第08講：三角恒等變換 解析版

第08講：三角恒等變換【考點梳理】考點一：兩角和差的三角函數(shù)公式考點二:二倍角公式考點三：降冪公式的化簡求值問題考點四：輔助角公式的應(yīng)用考點五：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題考點六：利用三角函數(shù)恒等式判斷三角形形狀考點七：三角恒等式變換中化簡問題考點八：三角恒等變換綜合問題【知識梳理】考點一兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R考點二兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R考點三：兩角和與差的正切公式名稱公式簡記符號條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)考點四：二倍角的正弦、余弦、正切公式考點五半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).考點六輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【題型歸納】題型一：兩角和差的三角函數(shù)公式1．（2024上·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）求值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正切和差角公式即可求解.【詳解】,故選：A.2．（2023上·江西上饒·高一?？计谀┤?，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】兩式分別平方，相加后結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式及兩角和的余弦公式化簡可得.【詳解】由，，得，，相加得，，解得，故選：B.3．（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）下列等式成立的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用和差角公式合并計算即可.【詳解】A選項：，A錯誤；B選項：，B錯誤；C選項：，C正確；D選項：，D錯誤.故選：C.題型二:二倍角公式4．（2024上·寧夏銀川·高一銀川二中?？计谀┮阎?，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦差角公式和輔助角公式得到，再整體法利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求出答案.【詳解】由題可得，，所以.故選：A.5．（2023下·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件結(jié)合向量數(shù)量積的運算和三角恒等變換可得，再由誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求得．【詳解】因為，且，所以，所以，所以，所以，故選：B6．（2023下·福建福州·高一?？计谀┫铝械仁讲徽_的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式即可判斷A；根據(jù)兩角差的正弦公式，即可判斷B；根據(jù)兩角和的正切公式即可判斷C；根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：B題型三：降冪公式的化簡求值問題7．（2021下·浙江·高一期末）已知則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)已知求出，再化簡代入得解.【詳解】由得，故.所以.故選：B【點睛】方法點睛：三角恒等變換求值常用的方法有：“三看三變”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三變”指的是變角、變名、變式.要根據(jù)已知條件，靈活選擇方法求解.8．（2020下·高一課時練習）函數(shù)是A．最大值是的奇函數(shù) B．最大值是的偶函數(shù)C．最大值是的奇函數(shù) D．最大值是的偶函數(shù)【答案】B【解析】先根據(jù)降冪公式以及兩角和與差余弦公式化簡，再根據(jù)余弦定理性質(zhì)求最值與奇偶性.【詳解】因為為最大值是的偶函數(shù)，所以B正確；故選：B【點睛】本題考查降冪公式、兩角和與差余弦公式以及余弦定理性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9．（2022下·上海普陀·高一校考期末）已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值為，則m的最小值是【答案】【分析】先將化為，由，得到，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得，進而可解得結(jié)果.【詳解】，當時，，依題意，有，解得，即的最小值為.故答案為：題型四：輔助角公式的應(yīng)用10．（2024上·全國·高一期末）已知，且，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡為，由，可得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，因為，所以，所以，所以.故選：D.11．（2023下·廣東佛山·高一?？计谥校┖瘮?shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用兩角和差的正余弦公式結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)表達式，即可求得答案.【詳解】由題意得，由于的最大值為1，故的最大值為2，故選：D12．（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)和差公式，輔助角公式得到，再利用誘導(dǎo)公式，倍角公式求出答案.【詳解】因為，所以，即，故，.故選：C題型五：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題13．（2021下·上?！じ咭黄谥校┮阎?，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結(jié)合的范圍可確定最終結(jié)果.【詳解】且，，.又，，.當時，，，，不合題意，舍去；當，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.【點睛】易錯點睛：本題中求解時，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.14．（2024上·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谀┮阎?，且滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式和輔助角公式可得，由題意，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求得，，再次利用兩角和的余弦公式計算即可求解.【詳解】，，得，，，，，，，.故選：A15．（2023下·安徽亳州·高一亳州二中?？计谀┤簦?，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍，再根據(jù)角的變換有，根據(jù)三角函數(shù)值確定的值.【詳解】，符號相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故選：A．題型六：利用三角函數(shù)恒等式判斷三角形形狀16．（2023下·陜西西安·高一校考期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得，進而由三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故為等腰三角形或直角三角形故選：B17．（2022下·上海奉賢·高一?？计谥校┰谥?，若，則此三角形為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【分析】首先利用三角恒等變換，得，再判斷三角形的形狀.【詳解】因為，所以，，又所以，即.故選：A.18．（2021下·北京海淀·高一北大附中?？计谥校┰凇鰽BC中，若，則△ABC為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用和角正弦公式及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，可得，討論、情況下，判斷△ABC對應(yīng)形狀.【詳解】由題意，，又，∴，即，，∴當時，；當時，，又，則；∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選：D題型七：三角恒等式變換中化簡問題19．（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期中）已知，則.【答案】【分析】先求得，然后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、降冪公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式等知識求得正確答案.【詳解】..故答案為：20．（2022上·安徽宿州·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則該函數(shù)的最小正周期是；

當時，關(guān)于的方程僅有一實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】或【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡，即可周期公式求解，利用整體法即可求解范圍.【詳解】，所以最小正周期為，當時，，因為在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，而，，，要使得僅有一實數(shù)根，即在上只有一個實數(shù)根，即，或，解得或，故答案為：；或，21．（2024上·天津河西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求的最大值及取得最大值時自變量的集合；(3)求在的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)1；(3)增區(qū)間為，減區(qū)間為.【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡表達式，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式，即可得答案；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的最大值以及取得最大值時x的取值，即可得答案；（3）根據(jù)x的范圍，確定的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得,故的最小正周期為；（2）由，由于的最大值為1，故的最大值為，此時，即，即x的集合為，（3）當時，，故當，即時，單調(diào)遞增，當，即時，單調(diào)遞減，即在上的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.題型八：三角恒等變換綜合問題22．（2024上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，若存在，使得不等式有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變化為同一個角的同一個三角函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）由題意得，在上分別求，從而可得到求的取值范圍.【詳解】（1）由題意利用三角恒等變進行化簡：.令，得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，得.因為存在，使得不等式有解，所以.當時，，所以.當時，，所以.于是，即.故的取值范圍為.23．（2024上·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若函數(shù)在上最大值與最小值的和為，求實數(shù)的值.【答案】(1)，對稱軸方程為，.(2)，；(3).【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和的余弦公式進行化簡為正弦型函數(shù)，進而求得最小正周期和對稱軸方程；（2）根據(jù)題意得到不等式組，解出即可.（3）當時，，再求出的最大值與最小值，然后列出方程求得的值．【詳解】（1）函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為：，令，，解得，，則對稱軸方程為，.（2）令，，解得：，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（3）當時，，令或，解得：或，此時函數(shù)取得最小值為：，令，解得：，此時函數(shù)取得最大值為：，又的最大值與最小值的和為，所以有：，解之得：.24．（2024上·天津濱海新·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)已知函數(shù)在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）應(yīng)用誘導(dǎo)公式、倍角正弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)式，進而求最小正周期；（2）令，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求遞減區(qū)間；（3）問題化為在上有解，令，，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍.【詳解】（1），由，則的最小正周期為.（2）由（1）知，設(shè)，，所以，又在的單調(diào)遞減區(qū)間是，由，得，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）由（2）知，所以.函數(shù)在上存在零點，即在上有解.由（2）知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在上，.令，，則，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【強化精練】一、單選題25．（2024上·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學校考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩角和的正弦公式運算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：.故選：B.26．（2024上·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知為第二象限角，且，則等于（

）A． B．1 C． D．7【答案】A【分析】先通過誘導(dǎo)公式求出，進而根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，展開代入的值計算即可.【詳解】,，即，又為第二象限角，，則，.故選：A.27．（2024上·重慶·高一重慶八中?？计谀┮阎?，且，則（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】由題意，利用算得，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系計算即可求解.【詳解】由題意知，，，則，，，得，，所以，所以.故選：C28．（2024上·四川雅安·高一?？计谀┮阎?，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角公式，結(jié)合的范圍求出，再利用二倍角公式計算即得.【詳解】由，得，由，得，整理得，則有，所以.故選：C29．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中?？计谀┮阎?，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出，；再利用已知角和來配湊；最后利用兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】，，，，，，，..故選：A.30．（2024上·全國·高一期末）為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】D【分析】化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的平移變換法可得函數(shù)的變換情況.【詳解】由已知，設(shè)將函數(shù)向左平移個單位，得，所以，解得，即將函數(shù)向左平移個單位長度可得，故選：D.31．（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，切化弦，再結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡，即可求得答案.【詳解】由，，得，即，即，所以，即，所以，故選：C32．（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期中）下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換判斷各選項的結(jié)論．【詳解】對于A：因為，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，故A錯誤；對于B：由于，故B錯誤；對于C：由于，所以，則，故C錯誤；對于D：，故D正確．故選：D．33．（2023下·新疆阿克蘇·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)圖象關(guān)于對稱 D．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱【答案】A【分析】先根據(jù)三角恒等變換化簡的表達式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進行判斷.【詳解】根據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式，，于是.A選項，根據(jù)三角函數(shù)周期公式，，A選項錯誤；B選項，令，解得，時可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，B選項正確；C選項，令，解得，時可得圖象關(guān)于對稱，C選項正確；D選項，，解得，為對稱中心的橫坐標，令，解得，故的圖象關(guān)于點對稱，D選項正確.故選：A二、多選題34．（2024上·云南昆明·高一昆明一中?？计谀┮阎?，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由兩邊平方即可判斷A項；利用A項結(jié)論可求出，再縮小角范圍即得B項；將與的值聯(lián)立求出，再運用倍角公式和商數(shù)關(guān)系即得C，D項.【詳解】對于選項A，由兩邊平方得：，故得，即A項正確；對于選項B，由，可得：故，由可得：，故B項錯誤；對于選項C，，故C項錯誤；對于選項D，由可解得：故得：.故D項正確.故選：AD.35．（2023上·河北邯鄲·高一校考期末）已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的最大值為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】先利用輔助角公式化簡的解析式；再由三角函數(shù)的有界性判斷選項A，由三角函數(shù)的對稱性判斷選項B、C，利用整體代入法及余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷選項D.【詳解】.對于選項A，的最大值為，故選項A正確；對于選項B，令，解得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故選項B錯誤；對于選項C，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故選項C正確；對于選項D，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.因為當時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項D正確．故選：ACD．36．（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為D．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度【答案】AD【分析】化簡的解析式，根據(jù)兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、三角函數(shù)圖象變換等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】.A選項，，A選項正確.B選項，，所以B選項錯誤.C選項，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，C選項錯誤.D選項，將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度，得到的圖象，D選項正確.故選：AD37．（2023上·山東菏澤·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．點為函數(shù)圖象的一個對稱中心B．的取值范圍為C．的一個單調(diào)遞增區(qū)間為D．圖象關(guān)于直線對稱【答案】AB【分析】運用函數(shù)的對稱性的性質(zhì)、單調(diào)性的定義，結(jié)合特例法、二倍角的正弦公式、降冪公式逐一判斷即可.【詳解】選項A：因為，所以點為函數(shù)圖象的一個對稱中心，因此本選項正確；選項B：因為，所以，即的取值范圍為，所以本選項正確；選項C：因為，所以的一個單調(diào)遞增區(qū)間為不正確，因此本選項說法不正確；選項D：當時，，因為，所以此時函數(shù)不關(guān)于直線對稱，因此本選項不正確，故選：AB【點睛】關(guān)鍵點睛：運用特例法、函數(shù)對稱性的性質(zhì)，結(jié)合降冪公式是解題的關(guān)鍵.三、填空題38．（2024上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）已知，則.【答案】/0.8【分析】已知等式由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，通過倍角公式構(gòu)造齊次式，得，代入數(shù)據(jù)計算即可.【詳解】因為，所以，則.故答案為：39．（2024上·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）若，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式，即可求解.【詳解】因為，則.故答案為：.40．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學?？计谀┮阎?，則.【答案】【分析】根據(jù)角的范圍，確定的范圍，結(jié)合，利用二倍角公式求出的值，以及的值，再利用兩角和的余弦公式即可求得答案.【詳解】由于，故，結(jié)合，可得，則，，所以；故答案為：41．（2024上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知滿足，則．【答案】【分析】首先結(jié)合平方關(guān)系、角的范圍得，再由誘導(dǎo)公式以及兩角和的余弦公式即可得解.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以.故答案為：.42．（2024上·天津河北·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，將化成的形式為；函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．【答案】【分析】利用三角恒等變換的知識化簡的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得在區(qū)間上的最小值.【詳解】.當時，，所以當或，即或時，取得最小值為.故答案為：；四、解答題43．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ袇卿林袑W?？计谀┮阎?，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用同角公式及和角的正弦公式計算即得.（2）利用（1）的信息，利用和角的余弦公式、二倍角的正弦公式計算即得.【詳解】（1）由，，得，，所以.（2）由（1）知，，所以.44．（2024上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最大值為.(1)求的最小正周期和圖象的對稱軸；(2)當時，求使成立的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為，對稱軸方程為(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，利用正弦型函數(shù)的最值求出的值，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，利用正