2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 1 子集、交集、并集、補集之間的關(guān)系式 二級結(jié)論講練 學(xué)案

專題1子集、交集、并集、補集之間的關(guān)系式

二級結(jié)論1：子集的個數(shù)問題

【結(jié)論闡述】若一個集合4含有"(〃eN")個元素，則集合A有2"個子集，有(2"-1)個真子集，

有(2"-1)個非空子集，有(2”-2)個非空真子集.

理解：A的子集有2"個，從每個元素的取舍來理解，例如每個元素都有兩種選擇，則〃個元素共有2"

種選擇，該結(jié)論需要掌握并會靈活應(yīng)用.

對解決有關(guān)集合的個數(shù)問題，可以直接利用這些公式進行計算.計算時要分清這個集合的元素是從哪

里來的，有哪些，即若可供選擇的元素有個，就轉(zhuǎn)化為求這個元素集合的子集問題.另外要注意子集、

真子集、子集、非空真子集之間的聯(lián)系有區(qū)別.

【典例指引1】

(2023?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測)

1.已知集合4=3X+2=0},B={x∣0<x<6,xeN},則滿足條件AC=B的集合C的個數(shù)

為()

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【分析】化簡集合A,B,根據(jù)條件AC=B確定集合的個數(shù)即可.

【詳解】因為A={Rχ2-3x+2=θ}={l,2},B={xK)<x<6,xwN}={l,2,3,4,5},

且AC?B

所以集合C的個數(shù)為23-1=7

故選：C

【典例指引2]

2.已知集合M={(x,y)∣χ2+y2≤2,χeZ,yeZ},則集合M的真子集的個數(shù)為()

A.29-lB.2fi-lC.25D.24+l

【答案】A

【分析】先化簡集合M，得到集合M的元素個數(shù)，繼而可以得到真子集的個數(shù)

【詳解】解：集合

M={(x,y)∣x2+√≤2,xeZ,y∈z}={(-l,0),(-1,1),(-1,-1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},

所以集合M中的元素個數(shù)為9,

故其真子集的個數(shù)為29-1個，

故選:A

【針對訓(xùn)練】

（2023?河南?開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測）

3.集合A={OJ2}的非空真子集的個數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)真子集的定義即可求解.

【詳解】由題意可知,集合4的非空真子集為{0},{l},{2},{0,真{0,2},{l,2},共6個.

故選：B.

（2022.黑龍江齊齊哈爾.二模）

4.設(shè)集合M={x∈Z∣∣2-x∣<2},則集合M的真子集個數(shù)為（）

A.16B.15C.8D.7

【答案】D

【分析】求出集合M中的元素，再由子集的定義求解.

【詳解】由題意M={xeZ∣0<x<4}={l,2,3},

因此其真子集個數(shù)為23-1=7.

故選：D.

（2022?新疆?三模）

5.已知集合A={x∣T<x<3,xeN},則A的子集共有（）

A.3個B.4個C.8個D.16個

【答案】C

【分析】根據(jù)題意先求得集合A={0,1,2},再求子集的個數(shù)即可.

【詳解】由4={x∣T<x<3,xeN},得集合A={0,l,2}

所以集合A的子集有23=8個，

故選：C

（2023?浙江臺州一中模擬）

6.已知集合A={l,2,3,4,5,6},β=eN,x∈A∣,則集合B的子集的個數(shù)是（）

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】先求出集合B,再根據(jù)子集的定義即可求解.

【詳解】依題意B={2,3,4},所以集合8的子集的個數(shù)為23=8,

故選：C.

7.定義集合A★B={Hx=H,αeAbe8},設(shè)A={2,3},3={l,2},則集合A★B的非空真子集的個數(shù)

為()

A.12B.14C.15D.16

【答案】B

【分析】結(jié)合非空真子集個數(shù)(2"-2)的算法即可.

【詳解】Aafi={2,3,4,6),所以集合TUB的非空真子集的個數(shù)為24—2=14，

故選：B.

二級結(jié)論2：子集、交集、并集、補集之間的關(guān)系

【結(jié)論闡述】

A8=AoA∣B=BoAGBOAI(GB)=0O(0A)B=I(其中/為全集).

(1)當(dāng)A=B時，顯然成立；

(2)當(dāng)AoB時，ve""圖如圖所示，結(jié)論正確.

這個結(jié)論通過集合的交、并、補運算與集合的包含關(guān)系的轉(zhuǎn)換解決問題.

【典例指引1】

8.已知集合A={x∣2<x<4},β={x∣∣2x-2a-l∣<l},若AB=B,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,3)B.(2,3)C.[1,3]D.[2,3]

【答案】B

【分析】首先通過解絕對值不等式化簡集合B，然后由題意得8=A,從而建立不等式組求得α的范

圍.

【詳解】解不等式∣2x-24-l∣≤l,得αWα+l,所以8={x∣α≤x4α+l}.

由AB=B,得8白4,

(a>2

解得2<“<3?

[α+l<4

故選：B

【典例指引2】

9.已知集合A={x∣a≤x≤α+3},3={Rx≤-2或x≥6}.

(1)若ACB=0,求。的取值范圍；

(2)若Au8=8,求”的取值范圍.

【答案】(1)-2<α<3i(2)α≤-5或α≥6.

【解析】(1)根據(jù)題意及Ac3=0,可得I”,]2/，即可求得答案；

[4+3<6

(2)由Au8=8,可得4=8,由題意得AH0,所以α+3V-2或。26,即可解得答案.

【詳解】(1)因為集合A={M44x≤o+3},B={x∣x≤-2或x26},且ACB=0,

所以，解得—2vα<3;

[α+3<6

(2)因為A□8=8,所以AfB,

因為α<α+3恒成立，所以A≠0,

所以α+3V-2或q≥6,

解得4≤-5或α≥6.

【點睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)Au8=8,可得集合的包含關(guān)系4=B,且A集合含有參數(shù)，需分析A

集合是否為空集，再進行求解，屬基礎(chǔ)題.

【針對訓(xùn)練】

10.已知集合A={x∈N*,-2x-3<θ},8={x∣or+2=0},若A5=B,則實數(shù)。的取值集合為()

A.{-1,-2}B.{-1,0}C.{-2,0,1}D.{-2,-1,0}

【答案】D

【分析】先求出集合A,由AB=B得到BqA,再分類討論”的值即可.

【詳解】A={x∈∕V*∣x2-2x-3<θ}={l,2},因為AlB=8,所以B=A,

當(dāng)α=O時，集合3={x∣αx+2=θ}=0,滿足B=A；

當(dāng)αHθ時，集合B={M0r+2=θ}={x=-?∣j>,

由B=A,A={l,2}得-W=I或—W=2,解得。=一2或〃=T,

aa

綜上，實數(shù)α的取值集合為{-2,T,0}.

故選：D.

【點睛】易錯點睛：本題考查的知識點是集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，其中易忽略α=O時，集合B=。

滿足B±A,而錯解.

（2023?湖北?黃石市有色第一中學(xué)模擬預(yù)測）

11.已知A={l,4,x},8=卜,f},且AB=B,則滿足條件的X有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)，求解即可.

【詳解】因為AB=B,所以B=A,

所以E0'或:，解得X=O或x=±2,

[x~≠1,1x-wl

所以滿足條件的X有0,±2,共3個.

故選：C.

（2021?遼寧沈陽?三模）

12.已知集合A={-l,O,l},B={x,χ2},若AB=B,則實數(shù)X=（）

A.—1B.1C.±1D.或±1

【答案】A

【分析】根據(jù)交集定義，結(jié)合集合中元素的互異性求解.

【詳解】由AB=B得BgA,

X=O時，r2=0=X不合題意，X=I時，f=]=χ也不合題意，

X=-I時，X2=?f滿足題意.

故選：A.

（2023?重慶八中模擬預(yù)測）

13.己知集合A={x∣x≤α},B={φ>2},且A（eRB）=A,則α的取值范圍可以是（）

A.a<2B.a>2C.a≥2D.a<2

【答案】D

【分析】由集合補運算求?B,再根據(jù)集合交運算的結(jié)果求參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由題設(shè)，?B={ψ≤2},又A={x∣x≤α},A（?κB）=A,

Λα≤2.

故選：D

（2023.重慶.西南大學(xué)附中模擬預(yù)測）

a

14.己知集合A={x∣0x-1=（）},B={x∈N∣l≤x<4},且AUlB=8,則實數(shù)。的所有值構(gòu)成的集

合是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)A□8=8,對。進行分類討論，由此求得。的所有值構(gòu)成的集合.

【詳解】B={1,2,3},

當(dāng)q=0時，A=0,滿足ADB=只有D選項符合.

當(dāng)αw0時，A=jx∣x=?^-j>,

要使AD8=8,則，=1或,=2或，=3,即α=l或或。=!，

aaa23

所以實數(shù)"的所有值構(gòu)成的集合是{θ,?

故選：D

15.已知集合A={H-2<x<8},B={x∣2加一l<x<m+3}.

（1）若AuB=A,求實數(shù)，”的取值范圍：

（2）^Ar>B={x?a<x<b}iib-a=3,求實數(shù)，"的值.

【答案】（1）-∣,+∞j.

⑵帆=-2或I.

【分析】（1）利用集合間的包含關(guān)系建立不等式組，分類討論進行求解.

（2）根據(jù)已知，利用集合的交集運算，分類討論進行求解.

（1）

由AUB=A,知BqA.

①當(dāng)3=0時，2m-l≥∕"+3,解得“z≥4;

m<4?

②當(dāng)BH0時，有,m+3≤8?,解得-L≤WJ<4.

2m-1≥-2

所以實數(shù)加的取值范圍為一；，+8].

(2)

因為A={N-2<x<8},8-(-2)=IO,AryB-{x?a<x<b],且b-α=3,貝IJ

①當(dāng)A3=3時，有機+3—(2，〃—1)=3,解得m=1,

則8={x∣l<x<4},止匕時ACB={x∣l<x<4},滿足題意；

②當(dāng)AB={x12，"—1<X<8}時，有8—(2，〃—1)=3,解得”?=3,

則B={x∣5<x<6},止匕時AC8={x∣5<x<6},不滿足題意，舍去；

③當(dāng)A2={xI—2<X<〃?+3}時，有m+3—(—2)=3,解得〃?=—2,

止匕時8={x∣-5<x<l},AnB={x∣-2<x<l},滿足題意.

綜上，實數(shù)，”的值為-2或1.

二級結(jié)論3:德?摩根定律

【結(jié)論闡述】飄AC3)=(fyA)c√(稠),U(AOB)=(楸)c(uB).

這兩個公式是把交集的補集轉(zhuǎn)化為補集的并集，或把并集的補集轉(zhuǎn)化為補集的交集，這是集合運算的

一條運算律，利用它們可以簡化運算.

【典例指引1】

16.已知全集U={-2,—1,0,1,2,3},集合A={-l,0,l},B={-1,1,2},則(解)c(tzB)=.

【答案】{-2,3}

【分析】本題首先可以根據(jù)題意求出MA以及4,B中所包含的元素，然后根據(jù)交集的相關(guān)性質(zhì)即可得

出結(jié)果.

【詳解】因為全集U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,O,1},B={-1,1,2},

所以Q,A={-2,2,3},電B={-2,0,3},

所以(瘵4)C(UB)={-2,3},

故答案為：{-2,3}.

【點睛】本題考查集合的相關(guān)運算，主要考查補集以及交集的相關(guān)性質(zhì)，交集是指兩集合中都包含的

元素所組成的集合，考查推理能力，是簡單題.

【典例指引2]

17.設(shè)全集U=R,A={x∣-5<x<5},β={x∣O,,x<7},則(腕/_(心)=,

(W'(UB)=.

【答案】NX<0或x25}何XM—5或x27}

【分析】可以根據(jù)交并補的關(guān)系——(您4)U(∕)=多(Al8)和(轆1)1(∕)=%(AU3)計算即可；

也可以通過畫數(shù)軸的方式分析.

【詳解】U=R,A={x∣-5<x<5},B={x∣0,,%<7},.,.Anβ=∣x∣0≤x<5∣,AB={x∣-5<x<7},

.?.(^4)U(t,B)=?(AIB)={x∣x<0或xN5},(腕)l(∕)=%(AU8)={小≤-5或x≥7}.

故答案為：{x∣x<0或x≥5}[x∣x≤-5或x≥7}

【點睛】本題考查集合的并集與補集運算.關(guān)于范圍的交、并、補一般利用數(shù)軸法解.

【針對訓(xùn)練】

(2023?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測)

18.己知集合U={-2,-L(M,2},A={T,O,1},B={0,2},則(瘵A)C(U3)=()

A.{-2}B.{-2,0}C.{-1,1,2}D.{-2,-1,1,2}

【答案】A

【分析】求出知4={-2,2},"B={-2,-l,l},根據(jù)交集的運算即可求得答案.

【詳解】由題意得疫A={-2,2},uB={-2,-?,?}

故(瘵4)(㈤={-2},

故選：A

(2023?遼寧?高三月考)

19.若全集U={3,4,5,6,7,8},M={4,5},N={3,6},則集合{7,8}等于()

A.MuNB.MCN

C.(帆)一(μD.(物W)C(UN)

【答案】D

【分析】根據(jù)集合交集、并集、補集的定義逐一判斷即可.

【詳解】因為M={4,5},N={3,6},

所以MN={3,4,5,6},MCN=0,所以選項AB不符合題意；

又因為U={3,4,5,6,7,8},

所以(削)(UN)={3,6,7,8}I)4,5,7,8}={3,4,5,6,7,8},

(W)(UN)={3,6,7,8}{4,5,7,8}={7,8},

因此選項C不符合題意，選項D符合題意，

故選：D

(2023?浙江紹興?模擬預(yù)測)

20.已知集合A={xeR∣xW0},B={%eR∣-l<x<1},則(楸)「(*)=()

A.(-∞,0)