2023屆新教材高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題練習(xí) 數(shù)列B卷

(4)數(shù)列

B卷

1.已知數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng)分別為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,數(shù)歹U｛4｝滿足

an

⑴求他｝的前〃項(xiàng)和S

(2)求數(shù)列[巖的前〃項(xiàng)和Tn.

.?-J

2.已知數(shù)列｛%｝滿足at=1,2S,,=3a,l-4n.

(1)證明：數(shù)歹∣J｛∕+2｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)Vj),求數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和小

3.已知等差數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S,,且滿足q+為=^^，S]=63.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列"｝滿足4=%,且鼠「2=4+|,求數(shù)列的前〃項(xiàng)和

I"n

；%+〃,〃為奇數(shù)

4.已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,a,向

all-2M,〃為偶數(shù)

(1)求牝，aτ,；

(2)設(shè)2=%,-2,求證：數(shù)列也｝是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(3)已知c.=log∣M,J,求證：-?-+-^-++—i—<1.

ICQc2c3cπ,,cπ

5.7月份，有一新款服裝投入某市場(chǎng).7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該

款服裝都比前一天多3件，當(dāng)日銷售量達(dá)到最大(只有1天)后，每天售出的該款服

裝都比前一天少2件，且7月31日當(dāng)天剛好售出3件.

(1)求7月幾日該款服裝銷售最多，最多售出幾件.

(2)按規(guī)律，當(dāng)該市場(chǎng)銷售此服裝達(dá)到200件時(shí)，社會(huì)上就開始流行，而日銷售量連

續(xù)下降并低于20件時(shí)，則不再流行.求該款服裝在社會(huì)上流行幾天.

6.已知｛4.｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,,,且S“為明與5的等差中項(xiàng).

（1）求證：數(shù)列￡；｝為等差數(shù)列；

（2）設(shè)"=a,求｛a｝的前IOO項(xiàng)和小.

an

7.已知數(shù)列｛對(duì)｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且2%=2+S,,.

（1）求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式；

（2）若-J,求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和7；.

8.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,.

（1）若，=2,Sn+l=25,,+2,證明：Sn=an+l-2;

（2）在（1）的條件下，若d=log24,數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證

111IC

T1T2T｝Tn

2

9.設(shè)數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為Sn=2n-l,數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為Q,=2h,,-2.

（1）求數(shù)列｛0,,｝和低｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)c,,=%,求數(shù)列｛c,,｝的前〃項(xiàng)和T1,.

bn

10.已知在等差數(shù)列也｝中，4+4=4,α4=3,也｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，

α

bi=11，?i4=1.求：

（1）數(shù)列｛q｝,他,｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列｛“也｝的前〃項(xiàng)和小

答案以及解析

1.答案：(1)?ax=1,?=1+2,%=1+2+3,%=1+2+3+4,...,得an=+".

所以d=工

冊(cè)

2

所以S〃=2l-l÷l-l÷L÷i

223n~n+↑

n、[2÷2H+I2+2rt+,

(2)記%==-5—=∕z+∕z?2.

2-d∏-ιf

n

則看=q+C2+L+Cn

=(l+2+L+H)+[2+2?22+3?23+L+5-l)?2"T+"?2"]

=wt7^lj+[2+2?22+3?23+L+(rt-l)?2,,^'+n?2n].

設(shè)M,=2+2?22+3"+L+5-l)?2""+"?2",①

則2M,,=22+2?23+3?24+L+(w-l)?2n+M?2Π+'.(2)

23nn+l

觸②，得-Mn=2+2+2+L+2-n?2,

所以叫,=5-l)?2向+2.

所以北=n(n+l)+(^_1)2),+l+2

2.答案：(1)數(shù)列｛%｝滿足α∣=1,2S“=3a“-4〃，

a-2

當(dāng)”≥2時(shí),an=Sn-Sn-i=^an-2n-^an-1+2(n-l)=^an-n-ι?

13c,

-?=^?-ι+2，「?%=3a“_]+4,

.?.?+2=3(?-1÷2).

q+2=3,

.??數(shù)列｛%+2｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,

.%+2=3"9.,.冊(cè)=3"-2.

(2)b=bg3(%+2)二喝3〃二〃

m--?+2-3n^F

H----，

3"

123n

又—+-7+-r+H------,

I=3,-233343M+,

兩式相減,得

Irr11

-T=-I-r—τ+十------

3"332333〃22-3"3'

,-?

.?.Z=3-≥±2

'44?3"

3.答案：(1)方法一設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，且4>0,

+a+4d=,(〃]+2df

則”λ

lax+21d=63

q=3

d=2

,

..an=2n+1.

方法二設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為

｛4｝是等差數(shù)列，且q+%=,〃；，「.2%=?∣店,

又a”>O,.,.?=7.

S1=7卜"+%)==63,/.a4=99

d=a4-a3=29

.aπ=〃3+(〃-3)d=2H+1.

(2)4=4,〃+[-2=4+]且/=2〃+1,

.*.bx=3,bn+l—bn=2〃+3.

當(dāng)"≥2時(shí)，bn=(bn-bn_｛)+(?.ι-bn_2)++(?-?1)+fe1=

(2〃+1)+(2〃-1)++5+3=Π(M+2).

當(dāng)〃=1時(shí)，4=3,滿足上式，.?.%=〃(〃+2),

—1—------1-----=—1?_1

bn〃(〃+2)2nn+2

,=lll÷÷-L÷l

ηb?+?+?bn-?hn

1

=2i1fι÷2i-n-+-↑--∕?+q2√

3.lf_LO.

=42(〃+l+/7÷2√

4.答案：(1)由數(shù)列MJ的遞推關(guān)系，易知

(2)

h

n+ι=%，，+2—2=B?,,+l+(2〃+1)—2=ga2n+l+(2n-l)=

^(?,-4∕t)+(2rt-l)=^?n-l=^(?,-2)=^?,,.

,CI

?1=α2-2=-—>

二數(shù)列出｝的各項(xiàng)均不為0,

...-Λ-,-÷-∣—_―?,

bn2

即數(shù)列｛或｝是首項(xiàng)為-;，公比為;的等比數(shù)列,

(3)由(2)矢口%=log∣MJ=log∣(；)=n.

c&C2C3%%

111

----1-----H+二---r—

1×22×3(π-l)n

n

<1.

5.答案：（1）設(shè)7月〃日售出的服裝件數(shù)為為（∕ι∈N*,l≤"，最多售出4件.

A[;}:”解得廠

由題意知,

一2(31-攵)=3[4=39

；.7月13日該款服裝銷售最多，最多售出39件.

(2)設(shè)S“是數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和,

3〃,1≤〃≤13

由(1)及題意知4=65-2n,14≤H≤31'

(3+3〃)〃

,l≤w≤13

「?S”=?2

273+(5113),14≤"≤31

513=273>200,

，當(dāng)1≤"≤13時(shí)，由S,,>200,得12≤“≤13,

當(dāng)14≤“≤31,日銷售量連續(xù)下降，由4<20,得23≤ZZ≤31,

.?.該服裝在社會(huì)上流行11天(從7月12日到7月22日).

6.答案：(1)由題意知25“=%+’,即2SM,-C=L①

a

n

當(dāng)〃=1時(shí)，由①式可得S：=l,

當(dāng)〃22時(shí)，a“=S“-S“_1,

代入①式得2S,,(S.-S,-)-(S,「S,-F=1,

整理得S；-HT=1("≥2),

??.￡；}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)可得S,；=l+〃-l=〃，

{4}的各項(xiàng)都為正數(shù)，??.S,,=五，

CI11=S11-S,,-l=Tn-√n-1(〃≥2),

又4=B=1滿足?！??fn-y/n-1,

:.an=?[n->Jn-↑,

.a;2J#為(6+g),

7

an，〃一√〃一1\

?M0)=τ+(3+1)-(6+3)+.-(√ι∞-ι+√ιoo-2)+(√ιoo+√ιoo-ι)=√ioδ=ιo,

.??{〃}的前100項(xiàng)和7；OO=10.

7.答案：(1)2an=2+S“，①

.?.2^+1=2÷S,,+l,②

由②-①,可得2(/+「/)=%,即誓=2.

又2α∣=2+q,/.Q∣=2.

故數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，因此q=2〃.

(2)由(1)可得a,=2",.?.?=(2n-l)×2"--?-.

nyn+?)

設(shè)G=(2"-l)x2?,其前〃項(xiàng)和為A“，

,,lπ

則4=1x2+3x22+5x2'++(2n-3)×2^+(2n-l)×2,①

.?.2A,,=l×22+3×23+5×24++(2π-3)×2,'+(2n-l)×2n+l,②

由①-②,得

334,,+l

-An=2+2(2+2+2++2)-(2∕ι-l)×2"≈

2+2x」(：：)-(2"l)χ2,"∣=(3-2")χ2""-6,

??,=(2n-3)×2,'+l+6.

設(shè)丁J=其前〃項(xiàng)和為田，

n?n÷1)?nπ+17

++6I

則紇(?4)?^?]]=(^?)?

故z,=A,「紇=(2∕t-3)×2,,+l+6-6θL)=(2"-3)x2"+∣+*.

8.答案：(1)見解析

(2)見解析

解析：(1)因?yàn)镾∣=2,S,,+l=2Sn+2,

所以與∣+2=2(S.+2),S1+2=4,

所以數(shù)列｛S,,+2｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以S,,+2=2"∣,

-c—m+ι?

n

當(dāng)〃*2時(shí)，Sχ=2"-2,Sn-Sl,.l=al,=2,

當(dāng)"=1時(shí)，q=S∣=2滿足上式，

所以4=2",所以S,,=q,+∣-2成立.

(2)由(1)矢口4=2",

t>n=Iog2aπ=n,

Tn/?(/?+1)n+?)

g”111IC(IlIIl

加以——+—+—++—=2x1——÷------+--------++-

T｝T2T3Tn(22334/

所以_L+_L+_L++_L<2成立.

τiτ2τ3τn

9.答案：(1)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為5“=2/一1,

22

.?."≥2時(shí)，atl=S11-S11^=2n-]-[2(n-l)-]~]=4n-2.

〃=1時(shí)，q=￡=1,不滿足上式.

∫1,∏=1,

"a"~?4n-2,n≥2.

數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為Q=Ibn-2.

“≥2時(shí)，Qka,可得。=2?-2%,

整理得2=2?τ.

〃=1時(shí)，偽=2=2偽一2,解得伉=2.

.?.數(shù)列也｝是等比數(shù)列，且首項(xiàng)與公比都為2.

????=2n.

(2)c=—,當(dāng)〃=1時(shí)，C.=?;當(dāng)〃≥2時(shí)，c=—

"bn'2"

.?.〃=1時(shí)，T1=C1=-;

2M"'

2/1—1

??-r

2n-↑7C42n-l

d+2χ++L+Γ=—+2×

?F2〃4?T

2

整理得TG-+3

當(dāng)”