chapter04非線性方程和方程組的數(shù)值解法

4.1引言第4章非線性方程的數(shù)值解法非線性方程的分兩類(lèi)：那么可用搜索法求有根區(qū)間.x

?1012f(x)的符號(hào)??++求根問(wèn)題的三個(gè)方面：存在性，分布，精確化。4.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法不動(dòng)點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)迭代法kxk012345671.51.357211.330861.325881.324941.324761.324731.324724.3.2不動(dòng)點(diǎn)迭代法f(x)=0x=

(x)等價(jià)變換f(x)的根

(x)的不動(dòng)點(diǎn)思路從一個(gè)初值x0

出發(fā)，計(jì)算x1=

(x0),x2=

(x1),…,xk+1=

(xk),…若收斂，即存在x*使得

，且

連續(xù)，則由可知x*=

(x*)，即x*是

的不動(dòng)點(diǎn)，也就是f

的根。如此簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)直難以相信！有什么問(wèn)題嗎？此法何時(shí)收斂？Fixed-PointIterationxyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=

(x)y=

(x)y=

(x)y=

(x)x0p0x1p1

x0p0x1p1

x0p0x1p1

x0p0x1p1

Fixed-PointIteration定理考慮方程x=

(x),

(x)

C[a,b],若(I)當(dāng)x[a,b]時(shí)，

(x)[a,b]；(II)0L<1使

|

′(x)|L<1對(duì)

x[a,b]成立。則任取x0[a,b]，由xk+1=

(xk)得到的序列收斂于

(x)在[a,b]上的唯一不動(dòng)點(diǎn)。并且有誤差估計(jì)式：

(k=1,2,…)且存在極限k所替代由微分學(xué)中值定理，條件(2)常常用條件：此時(shí)試在1.5附近討論根的存在惟一性，并構(gòu)造兩種不同的收斂迭代格式，再用其中一種收斂迭代格式計(jì)算該方程在1.5附近的一個(gè)根()3、一個(gè)三次方程為解：設(shè)當(dāng)時(shí)，是嚴(yán)格單調(diào)增加的，而所以在〔1,2〕內(nèi)有唯一的根。對(duì)此建立兩種迭代格式：和〔2〕〔1〕對(duì)于格式〔1〕當(dāng)時(shí)，并且，故單調(diào)增加，有故當(dāng)時(shí)從而對(duì)任意初值，迭代格式〔1〕收斂。對(duì)于格式〔2〕當(dāng)時(shí)，

又由于，故單調(diào)增加，有從而對(duì)任意初值，迭代格式（2）收斂。當(dāng)時(shí)，用格式〔1〕計(jì)算得到：X0=1.5,x1=1.35721,x2=1.33086,x3=1.32588,x4=1.32494,x5=1.32476,x6=1.32473X7=1.32472,x8=1.32472用格式〔2〕計(jì)算得到：X0=1.5,x1=1.29099,x2=1.33214,x3=1.32313,x4=1.32506,x5=1.32464,x6=1.32473X7=1.32472,x8=1.32472、局部收斂性kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123

?

x0

x1

x2

x3

?23987?21.521.5?21.751.734751.732631?21.751.7321431.732051?8、確定常數(shù)a,b,c，使迭代式

局部收斂到，并有盡可能高的收斂階數(shù)，并指出這個(gè)階數(shù)。解：因?yàn)榈绞諗康?，?是的不動(dòng)點(diǎn)。從而有：

①為使迭代公式具有較高的收斂階，可令即：

②

③

解聯(lián)立方程組①②③，得到：。此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，迭代公式的收斂階最高，為3.4.5Newton迭代法和割線法原理：將非線性方程線性化

——Taylor展開(kāi)/*Taylor’sexpansion*/取x0

x*，將f(x)在x0

做一階Taylor展開(kāi):，

在x0

和x

之間。將(x*x0)2看成高階小量，那么有：線性

/*linear*/xyx*x0一般地Newton-RaphsonMethod定理（局部收斂性）設(shè)f

C2[a,b]，若x*

為f(x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，則存在x*的鄰域使得任取初值，Newton’sMethod產(chǎn)生的序列{xk}收斂到x*，且滿足二、牛頓法應(yīng)用舉例kxk01230.50.571020.567160.56714kxk012341010.75000010.72383710.72380510.723805Newton-RaphsonMethod注：Newton’sMethod收斂性依賴于x0

的選取。x*x0

x0

x0Newton-RaphsonMethod定理〔收斂的充分條件〕設(shè)fC2[a,b]，假設(shè)(1)f(a)f(b)<0；(2)在整個(gè)[a,b