6.1.2 空間向量的數(shù)量積（原卷版）

6.1.2空間向量的數(shù)量積一、空間向量的數(shù)量積1、定義：已知兩個(gè)非零向量、，則叫做向量與的數(shù)量積，記作，即．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為02、數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：（1）；（2）（交換律）（3）（分配律）二、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，是單位向量，則①；②；③或；④；⑤三、空間向量的夾角1、定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：.那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦.2、求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：方法一：（1）結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍角的大?。?）先求，再利用公式求，最后確定.方法二：①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量)②異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小四、投影向量的概念1、向量在向量上的投影對于空間向量任意兩個(gè)非零向量，，設(shè)向量，，過點(diǎn)作，垂足為，上述由向量得到向量的變換稱為向量向向量的投影，向量稱為向量在向量上的投影向量。與平面向量的情形類似，我們有2、向量在平面上的投影向量，過，作平面的垂線，垂足為，，得到向量，我們把向量稱為向量在平面上的投影向量，此時(shí)數(shù)量積有五、求空間向量數(shù)量積的步驟1、將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式，2、利用向量的運(yùn)算規(guī)律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積，3、代入求解.六、利用空間向量求模長在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：。將其推廣：題型一求空間向量的數(shù)量積【例1】已知向量，向量與的夾角都是，且，試求：（1）；（2）．【變式1-1】如圖，在三棱錐中，，、分別是的中點(diǎn)、則_____．【變式1-2】已知正四面體的棱長為1，且，則（）A．B．C．D．【變式1-3】已知正四面體的棱長為，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為（）A．B．C．D．【變式1-4】如圖，四棱錐中，垂直平分.，則的值是__．題型二利用數(shù)量積求角度【例2】空間四邊形中，，，則的值是（）A．0B．C．D．【變式2-1】已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（）A．B．C．D．【變式2-2】⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?AB、?BC的對角線都分別相互垂直且相等，若AB＝a，求異面直線與AC所成的角.【變式2-3】若空間四邊形的四個(gè)面均為等邊三角形，則的值為（）A．B．C．D．0【變式2-4】平行六面體，，，若，則______.題型三利用數(shù)量積求長度【例3】已知空間中單位向量、，且，則的值為________.【變式3-1】如圖，在三棱柱中，與相交于點(diǎn)，，，，則線段的長度為（）A．B．C．D．【變式3-2】如圖，在棱長為6的正四面體中，點(diǎn)在線段上，且滿足，點(diǎn)在線段上，且滿足，則（）A．B．C．D．【變式3-3】在平行六面體中，其中，，，則（）A．25B．5C．14D．【變式3-4】如圖，已知線段平面，平面，且，D與A在的同側(cè)，若，求A，D兩點(diǎn)間的距離.題型四利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系【例4】已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn).求證：MN為AB和CD的公垂線.【變式4-1】在棱長為1的正方體中，分別是中點(diǎn)，在棱上，，為的中點(diǎn)，求證：；【變式4-2】如圖，在空間四邊形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求證：OA⊥BC．【變式4-3】如圖，在四面體中，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)．若，，求證：.題型五空間投影向量的計(jì)算【例5】四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為（）A．B．C．D．【變式5-1】在棱長為的正方體中，向量在向量方向上的投影向量的模是______