小學(xué)奧數(shù)題庫《計算》公式類平方差公式-0星題（含詳解）全國通用版

計算一公式類計算一平方差公式一O星題

課程目標(biāo)

知識點____________________考試要求具體要求___________________________考察頻率

平方差公式B1.熟悉平方差公式

2.能夠靈活應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計

算。________________________________

知識提要

平方差公式

?平方差公式

α2-h2=(α+b)(a—b)

精選例題

平方差公式

24682008_

計算:

1.123420062-12342005×12342007-

【答案】24682008

24682008

【分析】原式==24682008.

123420062-(12342006-l)×(12342006+l)

2.將一個邊長為整數(shù)的大正方形分成97個邊長都是整數(shù)的小正方形，若其中96個小正方形

的邊長是1,則大正方形的邊長是

【答案】25或14或11或10.

【分析】設(shè)大正方形的邊長為α,分成的邊長不是1的小正方形的邊長為b,則有a?=

b2+96,那么，(Q+b)(α—b)=96,由于Cl+b與Q—b奇偶性相同，而乘積為偶數(shù)，所以

a+b與a-b均為偶數(shù),且α+b>Q-b,可能的情況包括：

(a—b=2(a—b=4(a—b=6(a—b=8

IQ+b=48IQ+b=24tα+h=16lα+b=12'

分別解得大正方形的邊長ɑ為25或14或11或10.

3.利用平方差公式巧算：

22

(1)133_33=.2692_312=

(2)89×91=.152×148=.

【答案】(1)16600；71400；(2)8099；22496

【分析】(1)1332-332=(133+33)×(133-33)=16600；

2692-312=(269+31)X(269-31)=71400；

(2)89×91=(90+1)X(90-1)=902-I2=8099；

154X148=(150+2)×(150-2)=1502-22=22496.

4.a、b代表任意數(shù)字，若(α+b)x(α-b)=αxα-bxb,這個公式在數(shù)學(xué)上稱為平方差

公式.根據(jù)公式，你來巧算下列各題吧.

⑴98X102=.⑵67X73=.

(3)64×28=.(4)2×29×3×31=.

【答案】(1)9996；(2)4891；(3)1792；(4)5394

【分析】(1)

98×102=(100-2)×(100+2)

=100×100-2×2

=10000-4

=9996;

(2)

67×73=(70-3)×(70+3)

=70X70-3×3

=4900-9

=4891;

(3)

64×28=2×32×28

=2X(30+2)×(30-2)

=2×(30×30-2×2)

=1792;

(4)

2×29×3×31=2×3×(30-1)×(30+1)

=6×(900-1)

=5400-6

=5394.

(22+42+62+???+1002)-(I2+32+52+..?+992)_

5.計算:

l3+23+33+???+1003

【答案】

5050

【分析】

產(chǎn)_(100+99)X(100-99)+(98+97)X(98-97)+…+(2+1)X(2-1)

原式=(1+2+3+-+IOO)2

(1+2+3+-+100)

=(1+2+3+???+IOO)2

1

=(1+2+3+…+100)

1

=5050"

6.如圖，從邊長為ɑ的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形，然后將剩余部分拼成一個長

方形，上述操作所能驗證的公式是.

【答案】(α+b)(α-b)=a?一萬2

【分析】如圖，左圖中陰影部分的面積為a?一爐，右圖中陰影部分的面積為(α+b)(α-b),

而兩圖中陰影部分的面積應(yīng)該是相等的，故驗證的公式為(α+b)(α-b)=α2-F(反過來寫

也可).

7.計算I2-32+52-72+92-Il2--472+492=.

【答案】1249

原式=492-472+452-432-+52-32+I2

［分析］=(49+47+45+43+…+5+3)x2+1

=(3+49)×24+1

=1249.

8.計算：IO2-92+82-72+62-52+42-32+22-I2=.

【答案】55

原式=(10+9)×(10-9)+(8+7)×(8-7)+(6+5)×(6-5)+

【分析】(4+3)×(4-3)+(2+l)×(2-l)

=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

=55.

9.計算：4999X5001=.

【答案】24999999

原式=(5000-1)x(5000+1)

【分析】=50002-I2

=24999999

10.計算：(105×95+103X97)-(107×93+101X99)=

【答案】16

【分析】

原式=(1002-52+IOO2-32)-(1002-72+IOO2-I2)

=72+I2-52-32

=50-25-9

=16.

11.如果(2α+2b+l)(2α+2h-l)=63,那么a+b的值是.

【答案】±4

【分析】因為(2a÷2h÷l)(2α+2h-1)=63,所以[2(Q+b)]2-I2=63,所以a+b=

±4.

12.計算：(1一套)X(1—專)X(1一分X(I-JX…×(1-?)×(1-?)=---------

【答案】I

【分析】1-^=(1-?)×(1+?)=?×1-?=(1-?)×(1+?)=I×.......

所以，原式=1χ2χ2χfχ…X竺X空=LX又=空.

2233494924949

13.計算：[2007-(8.5X8.5-1.5X1.5)÷10]÷160-0.3=.

【答案】12.2

原式=[2007-(8.5+1.5)X(8.5-1.5)÷10]÷160-0.3

【分析】=(2007-7)÷160-0.3

=12.2

14.計算：50×50+49×51+48×52+47×53+46×54=.

【答案】12470

【分析】

原式=502+(50-1)×(50+1)+(50-2)×(50+2)+

(50-3)×(50+3)+(50-4)×(50+4)

=502+502-I2+502-I2+502-22+502-32+502-42

=5×2500-(l+4+9+16)

=12500-30

=12470.

15.計算：1234567X1234567-1234566X1234568=.

【答案】1

【分析】

原式=12345672-(1234567-1)×(1234567+1)

=12345672-(12345672-I2)

=1,

16.計算：3.1415×252-3.1415X152=

【答案】1256.6

[分析]原式=3.1415x(25+15)x(25-15)

=1256.6

2008+2007×2009+2009+2008×2010

17.計算:

2008×2009-l2009×2010-l

【答案】2

【分析】

_2008+(2008-1)×(2008+1)2009+(2009-1)×(2009+1)

','"-2008×(2008+1)-1+2009×(2009+1)-1

_2008+20082-12009+20092-1

=2008+20082-1+2009+20092-1

=2

18.如圖，在邊長為α的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（α>b）,把剩下的部分拼成

一個梯形，分別計算這兩個圖形的面積，驗證了公式.

【答案】(α+b)(α-b)=α2-b2

【分析】左圖中陰影部分的面積為。2一/>2,右圖中陰影部分的面積為:(2b+2α)(α-b)=

(α+b)(α-b),故驗證了公式(α+b)(α-b)=α?-(反過來寫也可).

19.已知:a2—b2=(a+b)(a—b'),

計算：IOO2-99z+982-972+962+-+42-32+22-I2=.

【答案】5050

原式=(100+99)X(100-99)+-+(4+3)×(4-3)+

【分析】(2+1)×(2-1)

=100+99+……+3+2+1

=5050.

20.計算：Ix15+2x14+3x13+4x12+5x11+6x10+7x9+8x8=.

【答案】372

【分

析】

原式=(8—7)X(8+7)+(8—6)X(8+6)+(8—5)X(8+5)+(8—4)X(8+4)+(8-3)X(8+3)+(8-2

=82-72+82-62+82-52+82-42+82-32+82-22+82-I2+82

=82×8-(I2+22+32+42+52+62+72)

=512-7×8×15÷6

=372

21.(1)(31415926)2-31415925X31415927=；

⑵12342+87662+2468×8766=

【答案】(1)1;(2)100000000

【分析】⑴觀察可知31415925和31415927都與31415926相差1,

設(shè)α=31415926,

原式=a2—(α—l)(a+1)=a2—(a2—1)=1;

(2)

原式=12342+87662+2×1234X8766

=(1234+8766)2

=IOOOO2

=100000000.

??工竹(22+42+62+-+1OO2)-(12+32+52+??+992)

22.=?

l+2+3+???+100----------------

【答案】

【分析】

IOO2-992+982-972...22-l2

原式++

―1+2+3+-+100

(100+99)X(100-99)+(98+97)X(98-97)+-??+(2+1)×(2-1)

—1+2+3+???+100

100+99+98+97+???+2+1

—1+2+3+…+100

=1.

23.有一串?dāng)?shù)1,4,9,16,25,36,它們是按一定規(guī)律排列的，那么其中第1990個數(shù)

與第1991個數(shù)相差_______.

【答案】3981

【分析】這串?dāng)?shù)中第1990個數(shù)是19902,而第1991個數(shù)是199M,它們相差

19912-19902=(1991+1990)X(1991-1990)

=1991+1990

=3981.

24.計算：11×19+12×18+13×17+14×16=.

【答案】870

【分析】本題可以直接計算出各項乘積再求和，也可以采用平方差公式.

原式=(152-42)÷(152-32)+(152一22)+(152一I2)

=152×4-(l2+22+32+42)

=900-30

=870.

25.計算：(205×195+202X198)-(207×193+203X197)=.

【答案】29

【分析】

原式=(2002-52+2002-22)-(2002-72+2002-32)

=72+32-52-22

=49+9-25-4

=29.

26.計算：2009×2009-2008X2008=___________.

【答案】4017

【分析】方法一：

原式=2009×(2008÷1)-(2009-1)×2008

=2009X2008+2009—2009X2008+2008

=2009+2008

=4017;

方法二：

原式=20092-20082

=(2009+2008)×(2009-2008)

=4017×1

=4017.

27.算式(19×19-12×12)÷?-?]

【答案】228

【分析】

1912

(19×19-12×12)÷[--—]

IQ2—122

=(192-122)÷-——

Ij12×19

??12×19

=(BT22)÷市R

12×19

228

28.利用平方差的公式想想，20的平方是,399能寫成哪兩個連續(xù)奇數(shù)的乘

積：,那3599能寫成.

【答案】400；19×21；59×61

【分析】202=400；

399=400-1=202-I2=21×19；

3599=3600-1=602-I2=59×61.

29.計算：IOO2-992+982-972+?-?+22-I2=.

【答案】5050

【分析】

原式=(100+99)X(100-99)+(98+97)X(98-97)+-??+

(2+1)×(2-1)

=100+99+98+97+-+2+1

=5050.

30.計算：33.8752-(≡)2=.

【答案】1132.5

原式=33.8752-3.8752

【分析】=(33.875+3.875)X(33.875-3.875)

=37.75X30

=1132.5

31.計算：Ix2x3+2x3x4+3x4x5+…+8x9xlO=.

【答案】1980

【分析】

原式=2×(22-1)+3×(32-1)+4×(42-1)+-+9×(92-1)

=23+33+43+-+93-(2+3+4+-+9)

=(1+2+3+…+9)2—1—(2+3+4+■,?+9)

=452-45

=1980.

32.計算：(M+32+52+…+992+IOl2)-(22+42+62+???+IOO2)=

【答案】5151

【分析】

原式=I2+32-22+52-42+-+IOl2-IOO2

=1+2+3+4+-+100+101

=5151

33.觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

3X5=15,而15=42-1,

5x7=35,而35=62-l,

11×13=143,而143=122-1

將你猜想到的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來.

【答案】(n—I)OI+1)=*-1

【分析】觀察第一個算式，15=16—1,可知這個算式中的4=(3+5)+2

后面每個算式都具有這個規(guī)律，所以可以猜想這個算式的規(guī)律為：(n-l)(n+l)=∏2-l

34.2009X2009-2008X2008=.

【答案】4017

【分析】方法一：

原式=2009X(2008+1)-(2009-1)X2008

=2009X2008+2009-2009X2008+2008

=2009+2008

=4017.

方法二：

原式=20092_20082

=(2009+2008)X(2009-2008)

=4017X1

=4017.

35.計算：20X20-19X19+18X18-17X17+…+2X2-IXl=.

【答案】210

【分析】利用平方差公式：20x20-19x19=(20+19)x(20-19)=20+19,18×

18-17×17=18+17,…，2×2-l×l=2+l.

于是，

原式=20+19+18+17+???+2+l

=(2O+l)×2O÷2

=210.

36.計算：11X29+12X28+-+19×21=.

【答案】3315

【分析】

原式=(2O2-92)+(202-82)+-??+(202-I2)

=202×9-(l2+22+-+92)

1

=3600--×9×10×19

6

=3315.

37.計算：Ix3+2x4+3x5+…9xlI=.

【答案】375

【分析】

原式=(2—1)(2+1)+(3-1)(3+1)+…+(10—1)(10+1)

=(22-1)+(32-1)+???+(102-1)

=(22+32+???+102)-9

=(l2+22+32+???+102)-10

10×11×21

=-6-------?0

=375.

38.計算：[(55X45-37X43)-(3X221+1)]÷22=.

【答案】10

【分析】

原式=[(50+5)(50-5)-(40-3)(40+3)-664]÷22

=[2475-1591-664]÷22

=[2475-2255]÷22

=220÷22

=10

lA±±±-^2-

39.計算:++++++

315356399143195

【答案】7

15

【分析】分析這個算式各項的分母，可以發(fā)現(xiàn)它們可以表示為：

3=22-l=l×3,15=42-1=3X5,…，195=142-1=13×15,

所以

11

二+

=++--+

>57135

)X7XX

1

1×11/11∕1

=?×(--H11

--一

?2\35?

13T5

2×1

=

2×7

=

T5

40.算式67×67-34×34+67+34的計算結(jié)果是

【答案】3434

【分析】

原式=(67+34)X(67-34)+101

=101×33+101

=101X34

=3434

4L計算：?+?+?+'"+^?

【答案】12爵

【分析】式子中每一項的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差

公式分別變?yōu)??-1,42-l,62-l,IOO2-I,可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1,那么恰好

都是分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后進(jìn)行計算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值

了.

2222

店41(2+4+6++IOO?

原式=4×(k2^14^T6^1,??10δ^τJ

/1111\

(1+77?----7+1+T5----T+1+7Γ9----7+…+1+YC----T)

?22-142-162-1IOO2-1/

42.算式(63-?)÷(l-?)的計算結(jié)果是.

【答案】64

【分析】

原式=(632-1)÷(63-1)

=(63-1)×(63÷1)÷(63-1)

=64

43.計算I2-22+32-42+52-62+???+172-182+192=.

【答案】190

【分析】這個題目重新整理得：

I2+(32-22)+(52-42)+(72-62)???+(192-182)

=1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+???+(19+18)(19-18)

=1+3+2+5+4+…+19+18

=1+2+3+4+-+17+18+19

=20×9+10

=190.

44.一根鐵絲，第1次截去總長度的攝第2次截去剩余長度的。第3次截去剩余長度的

^…第2008次截去剩余長度的焉，此時該鐵絲還剩2010厘米，那么該鐵絲原長

4"2009"

為厘米.

【答案】4018

【分析】設(shè)鐵絲的原長度為ɑ厘米，則根據(jù)題意可知：

≈(1-?)×(1-?)×(1-?)×???×(1-2O?)=2O1O.

αx(l+[)x(l3X…X(1+2?9)X(1一短)=201。，

'342010λ121005

a×—X—X???×-----)X-X-X=2010,Q×-------2010,a=4018.

232009/、232009

45.計算:

(1)(31415926)2-31415925X31415927=

(2)12342+87662+2468X8766=.

【答案】(I)1;(2)100000000

【分析】(1)觀察可知31415925和31415927都與31415926相差1,設(shè)α=31415926,

原式=α2—(ɑ—l)(α+1)

=a2—(α2—1)

=1;

(2)

原式=12342+87662+2X1234X8766

=(1234+8766)2

=IOOOO2

=100000000.

46.計算：101X99-IOOX98+99X97-98X96+…+5X3-4X2=.

【答案】5047

原式=IOO2-1-992+1+982-1-972+-+42-1-32+1

-=IOO2-992+982-972+-+42-32

【分析】=IOo+99+98+97+…+4+3

=5050-3

=5047.

47.看規(guī)律13=12,l3+23=32,l3+23+33=62,試求63+73+…+143

【答案】10800

【分析】

原式=(I3+23+???+143)-(I3+23+…+53)

=(I+2+3+…+14)2-(1+2+3+4+5)?

=1052-152

=(105-15)x(105+15)

=90×120

=10800.

48.計算：123456.62-123456.5X123456.7=

【答案】0.01

原式=123456.62-(123456.6-0.1)X(123456.6+0.1)

【分析】=(U2

=0.01

工行l(wèi)2+32.22+42.32+52,.982+1002

ι9n計算：F—+—；—+——+???+——；——=.

22-l32-l42-l992-l------------------

【答案】19喘

【分析】

由于手

可見44

422

2++

原式=222-]+32-1

-14

5+,+??00.

=2×98+4

=196+4×

=196+2×

=196+3-

4751

198-----

4950

50.計算：l2-22+32-42+…+20052—20062+20072=

【答案】2015028

原式=20072-20062+-+52-42+32-22+l2

=(2007-2006)X(2007+2006)+(2005-2004)×

(2005+2004)+???+(3-2)X(3+2)+1

=2007+2006+2005+2004+-+3+2+1

=∣×(2007+1)×2007

=2015028.

3,4,5,,12

1FF…4=.

1×2×4×5-----2×3×5×6-----3×4×6×7--------------10×ll×13×14----------------------

【答案】75

616

【分析】觀察可知原式每一項的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會是5個連續(xù)自然數(shù)的乘積,

所以可以先將每一項的分子、分母都乘以分子中的數(shù).即：

324252

原式=----------------1--------------------1--------------------k...

1×2×3×4×52×3×4×5×63×4×5×6×7

122

+10×11×12×13×14

現(xiàn)在進(jìn)行裂項的話無法全部相消，需要對分子進(jìn)行分拆，考慮到每一項中分子、分母的對稱性,

可以用平方差公式：

32=1x5+4,42=2×6+4,52=3×7+4........

2

原式+12

OX1XXX4

1OX12+143

=+14

OX1X2×3X

14

=

I

+

2XX1XX3X4

12+11324^12

77

=--

81X2XX

11314

=-

82X1X4

1l

=--

83O8

75

=-

66

52、十簟(22+42+62+???+1OO2)一(仔+32+52+..?+992)

l+2+3+???+10+9+???+2+l

【答案】50.5

【分析】

212*-I2+42-32+62-52+???+IOO2-992

原式

1+2+3+…+10+9+…+2+1

2+1+4+3+6+5+…+100+99

二102

=50.5

20172017201720172017

留甫22一I。2—I，2一1+4^20142-l+20162-l-

'?-異八2016201620662066206620162?T^-~______________■

1248163264

【答案】32

【分析】

點式=2017X+方石+^y+……+2O"X2017)

2016×(l-i-∣-?-?-?)

2017×∣×(l-??7)

一1

2016×?

=32

54?計算：?+?+?+?+?+?

【答案】?

【分析】這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項：a2-b2=(a-b)×(a+b),

原式=

10×12)+(12×14)

111111111111\

2-4+4-6+6-8+8^10+10-12+12-14/

1

3

14

55.兩個正方形的面積之差為2016平方厘米，如果這樣的一對正方形的邊長都是整數(shù)厘米,

那么滿足上述條件的所有正方形共有對.

【答案】12

【分析】

a2-b2=(a+e)(ɑ-?)=2016.

α+b與α-b奇偶性相同，乘積是偶數(shù)，必然都是偶數(shù)，且和大于差，2016÷4=504=

22X32X7的因數(shù)有24個，即12組不同的分拆，故有12組解.

,,.,*?32+l,52+l,72+l,,19932+1,19952+1

56.計算：--F——+——H-------------；-----------；-

32-lS2-I72-l19932-119952-1

【答案】997名

⑶斤】

57.計算：(1)552-452；(2)632-372.

【答案】(1)1000；(2)2600.

【分析】(1)原式=(55+45)X(55-45)=100X10=1000；

(2)原式=(63+37)X(63-37)=100×26=2600.

58.計算：(2+1)(22+1)(24+1)-(232+1)+1.

【答案】264

【分析】

原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)-(232+1)+1

=264.

59.已知a2—匕2=27,a、b是正整數(shù)，求a、b的值.

【答案】14、13或6、3.

【分析】

(a+b)(a-b)

=1×27

=3×9.

(Q+b=27

U-e=1,

所以

Q=(27+1)+2=14t

h=27-14=13.

或者

(a+b=9

—b=3,

所以

a=(9+3)÷2=6,

b=9-6=3.

60.計算：I(1+D(1+D(1+?)(1+?),?,(1+?)?

【答案】2-?7

【分析】

原式=2(1-3(1+3(1+3(1+專)…(1+春)

=2(1^?)

_1

=2-

61.下圖中有兩個黑色的正方形，兩個白色的正方形.它們的面積已在圖中標(biāo)出（單位：平方

米）.黑色的兩個正方形面積大還是白色的兩個正方形面積大？請說明理由.

∣M93-

19962

【答案】兩個白色正方形的面積大

【分析】此題用到平方差公式：a2-b2=(?a+b)×{a-e)

19972-19962=(1997+1996)X(1997-1996)=1997+1996=399319932-19922=

(1993+1992)X(1993-1992)=3985

所以19以2—19962>19932-19922

即19972+19922>19962+19932,兩個白色正方形的面積大.

62.計算：⑴GX—(y)(TX+?y);⑵(-3x—5y)(—3x+5y).

【答案】⑴骨一。；(2)9X2-25y2

4Io

【分析】⑴原式=(9)2_(力)2=六2_務(wù)2；

\2/\4/4Io

⑵原式=(-3x)2-(5y)2=9χ2-25y2;

63.計算：⑴(X+3)(x-3)(∕+9);(2)(2a+3h)(4α+5b)(2a-3b)(5b-4a)：

【答案】見解析.

【分析】⑴(X+3)(x-3)(/+9)=(χ2-9)(X2+9)=X4-81；

(2)

原式=(4a2—9b2')(25b2—16a2)

=100a262-64a4-225/+144a2h2

=-64a4+244a2b2-22Sh4.

64.能不能找到一個自然數(shù)，它加上10,減去10之后都是完全平方數(shù)？

【答案】26

【分析】設(shè)加上10后的數(shù)是A2,減去10