2023年高考數(shù)學(xué)主觀題二 數(shù)列

專題二數(shù)列

歷年高考命題分析

在近幾年新課標(biāo)全國(guó)卷中,數(shù)列大題和三角函數(shù)與解三角形大

題兩者交替出現(xiàn),但從2020年開始的新高考中,它們已成為必考題

目.數(shù)列題目的大題相對(duì)比較容易考查內(nèi)容主要包括:等差、等

比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合問(wèn)題,由前〃項(xiàng)和5〃求通項(xiàng)％;遞推與求和的

綜合應(yīng)用;利用裂項(xiàng)法或錯(cuò)位相減法求和等.

【近7年全國(guó)卷考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)】

試卷類型2016201720182019202020212022

^全國(guó)卷（甲卷）

121212121212

全國(guó)卷（乙卷）121212121212

新高考全國(guó)I卷1010

新高考全國(guó)Ilh1010

典例解析

【例1】等差數(shù)列｛〃/中,〃7=4臼9=2。9.

(1)求｛〃/的通項(xiàng)公式；

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為4則4=。+(π-l)t∕.

因?yàn)椤?:2所以.a1+6d=4,

“19—ZUg

la1+18d=2(α1+8d),

解得〃ι=l,d=[.

乙

1

所以｛凡｝的通項(xiàng)公式為外2=W?

典例解析

【例1】等差數(shù)列｛為｝中,〃7=4,%9=2。9.

1

(2)設(shè)勾二k，求數(shù)列伯"的前〃項(xiàng)和

【解析】(2)因?yàn)樽罂偠u福島

所以SHI-1)+(I-1)+…+仁—2\_2n

n+l∕n+1

L例例設(shè)ξ2為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,已知%≠0,2/q=$?S盧∈N*.

⑴求〃1，并求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

【解析】⑴:S]=〃],「?當(dāng)幾=1時(shí),2arai=Sr?S1.

Vβ1≠O,Λβ1=l.

-1

當(dāng)”>1時(shí),an=Sn-Sn,l=~'^^=2<?-2α止i=a"=2a小]

=ɑ｝是首項(xiàng)為〃1=1,公比為4=2的等比數(shù)列，

故有“”=2"∕∈N*.

【例2】設(shè)SZZ為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,已知9≠0,2冊(cè)-%=Sι?S盧∈N*.

(2)求數(shù)列｛兒乙｝的前〃項(xiàng)和.

⑵設(shè)

Tl=l?a^2?a2+3?a^...+n?ar^qTf=??qaλ+2?qa2+3?qa^+...+π*qan

=>q，=1?α2+2?%+3?^4+???+〃?許+1，

上式左右錯(cuò)位相減：

1—qrι

nn

(1-q)Tn=a↑+a2+a2f+...+an-πan+i=%?γ^--〃許+ι=2-l-π?2

二(尸(小1).2"+1,"∈N*.

【例3】已知數(shù)列｛為｝滿足〃Iwq+ι=%+?求｛為｝的通項(xiàng)公式.

【解析】由〃〃+]=%+〃得〃“+i-a

所以1）+（%r。啰2）+…+（的1）+。1

二（〃-1）+…+1H■-

2

I—

22

=-1^(/∏-1l、)+-1

乙Z

=一1屐?一n一十I

222,

≡P??2-→∣

考點(diǎn)訓(xùn)練

【考點(diǎn)一】直接利用等差（或等比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求

和公式等進(jìn)行計(jì)算,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步利用裂項(xiàng)法、錯(cuò)

位相減法求和或討論一些相關(guān)問(wèn)題.

1.設(shè)數(shù)列｛?！ǎ凉M足：。1=1,%2+1=3〃曲￡1.

(1)求｛〃/的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和S〃；

(2)已知｛2｝是等差數(shù)列Z為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和,且仇二%

%=〃]+〃2+〃3，求心0?

解：(1)由題設(shè)知｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)歹U,

所以即二3嘰

則s.=E=斜-1).

(2)因?yàn)橛啥?=3/3=1+3+9=13/3-。1二10二24所以公差2=5.

QAylQ

故T2o=2OX3+q^×5=lOlO.

2.已知｛〃〃｝為等差數(shù)列,且Q[+〃3=8,〃2+。4=12.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）記0｝的前〃項(xiàng)和為S〃,若%,以W+2成等比數(shù)列,求正整數(shù)女的值.

解：（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為&由題意知卜：；】；：：二上

解得。ι=2,d=2.

所以〃/尸〃]+（〃-1）4=2+2（〃-1）=2幾

（2）由（1）可得"二的工+6?）九=（2+2-）71二次1+0

22

因?yàn)椤?，以濕+2成等比數(shù)列,所以QJ=?！?+2.

從而（2左）2=2（攵+2）（左+3）.即N-5匕6=0.解得Z=6或左=-1（舍去）.

因此k二6.

3.已知等比數(shù)列｛喇的公比為疔弓

(1)若〃3二：,求數(shù)列｛〃/的前〃項(xiàng)和；

4

(2)證明:對(duì)任意Z∈N+,都有以,以+2,以+1成等差數(shù)列.

i1

(1)解:由闖2=1及q=?,得〃I二L

44?

IX(lλn^1

所以數(shù)列的前幾項(xiàng)和5『Ll?」=2+(一］).

1√-)3

⑵證明:對(duì)任意的左∈N+,

2〃左+2-(以+耿+ι)=2%q/i-(α闖"+〃闖與=〃闖hi(2q2-g-l),

?

由q=-乙j得2q2-q-l=0,故2a%+2-G?+6?+ι)=0?艮［32<?+2=<?+(?+I.

所以對(duì)任意的k∈N+,都有以,以+2,%+1成等差數(shù)列.

4.已知等差數(shù)列｛為｝的公差d=l,前〃項(xiàng)和為ξr

（1）若I,%,生成等比數(shù)列,求％的值;

（2）若S5>%Q9,求。I的取值范圍.

解:⑴因?yàn)閿?shù)列｛a｝的公差d=l,且1%。3成等比數(shù)列,

所以Ql2=1Xm]+2）.即%2y_2=0,

解得〃i=-l或〃ι=2.

⑵因?yàn)閿?shù)列｛為｝的公差d=l,且S5>%〃9，

所以5%+10>aι2+8%.即的2+3〃]_10<（）,解得?5</<2.

5.在公差為d的等差數(shù)列｛%｝中,已知%二10,且〃I，2〃2+2,5〃3成等比

數(shù)列..

⑴求",即；

解:(1)由已矢口得(242+2)2=5^a304(%+d+1)2=50(%+2J)

=>(ll+J)2=25(5+J)=>121+22t∕+J2=125+25J

今犀-3d-4=0=>d=4或d=-l.

當(dāng)d=4時(shí),％產(chǎn)4"+6;

當(dāng)d=-l時(shí)

5.在公差為d的等差數(shù)列｛〃“｝中,已知Ql=IO,且〃],2〃2+2,5〃3成等比

數(shù)列,.

(2)若dvθ,求IaIl+∣α2∣+M3∣+…+∣*?

解:(2)由⑴知,當(dāng)d<0時(shí)4=11-九

①當(dāng)IqZWll時(shí),4≥o,

_n(10+ll-n)_n(21-n)

IQIl+1。21+1。31+…+⑷+〃2+〃3+…+許

②當(dāng)〃≥12時(shí),an<O,

.?.I+∣Q2∣+∣Q3∣+,?,+1〃/=〃[+"2+33+,,,+〃]]-("12+113+,,,+%)

=2(〃]+β2+?+...+?+?+…+%)

IlX(21-Il)n(21-n)∏2-21n+220

二2X-

222

*21≤幾≤1L

所以,綜上所述IaIl+同+闖+…+必匚

712-2171+220Zlr

---------fn≥12.

6.已知等差數(shù)列｛%｝的公差不為零,%=25,且Q//13成等比數(shù)列?

(1)求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)求α]+6Z4+α7+???+〃3〃-2.

解:⑴設(shè)｛許｝的公差為/由題意得QIl2=%%3，

即(〃1+1(W)2=〃](〃]+12√).于是或2。1+25tZ)=0.

又％二25,所以d=0(舍去),或d=-2.

故為=-2"+27.

(2)令5〃=%+%+%+…/2,由(1)知〃3個(gè)2=-6〃+31,

故｛為"｝是首項(xiàng)為25,公差為-6的等差數(shù)列?

,γ∣γι

從而S〃=乙i(〃i+〃~3沱2)=式乙-6幾+56)=-3層+28九

7.在等比數(shù)列｛氏｝中且2%為3%和%的等差中項(xiàng),求數(shù)列

｛%J的首項(xiàng)、公比及前〃項(xiàng)和.

解:設(shè)｛許｝的公比為/

由已知可得〃闖-%=2,44u=34]+〃“

所以〃i(q-l)=2,產(chǎn)4q+3=0.解得q=3或q=L

由于〃](q-l)=2.因止匕q=l不合題意,應(yīng)舍去.

故公比4=3,首項(xiàng)〃[=1.

所以數(shù)列｛許｝的前〃項(xiàng)和"=義工.

8.已知首項(xiàng)為I的等比數(shù)列｛許｝的前〃項(xiàng)和為Sa∈N*),且-2%S3,

4S4成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(I)解:設(shè)等比數(shù)列｛許｝的公比為％因?yàn)?2S2,S3,4S4成等差數(shù)歹U,

1

所以S3+2$2=4S4-S?PS4-S3=S2-S4.

可得a%=-%。于是q=最=1?

又為二|,所以等比數(shù)列&｝的通項(xiàng)公式為許=|〈—丁］(-1產(chǎn)*.

8.已知首項(xiàng)為押等比數(shù)列｛〃/的前〃項(xiàng)和為Sg∈N*),且-2S2,S3,

4邑成等差數(shù)列.IH

1A?

⑵證明0+不玄〃∈N*).

⑵證明:由⑴可知'=1-(-)，

n

ɑI1(η+—2+會(huì)時(shí)九為奇數(shù),

SKoF++$,九為偶數(shù).

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)'+三隨"的增大而減小,所以s.+Msι+mj?

?n?n?i0

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)W+W隨〃的增大而減小,所以工+三多+2?！?/p>

112

故對(duì)于"∈N*,有S+"=.

71?n6

9.已知"是等比數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和SW，$3成等差數(shù)列,且

。2+〃3+〃4=-18.

(1)求數(shù)列｛許｝的通項(xiàng)公式；

解:⑴設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為d則%≠0,4≠0?

z232

$2-S4=S3-S即—αq—aq^—aq^

由題意得2f111f

2

。2+。3+。4=-18,α1q(l+q+q)=-18.

解得卜U

Iq=-2.

故數(shù)列｛許｝的通項(xiàng)公式為〃廣3?(-2產(chǎn)1.

9.已知S〃是等比數(shù)列｛許｝的前〃項(xiàng)和SS，S3成等差數(shù)列,且

a2+a3+a4=-lS.

⑵是否存在正整數(shù)凡使得工≥2013?若存在,求出符合條件的所有〃

的集合;若不存在,說(shuō)明理由.

I

解:(2)由⑴有S產(chǎn)氣富=I-G2)〃?

若存在〃,使得工≥2013,則1-(-2尸≥2013,即(-2)%-2012.

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)(2)〃>0,上式不成立；

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí),(-2y=-2%-2012,即2八≥2012,則〃≥1L

綜上,存在符合條件的正整數(shù)2且符合條件的〃的集合為

｛川〃=2Z+1,Z∈N*,左≥5｝.

10.設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為SZr已知〃2=6,6〃]+〃3=30,求樂(lè)和S〃.

解:設(shè)｛%｝的公比為名

由題設(shè)得LW'=2''軌解得(：二]或

z

[6α1+α1q=30,1q—2,1q—3.

當(dāng)〃ι=3,q=2時(shí)4=3?2RS〃=3?(2"-1);

當(dāng)〃i=2,q=3時(shí),怎=2?3"-I,S77=3"-1.

【考點(diǎn)二】利用公式許=L5cn=：＞7求數(shù)列的通項(xiàng),以及

?n?n-1/n二乙

進(jìn)一步利用裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法等求和.

∏.已知｛〃〃｝是遞增的等差數(shù)列,。2,〃4是方程］2-5X+6=0的根.

(1)求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

解:⑴方程N(yùn)-5x+6=O的兩根為2,3,由題意得的=2,〃4=3.

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為a則α4q=2d,

A____?

故d-乙從而乙?=分

所以｛為｝的通項(xiàng)公式為%=∕+L

乙

∏.已知&｝是遞增的等差數(shù)列為〃4是方程χ2-5x+6=0的根.

(2)求數(shù)列償｝的前〃項(xiàng)和.

。7171+2

2九—271+l'

則〃支n+1n+2

S2九十2rι+i'

Ic-3471+1n+2

2品

2324...2n÷12九+2,

171+231，Y1?n+2

兩式相減得IS=[+(￡+—F----二—I—(1—

AZn+1

2J2n+244\2n-l√2n+2?

所以氏2-霜.

2

12.已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和E尸上坦￡N*.

2

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

解:(1)當(dāng)幾=1時(shí)嗎=SI=1;

n2+n(n-l)2+(n-l)

當(dāng)時(shí),許=S葭S”/n.

22

因?yàn)楫?dāng)"二1時(shí)MI=I也符合上式,

故數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為許二九

2

12.已知數(shù)列｛4J的前〃項(xiàng)和S二巴∈N*.

Zt2

(2)設(shè)為=2/+(-iyχ,求數(shù)列電｝的前2"項(xiàng)和.

解:⑵由⑴知2=2〃+(-1”幾記數(shù)列｛0｝的前2幾項(xiàng)和為耳,

i22n

則T2n=(2+2+...+2)+(-l+2-3+4-...+2n).

iBA=21+22+...+22%B=-I+2-3+4-...+24

則∑^=22/i-2乃=(-1+2)+(-3+4)+...+[-(2〃-1)+2川二九

1—2

故數(shù)列｛2｝的前2〃項(xiàng)和72廣A+5=22/1+止2.

13.已知數(shù)列｛許｝的前〃項(xiàng)和S廣止之〃∈N*.

2

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明:對(duì)任意的心1,都存在機(jī)∈N*,使得%,%小成等比數(shù)列.

⑴解:由S尸吟之得%=加二1.

乙

當(dāng)佗2時(shí),(=S〃-S/1=3〃-2;檢驗(yàn)當(dāng)〃=1時(shí)q=1也符合上式.，

所以數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為氏=3止2.

(2)證明:要使得外,%,金成等比數(shù)列,只需要a/=%.金，

∣P(3π-2)2=l?(3m-2).∣Pm=3π2-4π+2.

而此時(shí)a￡N*,且加”，

所以對(duì)任意的〃〉L都存在加∈N*,使得〃應(yīng)小成等比數(shù)列.

14.正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足的2（）

l-2π-lan-2π=Q.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

1

（2）令2=，丁，求數(shù)列｛久｝的前〃項(xiàng)和0

十JJaTi

解:⑴由。九2-（2πΛ）an-2π=O得（〃晨2〃）（%+1）=0,

由于｛許｝是正項(xiàng)數(shù)列,則an-2n.

111/11\

（2）由（D知為=2凡故Z?=（rι+ι）α九=（九+1）（2九）一5（片一啟）I

則T_工+工=+.??+工一TJ（I-工）=」^.

jjn2\223nn+lJ2?n+lJ2n+2

15.已知等差數(shù)列｛狐｝的前〃項(xiàng)和"滿足S3=0,S5=-5.

(1)求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

解：(1)設(shè)｛為｝的公差為&則?ɑ

乙

由已知可得L叱=仇解得Q=I,仁】

I5a1+IOa=-5,

所以｛〃”｝的通項(xiàng)公式為?！ǘ?-九

15.已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和除滿足S3=O,S5=5

「1、

(2)求數(shù)列一--，的前〃項(xiàng)和.

^a2n-ia2n+lJ

1——?——?lf?

解:(2)由⑴知

a2n-ia2n+l(3-2n)(l-2n)2?2n-3

從而數(shù)列［---)的前〃項(xiàng)和為

^a2n-ia2n+ιJ

1/11.11,11?n

I???-?-，I—

2\-11132n-32n-l∕l-2n

16.已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為Szr且"=2層+∈N*,數(shù)列｛bn｝滿足

N*.

解:⑴由S/2層+幾得，

當(dāng)〃=1時(shí),。1=5]=3;

22

當(dāng)n>2時(shí),an=Sn-Sn,i=2n+n-[2(n-l)+(n-l)]=4n-l.

?/當(dāng)幾二1時(shí),4〃-1=3二〃1，

/.βπ=4π-l,n∈N*.

n1

?an=41og2?77+3Mbrι=2-.n∈N*.

16.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃,且"=2"+凡正—數(shù)列｛2｝滿足

?=41og2?+3,π∈N*.

(2)求數(shù)歹U｛∕?2｝的前〃項(xiàng)和

解:(2)由⑴知〃/二(4個(gè)1)?2E∈N*.

所以北=3+7×2+ll×22+...+(4π-l)?2^1,

2,=3X2+7X22+11X23+…+(4加1)2,

w2171

2η7-ηι=(4π-l)?2-[3+4(2+2+...+2^)]=(4π-5)2+5.

即M=(4Z2-5)2"+5*∈N*.

γ∣??

17.已知數(shù)列｛〃“｝中,QI=I,前〃項(xiàng)和S廣〒金

⑴求〃2,%的值；

解:（1）由〃1=1與'=等明可得，

S=--?^βl+〃2,則〃2=3〃]=3,

23

3+22/

β

S3=-?-l+出+〃3，貝町〃3=〃]+%=4,得“3=6.

故〃2，。3的值分別為3,6

n+2

17.已知數(shù)列&｝中,q=1,前〃項(xiàng)和

⑵求｛為｝的通項(xiàng)公式.

解：(2)當(dāng)論2時(shí)W=5?①,

?1

S/I=W-〃〃/②,

①-②可得SMJ=等%-等〃…

口口九十2n+1n-ln+1ɑn71+1

即為=??-l?1r-.

k?-?0M?許二一T?aπ'ɑn-171-1

anan-i02-.?...?-×ι=?m12+1

故有氏=1

an-ian-2?n-ln-2122

n2+n

所以｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為。廣一

18.已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和STo內(nèi)其中G左為常數(shù)),且〃2=4,

a6=Say

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

nni

解:⑴當(dāng)->1時(shí),an=Sn-SnA=k(c-c),

則。6二%(。6-〃),。3二%?-。2).

由皆=?Z4=∕=8,得C=Z

a3C3-C2

?二2=4,即Z(C2-d)=4,解得女二2,

n

/.afj=2(n>l).

當(dāng)〃=1時(shí),％=Sι=2.

綜上所述程=2黑幾∈N*).

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S/心--其中c,Z為常數(shù)),且為=4,

a6-%a3.

(2)求數(shù)歹∣J｛〃許｝的前〃項(xiàng)和北.

解:(2)由于幾金=“?2〃，

貝Ijη=2+2×22+3×23+...+H?2^①，

2，=1×22+2×23+3X24+...+(小l)?2"+a2"i②，

①-②得Z=2+22+23+...+2,52+I=*|2力2+1.

所以M=2+5-l)2"i.

【考點(diǎn)三】簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列

類型1：%+產(chǎn)與+H"）這類遞推數(shù)列可通過(guò)累加法而求得其通項(xiàng)

公式,解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式即+1=%+加）轉(zhuǎn)化為%+廣為=/S）,

進(jìn)而通過(guò):。冏=（即+（%/-許-2）+…+（。3-。2）+（。29）+。1，求出數(shù)列

｛%｝的通項(xiàng)公式.

類型2：%+i可⑺%這類遞推數(shù)列可通過(guò)累乘法而求得其通項(xiàng)公

式懈題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式許+ι=∕5%轉(zhuǎn)化為等?j社進(jìn)而

uTl

通過(guò)Wr茨?????梵Jq，求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式?

類型3:即+1=P這類數(shù)列通?？赊D(zhuǎn)化為4+ι+x=p（αJx）淇I

中:X二由（待定系數(shù)法）；

或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式@+2-?！?I=P（%+廣〃J

19.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足%+ι=即+2"+l,%=l,求數(shù)列｛許｝的通項(xiàng)公式.

解：由為+]=4ΛZ+2"+1,得許+1-〃〃=2/2+1,又〃1=1,

則許二&-%/)+(%-Iq-2)+…+