5.1.2 弧度制（解析版）

5.1.2《弧度制》分層練習(xí)考查題型一弧度的概念1.下列命題中，正確的是（

）A．1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧 B．1弧度是長(zhǎng)度為半徑長(zhǎng)的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角之和 D．1弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角【答案】D【詳解】因?yàn)?弧度的角是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角，所以選項(xiàng)ABC說法不正確，D正確，故選：D2.二十四節(jié)氣是中國(guó)古代訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶．從立春起的二十四節(jié)氣依次是立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四節(jié)氣的對(duì)應(yīng)圖如圖所示，從2022年4月20日谷雨節(jié)氣到2022年12月7日大雪節(jié)氣，圓上一點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，二十四節(jié)氣將一個(gè)圓24等分，所以每一份的弧度數(shù)位，從谷雨到大雪，二十四節(jié)氣圓盤需要順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15個(gè)格，所以轉(zhuǎn)過的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為.故選：C（多選題）3．下列各說法，正確的是（）A．半圓所對(duì)的圓心角是πradB．圓周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D．長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度【答案】ABC【詳解】由弧度制的定義可知：長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角的大小是1弧度，則長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小不是1弧度，D的說法錯(cuò)誤，根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算可知，ABC的說法正確．故選：ABC4．20．“密位制”是一種度量角的方法，我國(guó)采用的“密位制”是6000密位制，即將一個(gè)圓周角分6000等份，每一等份是一個(gè)密位，則350密位的對(duì)應(yīng)角的弧度數(shù)為．【答案】.【詳解】一個(gè)圓周角分6000等份，每一等份是一個(gè)密位，則350密位的對(duì)應(yīng)角的弧度數(shù)為．故答案為：．考查題型二用弧度制表示角的集合1.與終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A．B．C． D．【答案】D【詳解】在同一個(gè)表達(dá)式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯(cuò)誤．與終邊相同的角可以寫成的形式，時(shí)，，315°換算成弧度制為，所以C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．2．與角終邊相同的角的集合是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】對(duì)于AB，弧度和角度屬于不同度量單位，不能混用，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，換算成弧度制為，與角終邊相同的角的集合為或，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.3.下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，終邊落在第四象限，且與角終邊相同，故與的終邊相同的角的集合即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)AC書寫不規(guī)范，選項(xiàng)D表示角終邊在第三象限.故選：B.4.用弧度制表示終邊在x軸上的角的集合．【答案】.【詳解】?jī)?nèi)，終邊落在x軸上的角有，所以，終邊在x軸上的角的集合為.考查題型三角度與弧度的換算1.把寫成的形式是.【答案】【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.（多選題）2.下列說法正確的是（

）A． B．第一象限的角是銳角C．1弧度的角比1°的角大 D．銳角是第一象限的角【答案】ACD【詳解】對(duì)于A：，A正確；對(duì)于B：第一象限的角不一定是銳角，比如，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：1°的角為弧度，比1弧度的角小，C正確；對(duì)于D：根據(jù)象限角的定義，可得D正確.故選：ACD.3.用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：(1)

(2)

【答案】(1)；(2).【詳解】（1）邊界對(duì)應(yīng)射線所在終邊的角分別為，，所以終邊在陰影部分的角的集合為.（2）邊界對(duì)應(yīng)射線所在終邊的角分別為，，，，所以終邊在陰影部分的角的集合為.4.將下列各弧度化成角度.(1);(2);(3);(4)-3.【答案】(1)-15°；(2)135°；(3)210°；(4)-171°54′.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.考查題型四扇形的弧長(zhǎng)與面積公式1.已知扇形的圓心角是，半徑為，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)樯刃蔚膱A心角是，半徑為，則該扇形的面積為.故選：D.2.母線長(zhǎng)為、底面半徑為的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為．【答案】/【詳解】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為，又母線，底面半徑則，即，解得.故答案為：.3.磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形，已知，，，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（

）.

A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意知，，，，可得，可得扇形的面積為，扇形的面積為，所以該扇環(huán)形磚雕的面積為.故選：D.4.小明準(zhǔn)備用鋁合金材料制成如圖所示的窗架，窗架的下部是矩形，上部是半圓形，要求窗架圍成的總面積為3平方米．設(shè)窗架的周長(zhǎng)為米，矩形下緣為米．(1)建立關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)有10米的鋁合金材料是否夠用?（不計(jì)算損耗）（參考數(shù)據(jù)：，精確到0.1）【答案】(1)；(2)夠用.【詳解】（1）由題意得.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)L取得最小值，因?yàn)椋?0米的鋁合金材料夠用.1．扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國(guó)傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長(zhǎng)為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，，所以，所以該折扇的扇面的面積為.故選：D2.古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）記為，夏至那天正午，陽光直射，立桿無影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為，測(cè)得立桿與太陽光線所成的角約為.他又派人測(cè)得，兩地的距離km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（

）（）A．km B．km C．km D．km【答案】C【詳解】設(shè)地心為，依題意可得，，，設(shè)地球的周長(zhǎng)為，半徑為，則，所以km.故選：C3.（沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以為圓心為半徑的圓弧，C是的中點(diǎn)，D在上，且．記的弧長(zhǎng)的近似值為，“會(huì)圓術(shù)”給出了的一種計(jì)算公式：．若，，則根據(jù)該公式計(jì)算．

【答案】/【詳解】如圖，連接，

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故答案為：.4.杭州第屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)，于年月日至月日在中國(guó)浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽圖形六個(gè)元素組成（如圖），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn).已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內(nèi)環(huán)和外環(huán)均為圓周的一部分，若內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是