《11.3.2 多邊形的內(nèi)角和》課件（3套）

11．3多邊形及其內(nèi)角和11．3.2多邊形的內(nèi)角和教學(xué)目標(biāo)1．掌握多邊形的外角和及內(nèi)角和公式．2．通過把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，體會轉(zhuǎn)化思想在幾何中的運(yùn)用，讓學(xué)生體會從特殊到一般的認(rèn)識問題的方法．3．了解平面鑲嵌的條件，會用簡單的平面圖形進(jìn)行平面鑲嵌．重點難點重點探索多邊形的內(nèi)角和公式及外角和．難點如何把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形，用分割多邊形法推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和與外角和．教學(xué)設(shè)計一、復(fù)習(xí)引入問題：你知道三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？1．教師提問，學(xué)生思考作答．2．教師總結(jié)：三角形的內(nèi)角和等于180°.3．引出課題：你想知道任意一個多邊形的內(nèi)角和嗎？今天我們就來進(jìn)一步探討多邊形的內(nèi)角和與外角和．教學(xué)設(shè)計二、探究新知(一)四邊形的內(nèi)角和問題：你知道任意一個四邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？學(xué)生展示探究成果．分割成2個三角形，180°×2＝360°.教學(xué)設(shè)計分割成4個三角形，180°×4－360°＝360°.分割成3個三角形，180°×3－180°＝360°.教學(xué)設(shè)計1．引導(dǎo)學(xué)生猜想：四邊形的內(nèi)角和等于360°.2．學(xué)生分小組交流與探究，進(jìn)一步來論證自己的猜想．3．由各小組成員匯報探索的思路與方法，講明理由．4．教師匯總學(xué)生所探索出的不同方法，除測量與拼湊法外，并提出疑問：你們添加輔助線的目的是什么？說一說你的想法．5．教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上小結(jié)：借助輔助線把四邊形分割成幾個三角形，利用三角形內(nèi)角和定理求得四邊形的內(nèi)角和．教師可點撥學(xué)生從正方形、長方形這兩個特殊的四邊形的內(nèi)角和入手，進(jìn)而猜測出四邊形的內(nèi)角和等于360°.(二)五邊形的內(nèi)角和問題1：你知道任意一個五邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計問題2：你知道任意一個n邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？(n－2)×180°180°n－360°180°(n－1)－180°板書：多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)×180°教學(xué)設(shè)計補(bǔ)充例題：求十五邊形內(nèi)角和的度數(shù)．1．教師提出問題，學(xué)生思考后分組活動．2．教師深入小組，參與小組活動，及時了解學(xué)生探索的情況．3．讓學(xué)生歸納借助輔助線將五邊形分割成三角形的不同分法．4．探究五邊形的邊數(shù)與所分割的三角形個數(shù)間的關(guān)系，進(jìn)而得出五邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系．5．根據(jù)以上分割三角形的方法，引導(dǎo)學(xué)生歸納n邊形內(nèi)角和公式及不同公式間的聯(lián)系，指明為了書寫整齊，便于記憶，我們選擇(n－2)×180°這個公式．6．通過計算，讓學(xué)生鞏固并掌握n邊形內(nèi)角和公式．(三)多邊形的外角和問題1：小明家有一張六邊形的地毯，小明繞各頂點走了一圈，回到起點A，并面對他出發(fā)時的方向，他的身體旋轉(zhuǎn)了多少度？例：六邊形外角和等于多少度？教學(xué)設(shè)計問題2：n邊形外角和等于多少度？n邊形外角和等于360°.1．學(xué)生思考作答，教師作適當(dāng)點撥．通過課件演示，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)：六邊形的外角和等于360°.2．教師引導(dǎo)學(xué)生利用多邊形內(nèi)角和公式，進(jìn)一步論證六邊形外角和等于360°，即六個平角減去六邊形內(nèi)角和等于六邊形外角和．3．進(jìn)行類比推理并小結(jié)：n邊形外角和等于n個平角減去n邊形內(nèi)角和，與邊數(shù)無關(guān)．教學(xué)設(shè)計三、練習(xí)應(yīng)用1．教材練習(xí)．補(bǔ)充：2．問題：一個多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，它是幾邊形？四、小結(jié)與作業(yè)問題：談?wù)劚竟?jié)課你有哪些收獲？1．學(xué)生反思學(xué)習(xí)和解決問題的過程．2．鼓勵學(xué)生大膽表達(dá)，并對學(xué)生的進(jìn)步給予肯定，樹立學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心．作業(yè)：習(xí)題11.3第2，4，5，6，7，8題，選做題：第9，10題．教學(xué)設(shè)計這節(jié)課通過研究發(fā)現(xiàn)由多邊形的一個頂點引對角線后原多邊形被分成(n－2)三角形，由此可得多邊形的內(nèi)角和公式為：(n－2)180，這里充分體現(xiàn)由特殊到一般的推理特點．換一個角度看問題，在多邊形內(nèi)任取一點與各個頂點相連得到n個三角形，但是這里多算了一個周角，因此可得到公式為：180n－360.這樣培養(yǎng)了學(xué)生從多方面探究問題的能力．教學(xué)反思1．八邊形的內(nèi)角和等于()A．360°B．1080°C．1440°D．2160°2．(2015·重慶)已知一個多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個多邊形是()A．五邊形B．六邊形C．七邊形D．八邊形BC3．若一個多邊形的每個內(nèi)角均為150°，則從此多邊形的一個頂點出發(fā)可作的對角線的條數(shù)為()A．8B．9C．10D．114．在四邊形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶1∶2∶3，則該四邊形中最大的角的度數(shù)是

.5．若n邊形的內(nèi)角和為1440°，則這個n邊形的對角線共有____條．B120°356．(習(xí)題2變式)求如圖所示圖形中x的值．解：(1)根據(jù)圖形可知：x＝360－150－90－70＝50

(2)根據(jù)圖形可知：x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝657．一個多邊形共有9條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)為()A．6B．7C．8D．98．把一個多邊形紙片剪去其中一個角，剩下的部分是一個四邊形，則原多邊形不可能是()A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形AD9．多邊形的邊數(shù)每增加1條，它的()A．內(nèi)角和、外角和都增加180°B．內(nèi)角和、外角和都減少180°C．內(nèi)角和、外角和都保持不變D．內(nèi)角和增加180°，外角和保持不變10．一個正多邊形的外角不可能等于()A．30°B．40°C．50°D．60°DC11．(2015·北京)如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝

.12．如果多邊形的每個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍還多30°，求這個多邊形的內(nèi)角和是多少？解：設(shè)它的一個外角為x°，則與它相鄰的內(nèi)角為(4x＋30)°，∴4x＋30＋x＝180，解得x＝30，360°÷30°＝12，∴此多邊形為十二邊形，∴它的內(nèi)角和為180°×(12－2)＝1800°360°13．(2015·南寧)一個正多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個正多邊形的每一個外角等于()A．60°B．72°C．90°D．108°14．四邊形中，如果有一組對角都是直角，那么另一組對角可能()A．都是鈍角B．都是銳角C．是一個銳角、一個鈍角D．是一個銳角、一個直角BC15．一個多邊形除一個內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，則這個多邊形對角線的條數(shù)是()A．27B．35C．44D．5416．如圖，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝____度．C54017．(2016·隨州模擬)如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)12米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)12米，又向左轉(zhuǎn)36°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了____米．12019．四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.(1)如圖①，若∠ABC的平分線BE交DC于點E，且BE∥AD，試求出∠C的度數(shù)；(2)如圖②，若∠ABC和∠BCD的平分線交于點E，試求出∠BEC的度數(shù)．20．看圖回答問題：(1)內(nèi)角和為2015°，小明為什么說不可能？(2)小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？內(nèi)角和是多少度？(3)錯把外角當(dāng)內(nèi)角的那個外角的度數(shù)你能求嗎？是多少度呢？解：(1)因為多邊形的內(nèi)角和是180°的正整數(shù)倍，而2015°不是180°的整數(shù)倍，所以小明說不可能(2)∵2015°÷180°＝11……35°，∴多加的一個外角是35°.設(shè)小華求的是n邊形的內(nèi)角和，∴(n－2)·180°＝2015°－35°，解得n＝13，2015°－35°＝1980°，∴小華求的是十三邊形的內(nèi)角和，內(nèi)角和是1980°(3)由(2)可知是這個外角是35°11．3多邊形及其內(nèi)角和11．3.2多邊形的內(nèi)角和溫故而知新

在△ABC中，（1）∠C=90o,∠B=30o,則∠A=

o；（2）∠A=100o,∠B=∠C,則∠B=

o；（3）若△ABC中的三個內(nèi)角度數(shù)之比為2：3：4，則相應(yīng)外角之比為

．（4）三角形的三個內(nèi)角中，最多有

個銳角，最多有

個直角，最多有

個鈍角．觀察下列圖案由這圖形你抽象出什么幾何圖形？生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？三角形長方形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？由這圖形你抽象出什么幾何圖形？四邊形生活中的平面圖形六邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？八邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？三角形長方形六邊形四邊形八邊形在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做多邊形。多邊形的定義你能仿照三角形的定義給出多邊形的定義嗎？了解一下頂點內(nèi)角邊對角線對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段?？杀硎緸椋何暹呅蜛BCDE或五邊形DCBAEABCDEABCD12345內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角。內(nèi)角外角678910比一比你能說出這兩幅圖形的異同點嗎？（1）（2）如圖（1）這樣，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，整個四邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形。本節(jié)我們只討論凸多邊形。想一想：觀察下面多邊形，它們的邊，角有什么特點？

在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等，邊也都相等的多邊形叫做正多邊形1、在平面內(nèi)，_____________________叫做多邊形。２、在多邊形中連接_________________的線段叫做多邊形的對角線。３、三角形的內(nèi)角和是_____度．４、你能夠利用三角形的內(nèi)角和求四邊形的內(nèi)角和嗎？試試看？ABCD思路：多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決．四邊形的內(nèi)角和為360０由一些線段首尾順次相接組成的圖形多邊形不相鄰的兩個頂點的線段1800問題，新知

長方形的內(nèi)角和是多少？為什么？如果是任意四邊形呢？BADC（1）四邊形ABCD的內(nèi)角和是多少？（2）你是怎樣求的？(1)從頂點A可以畫幾條對角線？分別是哪幾條？(2)這樣五邊形被分成了幾個三角形？

(3)五邊形的內(nèi)角和是多少度？ABDCE你來探索六邊形的內(nèi)角和，你一定行！ABCDEF被分得三角形個數(shù)六邊形的內(nèi)角和4

4×180°這種探索方法你掌握了嗎？請完成下表多邊形的邊數(shù)34567…n分成的三角形個數(shù)12…多邊形的內(nèi)角和180°180°×2180°×3…345n-2180°

×5(n-2)×180180°×4想一想：從表中你能發(fā)現(xiàn)什么？n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)．180°想一想

AnA5

A1A4

A2A3

AnA5

A1A4

A2A3PP(1)(2)你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎？ABCDABCDEABCDEF

該圖中n邊形共有n個三角形，故所有三角形內(nèi)角和為n×180°，但每個圖中都有一個以紅圈圈住的點，它是一個圓周角360°，因此n邊形的內(nèi)角和為

n×180°-360°=(n-2)×180°多了什么？如何處理？多了什么？如何處理？ABCDABCDEABCDEF這種分割方式，將多邊形分成n-1個三角形，故所有三角形的內(nèi)角和為（n-1）×180°，邊上一點周圍所形成的平角不是多邊形的內(nèi)角，因此n邊形的內(nèi)角和為

（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°例1：求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。

解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°

＝1080°答：八邊形的內(nèi)角和為1080°。例2：一個正多邊形的一個內(nèi)角為150°，你知道它是幾邊形嗎？

解：設(shè)這個多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：（n－2）×180＝1５0n

n＝12答：這個多邊形是12邊形。另解：由于多邊形外角和等于360°

而這個正多邊形的每個外角都等于

180°－150°＝30°，所以這個正多邊形的邊數(shù)等于

360°÷30°＝12。例題、已知兩個多邊形的內(nèi)角和為1440°，且兩多邊形的邊數(shù)之比為1︰3，求它們的邊數(shù)分別是多少？

解:設(shè)它們的邊數(shù)分別是x,y.由題意得：（x-2）·180+（y-2）·180=1440x:y=1:3

解之得x=3y=9

答：它們的邊數(shù)分別是3和9。牛刀小試：

（1）八邊形的內(nèi)角和等于

。

（2）已知一個多邊形的內(nèi)角和等于2340°，

它的邊數(shù)是

。

（3）小明在計算多邊形的內(nèi)角和時求得的

度數(shù)是1000°，他的答案正確嗎？為

什么？

1080°15

（4）已知四邊形4個內(nèi)角的度數(shù)比是1︰2︰3︰4，那么這個四邊形中最大角的度數(shù)是

。（5）一個五邊形的三個內(nèi)角是直角，另兩個內(nèi)角都是n°，則n=

。（6）六角螺母的面是六邊形，它的內(nèi)角都相等，則這個六邊形的每個內(nèi)角是

。（7）在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，那么∠B與∠D有什么關(guān)系呢？為什么？144°135°120°問題

大家清晨跑步嗎？小明就有每天堅持跑步的好習(xí)慣，他怎樣跑步呢？右圖就是小明清晨沿一個五邊形廣場周圍的小跑，按逆時針方向跑步的效果圖.請你觀察并思考如下幾個問題:(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時，身體轉(zhuǎn)過的角是哪個角？在圖中標(biāo)出它們.ABCDE12345(2)他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少？(3)在上圖中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小嗎？你是怎樣得到的？探索

（1）什么是三角形的外角？外角有什么性質(zhì)？

（2）類似地，在多邊形中找出外角多邊形的一邊與另一邊的延長線的夾角，叫做多邊形的外角。做一做（1）如圖，求△ABC的三個外角的和。

三角形的三個外角之和為3600

（2）四邊形的外角和等于多少度？（3）五邊形的外角和怎么求？n邊形呢？猜想與說理:n邊形的外角和是多少度呢?

答:都是360°.因為多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，所以n邊形的外角和加內(nèi)角和等于n·180°，內(nèi)角和為(n－2)·180°,因此，外角和為：n·180°－(n－2)·180°=360°.結(jié)論:多邊形的外角和都等于360°.例3：一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？解：設(shè)它是n邊形，則(n-2).180=3×360解得：n=8答：它是8邊形例3：一個正多邊形的每個內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6°求這個多邊形的邊數(shù)。

解：設(shè)一個外角為x°，則內(nèi)角為（x＋36）°

根據(jù)題意得：

x+x+36＝180

x＝72360÷72＝5答：這個正多邊形為正五邊形。（1）一個多邊形的每一個外角都是600，這個多邊形是幾邊形？它的內(nèi)角和等于多少度?(2)有沒有這樣的多邊形，它的內(nèi)角和是外角和的3倍？

（3）一個多邊形的每一個外角都相等，且每一個內(nèi)角都比外角大900，求這個多邊形的邊數(shù)和每個內(nèi)角的度數(shù)。

7、兩個多邊形的邊數(shù)比是1:2,兩個多邊形的內(nèi)角和為1440度,求這兩個多邊形的邊數(shù),6、一個多邊形的每個內(nèi)角都比相鄰的外角3倍多20度,求這個多邊形的邊數(shù),5、四邊形的四個內(nèi)角的比是8:6:3:7,求它的四個內(nèi)角,4、一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍,這是幾邊形強(qiáng)化訓(xùn)練

三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是（x+y)o,(x-y)o,xo,且x>y>0,則該三角形有一個內(nèi)角為（） A、30O B、45O C、60O D、90O2.一個正多邊形每一個內(nèi)角都是120o，這個多邊形是（） A、正四邊形 B、正五邊形

C、正六邊形 D、正七邊形CC

３．一個多邊形木板，截去一個三角形后（截線不經(jīng)過頂點），得到新多邊形內(nèi)角和為2160o，則原多邊形的邊數(shù)為（ ）

A、13條 B、14條 C、15條 D、16條下列說法中，錯誤的是（ ）

A、一個三角形中至少有一個角不大于60O；B、有一個外角是銳角的三角形是鈍角三角形；C、三角形的外角中必有兩個角是鈍角；D、銳角三角形中兩銳角的和必然小于60O；AD5.小明繞五邊形各邊走一圈，他共轉(zhuǎn)了___度。6.下列正多邊形（1）正三角形（2）正方形（3）正五邊形（4）正六邊形，其中用一種正多邊形能鑲嵌成平面圖案的是

；360（1）、（2）、（4）7.如下圖，AD是BC邊上的高，BE是△

ABD的角平分線，∠1=40°，∠2=30°，則∠C=___∠BED=

。65°60°ABCD12E8、兩個多邊形的邊數(shù)比是1:2,兩個多邊形的內(nèi)角和為1440度,求這兩個多邊形的邊數(shù),2、有一六邊形，截去一三角形，內(nèi)角和會發(fā)生怎樣變化？請畫圖說明。內(nèi)角和減少180O內(nèi)角和不變內(nèi)角和增加180O把一個五邊形切取一個角，將得到幾邊形？此時多邊形的內(nèi)角與外角有什么變化？

探究活動：ＡＢＣＤ如圖，∠Ａ＝４５°，∠Ｂ＝２５°∠Ｃ＝３０°，則∠Ｄ＝

。ＥＥ100°探究活動：ＡＢＣＤ如圖，∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝

。ＥＦＧ180°G探究活動：ＡＢＣＤ如圖，∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝

。ＥＦ１２３４５180°鞏固一下：求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數(shù)。AGFEDCB7×180O－2×360O＝540O(4)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)。

11．3多邊形及其內(nèi)角和11．3.2多邊形的內(nèi)角和知識回顧

你還記得三角形內(nèi)角和是多少度？

ABC（三角形內(nèi)角和180°）知識回顧

你知道長方形和正方形內(nèi)角和是多少嗎？

ADBCADBC（都是360°）任意四邊形的內(nèi)角和是_____思考：

任意畫一個四邊形，量出它的4個內(nèi)角的度數(shù)，并計算它們的和.你還有其他方法得到四邊形的內(nèi)角和嗎？ABCD在探究四邊形的內(nèi)角和時，有的同學(xué)不是用量角器度量、計算得到，而是按照如圖所示，利用輔助線將四邊形分割成兩個三角形的方法，利用三角形內(nèi)角和等于180°，得到四邊形內(nèi)角和等于360°。你能說明它的合理性嗎？并且啟發(fā)你能否借助輔助線找到不同的分割方法呢？PABCD圖1如圖1，在四邊形內(nèi)任取一點P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形，四邊形內(nèi)角和等于180°×4－360°=360°PABDC圖2如圖2，在四邊形的一邊上任取一點P,連接PB、PC，將四邊形變成有一個公共頂點的三個三角形，四邊