河北省2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期省級聯(lián)測考試（3月）數(shù)學(xué)試題含解析

河北省2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期省級聯(lián)測考試（3月）數(shù)學(xué)試題含解析2023—2024高三省級聯(lián)測考試數(shù)學(xué)試卷班級__________姓名__________.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級和考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A B.C. D.3.將向量繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-24.已知，則（）A. B. C. D.5.已知拋物線的焦點為，準線為是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，過點作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則（）A.2 B. C. D.36.甲?乙?丙?丁4位同學(xué)報名參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)建模?物理探究?英語演講?勞動實踐四項活動，每人只能報其中一項，則在甲同學(xué)報的活動其他同學(xué)不報的情況下，4位同學(xué)所報活動各不相同的概率為（）A. B. C. D.7.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線交雙曲線的右支于兩點，若，且，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.4 C.6 D.38.設(shè)，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知正數(shù)滿足，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.10.下列說法正確是（）A.若數(shù)據(jù)的極差和平均數(shù)相等，則B.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為10.5C.若，則D.若，隨機變量，則11.如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點，為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點，使得直線與直線為異面直線B.存在點，使得C.若為線段的中點，則三棱錐與三棱錐體積相等D.過三點的平面截正方體所得截面面積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，若，則__________.13.已知圓，過點的直線交圓于兩點，且，則滿足上述條件的一條直線的方程為__________.14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有兩個不相等實數(shù)，滿足，則的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記△的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的范圍.16.2020年11月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021—2035年）》，要求深入實施發(fā)展新能源汽車國家戰(zhàn)略，推動中國新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展，加快建設(shè)汽車強國.新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源（或使用常規(guī)的車用燃料?采用新型車載動力裝置），綜合車輛的動力控制和驅(qū)動方面的先進技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進?具有新技術(shù)?新結(jié)構(gòu)的汽車.為了了解消費者對不同種類汽車的購買情況，某車企調(diào)查了近期購車的100位車主的性別與購車種類的情況，得到如下數(shù)據(jù)：單位：人性別購車種類合計新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男20女50合計30100（1）補全上面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷購車種類與性別是否有關(guān)；（2）已知該車企的A型號新能源汽車有紅?白?黑?藍四種顏色.現(xiàn)有三個家庭各計劃購買一輛A型號新能源汽車，記購買的汽車顏色相同的家庭個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82817.如圖，已知平行六面體棱長均為.（1）證明：；（2）延長到，使，求直線與平面所成角正弦值.18.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點.19.信息熵是信息論之父香農(nóng)（Shannon）定義的一個重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數(shù)學(xué)表達式：設(shè)隨機變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵.（1）當時，計算；（2）若，判斷并證明當增大時，的變化趨勢；（3）若，隨機變量所有可能的取值為，且，證明：.2023—2024高三省級聯(lián)測考試數(shù)學(xué)試卷班級__________姓名__________.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級和考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)并集的定義求解.【詳解】因為，，所以.故選：.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則化簡復(fù)數(shù)，從而求出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：A.3.將向量繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】由模長公式得，而，由即可求解.【詳解】因為，且，所以.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式即可.【詳解】因為，所以.故選：C.5.已知拋物線的焦點為，準線為是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，過點作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則（）A.2 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】由題意解三角形得，由此代入拋物線方程得，結(jié)合焦半徑公式即可求解.【詳解】

過點作的垂線，垂足為，因為直線的傾斜角為，則，設(shè)，因為，，所以.故選：B.6.甲?乙?丙?丁4位同學(xué)報名參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)建模?物理探究?英語演講?勞動實踐四項活動，每人只能報其中一項，則在甲同學(xué)報的活動其他同學(xué)不報的情況下，4位同學(xué)所報活動各不相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式分別計算出積事件所含的基本事件數(shù)和事件所含的基本事件數(shù)，代入公式計算即得.【詳解】設(shè)“甲同學(xué)報的活動其他同學(xué)不報”，“4位同學(xué)所報活動各不相同”，由題得，所以.故選：C.7.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線交雙曲線的右支于兩點，若，且，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.4 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】由已知結(jié)合雙曲線的定義得到，，，再根據(jù)余弦定理，得到，求出離心率即可.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，在中，，在中，，因為，所以，整理得，故，故離心率.故選：D.8.設(shè)，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)通過求導(dǎo)以及零點存在定理得出函數(shù)單調(diào)性結(jié)合端點值即可得出當時，，由此，進一步構(gòu)造，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性，由此可得，令，即.【詳解】令，則，令.當時，單調(diào)遞增，，所以存在，使得，且當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.又，所以存在，使得，且當時，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.又，所以當時，，即.當時，則，即.令，所以，當時，則，即，故故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值，由此即可順利得解.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知正數(shù)滿足，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知可直接得到A；換元法得到B；乘“1”法得到C；基本不等式判斷D即可.【詳解】對于，由題可得，即，故A正確；對于，當且僅當時，等號成立，故B不正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，，當且僅當時，等號成立，故D正確.故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.若數(shù)據(jù)的極差和平均數(shù)相等，則B.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為10.5C.若，則D.若，隨機變量，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和極差公式即可得到關(guān)于的方程，則可判斷A；利用百分位數(shù)計算公式即可判斷B；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)二項分布的均值的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對于A，當時，，解得，當時，，解得，當時，，無解，故A不正確；對于B，由于，所以數(shù)據(jù)，16的第80百分位數(shù)為12，故B不正確；對于C，，則，故C正確；對于D，若，則，所以隨機變量的期望，故D正確.故選：CD.11.如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點，為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點，使得直線與直線為異面直線B.存在點，使得C.若為線段的中點，則三棱錐與三棱錐體積相等D.過三點的平面截正方體所得截面面積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)四點共面，即可判斷直線與直線不是異面直線；根據(jù)線面垂直證明線線垂直即可判斷；直接求出，根據(jù)，構(gòu)造三棱柱，利用即可求解，類比球體的截面，找到截面面積最大的狀態(tài)，畫出截面圖，求得面積即可判斷選項.【詳解】對于，如圖，連接，，由正方體的性質(zhì)知，，所以四點共面，平面，故不正確；對于，如圖，設(shè)的中點為，連接，若為的中點，則平面，又平面，所以，在中，，所以，故，又平面，所以平面，又平面，所以，故正確；對于，如圖，取的中點，連接，設(shè)，連接，則幾何體為斜三棱柱，從而，在三棱柱中，,其中,,∴,又，故正確；對于，如圖，因為正方體中心對稱（類比為球體，看作弦），故過的截面經(jīng)過正方體的對稱中心時所得截面面積最大，此時截面交棱于中點，也為中點，取的中點的中點的中點，連接，所以過三點的平面截正方體所得截面面積最大時，截面形狀為正六邊形，面積為，故正確.故選:.【點睛】思路點睛：在求解三棱錐的體積時一般可以通過轉(zhuǎn)換頂點，更換幾何體的底面和高求解，也可以將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為幾個容易求解的幾何體的體積差求解；解決選項的關(guān)鍵就是能夠合理轉(zhuǎn)化問題，類比解決，從而找到截面面積最大的狀態(tài).三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，若，則__________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，列式計算，即得答案.【詳解】由題意知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，得，解得，故答案為：813.已知圓，過點的直線交圓于兩點，且，則滿足上述條件的一條直線的方程為__________.【答案】（或）【解析】【分析】分為當直線的斜率存在時和直線的斜率不存在時，利用圓中的幾何關(guān)系求出直線方程即可.【詳解】由題意得圓心，半徑，故點在圓外，設(shè)點到直線的距離為，由得，即，即，解得，當直線的斜率不存在時，即，此時，符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則，解得，故直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.故答案為：（或）14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有兩個不相等的實數(shù)，滿足，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，再將看成整體角，求得范圍，作出的圖象，根據(jù)題設(shè)可知函數(shù)在上恰好出現(xiàn)兩個最大值點，結(jié)合圖象，需使區(qū)間右端點所在的范圍滿足，計算即得.【詳解】，令，因為，所以，作出函數(shù)的圖象.要使在區(qū)間上有且僅有兩個不相等的實數(shù)，滿足，即使在區(qū)間上必須恰好出現(xiàn)兩個最大值.由圖知，，解得，故的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記△的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變形求；（2）利用正弦定理將的范圍轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域求解.【小問1詳解】由正弦定理得，，因為，所以，所以，則，因為，所以，所以，所以.【小問2詳解】因為，則，因為,所以.所以.因為.所以.所以，所以.16.2020年11月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021—2035年）》，要求深入實施發(fā)展新能源汽車國家戰(zhàn)略，推動中國新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展，加快建設(shè)汽車強國.新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源（或使用常規(guī)的車用燃料?采用新型車載動力裝置），綜合車輛的動力控制和驅(qū)動方面的先進技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進?具有新技術(shù)?新結(jié)構(gòu)的汽車.為了了解消費者對不同種類汽車的購買情況，某車企調(diào)查了近期購車的100位車主的性別與購車種類的情況，得到如下數(shù)據(jù)：單位：人性別購車種類合計新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男20女50合計30100（1）補全上面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷購車種類與性別是否有關(guān)；（2）已知該車企的A型號新能源汽車有紅?白?黑?藍四種顏色.現(xiàn)有三個家庭各計劃購買一輛A型號新能源汽車，記購買的汽車顏色相同的家庭個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，計算的觀測值，再與臨界值比對即得.（2）求出的可能值及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】列聯(lián)表如下（單位：人）：性別購車種類合計新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男202040女501060合計7030100設(shè)零假設(shè)：購車種類與性別無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即購車種類與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.【小問2詳解】依題意，的可能取值為，，所以的分布列為023數(shù)學(xué)期望.17.如圖，已知平行六面體的棱長均為.（1）證明：；（2）延長到，使，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直即可.（2）建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法處理即可.【小問1詳解】如圖，連接，與交于點，連接，由題意可得，平行六面體中，連接，，易得是正三角形，則，所以，因為是等邊三角形，所以，又因為，面，所以平面.因為平面，所以.【小問2詳解】過點作，垂足為，由（1）可知，平面.因為平面，所以.因為，面，所以平面，易知是等邊三角形，故三棱錐為正四面體，因為三棱錐為正四面體，所以為的重心，則.以為原點，所在直線分別為軸，軸，過點垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，則，因為，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則所以令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點.【答案】（1）（2）證明見解析