樣本相關(guān)系數(shù)（教學(xué)設(shè)計）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.1.2樣本相關(guān)系數(shù)教學(xué)設(shè)計課時教學(xué)內(nèi)容本節(jié)的主要內(nèi)容是一元線性回歸模型，它是線性回歸分析的核心內(nèi)容，也是后續(xù)研究兩變量間的相關(guān)性有關(guān)問題的基礎(chǔ).通過散點圖直觀探究分析得出的直線擬合方式不同，擬合的效果就不同，它們與實際觀測值均有一定的偏差.在經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)關(guān)系的過程中，解決用數(shù)學(xué)方法刻畫從整體上看各觀測點到擬合直線的距離最小的問題，讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上了解更為科學(xué)的數(shù)據(jù)處理方式——最小二乘法，有助于他們更好地理解核心概念“經(jīng)驗回歸直線”，并最終體現(xiàn)回歸方法的應(yīng)用價值.就統(tǒng)計學(xué)科而言，對不同的數(shù)據(jù)處理方法進行“優(yōu)劣評價”是“假設(shè)檢驗”的萌芽.了解最小二乘法思想，將其與各種估算方法進行比較，體會它的相對科學(xué)性，既是統(tǒng)計學(xué)教學(xué)發(fā)展的需要，又是在體會此思想的過程中促進學(xué)生對核心概念進一步理解的需要.最小二乘法思想作為本節(jié)課的核心思想，由此得以體現(xiàn)，而回歸思想和貫穿統(tǒng)計學(xué)科的隨機思想，也是本節(jié)課需要滲透的.課時教學(xué)目標(biāo)1.結(jié)合實例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.教學(xué)重點、難點1.重點：一元線性回歸模型的基本思想，經(jīng)驗回歸方程，最小二乘法.2.難點：求最小二乘估計，殘差分析.教學(xué)過程設(shè)計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題通過觀察散點圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以大致推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等．散點圖雖然直觀，但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，也就無法量化兩個變量之間相關(guān)程度的大?。芊裣褚肫骄?、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進行分析那樣，引入一個適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進行定量分析呢？對于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分別為和．將數(shù)據(jù)以為零點進行平移，得到平移后的成對數(shù)據(jù)為，，…，．并繪制散點圖．【師生活動】觀察撒點圖代表的數(shù)據(jù)的正負大小等特征，并根據(jù)特征嘗試進行構(gòu)造統(tǒng)計量。預(yù)設(shè)結(jié)果：沒有明顯的特征【師生活動】對數(shù)據(jù)進行中心化處理再觀察數(shù)值特征利用上述方法處理表8.1-1中的數(shù)據(jù)，得到圖8.1-3．我們發(fā)現(xiàn)，這時的散點大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，大多數(shù)散點的橫、縱坐標(biāo)同號．顯然，這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念一般地，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在第一象限、第三象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)同號的居多，如圖8.1-4(1)所示；如果變量x和y負相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在第二象限、第四象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)異號的居多，如圖8.1-4(2)所示．預(yù)設(shè)結(jié)果：線性負相關(guān)：基本異號；線性正相關(guān)：基本同號思考：根據(jù)上述分析．你能利用正相關(guān)變量和負相關(guān)變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負相關(guān)的數(shù)字特征嗎？從上述討論得到啟發(fā)，利用散點的橫、縱坐標(biāo)是否同號，可以構(gòu)造一個量．一般情形下，表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；表明成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念思考：你認為的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？因為的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小．例如，在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時，如果體重的單位不變，把身高的單位由米改為厘米，則相應(yīng)的將變?yōu)樵瓉淼?00倍，但單位的改變并不會導(dǎo)致體重與身高之間相關(guān)程度的改變．追問3如果數(shù)據(jù)的單位發(fā)生變化，上面的統(tǒng)計量是否仍適用?為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)作進一步的“標(biāo)準化”處理．我們用，．分別除和，得，，…，，為簡單起見，把上述“標(biāo)準化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為，，…，．仿照的構(gòu)造，可以得到．（1）【師生活動】用具體的實例進行驗證。在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時,如果體重的單位不變,把身高單位由米改為厘米，單位的改變不會改變體重與身高之間的相關(guān)程度?？疾榈淖兓?。我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)（samplecorrelationcoefficient）．這樣，我們利用成對樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造了樣本相關(guān)系數(shù)r．樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負性和絕對值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征：問題4樣本相關(guān)系數(shù)r的正負能反映出成對變量的什么關(guān)系？當(dāng)時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)．這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變??；當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變大．當(dāng)時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)．這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大；當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變?。畣栴}5樣本相關(guān)系數(shù)r的取值與成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系？那么，樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？為此，我們先考察一下r的取值范圍．【設(shè)計意圖】從創(chuàng)設(shè)認知需求，從學(xué)生的已有經(jīng)驗出發(fā)，層層引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)造一個新的統(tǒng)計量的過程，體會用數(shù)據(jù)描述客觀事實的精確性，以及數(shù)學(xué)的合理性和嚴謹性?！編熒顒印款惐认蛄康臄?shù)量積進行研究。觀察r的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到二維（平面）向量、三維（空間）向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，我們將向量的維數(shù)推廣到n維，n維向量，的數(shù)量積仍然定義為，其中為向量，的夾角．類似于平面或空間向量的坐標(biāo)表示，對于向量和，我們有．設(shè)“標(biāo)準化”處理后的成對數(shù)據(jù)，，…，的第一分量構(gòu)成n維向量，第二分量構(gòu)成n維向量，則有．因為，所以樣本相關(guān)系數(shù)，其中為向量和向量的夾角．由，可知．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念思考：當(dāng)時，成對樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢?當(dāng)時，中的或，向量和向量共線．由向量的知識可知，存在實數(shù)，使得，即．這表明成對樣本數(shù)據(jù)都落在直線，．上．這時，成對樣本數(shù)據(jù)的兩個分量之間滿足一種線性關(guān)系．由此可見，樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍為．樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度：當(dāng)越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當(dāng)越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．樣本相關(guān)系數(shù)有時也稱樣本線性相關(guān)系數(shù)，刻畫了樣本點集中于某條直線的程度．當(dāng)時，只表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系．圖8.1-5是不同成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和相應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)．圖(1)中的散點有明顯的從左下角到右上角沿直線分布的趨勢，說明成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系；樣本相關(guān)系數(shù)，表明成對樣本數(shù)據(jù)的正線性相關(guān)程度很強．圖(2)中的散點有明顯的從左上角到右下角沿直線分布的趨勢，說明成對樣本數(shù)據(jù)也呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系；樣本相關(guān)系數(shù)，表明成對樣本數(shù)據(jù)的負線性相關(guān)程度比較強．從樣本相關(guān)系數(shù)來看，圖(1)中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度要比圖(2)中強一些；圖(3)和圖(4)中的成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度很弱，其中圖(4)中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度極弱．綜上可知，兩個隨機變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進行分析，而樣本相關(guān)系數(shù)r可以反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度：r的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負性；的大小反映了兩個變量線性相關(guān)的程度，即散點集中于一條直線的程度．在有限總體中，若要確切地了解兩個變量之間相關(guān)關(guān)系的正負性及線性相關(guān)的程度，我們可以利用這兩個變量取值的所有成對數(shù)據(jù)，通過公式(1)就可以計算出兩個變量的相關(guān)系數(shù)．例如，要確切了解脂肪含量y與年齡x的線性相關(guān)程度，需要調(diào)查所有人的年齡及其脂肪含量，再將得到的成對數(shù)據(jù)代入公式(1)，計算出相關(guān)系數(shù)．這個相關(guān)系數(shù)就能確切地反映變量之間的相關(guān)程度．不過，在實際中，獲得總體中所有的成對數(shù)據(jù)往往是不容易的．因此，我們還是要用樣本估計總體的思想來解決問題．也就是說，我們先要通過抽樣獲取兩個變量的一些成對樣本數(shù)據(jù)，再計算出樣本相關(guān)系數(shù)，通過樣本相關(guān)系數(shù)去估計總體相關(guān)系數(shù)，從而了解兩個變量之間的相關(guān)程度．對于簡單隨機樣本而言，樣本具有隨機性，因此樣本相關(guān)系數(shù)r也具有隨機性．一般地，樣本容量越大，用樣本相關(guān)系數(shù)估計兩個變量的相關(guān)系數(shù)的效果越好．【師生活動】根據(jù)式子特征進行分析?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷概念的自主建構(gòu)過程，并讓學(xué)生體會r的完備性與純粹性。環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度．解：先畫出散點圖，如圖8.1-1所示．觀察散點圖，可以看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān)．根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義，①利用計算工具計算可得，，，，．代入①式，得．由樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強．利用統(tǒng)計軟件計算樣本相關(guān)系數(shù)，Excel軟件用函數(shù)CORREL；R軟件用函數(shù)cor．【師生活動】教師帶領(lǐng)學(xué)生一起計算，提醒學(xué)生答題的規(guī)范性和得分點。例2有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和）與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如表8.1-2所示．表8.1-2第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0畫出散點圖，推斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢的異同．解：畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖，如圖8.1-6所示．從散點圖看，A商品銷售額與居民年收入的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系．由樣本數(shù)據(jù)計算得樣本相關(guān)系數(shù)．由此可以推斷，A商品銷售額與居民年收入正線性相關(guān)，即A商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢，且相關(guān)程度很強．【師生活動】一名學(xué)生上臺板演，其余學(xué)生寫在作業(yè)本上。師生共同批改和糾錯。例3在某校高一年級中隨機抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如表8.1-3所示．表8.1-3編號身高/cm體重/kg臂展/cm編號身高/cm體重/kg臂展/cm1173551691416666161217971170151766116631755217216176491654179621771717560173518282174181694816261736316619184861897180551742016958164817081169211825417091695416622171581641017754176231776117311177591702417358165121786717425173511691317456170體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出體重與身高、臂展與身高的散點圖，分別如圖8.1-7(1)和(2)所示，兩個散點圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征．通過計算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關(guān)系數(shù)分別約為0.34和0.78，都為正線性相關(guān)．其中，臂展與身高的相關(guān)程度更高．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？（1）一元線性回歸模型；（2）最小二乘法.(3)殘差.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？思想方法數(shù)形結(jié)合.【設(shè)計意圖】梳理本節(jié)課的研究問題和研究思路，讓學(xué)生不僅掌握知識和技能，還學(xué)會一種新的統(tǒng)計量的研究路徑。環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第120?121頁習(xí)題8.2第2題.練習(xí)（第103頁）1．由簡單隨機抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系？為什么？1．【解析】樣本相關(guān)系數(shù)可以反映變量之間相關(guān)的正負性及線性相關(guān)的程度，但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機性，樣本相關(guān)系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系．一般來說，樣本量越大，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)推斷變量之間相關(guān)的正負性及線性相關(guān)的程度越可靠，而樣本量越小則越不可靠．一個極端的情況是，無論兩個變量之間是什么關(guān)系，如果樣本量取2，則計算可得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值都是1(在樣本相關(guān)系數(shù)存在的情況下)，顯然據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關(guān)是不合理的．2．已知變量x和變量y的3對隨機觀測數(shù)據(jù)，，，計算兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)．能據(jù)此推出這兩個變量線性相關(guān)嗎？為什么？2．【解析】，，則相關(guān)系數(shù)，即，雖然樣本相關(guān)系數(shù)為，三個樣本點在一條直線上，但是由于樣本量太小，據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關(guān)并不可靠．解法二：i123求和xi23510yi2xiyi4xi2492538yi2414954，．．雖然樣本相關(guān)系數(shù)為，三個樣本點在一條直線上，但是由于樣本量太小，據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關(guān)并不可靠．3．畫出下列成對數(shù)據(jù)的散點圖，并計算樣本相關(guān)系數(shù)．據(jù)此，請你談?wù)剺颖鞠嚓P(guān)系數(shù)在刻畫兩個變量間相關(guān)關(guān)系上的特點．（1），，，，，；（2），，，，；（3），，，，，；（4），，，，．3．【解析】（1）散點圖如下：由點數(shù)據(jù)知：，；；；；則；i123456求和xi-2-101233yi-3-1135712xiyi6103102141xi241014919yi29119254994，，（2）散點圖如下：由點數(shù)據(jù)知：，；；；；則；i12345求和xi0123410yi01491630xiyi0182764100xi201491630yi2011681256354，；（3）散點圖如下：由點數(shù)據(jù)知：，；；；；則；i123456求和xi-2-101233yi-8-10182727xiyi161011681115xi241014919yi26410164729859，；（4）散點圖如下：由點數(shù)據(jù)知：，，，，綜上，由相關(guān)系數(shù)的值可知，越接近1，樣本的線性相關(guān)性越強，越接近0，線性相關(guān)性越弱．4．隨機抽取7家超市，得到其廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下：超市ABCDEFG廣告支出/萬元1246101420銷售額/萬元19324440525354請判斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關(guān)關(guān)系的類型、相關(guān)程度和變化趨勢的特征．4．【解析】成對數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：從散點圖上可得，超市的銷售額與廣告支出之間呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系，由數(shù)據(jù)可得；，，，，i1234567求和xi124610142057yi19324440525354294xiyi196417624052074210802841xi2141636100196400753yi236110241936160027042809291613350，由此可推斷，銷售額與廣告支出之間正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較強，銷售額與廣告支出的變化趨勢相同，但隨著廣告支出超過10萬元后，銷售額增加幅度變緩．習(xí)題8.1（第103頁）1．在以下4幅散點圖中，判斷哪些圖中的y和x之間存在相關(guān)關(guān)系？其中哪些正相關(guān)，哪些負相關(guān)？哪些圖所對應(yīng)的成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系？哪些圖所對應(yīng)的成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出非線性相關(guān)關(guān)系．1．【解析】（1）由（1）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點沒有落在了一條直線或者曲線附近，是雜亂無章的，所以可以判定兩個變量之間不存在相關(guān)關(guān)系；（2）由（2）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點幾乎落在了一條直線附近，所以可以判定兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系，圖像呈現(xiàn)左下右上趨勢，說明兩個變量呈正線性相關(guān)關(guān)系；（3）由（3）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點幾乎落在了一條直線附近，所以可以判定兩個變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，圖像呈現(xiàn)左上右下趨勢，說明兩個變量呈負線性相關(guān)關(guān)系；（4）由（4）的散點圖可以看到，兩個變量確定的散點幾乎落在了一條曲線附近，所以可以判定兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系，而且是非線性相關(guān)關(guān)系；綜上，圖（2）（3）（4）中的y和x之間存在相關(guān)關(guān)系；其中圖（2）（4）中的y和x之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系；圖（2）（3）中的y和x之間呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系；其中圖（4）中的y和x之間呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系．2．隨機抽取10家航空公司，對其最近一年的航班正點率和顧客投訴次數(shù)進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下：航空公司編號12345678910航班正點率/%81.876.876.675.773.872.271.270.891.468.5顧客投訴/次2158856874937212218125顧客投訴次數(shù)和航班正點率之間是否呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系？它們之間的相關(guān)程度如何？變化趨勢有何特征？2．【解析】散點圖如下：設(shè)顧客投訴次數(shù)為，正點率為，i12345678910求和xi81.876.876.675.773.872.271.270.891.468.5758.8yi2158856874937212218125736xiyi1717.84454.465115147.65461.26714.65126.48637.61645.28562.553978.3xi26691.245898.245867.565730.495446.445212.845069.445012.648353.964692.2557975.1yi2441336472254624547686495184148843241562565796，，，，，相關(guān)系數(shù)，可以推斷顧客投訴次數(shù)與航班正點率負線性相關(guān)，且相關(guān)程度較強，顧客投訴次數(shù)和航班正點率的變化趨勢相反．3．根據(jù)物理中的胡克定律，彈簧伸長的長度與所受的外力成正比．測得一根彈簧伸長長度x和相應(yīng)所受外力F的一組數(shù)據(jù)如下：編號12345678910x/cm11.21.41.61.82.02.22.42.83.0F/N3.083.764.315.025.516.256.747.408.549.24兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)是否為1？請你解釋其中的原因．3．【解析】先畫出彈簧長度和所受外力的散點圖，如圖所示，i1