數(shù)列練習(xí)題(含答案)以及基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練篇-2

數(shù)列根底知識(shí)點(diǎn)總結(jié)——總結(jié)：河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)院毋曉迪A、1．概念與公式：①等差數(shù)列：1°.定義：假設(shè)數(shù)列稱(chēng)等差數(shù)列；2°.通項(xiàng)公式：3°.前n項(xiàng)和公式：公式：②等比數(shù)列：1°.定義假設(shè)數(shù)列〔常數(shù)〕，那么稱(chēng)等比數(shù)列；2°.通項(xiàng)公式：3°.前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)2．簡(jiǎn)單性質(zhì)：①首尾項(xiàng)性質(zhì)：設(shè)數(shù)列1°.假設(shè)是等差數(shù)列，那么2°.假設(shè)是等比數(shù)列，那么②中項(xiàng)及性質(zhì)：1°.設(shè)a，A，b成等差數(shù)列，那么A稱(chēng)a、b的等差中項(xiàng)，且2°.設(shè)a,G,b成等比數(shù)列，那么G稱(chēng)a、b的等比中項(xiàng)，且③設(shè)p、q、r、s為正整數(shù)，且1°.假設(shè)是等差數(shù)列，那么2°.假設(shè)是等比數(shù)列，那么④順次n項(xiàng)和性質(zhì)：1°.假設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，組成公差為n2d的等差數(shù)列；2°.假設(shè)是公差為q的等比數(shù)列，組成公差為qn的等比數(shù)列.〔注意：當(dāng)q=－1，n為偶數(shù)時(shí)這個(gè)結(jié)論不成立〕⑤假設(shè)是等比數(shù)列，那么順次n項(xiàng)的乘積：組成公比這的等比數(shù)列.⑥假設(shè)是公差為d的等差數(shù)列,1°.假設(shè)n為奇數(shù)，那么而S奇、S偶指所有奇數(shù)項(xiàng)、所有偶數(shù)項(xiàng)的和〕；2°.假設(shè)n為偶數(shù)，那么〔二〕學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1．學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列，首先要正確理解與運(yùn)用根本公式，注意①公差d≠0的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是項(xiàng)n的一次函數(shù)an=an+b;②公差d≠0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)數(shù)n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式可以寫(xiě)成“Sn=a(1-qn)的形式；諸如上述這些理解對(duì)學(xué)習(xí)是很有幫助的.2．解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題要靈活運(yùn)用一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，但所用的性質(zhì)必須簡(jiǎn)單、明確，絕對(duì)不能用課外的需要證明的性質(zhì)解題.3．巧設(shè)“公差、公比”是解決問(wèn)題的一種重要方法，例如：①三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“a,a+m,a+2m〔或a-m,a,a+m〕”②三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“a,aq,aq2(或，a,aq)”③四數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為“”④四數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為“”等等；類(lèi)似的經(jīng)驗(yàn)還很多，應(yīng)在學(xué)習(xí)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn).[例1]解答下述問(wèn)題：〔Ⅰ〕成等差數(shù)列，求證：〔1〕成等差數(shù)列；〔2〕成等比數(shù)列.[解析]該問(wèn)題應(yīng)該選擇“中項(xiàng)”的知識(shí)解決，①②①②[評(píng)析]判斷〔或證明〕一個(gè)數(shù)列成等差、等比數(shù)列主要方法有：根據(jù)“中項(xiàng)”性質(zhì)、根據(jù)“定義”判斷，.①②①②〔Ⅱ〕等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，且所有奇數(shù)項(xiàng)的乘積為1024，所有偶數(shù)項(xiàng)的乘積為，求項(xiàng)數(shù)n.[解析]設(shè)公比為〔Ⅲ〕等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，在此數(shù)列中依次取出局部項(xiàng)組成的數(shù)列：求數(shù)列[解析]①，②①，②①②[評(píng)析]例2是一組等差、等比數(shù)列的根本問(wèn)題，熟練運(yùn)用概念、公式及性質(zhì)是解決問(wèn)題的根本功.[例3]解答下述問(wèn)題：〔Ⅰ〕三數(shù)成等比數(shù)列，假設(shè)將第三項(xiàng)減去32，那么成等差數(shù)列；再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，又成等比數(shù)列，求原來(lái)的三數(shù).[解析]設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)，要比設(shè)等比數(shù)列的三項(xiàng)更簡(jiǎn)單，設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)分別為a－d,a,a+d，那么有〔Ⅱ〕有四個(gè)正整數(shù)成等差數(shù)列，公差為10，這四個(gè)數(shù)的平方和等于一個(gè)偶數(shù)的平方，求此四數(shù).[解析]設(shè)此四數(shù)為,解得所求四數(shù)為47，57，67，77[評(píng)析]巧設(shè)公差、公比是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題的重要方法，特別是求假設(shè)干個(gè)數(shù)成等差、等比數(shù)列的問(wèn)題中是主要方法.B、由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法一、型數(shù)列，〔其中不是常值函數(shù))此類(lèi)數(shù)列解決的方法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個(gè)式子累加，變成，進(jìn)而求解。例1.在數(shù)列中,解：依題意有逐項(xiàng)累加有，從而。注：在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).變式練習(xí)：滿足,,求的通項(xiàng)公式。二、型數(shù)列，〔其中不是常值函數(shù))此類(lèi)數(shù)列解決的方法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個(gè)式子累乘，變成，進(jìn)而求解。例2.數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時(shí)，將這個(gè)式子累乘，得到，從而，當(dāng)時(shí)，，所以。注：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).變式練習(xí)：在數(shù)列中,>0,,求.提示：依題意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型數(shù)列此類(lèi)數(shù)列解決的方法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的方法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開(kāi)整理，比擬系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為。二是用作差法直接構(gòu)造，,，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。例3.在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，有，求的通項(xiàng)公式。解法1：設(shè)，即有比照，得，于是得，即所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列那么。解法2：由遞推式，得，上述兩式相減，得，即因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以，即，所以。變式練習(xí)：數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.注：根據(jù)題設(shè)特征恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù)列,利用根本數(shù)列可簡(jiǎn)捷地求出通項(xiàng)公式.四、型數(shù)列〔p為常數(shù)〕此類(lèi)數(shù)列可變形為，那么可用累加法求出，由此求得.例4數(shù)列滿足,求.解:將遞推式兩邊同除以得,設(shè),故有，,從而.注：通過(guò)變形,構(gòu)造輔助數(shù)列,轉(zhuǎn)化為根本數(shù)列的問(wèn)題,是我們求解陌生的遞推關(guān)系式的常用方法.假設(shè)為的一次函數(shù),那么加上關(guān)于的一次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列;假設(shè)為的二次函數(shù),那么加上關(guān)于的二次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.這時(shí)我們用待定系數(shù)法來(lái)求解.例5．?dāng)?shù)列滿足解:作,那么,代入遞推式中得:.令這時(shí)且顯然,,所以.注：通過(guò)引入一些待定系數(shù)來(lái)轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu),經(jīng)過(guò)變形和比擬,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成根本數(shù)列,從而使問(wèn)題得以解決.變式練習(xí)：〔1〕滿足，求。〔2〕數(shù)列，表示其前項(xiàng)和，假設(shè)滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。提示：〔2〕中利用，把條件轉(zhuǎn)化成遞推式。五、型數(shù)列〔為非零常數(shù)〕這種類(lèi)型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù),把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列,便可順利地轉(zhuǎn)化為型數(shù)列。例6．?dāng)?shù)列滿足,求.解:兩邊取倒數(shù)得:,所以，故有。變式練習(xí)：數(shù)列中，，求的通項(xiàng)。六、型數(shù)列〔為常數(shù)〕這種類(lèi)型的做法是用待定糸數(shù)法設(shè)構(gòu)造等比數(shù)列。例7．?dāng)?shù)列中，且，求.C、求數(shù)列前項(xiàng)和公式法:利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法。(1)等差：;等比：;(2);例1.求和()分組法：有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例2.求數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減法：〔考試重點(diǎn)〕主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差和等比.求和時(shí)一般在和式的兩邊都乘以等比數(shù)列的公比q；然后再將得到的式子和原式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和?？记绊氈?.公比是未知數(shù)要討論當(dāng)公比x=1時(shí)的特殊情況；2.錯(cuò)位相減時(shí)要注意末項(xiàng)例3.求和：例4.求和：裂項(xiàng)法:實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)〔通項(xiàng)〕分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終到達(dá)求和的目的.前面剩幾項(xiàng)后面剩倒數(shù)第幾項(xiàng)，對(duì)稱(chēng)性.例5．求和例6.求數(shù)列的前項(xiàng)和.并項(xiàng)求和法(或者奇數(shù)項(xiàng)和+偶數(shù)項(xiàng)和)一定是正負(fù)相間.例7.求和數(shù)列局部測(cè)試題一、選擇題1、如果一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，那么此數(shù)列〔〕〔A〕為常數(shù)數(shù)列〔B〕為非零的常數(shù)數(shù)列〔C〕存在且唯一〔D〕不存在2.、在等差數(shù)列中，,且,,成等比數(shù)列，那么的通項(xiàng)公式為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕或〔D〕或3、成等比數(shù)列，且分別為與、與的等差中項(xiàng)，那么的值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕不確定4、互不相等的三個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，是a,b的等比中項(xiàng)，是b,c的等比中項(xiàng)，那么，，三個(gè)數(shù)〔〕〔A〕成等差數(shù)列不成等比數(shù)列〔B〕成等比數(shù)列不成等差數(shù)列〔C〕既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列〔D〕既不成等差數(shù)列，又不成等比數(shù)列5、數(shù)列的前項(xiàng)和為,,那么此數(shù)列的通項(xiàng)公式為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6、，那么〔〕〔A〕成等差數(shù)列〔B〕成等比數(shù)列〔C〕成等差數(shù)列〔D〕成等比數(shù)列7、數(shù)列的前項(xiàng)和，那么關(guān)于數(shù)列的以下說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有〔〕①一定是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列②一定是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列③可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列④可能既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列⑤可能既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列〔A〕4〔B〕3〔C〕2〔D〕18、數(shù)列1,前n項(xiàng)和為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、假設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，且滿足，那么的值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10、數(shù)列的前項(xiàng)和為,那么數(shù)列的前10項(xiàng)和為〔〕〔A〕56〔B〕58〔C〕62〔D〕60數(shù)列的通項(xiàng)公式為,從中依次取出第3，9，27，…3n,…項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，那么此數(shù)列的前n項(xiàng)和為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕12、以下命題中是真命題的是()A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列的充要條件是()B．一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,如果此數(shù)列是等差數(shù)列,那么此數(shù)列也是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列的充要條件D．如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和,那么此數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是二、填空題13、各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，公比,成等差數(shù)列，那么公比=14、等差數(shù)列，公差,成等比數(shù)列，那么=15、數(shù)列滿足,那么=16、在2和30之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么插入的這兩個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)為三、解答題17、數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，求公比及。18、等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比相等，且都等于,，,,求。19、有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為216，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為36，求這四個(gè)數(shù)。20、為等比數(shù)列，，求的通項(xiàng)式。21、數(shù)列的前項(xiàng)和記為〔Ⅰ〕求的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求22、數(shù)列滿足〔I〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔II〕假設(shè)數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；數(shù)列局部參考答案選擇題題號(hào)123456789101112答案BDCAAACADDDD填空題13.14.15.16.6三、解答題 17.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d由{abn}為等比數(shù)例，得〔a1+9d〕2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna項(xiàng)，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1∴bn=3·4n-1-218.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d2)=-2d①a5=5b5,a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d②eq\f(②,①),得=2，∴d2=1或d2=,由題意，d=,a1=-?！郺n=a1+(n-1)d=(n-6)bn=a1dn-1=-·()n-119.設(shè)這四個(gè)數(shù)為那么由①，得a3=216,a=6③③代入②，得3aq=36,q=2∴這四個(gè)數(shù)為3，6，12，1820.解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,那么q≠0,a2=eq\f(a3,q)=eq\f(2,q),a4=a3q=2q所以eq\f(2,q)+2q=eq\f(20,3),解得q1=eq\f(1,3),q2=3,當(dāng)q1=eq\f(1,3),a1=18.所以an=18×(eq\f(1,3))n－1=eq\f(18,3n－1)=