數(shù)值方法計算實習(xí)題

數(shù)值方法計算實習(xí)題要求：1、用Matlab語言或你熟悉的其他算法語言編寫程序，使之盡可能具有通用性；2、根據(jù)上機(jī)計算實踐，對所使用的數(shù)值方法的特點、性質(zhì)、有效性、誤差和收斂性等方面進(jìn)行必要的討論和分析；3、完成計算后寫出實驗報告，內(nèi)容包括：課題名稱、解決的問題、采用的數(shù)值方法、算法程序、數(shù)值結(jié)果、對實驗結(jié)果的討論和分析等；4、特別說明：嚴(yán)禁抄襲，否那么一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，所有雷同實驗報告最多評為及格。一、下表給出了飛行中鴨子的上部形狀的節(jié)點數(shù)據(jù)，試用三次樣條插值函數(shù)〔自然邊界條件〕和20次Lagrange插值多項式對數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。用圖示出給定的數(shù)據(jù)，以及和。0.91.31.92.12.63.03.94.44.75.06.01.31.51.852.12.62.72.42.152.052.12.257.08.09.210.511.311.61212.613.013.32.32.251.951.40.90.70.60.50.40.25解：>>x=[0.91.31.92.12.63.03.94.44.75.06.07.08.09.210.511.311.61212.613.013.3];>>y=[1.31.51.852.12.62.72.42.152.052.12.252.32.251.951.40.90.70.60.50.40.25];%〔1〕三次樣條插值法xi=0.9:0.01:13.3;yi=interp1(x,y,xi,'spline');>>xi=0.9:0.01:13.3;yi=interp1(x,y,xi,'spline');>>title('試驗一--三次樣條插值圖示')>>pp=spline(x,y)pp=form:'pp'breaks:[1x21double]coefs:[20x4double]pieces:20order:4dim:1>>pp.coefsans=0.7735-0.99950.77601.30000.7735-0.07140.34771.5000-2.78941.32091.09741.8500-0.4585-0.35281.29102.10000.4489-1.04050.59442.60000.1738-0.5018-0.02252.70000.0783-0.0325-0.50332.40001.31410.0850-0.47712.1500-1.58121.2676-0.07132.05000.0431-0.15550.26232.1000-0.0047-0.02610.08082.2500-0.0245-0.04010.01462.30000.0175-0.1135-0.13902.2500-0.0128-0.0505-0.33581.9500-0.0201-0.1003-0.53191.40001.2094-0.1485-0.73100.9000-0.82790.9400-0.49350.70000.0122-0.0535-0.13890.6000-0.2960-0.0316-0.19000.5000-0.2960-0.3867-0.35730.4000所以所得方程為%〔2〕用拉格朗日法插值%定義Lagrange程序functionf=Language(x,y,x0)symst;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('xoíyμ???êy2??àμè￡?');return;endf=0.0;for(i=1:n)l=y(i);for(j=1:i-1)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;f=f+l;simplify(f);if(i==n)if(nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=collect(f);f=vpa(f,6);endendend>>Language(x,y)ans=52462.6*t+189995.*t^3-189851.*t^4+136778.*t^5-11.3161*t^12-.277283e-6*t^18+1.18284*t^13-73866.6*t^6+.111076e-4*t^17-.976904e-1*t^14+.427949e-8*t^19-.307453e-10*t^20+30677.6*t^7+2564.20*t^9-9968.98*t^8+.628590e-2*t^15-525.813*t^10-9652.78-.308159e-3*t^16+86.2514*t^11-128683.*t^2二、Wilson矩陣，且向量，那么方程組有準(zhǔn)確解。⑴用Matlab內(nèi)部函數(shù)求，的所有特征值和；⑵令，解方程組，并求出向量和，從理論結(jié)果和實際計算結(jié)果兩方面分析方程組解的相對誤差與的相對誤差的關(guān)系；⑶再改變擾動矩陣〔其元素的絕對值不超過0.005〕，重復(fù)第2問。解：解：〔1〕A=[10787;7565;86109;75910];b=[32;23;33;31];m=det(A)%A的行列式m=1>>n=30.2887/0.0102%因為A為對稱陣，所以A的條件數(shù)等于最大特征值除于最小特征值n=2.9695e+003所以A的行列式為1，cond(A)2=2.9695e+003(2)>>B=[1078.17.2;7.085.0465;85.989.899;6.994.9999.98];%令B等于δA+A>>b=[32;23;33;31];>>[rank(B),rank([B,b])]ans=44>>x1=B\b%因為B得秩為4，所以方程組的解唯一，其中x1為的解x1=-81.0000137.0000-34.000022.0000所以δx=x1-x=[-82.0000,136.0000,-35.0000,21.0000]T‖δx‖2=sqrt(82*82+136*136+35*35+21*21)ans=163.9695三、解三對角線性方程組的追趕法及其應(yīng)用⑴編寫解三對角線性方程組的追趕法的通用程序，并應(yīng)用于方程組，檢驗程序的正確性；〔解為〕⑵求微分方程邊值問題的數(shù)值解〔取步長〕，并與精確解比擬〔精確解為〕。說明：離散化微分方程時，解：clearall;a=[2,2,2,2,2];b=[-1,-1,-1,-1];c=[-1,-1,-1,-1];r=[1,0,0,0,0];n=length(a);b=[0,b];u(1)=r(1)/a(1);v(1)=c(1)/a(1);fork=2:n-1u(k)=(r(k)-u(k-1)*b(k))/(a(k)-v(k-1)*b(k));v(k)=c(k)/(a(k)-v(k-1)*b(k));endu(n)=(r(n)-u(n-1)*b(n))/(a(n)-v(n-1)*b(n));x(n)=u(n);fork=n-1:-1:1x(k)=u(k)-v(k)*x(k+1);endfprintf('èy????·?3ì×éμ??a?a\n')fork=1:nfprintf('x(%1d)=%10.8f\n',k,x(k))end>>zhuiganfa%調(diào)用追趕法三對角方程組的解為x(1)=0.83333333x(2)=0.66666667x(3)=0.50000000x(4)=0.33333333x(5)=0.16666667〔2〕四、公元1225年，比薩的數(shù)學(xué)家Leonardo研究了方程，得到一個根，沒有人知道他用什么方法得到這個值。對于這個方程，分別用以下方法：⑴迭代法；⑵迭代法；⑶對⑴的Steffensen加速方法；⑷對⑵的Steffensen加速方法；⑸Newton法。求方程的根〔可取〕，計算到Leonardo所得到的準(zhǔn)確度。五、用不同的數(shù)值方法計算積functionx=nuwton(fname,dfname,x0,e)ifnargin<4,e=1e-4;endx=x0;x0=x+2*e;whileabs(x0-x)>ex0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);end分的近似值，其中⑴取不同的步長，分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式計算積分，比擬兩個公式的計算效果，是否存在一個最小的，使得精度不能再被改善？⑵用龍貝格求積公式，取，并打印出T-表。解：〔1〕①functions=traprl(f,a,b,n)h=(b-a)/n;s=0;fork=1:(n-1)x=a+h*k;s=s+feval('f',x);ends=h*(feval('f',a)+feval('f',b))/2+h*s;>>traprl('f',1,3,1000)ans=-1.4263②functions=simprl(f,a,b,n)h=(b-a)/(2*n);s1=0;s2=0;fork=1:nx=a+h*(1*k-1);s1=s1+feval('f',x);endfork=1:(n-1)x=a+h*2*k;s2=s2+feval('f',x);ends=h*(feval('f',a)+feval('f',b)+4*s1+2*s2)/3;>>simprl('f',1,3,10000)ans=14.4924六、給定矩陣⑴用Matlab的函數(shù)“eig”