二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（7大類型）-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

模塊三重難點題型專項訓(xùn)練

專題38二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（7大壓軸

類型）

考查類型一與線段有關(guān)的問題

考查類型二與圖形面積有關(guān)的問題

考查類型三角度問題

考查類型考查類型四與特殊三角形判定有關(guān)的問題

考查類型五與特殊四邊形判定有關(guān)的問題

考查類型六與三角形全等、相似有關(guān)的問題

考查類型七與圓有關(guān)的運算

新題速遞

考查類型一與線段有關(guān)的問題

H（2020?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0,2）,

點B的坐標(biāo)為（4,2）.若拋物線y=-∣（χ-（〃、k為常數(shù)）與線段AB交于C、。兩

【答案】I7

【分析】根據(jù)題意，可以得到點C的坐標(biāo)和人的值，然后將點C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,

即可得到人的值，本題得以解決.

【詳解】解：.?點A的坐標(biāo)為Q2）,點B的坐標(biāo)為（4,2）,

.?.AB=4,

31

拋物線y=-；（Xi）?9、Z為常數(shù)）與線段AB交于C、O兩點，且CD=]A8=2,

???設(shè)點C的坐標(biāo)為(C,2),則點。的坐標(biāo)為(c+2,2),仁fp=c+l,

???拋物線2=-5[cτc+l)F+k,

解得，々=；7.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

畫國(2020-111東濱州?中考真題)如圖,拋物線的頂點為A(∕?,—1),與y軸交于點8(0,-g),

點尸(2,1)為其對稱軸上的一個定點.

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；

(2)已知直線/是過點C(0,—3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點P("?,〃)

到直線/的距離為d,求證：PF=d;

(3)已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點0(4,3),請在拋物線上找一點。，使AOFQ的周長最小，并求

此時OF。周長的最小值及點。的坐標(biāo).

【分析】(1)由題意拋物線的頂點A(2,-1),可以假設(shè)拋物線的解析式為y=α(x-2)2-l,

把點B坐標(biāo)代入求出”即可.

(2)由題意尸(m,-m2--m--),求出才,P產(chǎn)(用/n表示)即可解決問題.

822

(3)如圖，過點。作?！?，直線/于H,過點。作QNL直線/于M因為的周長

=DF+DQ+FQ,DF是定值=與方=2√J,推出DQ+QF的值最小時，AOFQ的周長最小,

再根據(jù)垂線段最短解決問題即可.

【詳解】解：(1)設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=”(x-∕jy+Z,

由題意,拋物線的頂點為A(2,T),

.?.y=6f(x-2)^-1.

又?.拋物線與y軸交于點B[O,-∣

1

Q2

2-(O-

1

=8-

拋物線的函數(shù)解析式為J=∣(X-2)2-1

O

(2)證明：VP(m,〃)，

.?n=-(m-2)2-↑=—/?r——m——,

8822

..II1「、1215

..a=-m~2—m------(—3)=—m~—zπ+-,

822822

VF(2,1),

??,呼=、(〃2.2)2+口病一ILJ_L/.L川+工/一2小十竺,

V1822JV648824

???1」/」小〃二加十生，療='”」病+工病一與+經(jīng)

648824648824

22

.?d=PF9

C.PF=d.

(3)如圖，過點。作QH_L直線/于"，過點。作拉NJ_直線/于M

;△拉尸。的周長二D∕7+OQ+bQ,。產(chǎn)是定值=√F萬=2收，

???。。+。產(chǎn)的值最小時，ZkOF0的周長最小，

,

.?QF=QH1

：.DQ+DF=DQ+QH,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)。，Q,”共線時，OQ+Q”的值最小，此時點〃與N重合，點Q

在線段DN上，

???。。+?！钡淖钚≈禐?,

???△。/。的周長的最小值為2√Σ+6,此時。(4,.

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，兩點間距離公式，垂線段最短等知

識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

厚命題出限

二次函數(shù)中求線段問題：

1.直接求解線段長度表達式型

2.線段轉(zhuǎn)化型

3.將軍飲馬問題、胡不歸問題、阿氏圓問題等

4.瓜豆原理最值問題，圓中的線段最值

【變式1】（2022?廣東珠海.珠海市九洲中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)y=-χ2+2x+m+?的

圖象交X軸于點4（“，0）和8（40）,交y軸于點C,圖象的頂點為D下列四個命題：

①當(dāng)x>0時，y>0；

②若a=-\,則6=4；

③點C關(guān)于圖象對稱軸的對稱點為E,點M為X軸上的一個動點，當(dāng)機=2時，AMCE周

長的最小值為2亞；

④圖象上有兩點尸（x∕,y∣）和Q（X2，”）,若x∕<l<X2,且X∕+X2>2,則N>以，

其中真命題的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】①錯誤，由圖象可知當(dāng)α<x<b時，y>0；②錯誤，當(dāng)α=T時，6=3；③錯誤,

△MCE的周長的最小值為2亞+2；④正確，函數(shù)圖象在x>l時，），隨X增大而減小，則

y2<y∣-

【詳解】解：①當(dāng)"<x<8時，二次函數(shù)圖象在X軸上方，則y>0,故①錯誤；

人b__2

?-2Λ--2×（-1）-1,

.?.當(dāng)a=-l時，h=3,故②錯誤；

③這是將軍飲馬問題，作E關(guān)于X軸的對稱點￡,連接ME、CE',如圖所示:

當(dāng)m=2時，C(0,3),E(2,3),

E'與E關(guān)于%軸對稱，

E'(2,-3),

.?.AMCE的周長的最小值就是C、用、￡三點共線時取到為CE'+CE=2ji6+2,

.?.ZXMCE的周長的最小值為2√宿+2,故③錯誤；

④設(shè)X/關(guān)于對稱軸的對稱點為,，

.β.x∕=2-Xb

?."∕+X2>2,

?u?X2>-X/+2,

??Λ2>X∣9

Vχ∕<l<%2?

,

Λx∕<l<xl<X2,

???函數(shù)圖象在JV>1時，y隨X增大而減小，

.?y2<y∣,則④正確;

故選：A.

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、最小值問題、增減性問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活掌

握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，第四個結(jié)論的判斷關(guān)鍵是利用對稱點性質(zhì)解決問題，所以中考壓軸

題.

【變式2](2022?廣東東莞?校考一模)如圖，拋物線y=-χ2+χ+6交九軸于A、4兩點(A在B

的左側(cè))，交V軸于點C,點。是線段AC的中點，點P是線段A3上一個動點，Z^APD沿DP

【答案】5-√iθ?*-√iθ+5

【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點A,B,C坐標(biāo)，從而得出04=2,08=3,0C=6,

再根據(jù)勾股定理求出AC的長度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出H在以。為圓心，幺為半徑的

圓弧上運動，當(dāng)D,A',8在同一直線上時，加最?。贿^點。作Z)ElA垂足為E,由

中位線定理得H；OE,OE的長，然后由勾股定理求出80,從而得出結(jié)論.

【詳解】解：令y=0,則=-χ2+x+6=0,

解得為=-2,X2=3,

.?.A(-2,0),8(3,0),

.?.OA=2,OB=3>

令％=O,則y=6,

.?.C(6,0),

.,.OC=6，

AC=√22+62=2√10-

￡>為AC中點：，

.?.DA=DC=M,

.AP。由Z?APD沿。P折疊所得，

.-.DA=DA',

A'在以。為圓心，DA為半彳仝的圓弧上運動，

當(dāng)O,A),B在同一直線上時，的，最小，

過點。作r>E∕AB,垂足為E，

AE=OE=1,DE=3,

.?.BE=4,

.?.βD=√32+42=5-

乂?,DA=DA,=√iθ,

.?.BA,=5-√1O,

故答案為：5-λ∕10.

【點睛】本題考查了拋物線與X軸的交點，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知識,

關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出A,B,C的坐標(biāo).

【變式3］（2022?云南文山?統(tǒng)考三模）已知拋物線y=加+（l-3a）x-3與X軸交于A、B

兩點（點A在點8左側(cè)），頂點坐標(biāo)為點。（1,機）.

（2）設(shè)點尸在拋物線的對稱軸上，連接BP,求OP+石BP的最小值.

【答案】（1）-4

（2）8

i-3i7

【分析】⑴根據(jù)題意可得=1，求出“的值，即可求解；

2a

(2)過B作BKJ_3P,且BK=2BP,過K作KS_LX軸于S,過K作KT〃X軸交。戶于T,

設(shè)拋物線對稱軸交X軸于R,先求出5(3,0),可得BR=2,再證得aPBRsBKS,可得

KS=28R=4,即K為直線y=4上的動點,從而得到7(1,4),進而得到DP+舊BP=DP+PK,

可得到當(dāng)K運動到T時，DP+√5BP=DP+PK=DP+PT=DT,此時。尸+&BP取最小值，

最小值即是Z5T的長，即可求解.

【詳解】⑴解：：拋物線y=加+(l-3α)x-3頂點坐標(biāo)為點仇1,加)，

l-3α,

/.---------=1,

2a

解得α=l，

Λγ=x2-2x-3=(x-l)2-4,

???頂點坐標(biāo)為(I,τ),

.?.m的值是-4;

(2)解：過B作BK_LBP，ΛBK=2BP,過K作KS_Lx軸于S,過K作KT〃X軸交。P于

T,設(shè)拋物線對稱軸交X軸于心如圖：

由(1)知拋物線y=∕-2x-3對稱軸為直線X=I,頂點0(1,T),

在y=∕-2x-3中，

令丫=0，得：/-2X-3=0,

解得：X=-I或3,

.?.8(3,0),

/.BR=2,

,：BKA.BP,

.?.NPBR=90o-NKBS=NBKS，

,：NPRB=NKSB=90。,

：..PBRSLBKS,

BPBR

'^κ~~κs,

?/BK=2BP?

：.KS=2BR=4,

即K為直線y=4上的動點,

T(l,4),

??BKLBP,BK=2BP,

：.pκ=-BBP,

.?.DP+遙BP=DP+PK、

由垂線段最短可得，當(dāng)K運動到了時，DP+>f5BP=DP+PK=DP+PT=DT,此時

OP+√?BP取最小值，最小值即是。T的長，如圖：

?；Z)(IT),7(1,4),

二DT=8,

：.OP+石BP的最小值為8.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，轉(zhuǎn)化正BP成尸K.

考查類型二與圖形面積有關(guān)的問題

gl](2021?山東淄博?統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)y=2∕-8x+6的圖象交》軸于AB兩

點.若其圖象上有且只有R鳥,A三點滿足SAg=Sa鋁=S,%=，”，則機的值是()

3

A.1B.-C.2D.4

2

【答案】C

【分析】由題意易得點兒6線的縱坐標(biāo)相等，進而可得其中有一個點是拋物線的頂點，然

后問題可求解.

【詳解】解：假設(shè)點4在點8的左側(cè)，

：二次函數(shù)y=2∕-8x+6的圖象交X軸于A8兩點，

.?.令y=0時，則有0=2f-8x+6,解得：Xl=LX2=3,

.?.A(Lo),8(3,0),

AB=3-1=2,

m

V圖象上有且只有耳，6,W三點滿足SABPI=SAm=SABK=，

.?.點4￡,勺的縱坐標(biāo)的絕對值相等，如圖所示：

Vy=2x2-8x+6^2(x-2)2-2,

???點田2,-2),

，機=S,A貼=Jx2x2=2：

故選C.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

甌(2022?山東淄博?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=-χ2+∕w+c與X軸相交于4,B兩

4

點(點4在點B的左側(cè))，頂點O(1,4)在直線/：y^-x+t1.,動點P(m,n)在X軸

上方的拋物線上.

(—

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)過點尸作PMLX軸于點M,PNLl于點、N,當(dāng)l<m<3時，求PM+PN的最大值；

(3)設(shè)直線AP,BP與拋物線的對稱軸分別相交于點E,F,請?zhí)剿饕訟,F,B,G(G是點E

關(guān)于X軸的對稱點)為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這

個四邊形的面積；若變化，說明理由.

【答案】(l)y=-N+2χ+3

(2)最大值年22

⑶定值16

【分析】(1)利用頂點式可得結(jié)論；

(2)如圖，設(shè)直線/交X軸于點T,連接PT,BD,BD交PM于點J,設(shè)P(町-m2+2m+3),

S四邊形“加=5pnτ+Spκτ,推出SWDTBP最大時，PM+/W的值最大，求出四邊形DTBP的

面積的最大值，可得結(jié)論；

(3)如圖，設(shè)P(m,-M+2m+3),求出直線"，BP的解析式，可得點E,尸的坐標(biāo)，求

出FG的長，可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：Y拋物線的頂點為Q(1,4),

???根據(jù)頂點式，拋物線的解析式為y=—(x—iy+4=—d+2x+3；

(2)解：如圖，設(shè)直線/交X軸于點T,連接P7,BD,

BD交.PM于點J設(shè)P{m,-ιτΓ+2m+3),

點0(1,4),在直線/：y=gx+f上

8

3

48

???直線07的解析式為y=^χ÷j,

令y=0,得到X=-2,

???T(-2,0),

：?07=2,

??,8(3,0),

：.37=5,

YDT=M+4?=5,

/.σr=κr,

VPMVBT.PNLDT,

,?S四邊形"BP=SwDT+SAPBT=QxDTXPN-ι--×BT×PM=G(PM+PN),

???S四邊形°的最大時，PM+PN的值最大，

V0(1,4),8(3,0),

???直線BD的解析式為y=-2x+6,

J(∏7,-2∕H+6),

?'?PJ=-nr+4∕n-3，

S四邊形￡)78P=SDTB+S=—×5×4+-×(T%?+4∕n-3)x2

BDp22

=-w2+4機+7

=—(機—2)~+11,

;二次項系數(shù)-IV0,

.?.機=2時，S四邊形“BP最大，最大值為11,

,PM+*V的最大值=I2XIl=彳22；

(3)解：四邊形AFBG的面積不變.

理由：如圖，設(shè)耳機,-療+2m+3),

VA(-1,O),3(3,0),

直線AP的解析式為y=-(機-3八一機+3,

E(l,-2wι+6),

；E,G關(guān)于X軸對稱，

G(l,2∕π-6),

直線PB的解析式為y=-(m+l)x+3(m+l),

.?.F(l,2m+2),

GF=2m+2-(2m-6)=8,

四邊形AFBG的面積=,xABxFG='x4χ8=16,

22

四邊形AFBG的面積是定值.

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題.

厚命題自曲

解決二次函數(shù)動點面積問題，常用的方法有三種

方法一：鉛垂高法。

如圖1,過AABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，鉛垂高穿過的線段兩端點

的橫坐標(biāo)之差叫AABC的水平寬(a),中間的這條平行于y軸或垂直于X軸的直線在AABC

內(nèi)部線段的長度叫aABC的鉛垂高(h).此時三角形面積的計算方法：即三角形面積等于水平

寬與鉛垂高乘積的一半(s=1∕2ah)

方法二，平行法。平行法最關(guān)鍵的知識點，是平行線之間高的問題，一般這種情況都是平移

高到與坐標(biāo)軸交點處，最后用相似求值。

方法三，矩形覆蓋法。這是最容易想到的方法，但也是計算最麻煩的方法。利用面積的大減

小去解決，一般不太建議使用這種方法，龐大的計算量很容易出錯。

,曾就SD演

【變式1】(2022.河北?校聯(lián)考一模)如圖，在ASC中，ZACB=90。，8C邊在X軸上，

A(-l,4),3(7,0).點P是AB邊上一點，過點P分別作PELAC于點E,PDLBC下點D,

【答案】D

【分析】先求出直線4B的解析式為y=-∣x+(,然后設(shè)點P的坐標(biāo)為?？?/p>

LL1乙乙)

得PE=m+?,PD=--m+-,從而得到四邊形CDPE的面積為PE-PD=++

22V22)

再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為

y=kx+b(^k≠0)f

把點A(T,4),5(7,0)代入得:

-?+?=4

,解得:

7JI+?=0

17

???直線AB的解析式為γ=--Λ+-,

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(機,-gm+g)，

?.,ZAC8=90°,

."C(-1,0),

?.?PE，AC丁點E,PD±BC「點D,

__17

PE="2+1,PD-——tn+—,

22

??.四邊形CQPE的面積為=++

12Q7

=——m~+36+—

22

1、)

=--(∕n-3)'+8,

當(dāng)加=3時，四邊形COPE的面積最大，此時點P(3,2).

故選：D

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2](2022?江蘇鹽城?一模)如圖，拋物線y=-∕+4χ+i與>軸交于點P,其頂點是

A,點P，的坐標(biāo)是(3,-2),將該拋物線沿Pp方向平移，使點P平移到點P,則平移過程

中該拋物線上尸、A兩點間的部分所掃過的面積是.

【答案】18

【分析】將X=O代入求產(chǎn)點坐標(biāo)，由y=-f+4x+l=-(x-2y+5,可知A點坐標(biāo)，如圖,

連接B4，AA',AP1,過A作X軸，交V軸于8,過P，作。軸，交V軸于。，

過A作ECLBOFC,交DE于E,則四邊形BCEZ)是矩形，

β(0,5),C(5,5),D(0,-2),￡(5,-2),由題意知四邊形APPA的面積即為平移過程中該拋

物線上P、4兩點間的部分所掃過的面積，根據(jù)

S四邊窗/MV=S黜彩BCED-SΛHP—SPW—Saca.—Sa?ep,,計算求解即可.

【詳解】解：當(dāng)X=O時，N=I

.?.p(θ,l)

?.?γ=-χ2+4x+l=-(x-2)2+5

.?.A(2,5)

Y產(chǎn)(3,-2),拋物線沿PP'方向平移

???A平移后的點坐標(biāo)為4(5,2)

如圖，連接E4,A4',A'P',過A作X軸，交了軸于8,過P作。EX軸，交y軸于

D,過A作ECLBCT-C,交.DE于E

???四邊形BCEZ)是矩形，3(0,5),C(5,5),0(0,-2),E(5,-2)

由題意知四邊形APPA的面積即為平移過程中該拋物線上P、A兩點間的部分所掃過的面積

,,

???iil)f?ΛP∕Λ,=SjgjgBCED-SΛBP~SPDP~~SΛCΛ,_SA'EI),

=7χ5-Lχ4χ2-Lχ3χ3-!χ3χ3-2x4x2

2222

=18

故答案為：18.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與面積綜合等知識.解

題的關(guān)鍵在于確定尸、A兩點間的部分.

【變式3](2022?四川瀘州?瀘縣五中校考一模)如圖，拋物線y=∕+w+c經(jīng)過點A(T,O),

點3(2,-3),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D

(1)求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)0<x<4時，y的取值范圍是；

(3)拋物線上是否存在點P,使PBC的面積是4BCD面積的4倍，若存在，點P的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=∕-2x-3

⑵-4≤y<5

(3)存在，點P的坐標(biāo)為(1+石,1)或(1-6,1)

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)當(dāng)x=0,求出y值，當(dāng)x=4求出y值，再結(jié)合二次函數(shù)最小值，即可得出當(dāng)()<x<4時，

y的取值范圍；

(3)設(shè)拋物線上的點尸坐標(biāo)為(利,加-2利-3),結(jié)合方程思想和三角形面積公式列方程求

解.

【詳解】⑴解：???拋物線y=χ2+?r+c經(jīng)過點A(-l,0),點3(2,—3),

.∫l-?+c=0

"{4+2b+c=-3,

f?=-2

解得：,

[c=-3α

???拋物線的解析式：y=χ2-2x-3；

(2)解：Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4,

又..?ι>o,

，拋物線開口向上，當(dāng)x=l時，y有最小值-4，

當(dāng)X=O時,y=-3,

當(dāng)χ=4時，y=5,

?，.當(dāng)OVXV4時，-4≤y<5,

故答案為：-4≤y<5;

(3)解：存在，理由如下：

,.?γ=x2-2x-3=(x-l)2-4,

。點坐標(biāo)為(LY),

令X=0,則y=f-2x-3=-3,

C點坐標(biāo)為(0,-3),

又：8點坐標(biāo)為(2,-3),

.,.BC〃x軸，

?'?^VBCO=—×2×1=1,

設(shè)拋物線上的點尸坐標(biāo)為(孫)-2相-3),

22

/.Spac=?×2×∣∕n-2m-3-(-3)∣=∣w-2w∣,

當(dāng)Iτn2—2w∣=4X1時,

解得m=1±Λ∕5，

當(dāng)，〃=1+逐時，m2—2m-3=1,

當(dāng)，〃=I-逐時，ni1-2m-3=?,

綜上，P點坐標(biāo)為(1+石,1)或(1-石,∣).

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，理解二次函數(shù)圖

象上點的坐標(biāo)特征，利用方程思想解題是關(guān)鍵.

考查類型三角度問題

雨(2021?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線'=如2+(〃?2+3)》一(6皿+9)與X軸

交于點A、B,與)，軸交于點C,已知8(3,0).

(1)求機的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)P為拋物線上一點，若SMBC=SMBC，請直接寫出點P的坐標(biāo)；

(3)。為拋物線上一點，若ZACQ=45。，求點。的坐標(biāo).

……C∕c八(3+√Γ7-7+√17>∣(3-√17-7-√17^

【答案】⑴"=-1,y=x-3；(2)Prι(2,l),P-A—,―--,Pn―^―,―--；

\/\)

【分析】(1)求出4,8的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計算即可；

(2)做點A關(guān)于8C的平行線Aq,聯(lián)立直線A[與拋物線的表達式可求出片的坐標(biāo)，設(shè)出

直線APt與y軸的交點為G,將直線BC向下平移,平移的距離為GC的長度,可得到直線g,

聯(lián)立方程組即可求出P：

(3)取點Q,連接C。，過點A作AD，C。于點O,過點Z)作。尸，X軸于點產(chǎn)，過點C作

CELD尸于點E,得直線8對應(yīng)的表達式為y=3x-3,即可求出結(jié)果；

【詳解】(1)將3(3,0)代入尸皿2+(川+3)x-(6s+9),

化簡得小+帆=O,則加=0(舍)或加=-1,

ZH=-I,

得：y=-x2+4x-3,則C(O,-3).

設(shè)直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=a+∕),

(0=3k+8

將3(3,0)、0(0,—3)代入可得J_3=。，解得女=1，

則直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=χ-3.

(2)如圖，過點A作A[〃8C,設(shè)直線與y軸的交點為G,將直線BC向下平移GC個

單位，得到直線尸也，

由(1)得直線BC的解析式為y=x—3,A(1,O),

.?.直線AG的表達式為y=x-l,

,fy=x-l

聯(lián)立，/?-

[y=-x+4x-3

fx=l[x=2

解得：C（舍），或｛1

[y=0[y=1

《（2,1）,

由直線AG的表達式可得G(T0),

GC=2,CH=2,

二直線P3P2的表達式為y=X—5,

y=x-5

聯(lián)立

y=-x2+4Λ-3

3+√173-√17

X.=----------

22

解得：

-7+√Π,-7-√Π'

y=----------M=----------

r3+√17-7+√Γ7'

-2-，-2-

"3+√Γ7-7+√∏>∣（3-717-7-√∏?

/.P（2,l）,

-2-'~^2-'-2^-'-^2-

?/\7

(3)如圖，取點。，連接C。，過點A作A。，CQ于點

過點D作￡)尸，X軸于點F,過點C作CELDF于點E.

,o

.?ZACQ=45f

：.AD=CDf

乂YNADC=90。，

ZADF+NCDE=9O0,

YNCDE+/DCE=90°,

???ZDCE=ZADF9

又?.?NE=NAEo=90。，

/.ACDE^ΔDAF,則A尸=￡>石，CE=DF.

設(shè)OE=AJF=α,

V0Λ=l,OF=CE1

：.CE=DF=a+?.

由OC=3,Pl1JDF=3—a,即α+l=3-4,解之得，a=?.

所以￡>(2,-2),又C(0,-3),

可得直線C。對應(yīng)的表達式為y=；x-3,

設(shè),代入y=-x?+4x-3,

1217

z得一%一3=-m~+4,"-3,—m--m~2+4m,m2^——m-0,

222

Xm≠O,則，"=g.所以

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵.

甌(2020?黑龍江?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知二次函數(shù)y=-χ2+%χ+c的圖象經(jīng)過點

A(TO),B(3,0),與y軸交于點C.

(I)求拋物線的解析式;

(2)拋物線上是否存在點P,使44B=ZABC,若存在請直接寫出點尸的坐標(biāo).若不存在,

請說明理由.

【答案】(1)y=-√+2x+3;(2)存在,4(2,3),r(4,-5)

【分析】(1)把點AB的坐標(biāo)代入y=-∕+?r+c即可求解;

(2)分點P在X軸下方和下方兩種情況討論，求解即可.

【詳解】(1)丁二次函數(shù)y=-f+-+c的圖象經(jīng)過點A(-l,0),B(3,0),

?-?-b+c=O

*∣-9+3?+c=0t

b=2

解得:

c=3

拋物線的解析式為：y=-V+2x+3;

(2)存在，理由如下:

當(dāng)點P在X軸下方時,

如圖，設(shè)AP與V軸相交于E,

VA(-1,O),B(3,0),

.?.OB=OC=3,OA=I,

ΛZABC=45o,

VZPAB=ZABC=450,

...△OAE是等腰直角三角形，

.,.OA=OE=L

，點E的坐標(biāo)為(0,-1),

設(shè)直線AE的解析式為y=依-1,

把A(-l,0)代入得：k=-?,

直線AE的解析式為y=-X-I,

解方程虱f工y=-+x2-xl+3,

得邛舍去)或卜=4

Iy=Ol%=-5

???點P的坐標(biāo)為(4,-5)；

當(dāng)點P在X軸上方時，

如圖，設(shè)AP與y軸相交于D,

同理，求得點D的坐標(biāo)為(0,1),

同理，求得直線AD的解析式為y=x+1,

y=x+l

解方程組

y=-x2+2x+3

=

X-1X2=2

得:金。(舍去)或

*=3

???點P的坐標(biāo)為(2,3)；

綜上，點P的坐標(biāo)為(2,3)或(4,-5)

【點睛】本題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰直角三角形的判定

和性質(zhì)，解方程組，分類討論是解本題的關(guān)鍵.

竄命題劣限

角度問題涵蓋的題型

1.角度相等問題

2.角度的和差倍分關(guān)系

3.特殊角問題

4.非特殊角問題

方法點評：由特殊角聯(lián)想到直接構(gòu)造等腰直角三角形，通過全等三角形，得到點的坐標(biāo)，從

而得到直線解析式,聯(lián)立得到交點坐標(biāo).這個方法對于特殊角30度、60度90度都是適用的，

是一種通用方法.

■級就硼繞

1Q

【變式D（2022秋.浙江寧波.九年級?？计谥校┤鐖D，拋物線y=與X軸交于

點A和點8兩點，與V軸交于點C,D點為拋物線上第三象限內(nèi)一動點，當(dāng)

NACZ）+2NABC=I80。時，點。的坐標(biāo)為（）

【答案】B

1Q

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=/+聶-3與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別求出04、OB、。C的長度；

然后通過勾股定理逆定理判斷出NAc8=90°,得出2NB4C+2ZA5C=180。；由

NACD+2NA3C=180。得出乙4CO=2NB4C;作點C關(guān)于X軸的對稱點E,連接AE；即可

構(gòu)造出NE4C=NACD,從而得出A￡〃L?C；根據(jù)平行線的斜率相同以及點C的坐標(biāo)求出

直線OC的表達式；最后聯(lián)立方程組求解即可；

1Q

【詳解】解：令y=o,則一/+2>3=0

33

解得：X=-9,x2=1

A(-9,0),B(LO)

.?.OA=9,OB=I,AB=IO

當(dāng)X=O時，丁二一3

JC(0,-3)

???OC=3

在AACB中

BC2+AC2=(OB2+OC2)+(OC2+OΛ2)=100=AB2

ZACB=90。

：.ZβAC+ZABC=90o

：.2ZBAC+2ZABC=180°

??ZACD+2ZA80=180。

JZACD=IABAC

如圖，作點。關(guān)于X軸的對稱點E,連接AE；

則Et(0,3),ZBAC=ΛBAE

：.AEAC=2ZBAC=ZACD

：.AE//DC

DC~ΛE~~OA~3

設(shè)直線QC的表達式為：y=^x+b

將C(0,-3)代入得：b=—3

直線。C的表達式為：＞=gχ-3

V=-x-3X=-I

3

解方程組得?或.1

128」

y=—X'+-X-3y=-3y=-

???點。在第三象限

，點D的坐標(biāo)為（-7,-?）

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理逆定理、直角二角形

兩銳角互余等知識點；綜合運用上述知識求出直線。。的函數(shù)表達式是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2020?江蘇無錫?無錫市南長實驗中學(xué)?？级＃┤鐖D，一次函數(shù)y=gx-2的

圖象交X軸于點A，交y軸于點B,二次函數(shù)y=-gχ2+?x+c的圖象經(jīng)過A、8兩點，與X

軸交于另一點C.若點用在拋物線的對稱軸上，且NAMB=NACB,則所有滿足條件的點

M的坐標(biāo)為.

【答案】閡或停一空）

【分析】討論：當(dāng)點M在直線AB上方時，根據(jù)圓周角定理可判斷點M在AABC的外接圓

上，如圖所示，由于拋物線的對稱軸垂直平分AC,則AABC的外接圓。I的圓心在對稱軸

上，設(shè)圓心O∣的坐標(biāo)為伍,，根據(jù)半徑相等得到（MI+（P+2）?=（|一4）+產(chǎn)，解方

程求出t得到圓心。的坐標(biāo)為信,-21，然后確定Oa的半徑為《，從而得到此時M點的坐

I?J2

標(biāo)；當(dāng)點M在直線AB下方時，作。I關(guān)于AB的對稱點。2,如圖所示，通過證明

NaAB=NQ48可判斷。2在X軸上，則點。2的坐標(biāo)為停ο），然后計算DM即可得到此時

M點坐標(biāo).

【詳解】（I）當(dāng)點M在直線AB上方時，則點M在AABC的外接圓上,

V?ABC的外接圓0∣的圓心在對稱軸上,設(shè)圓心。1的坐標(biāo)為

則。0=O1A,

解得r=2,

.?.圓心α的坐標(biāo)為1-2

即（。的半徑為T，

’51

此時M點的坐標(biāo)為---

當(dāng)點M在直線AB下方時，作。I關(guān)于AB的對稱點。2,如圖所示,

.?.∕O?AB=/OTAB,

?.?0"X軸，

ΛZOiBA=ZOAB7

：."AB=ZOAB,O2在X軸上,

???點。2的坐標(biāo)為(∕θ)

,

..O2D=I,

綜上所述，點M的坐標(biāo)為(?∣,;)或(?∣,—?-.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確進行點的位置的判斷是解題的關(guān)鍵.

【變式3](2022?四川綿陽?東辰國際學(xué)校校考模擬預(yù)測)如圖，以43C的邊A3和45邊

上高所在直線建立平面直角坐標(biāo)系，已知AB=4,C(0,-3),tanZCAB+tanZCBA=4,

拋物線y=4χ2+bx+c經(jīng)過A,B,C三點、.

(1)求拋物線解析式.

(2)點G是X軸上一動點，過點G作6"_1_》軸交拋物線于點H,拋物線上有一點。,若以C,

G,Q,”為頂點的四邊形為平行四邊形，求點G的坐標(biāo).

(3)點P是拋物線上的一點，當(dāng)NPCB=NACO時，求點P的坐標(biāo).

【答案】(l)y=∕-2x-3

(2)G的坐標(biāo)為,0或

5_7

當(dāng)時，點的坐標(biāo)為或

(3)NPCB=NACOP(4,5)2,^4

114

【分析】(1)先求出OC=3,再根據(jù)正切的定義得到士+白=?,結(jié)合O4+QB=4求出

OAOB3

A(T,0),B(3,0),再利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式即可；

2

(2)先證明只存在以GH為對角線的平行四邊形，設(shè)G("Q),Q{m,fn-2m-3),則

H("，?2-2?-3),根據(jù)平移的特點建立方程九2一2"-3=0進行求解即可；

(3)先求出NOBC=45。，βC=√2OC=3√2.如圖②，作NqCB=NAe0,過點B作

BR_LBC交C/?于點R,過點。作RM?Lx軸于點M,可得.BMR為等腰直角三角形，

BM=AM=逝。/,再由tan∕[CB=tanZACO=S=;,得到BM=AM=曰D∣B=1,

/、(y=2x-3

則點。的坐標(biāo)為(2,1),求出直線C。的解析式為y=2x-3,聯(lián)立°?Q，可得[的

坐標(biāo)為(4,5).如圖②，延長至2,使得RB=D/,連接CA交拋物線于點鳥，過點2

作Z?NLx軸于點M則D2(4,-1),求出直線CA的解析式為尸白-3,聯(lián)立,丫=5'7

y=x2-2x-3

可得點2的坐標(biāo)為

【詳解】(1)解：???。(0,-3),

??.OC=3,

*.,tanZCAB+tanNCBA=4,

.OCOC

..——+——=4λ,

OAOB

.1?14

OAOB3

'114

由jQAOB3,

04+08=4

9[0408=3

可得IoA+08=4，

解得[I。oA『=I或I(OoAg=3(舍去)，

A(TQ),8(3,0),

a-b+c=0

將A(T,0),3(3,0),C((),-3)代入y=α∕+"+°可得(9q+3A+c=0,

C=一3

a=l

解得，=-2,

c=-3

拋物線解析式為y=x2-2x-3.

(2)W-：如圖①，??,G〃〃y軸，點。在拋物線上，

???以GH為邊的平行四邊形不存在，只存在以GH為對角線的平行四邊形，

設(shè)G(∏,0),Q(m,nr-2m-3),則H(〃，"一2〃一3),

m-n=n-0

由點的平移可得〈??α/q\，消元整理可得3〃2一2〃-3=0,解得

m2-2m-3q-0n=n2-2〃-3-(-3)

l+√101-√K)

%=--------,%

33

；?點、G的坐標(biāo)為

圖①

(3)解：VOC=OB=?,,

：.NOBC=45。,BC=√2OC=3√2>

如圖②，作=NACO,過點B作_LBC交C［于點口，過點口作AM_LX軸于點

M,

：.NDlBM=45°,

BMR為等腰直角三角形，BM=D.M=-D.B,

2

“八OA1

,.?tanZPCB=tanZACO==-

1OC3

.RBDlBI

Dβ=√2,

"BC-3√2-3l

BM=RM=-γDtB=?,

點A的坐標(biāo)為(2,1),

由Di(2,1),C(0,-3)可得直線CA的解析式為y=2x-3,

y=2x-3

聯(lián)立

y=x~~2x—3

X=OX=4

解得《1,(舍去)2

Iy=-3%=5

二A的坐標(biāo)為(4,5).

如圖②，延長AB至。2,使得RB=D/,連接CA交拋物線于點鳥，過點馬作。釉

于點N,

：.D2(4,-1),

由D2(4,-l),C(O,-3)可得直線CD2的解析式為y=3-3,

聯(lián)立f3,

y=x2-2x-3

5

解得廣xl=o?（舍去），“2―5

J=-3〔必_一_；

點鳥的坐標(biāo)為（I，-/）.

圖②

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直

角三角形的性質(zhì)與判斷，解直角三角形等等，靈活運用所學(xué)知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想求解

是解題的關(guān)鍵.

考查類型四與特殊三角形判定有關(guān)的問題

0氟題華宛一

硝（2022?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線丁=奴2+法-3（“片0）與》軸交于點

A（To）,點8（3,0）,與），軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)在對稱軸上找一點。使.ACQ的周長最小，求點。的坐標(biāo)；

(3)點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當(dāng)APMB是以PB為

腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標(biāo).

【答案】(l)y=f-2x-3

(2)(1,-2)

(3)(-1,0)或(1-&，-2)或(I-2)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出點C的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸，如圖所示，作點C關(guān)于直線X=I的對稱點E,

連接AE,EQ,則點E的坐標(biāo)為(2,-3),根據(jù)軸對稱最短路徑可知AE與拋物線對稱軸的

交點即為點Q;

(3)分兩種情況當(dāng)N8PM=90。和當(dāng)NP8M=90。兩種情況討論求解即可.

【詳解】(1)解：???拋物線y=α√+fov-3(α*0)與X軸交于點A(To),點8(3,0),

.(a-b-3=0

"[‰+3?-3=0,

???卜力，

[?=-2

???拋物線解析式為y=√-2x-3≡

(2)解：?.?拋物線解析式為y=/—2x-3=(x-l)2-4,與y軸交于點C,

二拋物線對稱軸為直線x=l