基于APOS理論的數(shù)學概念教學設計

基于APOS理論的數(shù)學概念教學設計：以銳角三角函數(shù)概念為例陳麗君龍敏敏摘要：APOS理論是近年來美國數(shù)學家杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的一種數(shù)學教學理論.他將數(shù)學概念的建立分為四個階段：Action,Process,Object,Scheme，并用于指導教學實踐.早期APOS理論只是被用在大學數(shù)學的教學中，現(xiàn)在該理論正逐步地滲透于我們的中學數(shù)學教學中.本文首先談了對APOS理論的認識，然后通過銳角三角函數(shù)的教學設計嘗試了一下APOS理論在數(shù)學概念教學中的應用.關鍵詞：APOS理論；數(shù)學概念；教學設計；銳角三角函數(shù)任何一個數(shù)學教育中的理論或模型都應該致力于對“學生是如何學數(shù)學的”及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習”的理解，而不僅僅是陳述一些事實.基于這樣的考慮，杜賓斯基等人建立了APOS理論—一個可以促進我們有效教學的數(shù)學教學理論.從20世紀90年代起，APOS理論就被介紹到我國的數(shù)學教育界，它是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學學科特點而建立的教學理論，因此，對這樣的理論進行深入的研究是十分有意義的.我國的數(shù)學概念教學大多采用“屬+種差”的概念同化方式進行，這種教學過程雖然簡明，但卻忽視了許多數(shù)學概念具有過程—對象的雙重性.近年來，相關學者的研究結果表明，將APOS理論應用到我們的概念教學中可以彌補我們一以前那種概念教學方式的缺點.什么是APOS理論？APOS理論是20世紀80年代末至90年代初由美國的杜賓斯基等人在數(shù)學教育研究實踐中發(fā)展起來的一種數(shù)學教學理論.杜賓斯基認為，一個人是不可能直接學習到數(shù)學概念的.更確切地說，人們透過心智結構（mentalstructure）使所學習的數(shù)學概念產生意義.如果一個人對于給予的數(shù)學概念擁有適當?shù)男闹墙Y構，那么他幾乎自然就學到了這個概念.相反的，如果一個人無法建立起適當?shù)男闹墙Y構，那么他學習數(shù)學概念幾乎是不可能的.因此，教學的目的就在于如何幫助學生建立適當?shù)男闹墙Y構.杜賓斯基等人認為，APOS理論可以看做是對皮亞杰的“反思性抽象（reflectiveabstraction）”的擴展.APOS理論的一個基本假設是：數(shù)學知識是個體在解決所感知到的數(shù)學問題的過程中獲得的，在這個過程中，個體依序建構了心理活動（actions）、程序（processes）和對象（objects），最終組織成用以理解問題情境的圖式結構（schemas）.根據(jù)APOS理論，學生學習數(shù)學概念的心理建構過程要經(jīng)歷以下的四個階段：活動（actions）階段.“活動”是指個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數(shù)學對象.例如在理解函數(shù)概念時需要活動或操作，對于，需要用具體的數(shù)字構造對應：通過操作活動理解函數(shù)的意義.程序（processes）階段.當“活動”經(jīng)過多次重復而被個體熟悉后，就可以內化為一種稱之為“程序（processes）”的心理操作.有了這種“程序”，個體就可以想象這個“活動”，而不需要通過外部的刺激；他可以在頭腦中實施這個程序，而不需要具體操作；進而，他還可以對這個程序進行逆轉以及與其他程序進行組合.例如把上述例子中的操作活動綜合為一個函數(shù)過程.一般地有其他的各種函數(shù)也可以概括為一般的對應過程.對象（objects）階段.當個體能夠把“程序”作為一個整體進行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象（objects）”.接著上面的例子，然后可以把函數(shù)過程當作一個獨立的對象來處理，比如函數(shù)的加減乘除、符合運算等.在表達式中，函數(shù)都是作為一個整體對象出現(xiàn)的.最后是“圖式（或者說圖式結構，schema）”.一個數(shù)學概念的“圖式”是指由相應的“活動”、“程序”、“對象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認知框架，它可以用以解決與這個概念相關的問題.按照杜賓斯基的解釋，上述四個成分中，“活動”、“程序”和“對象”也可以看作是數(shù)學知識的三種狀態(tài)，而“圖式”則是由這三種知識構成的一種認知結構（cottrill,etal.,1996）.此外，上述四種成分的排列雖然在理論上具有一種等級結構，也就是說，一般情況下前一成分的建構是后一成分的基礎，但實際上，個體對某個數(shù)學概念的理解并不一定遵循這種線性的途徑.例如函數(shù)函數(shù)概念，學習者一開始的“活動”是把函數(shù)看作一個簡單的公式，其中含有一些可以運算和賦值的字母變量；隨后，函數(shù)被看作是一種可以“輸入—輸出”的機器（函數(shù)機），于是得到了初步的“程序”.但是當學生遇到更為復雜的函數(shù)表達式時，往往又回到了“活動”階段，并在“活動”的基礎上，又進一步完善了函數(shù)“程序”.如此經(jīng)過多個循環(huán)之后，學生才最終形成明確而完整的函數(shù)“對象”.從數(shù)學學習心理學角度分析，APOS理論的四個學習層次是合理的，反應了學生學習數(shù)學概念過程中真實的思維活動.其中的“活動階段”是學生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學生親身體驗、感受直觀背景和概念間的關系.“程序階段”是學生對“活動”進行思考，經(jīng)歷思維的內化、壓縮過程，學生在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質;“對象階段”是通過前面的抽象認識到了概念本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學習中一次為對象進行新的活動；“圖式階段”的形成是要經(jīng)過長期的學習活動進一步完善，，起初的圖式包含反應概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學習，建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心智結構.銳角三角函數(shù)概念的教學設計上課開始，出示兩個傾斜角不同的