得到：a+b=2c,

2222

所以c°sc=a式α+?-(^^)?+?-∣αft-2ab-ab1

2ab2ab"2ab

2

當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時(shí)"="成立,

所以U「.

?*

則C的最大值為?

故選A.

二、單空題（本大題共4小題，共20分）

11.如圖，在離地面高200山的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15。、山腳A處的俯角

為45。，已知ZBAC=60。，則山的高度BC為m.

【答案】300

【解析】解：根據(jù)題意，可得RtAAMC中，NMAZ）=45。，MD=200,

MD

.?.AM==200√2.

sin4S"

???△MAC中，?AMC=45°+15o=60o,NMAC=I80°—45°—60°=75°,

.?.?MCA=180o-?AMC-?MAC=45°,

由正弦定理，得4。=3潸='詈=20。/，

sιn?MCAXi

2

在Rt?ABC中，BC=ACsinNB/lC=200√3×-=300m?

2

故答案為300.

12.在四邊形ABCO中，AB=6,BC=CD=4,DA=2,則四邊形4BC。的面積的最大

值是______

【答案】8√3

【解析】解：如圖所示，

AB=6,BC=CD=4,DA=2,

設(shè)BD=X,在AABD中，

由余弦定理可得/=22+62-2×2×6cosA=40-

24cosAι

在aBCD中，由余弦定理可得產(chǎn)=32—32CoSC,

聯(lián)立可得3cos4—4cosC=1,(T)

又四邊形ABCD面積S=∣×4×4sinC+∣×2×6sinA,

即4sinC+3sinA=∣S,(2)

①2+②2可得9+16+24(SinASinC-cosAcosC)=1+?s2,

化簡(jiǎn)可得一24COSG4+Q=?2-24,

由于一1<CoS(A+C)≤1,?-24≤-S2-24≤24,

.?.0≤S2≤192,解得S≤8√I,

當(dāng)CoS(A+C)=-1即4+C=兀時(shí)取等號(hào)，

???S的最大值為8次.

故答案為：8√3.

13.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,

我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑4B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)

在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測(cè)得Cn=45m,ZJWB=1350,?BDC=/.DCA=15。,

?ACB=120則AB兩點(diǎn)的距離為'I.

【答案】45√5

【解析】解：易知在△4C。中，Z-DAC=180o-/.ADB-乙BDC-/-ACD=15°,

.??Δ4CD為等腰三角形，則AD=CD=45,

?ΔBCO中，?CBD=180°-乙BDC-?ACD-?ACB=30°,4BCD=120°+15°=135°,

CDBD

所以由正弦定理得即凝=盛，得BD=45√∑,

sinZCBDtinZ.BCD

在A48。中，由余弦定理得4川—心+BD2-2ADxBD×tχ>l：,

=452+(45√2)2-2×45×45√2X(-y)=45zX5.

所以48=45有，即A,8兩點(diǎn)的距離為45近，

故答案為454.

14.如圖，A,B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A,B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，_____A

/----~

要測(cè)出A,B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C,

D,若測(cè)得CD=4km,?ADB=乙CDB=30o,?ACD=

60o,?ACB=45°,則A,8兩點(diǎn)間的距離是km.DC

【答案】2√2

【解析】由于CD=4km,ΛADB=Z.CDB=30o,?ACD=60o,Z.ACB=45",

所以ZDAC=180°-30°-30°-60°=60°,

?DBC=180°-30°-60°-45°=45°,

在三角形AQe中，由正弦定理得一士;=丁號(hào)，所以a。=處"=4，

s?n?DACs?n?ACDsin60

在三角形BC。中，由正弦定理得一■=一人，

SinzFCDSinzDBC

所以=422in(嗎"：)=2√3+2,

sin45

在三角形ABo中由余弦定理得到AB2=42+(2√3+2)2-2×4×(2√3+2)cos30°=8,

所以AB=2√2.

故答案為2√Σ

三、解答題(本大題共4小題，共30分)

15.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,C且CCOSB+bcosC=3αcosB.

(I)求CoSB的值;

(2)若∣G5-0I=2，AABC的面積為2√∑,求邊從

【答案】解：(1)由正弦定理號(hào)=號(hào)

sinC,

即CCoSB+bcosC=SacosBy

得SiTlCCoSB+SinBcosC=3sinAcosBf

貝IJ有3siτh4cosB=Sin(B+C)=Sin(Tr—A)=sinA.

又4∈(0,7Γ),則Sih4>0,

則CYjHO.

?I

(2)因?yàn)锽∈(O,τr),則siτιB>0,

j--------------/2?∕5

.'：?IIt'I?-)———?

\3

因?yàn)楱OZ7—而I=?BA?=c=2^

所以S=-acsinB=XaX2x-2企，得α=3.

223

由余弦定理”-α2r2tl(uw9>B!)I2X3×2×”,

.5

則b=3.

16.在①2gcosC+c=2b,(g)cos2-cosBcosC=(3)(sinB+sinC)2=sin2Λ+

3s譏Bsi?IC這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,g且_______.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若α=2,求AABC面積的最大值.

【答案】解：

(1)選①，由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB,

所以2sinAcosC÷sinC=2sin(A+C)=2(sin∕lcosC+cosAsinC),

即SinC(2cosA-I)=0,又C∈(0,兀)，所以SinC>0,所以CoS24=|,

又A∈(O,ττ),從而得

選②，因?yàn)镃oS2-cosBcosC=1+0°；2—C)—cosBcosC

=_I-COSBCoSC+sinBSinC_-l-cos(F+C)=_一3,

224

所以COS(B+C)=-

cosyl=-COS(B÷C)=?,又因?yàn)锳∈(0,7r),所以4=p

22

選③因?yàn)?SinB+sinC)=sini4+SsinBsinC9

所以siM3+sin2C+2sinBsinC=SinZyl+SsinBsinC,

BPsin2B+sin2C-sin2Λ=SinBSinC,

22

所以由正弦定理得匕2-i-c-a=be,

由余弦定理知CoSA="F=1,

2bc2

因?yàn)锳e(O,兀),所以A=O

(2)由⑴得4=或又α=2,

由余弦定理得ɑ2=∕j2+c2-2hccosA=b2+C2-be2bc—be=be,

所以be44,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取得等號(hào)，

.S,ΛH..Ij心in.4?:Xi-V3<所以△力BC面積的最大值為?/?.

17.設(shè)4",C分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，m=(COSm,sing),元=(cos∣--sin∣),

記與書的夾角為最

(I)求角C的大小；

(2)已知c=(△4BC的面積S=速，求α+b的值.

f

【答案】解：(1)由已知，得而-m/,s∏rχ

又?.?I沆I=同=1,

.—t.TT]

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