高等數(shù)學(xué)（第三版）教案 第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)

1.1.1反函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

(1)復(fù)習(xí)、理解函數(shù)(含分段函數(shù))的概念、函數(shù)的性質(zhì)、幾種常見函數(shù);

(2)學(xué)習(xí)反函數(shù)的概念，及反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)；

(3)介紹微軟高級計算器Mathematics4.0o

教學(xué)重點：

(1)函數(shù)知識復(fù)習(xí)(銜接高職階段知識)；

(2)反函數(shù)。

教學(xué)難點：

反函數(shù)的概念

授課時數(shù)：2課時

教學(xué)過程

______________________________________i∣?______________________________________備注

引言

介紹本學(xué)科學(xué)習(xí)要求及本章主要內(nèi)容。

知識回顧

我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念.大家知道，在某個變化過程中，有兩個變量X和y,

設(shè)。是實數(shù)集的某個子集，如果對于任意的Xe。，按照確定的法則，變量y總有通過

唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，那么變量y叫做變量X的函數(shù)，記作y=∕(x).其中X叫幻燈

做自變量，y叫做因變量，實數(shù)集。叫這個函數(shù)的定義域.片演

示引

自變量X取定義域D中的數(shù)值與時，對應(yīng)的數(shù)值為叫做函數(shù)y=∕(χ)在與點

領(lǐng)學(xué)

生回

處的函數(shù)值，記作或yIx=ro.當(dāng)X遍取。內(nèi)的所有數(shù)值時，對應(yīng)函數(shù)值所組

顧

成的集合叫做函數(shù)的值域.

定義域和對應(yīng)法則是函數(shù)的兩個要素.

在定義域的不同子集內(nèi)，對應(yīng)法則由不同的解析式所確定的函數(shù)稱為分段函

數(shù).例如，

%,x<0,

f(χ)=<x÷l,0加1,

H

X,x>1.

其中X=0,X=I稱為分段函數(shù)/(X)的分段點.

函數(shù)性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性。30,

學(xué)習(xí)過的幾類函數(shù)：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)。______________

問題

一個裝有液體的圓柱形容器，其底面直徑為D,高為h,則容器內(nèi)液體體積y引領(lǐng)

與液面高度X的函數(shù)關(guān)系為學(xué)生

2討論

y--πDx.士

-4TG成

知道液面高度X,就可以知道容器內(nèi)液體體積以反過來，知道了容器內(nèi)液體體

積y，如何求得液面高度X呢？35'

新知識

解決提出的問題之前，先來研究函數(shù)圖像的一個特征.

作出函數(shù)y=2x+l與函數(shù)y=/的圖像(圖1一2).觀察圖像發(fā)現(xiàn),函數(shù)y=2x+1

的圖像(圖1-2(1))與任何水平直線相交的交點最多有一個，具有這種特征的函

數(shù)稱為一對一函數(shù)；而函數(shù)y=f的圖像(圖1一2(2))與水平直線相交的交點會

多于1個，具有這種特征的函數(shù)稱為非一對一函數(shù).

動畫

演示

對于一對一函數(shù)，值域中的每個函數(shù)值只有唯一的一個自變量值與之對應(yīng)，因

此可以用函數(shù)y來表示自變量X.例如，y=2x+l可以寫成X=U,這樣就構(gòu)成

一個以函數(shù)值y為自變量的新函數(shù)，叫做原來函數(shù)的反函數(shù).按照數(shù)學(xué)習(xí)慣，仍然

用字母X表示自變量，用字母y表示函數(shù).這樣，函數(shù)y=2x+l的反函數(shù)就是

x-1

V=--------

2

函數(shù)/(X)的反函數(shù)一般記作尸(X).如/(X)=2x+l的反函數(shù)為/-'(X)=-.

函數(shù)y=2x+l與其反函數(shù)y=q的關(guān)系如圖1-3所示.

IIILl

y=2x+ly=~

圖1一3

顯然，函數(shù)/(x)的定義域是反函數(shù)∕T(χ)的值域，函數(shù)f(x)的值域是反函數(shù)

/T(X)的定義域.

求一對一函數(shù)的反函數(shù)的基本步驟是：

(1)用函數(shù)y來表示自變量x；

(2)自變量和函數(shù)互換字母.45,

知識鞏固

例1求函數(shù)y=?的反函數(shù)，并在同一個直角坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖像.

解函數(shù)y=6的定義域為［0,+∞),值域為［O,÷χ).

將y=五兩邊平方，整理得x=y2.

互換字母得y=/.

由于函數(shù)y=√7的值域為［O,go),故函數(shù)y=五的反函數(shù)的定義域為［O,go)?因

此所求反函數(shù)為

y=χ1(x∈［0,+oo)).

函數(shù)的圖像如圖1?4所示.

55,

鏈接軟件演示

利用MicrosoftMathematiC4.0(簡體中文版)作出函數(shù)的圖像60,

新知識

顯然，不同角的同名三角函數(shù)值有可能相等，例如Sine=Sin也=」.也就是

662

說.正弦函數(shù)圖像與平行于X軸的直線y=J的交點會多余一個(圖1—6),所以三

教師

角函數(shù)不是一對一的函數(shù).講授

為保證三角函數(shù)存在反函數(shù)，需要改變?nèi)呛瘮?shù)的定義域，使之在所定義的區(qū)

間上為一對一的函數(shù).因此將反三角函數(shù)定義如下：

正弦函數(shù)y=Sinx在［-?∣［］上的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx,其

定義域為［-1,1］,值域為,函數(shù)圖形如圖1—7(1)所示..

22

余弦函數(shù)y=cosx在［0,兀］上的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx,其定

義域為［-1,1］，值域為［0,π］,函數(shù)圖形如圖1—7(2)所示.

正切函數(shù)y=tanx在（-5令上的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctaIlX,

其定義域為（-8,+8）,值域為（-早殳，函數(shù)圖形如圖1—7（3）所示.

80,

做一做教師

利用高級計算器依次作出反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)的圖像并分析演示

函數(shù)的性質(zhì).

82,

練習(xí)題

求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并在同一個直角坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖像.學(xué)生

課上

33

(1)y=-x+6；(2)y=兀成

2

88

小結(jié)

函數(shù)的概念

復(fù)習(xí)內(nèi)容，幾類常見函數(shù)新知識：反函數(shù)

函數(shù)的性質(zhì)

作業(yè)

1.進一步梳理高中階段函數(shù)的相關(guān)知識;

2.自學(xué)微軟高級計算器Mathematics4.0;

3.完成習(xí)題冊作業(yè)1.1.k

1.1.2初等函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

(1)學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的概念及其復(fù)合與分解;

(2)學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)及初等函數(shù)的概念。

教學(xué)重點：

復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)的概念；

教學(xué)難點：

復(fù)合函數(shù)的分解。

授課時數(shù)：1課時.

教學(xué)過程

____________________________________________________________________________備注

問題教師

設(shè)疑

正弦函數(shù)y=5皿1與正弦型函數(shù)^=$也(3+夕)是同一個函數(shù)嗎？

分析

3,____

新知識

根據(jù)函數(shù)的定義，這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù).正弦型函數(shù)y=sin(w+s)是

由正弦函數(shù)y=sinu和一次函數(shù)"=0x+e所組成的，這樣的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù).

一般地，設(shè)函數(shù)y=∕(")是"的函數(shù)，〃=g(x)是X的函數(shù)，如果由X通過g所

確定的〃使得y有意義，則把y叫做由函數(shù)y=∕Q)及"=g(χ)復(fù)合而成的復(fù)合函

數(shù).記作y=∕[g(x)],其中X叫做自變量，〃叫做中間變量，/叫做外層函數(shù)，g叫

教師

做內(nèi)層函數(shù).講授

需要注意：

(1)不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合組成復(fù)合函數(shù)的.例如，y=4及

”=-3-f就不能復(fù)合組成復(fù)合函數(shù)，因為對于內(nèi)層函數(shù)〃=_3-W的定義域R中

的任何X值，對應(yīng)的W值都是負數(shù)，從而使得外層函數(shù)y=4無意義.

(2)復(fù)合函數(shù)的中間變量可以不只一個.例如N=*1?'是由

y=eu,u=？,?nt,t=3x復(fù)合而成，其中"和f都是中間變量U和f都是中間變量.

將幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)通稱為基本初等函數(shù).

將由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復(fù)合所構(gòu)成，并且

能用一個式子來表示的函數(shù)叫做初等函數(shù).

在研究問題的時候，通常將比較復(fù)雜的函數(shù)看作是由幾個簡單函數(shù)復(fù)合而成

的，從而使問題變得簡單一些.這里所說的簡單函數(shù)一般指基本初等函數(shù)或基本初等

函數(shù)與常數(shù)的四則運算所構(gòu)成的函數(shù).13,

知識鞏固

例2設(shè)函數(shù)y=u2,u=cosV,v=2x＞試將y寫成X的函數(shù).

教師

解y=(cosv)2=cos2(2x),

引領(lǐng)

完成

說明這個函數(shù)由三層函數(shù)復(fù)合而成.外層是幕函數(shù)y=〃2；中層是三角函數(shù)

M=COSV;內(nèi)層是幕函數(shù)與常數(shù)的四則運算V=2x?

例3指出下列函數(shù)的復(fù)合過程.

(1)y=?j5+2x；(2)y-e~x^~1:(3)y=Igsin2X.

學(xué)生

完成

解(1)函數(shù)y=,5+2x是由y=&,〃=5+2X復(fù)合而成的.

⑵函數(shù)y=e-'τ是由y=e",w=-χ2一1復(fù)合而成的.

(3)函數(shù)y=lgsi∏2χ是由y=lgw,:，V=SinX復(fù)合而成的.

說明分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程是非常重要的.設(shè)復(fù)合函數(shù)y=∕{dg(x)]},對教師

于給定的X值，計算函數(shù)值的順序是先計算內(nèi)層函數(shù)值g(x)=u,再計算中層函強調(diào)

數(shù)值e")=〃，最后計算外層函數(shù)值f(")=y.即“由內(nèi)向外''逐層計算,并且每一層

都是計算一個簡單函數(shù)的值.分析函數(shù)的復(fù)合順序的過程恰好與計算函數(shù)值的順序

相反，是“由外向內(nèi)''逐層復(fù)合.28,

練習(xí)1.1.2

1.指出下列函數(shù)的復(fù)合過程學(xué)生

課上

(1)y=siι√(8x+5)；(3)y≈5(x+2)2

i完成

2.寫出由各函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)并求其定義域.

(1)?=Inw,H=4-V2,V=Cosx；(2)y=?[u,w=X3+8.

40'

小結(jié)

新知識：復(fù)合函數(shù)一初等函數(shù)

作業(yè)

1.梳理1.1節(jié)知識內(nèi)容；45,

2.自學(xué)微軟高級計算器Mathematics4.0;

3.完成習(xí)題冊作業(yè)1.1.2°

1.2.1極限的定義

教學(xué)目標(biāo)：

(1)結(jié)合圖像理解極限的的概念及其兩種變化過程；

(2)了解兩種趨近過程中極限存在的充要條件，會判斷極限是否存在;

教學(xué)重點：

函數(shù)在自變量兩種變化過程的極限;

教學(xué)難點：

極限的概念。

授課時數(shù)：2課時.

教學(xué)過程

過程__備__注________________________________

劉徽在“割圓術(shù)”中提到，如果不斷地分割下去，直到圓周無法再分割為止，動畫

即圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時候，正多邊形的周長就與圓的周長“合演示

體”而完全一致了.下面對這種數(shù)學(xué)思想做進一步研究.主要研究在自變量X的某

種變化趨勢下，函數(shù)y=/(X)的變化趨勢.

自變量的變化規(guī)律分為兩大類.

(1)自變量X的絕對值無限增大，記為X→8,當(dāng)X只取正數(shù)而無限增大時，

記為X→+00,當(dāng)X只取負數(shù)而絕對值無限增大時，記為X→Y.結(jié)合

圖像

(2)自變量X無限趨近于某定值X。，記為X→々，當(dāng)X從左側(cè)無限趨近于?(即

動畫

演示

只取小于麗的值)時，記為X→X(f,當(dāng)X從右側(cè)無限趨近于兩(只取大于與的值)

時，記為X→X(1*.

10,

l.x→8時，函數(shù)y=f(x)的極限

探究利用高級計算器作出函數(shù)y=?!?的圖像(圖1-8),觀察圖像，研究當(dāng)X的絕

X

對值無限增大時，函數(shù)值y的變化情況.

教師

演示

分析

講解

新知識

觀察圖1-8發(fā)現(xiàn)，隨著自變量X絕對值的增大，圖像越來越接近X軸，說明函

數(shù)y=」的絕對值越來越小，并且無限趨近于0.

X

一般地，設(shè)/(x)對任意大的N有意義，如果當(dāng)X→8(或Xf-OO,Xf400)時,

/(幻的值無限趨近于確定的常數(shù)A,則把常數(shù)A叫做函數(shù)/(x)當(dāng)x→8(或

Xf-OO,%―+∞)時的極限，記作xI→im∞/(x)=A(或xI→im-∞/(x)=A,xI→im+∞/(x)=A).還

可以記作/(x)→A(X→00,或X→-8或冗->+8).

符號X—>00包括X―>-8與X―>+8,因此25,

Iimf(X)=Iim/(?)=A=Iim/(x)=A.

X→-∞X→+∞X—>00

知識鞏固

例1作出下列函數(shù)的圖像，寫出x→8時的極限.

(1)y=77;(2)y=arctanx

國教師

解(1)利用高級計算器作出函數(shù)圖像(圖1-9),觀察圖像知，Iiml=O;引領(lǐng)

完成

學(xué)生

完成

教師

.πJl強調(diào)

I1imarctanx=——，Iimarctanx=-Iim/(x)=2.

x→-∞2x→+∞2χ→÷∞

因此Iimarctan?≠Iimarctanx,

X→-O0x→+∞

35'

所以xI→im∞arctanx不存在.

2.X→J?時，函數(shù)y=∕(x)的極限

學(xué)生

探究課上

Y2-I完成

觀察函數(shù)y=的圖像(圖1-11),研究當(dāng)X無限趨近1時，函數(shù)值)，的變

X-I

化情況.

40,

-2Λ]p1

/^τ

圖1-11

知識

由于當(dāng)XWl時

x~-1(x÷l)(?-1)

y=-------=--------------=x+1l.

x-1?-l

r2-1

函數(shù)y=L的圖像就是在函數(shù)),=χ+l的圖像中挖去點(1,2)(圖1-11).觀

x-1結(jié)合

察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量X從1的左側(cè)無限趨近于1時，函數(shù)值無限趨近于2；當(dāng)自變量圖像

X從1的右側(cè)無限趨近于1時，函數(shù)值無限趨近于2；如果自變量從1的兩側(cè)以任分析

意方式無限趨近于1時，函數(shù)值無限趨近于2.

一般地，設(shè)/(無)在點與近旁有意義(在質(zhì)點可以沒有定義)，如果當(dāng)x→同時.，

/(幻的值無限趨近于確定的常數(shù)A,則把常數(shù)A叫做函數(shù)/(幻當(dāng)X→Λ0時的極限，

記作Iimf(x)=A.還可以記作/(x)→A(X→J?)??從左側(cè)趨近點通時的極限叫

XfXo

做左極限，記作Iim/(X)=A;X從右側(cè)趨近點聞時的極限叫做右極限，記作

Iimf(x)=A.

符號X→?包括X→X。一與尤與+，故

Iimf(X)=Iimf(x)=AOIimf(x)=A.

+

X→XQ^X→Λ?XT&55,

知識鞏固

X+l,X<0,

例2已知函數(shù)/(冗)=0,x=0,

x-?x>0.

9教師

(1)求當(dāng)x→l時，函數(shù)F(X)的極限;引領(lǐng)

(2)求當(dāng)x→0時.，函數(shù)/*)極限.學(xué)生

解作出函數(shù)圖形(圖1-12),觀察圖像知：完成

(1)Iim/(x)=O；

x→?

(2)Iimf(x)=1,Iimf(X)=-L因為Iim/(x)≠Iimf(X),

X→0-Λ→0+X→O-Λ→0+

所以當(dāng)x→O時，/(x)的極限不存在.

Jz

65,

圖1-12

練習(xí)1.2.1

1.利用函數(shù)圖像求下列極限.

(1)IimC(C為常數(shù))；(2)Iim2'；學(xué)生

x~^xQχ->-<c課上

(3)Iimd)%(4)Iimsinx;完成

X→+OO2Λ→0教師

講評

2.作出函數(shù)f(x)=L2X'的圖像，并求Hmf(X).

[i-x,ICXW2.l→ι

85,

______________新知識：函數(shù)極限的定義_______________________________________

1.自學(xué)微軟高級計算器MathematiCS4.0;

2.完成習(xí)題冊作業(yè)1.2.1。90,

1.2.2極限的運算

教學(xué)目標(biāo)：

（1）結(jié)合圖像，根據(jù)定義認知幾個常用的極限；

（2）了解極限的運算法則，能利用法則和常用極限進行簡單的極限運算;

（3）掌握利用微軟高級計算器計算極限的方法。

教學(xué)重點：

利用極限的運算法則和常用極限進行簡單的極限運算；

教學(xué)難點：

極限計算中轉(zhuǎn)化思想的理解與運用。

授課時數(shù)：2課時.

教學(xué)過程

____________________________________________________________________備注

做一做

利用高級計算器作出并觀察函數(shù)圖像，可以得到下列幾個常用極限：教師

(1)IimJ-=O(α為正實數(shù))；(2)IimC=C(C為常數(shù))；引領(lǐng)

Λ→OOXaX—>00師生

(3)IimC=C(C為常數(shù))；(4)IimX=兩；共同

X->3X→Λ()完成

(5)IimXa=XOa(當(dāng)α<0時，?≠0)..

?'r→?20'

新知識

計算函數(shù)的極限時，經(jīng)常要用到極限的下列運算法則（證明略）：

教

設(shè)Iim/(x)=A,Iimg(x)=B.K1J師

X→?X→Λθ利用

1.lim[∕(x)±g(x)]=Iim/(x)±Iimg(x)=A±B；微軟

X→Λ0XfXo.v→x0計算

2.Iim[/(x)?g(x)]=Iimf(x)-Iimg(x)=AB;特別當(dāng)g(x)=C(C為常數(shù))器通

)A—>x

X—>7XfN)0過特

時，有例驗

IimCf(x)=CIim/(九)=CA.證法

X→XQXfW則

、Iim/(x).

3.Iim=-------=-(B≠0).

XT與g(x)Iimg(x)B

以上極限運算法則對于X→8的情況也成立，并且法則1與法則2還可推廣到

存在極限的有限個函數(shù)的情形.

利用極限的運算法則和上述幾個常用極限，可以計算函數(shù)的極限.30'

知識鞏固

例1求lim(2x3+2).

Λ→2

解因為IimX3=23=8,所以

x→2教師

領(lǐng)

lim(2x3+2)=Iim2x3+Iim2引

Λ→2X→2X→2完成

=21imX3+2

.r→2

=2×8+2=18.

[、一.2廠+1

例2求1Iim---------,

XTlx-3

解因為lim(x-3)=-2≠0且IimQ-+1)=3,

x→lx→?學(xué)生

2χ2+ιJ?Q∕+D3完成

所以hm______—___?________-___

XTlX-3Iim(X-3)2

χ→?<?

r2-O

例3求Iim-----------.

XT-3χ÷3

解因為Iima+3)=0,所以不能直接應(yīng)用法則來計算.考慮到函數(shù)的分子和

X—>-3

分母存在公因式(x+3),于是，可以先約去公因式，再求極限.即

..x?-9.(x+3)(x—3)

Iim--------=I1im------------------

1-3χ+3XT-3χ+3

=Iim(X-3)

x→-3教師

=-6.強調(diào)

2轉(zhuǎn)化

例4求Iim—："—.的思

Λ→∞2X+X-1

想和

方法

解當(dāng)工→8時，(χ2+χ)->8,(2X2+X-1)→∞,即分子與分母的極限不存

在，故不能直接應(yīng)用法則來計算.考慮到分子和分母都是多項式，可以先將分子、

分母同時除以分母中自變量的最高次幕，然后再求極限.即

2I+-

Iim—?+A—=Iim------λ

^→oc2x+%-1λ→∞??11

2+-------γ

XX

Iim1+Iim?

X→∞X->∞X

Iim2÷Iim----Iim—

Λ→∞X->8XX→00?-

1+0165,

____________________________2+0-011?_________________________________

鏈接軟件

利用高級計算器可以方便的計算函數(shù)的極限(詳見實驗1)?

計算例4操作如下：師生

1.單擊極限輸入符號，在命令窗口出現(xiàn)的極限號下的方框中輸入“8”，后面共同

輸入極限式；完成

2.單擊“輸入”，得到極限值05

請同學(xué)自己操作一下，利用高級計算器求出下列兩個重要極限：

(1)Iim"n?=1；(2)Iim(I+3*=e?

XTOXX->8X

70'

練習(xí)1.2.2

計算下列極限：學(xué)生

課上

(I)lim(3x2-5x+2)；(2)Iim———?—；

x->2X→∞X4-3x+1完成

x-3X2-9教師

(3)Iim?—；(4)Iim--------.

δ

XT3x+]XT3X-3講評

85'

幾個常用結(jié)果

法則及其應(yīng)用一一兩種情況下的轉(zhuǎn)化酢窮

極限的運算■b

［趨近某一點

微軟計算器

作業(yè)

I.自學(xué)微軟高級計算器MathematiCS4.0;90,

2.完成習(xí)題冊作業(yè)1.2.2。_____________________________________________________

1.2.3無窮小量

教學(xué)目標(biāo)：

(1)結(jié)合圖像，了解無窮小的概念；

(2)能進行無窮小的比較。

教學(xué)重點：

無窮小的比較；

教學(xué)難點：

無窮小的比較。

授課時數(shù)：1課時.

教學(xué)過程

___________________M___________________備注

新知識

《莊子天下篇》中有一個命題：“一尺之棱，日取其半，萬世不竭”.意思課件

是說，一尺長的木棍，今天取其一半，明天取其一半的一半，…，如是“日取其半”或?qū)?/p>

無限的取下去，總會有剩下的存在.顯然，當(dāng)時間趨近無窮時，所剩的木棍的長度物演

是以零為極限的量.示

在生活和科研中，經(jīng)常遇到某一個過程中極限為零的量.

一般地，若Iim/(x)=0,貝!|函數(shù)/(x)叫做當(dāng)x->玉)或(x→8)時的無窮

Xf?

(χ→∞)

小量，簡稱無窮小.

注意(I)無窮小不是一個很小的數(shù)，它是在自變量的某一變化過程中的以零

為極限的一個變量.但數(shù)“0”是一個例外，數(shù)“0”是無窮小，那是因為數(shù)“0”

可以視為常函數(shù)并且Iim0=0.

XfxO

(χ→0>)

(2)一個函數(shù)是否為無窮小量，取決于它的自變量的變化趨勢.例如，由

教師

IimX2=0知，/是當(dāng)Xfo時的無窮小；由IimX2=1知，/不是當(dāng)X時的無

X→0Λ→l強調(diào)

窮小.因此，說某一變量是無窮小量，必須指明自變量的變化趨勢.

當(dāng)X→0時，函數(shù)X、■?、/都是無窮小.觀察圖1—13看出，它們趨近于

0的速度是不同的，乘方的次數(shù)越高，趨近于0的速度越快.

為了反映出在自變量的同一變化過程中，不同函數(shù)變化過程的差異，需要進行

無窮小的比較.

一般地，設(shè)α和夕是同一變化過程中的無窮小，即lima=0,lim￡=0.則

結(jié)合

具體

(1)如果lim2=0,則夕叫做比α較高階的無窮小，即夕趨近O的速度高

a函數(shù)

引出

于a,記作β=o(a)；并介

紹比

(2)如果Iim2=oo,則尸叫做比口較低階的無窮小，即夕趨近O的速度

a較方

法

低于α；

(3)如果lim2=C(C為非零常數(shù))，則方叫做與α同階的無窮小，即尸

a

趨近。的速度與α相當(dāng).特別地，當(dāng)C=I時，即IimH=I時，?叫做與ɑ等價的無窮

a

小.記作：a?B.讀做“a等價于β,'.25,

知識鞏固

例5比較下列各組無窮小.

(1)當(dāng)x→?l時，比較x-1與X2-1；

2教師

(2)當(dāng)XfO時，比較X2與工.