第14講 認(rèn)識分式八年級數(shù)學(xué)下冊同步講義（北師大版）

第14講認(rèn)識分式

辱目標(biāo)導(dǎo)航

1.理解分式的概念，能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為O的條件.

2.了解分式的基本性質(zhì)，掌握分式的約分和通分法則.

徵知識播井

知識點(diǎn)Ol分式的定義

(1)分式的概念：一般地，如果4B表示兩個整式，并且8中含有字母，那么式子也叫做分式.

B

(2)因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0.

(3)分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號，還兼有括號

的作用.

(4)分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是A的形式，從本

B

質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡.

(5)分式是一種表達(dá)形式，如x+L+2是分式，如果形式都不是A的形式，那就不能算是分式了，如：(A-+1)

XB

÷(x+2),它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次幕表示的某些代數(shù)式如(。+匕)

一2,V1,則為分式，因?yàn)镻I=上僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式.

y

【知識拓展】(2021秋?漢陰縣校級期末)下列各式中，是分式的是()

A.∑kB.C?u?2,D3ab

J-z^ab+abu,

2a2

【即學(xué)即練】(2021秋?宜城市期末)在工,?,4,上-中，分式有（）

π33x-3

A.4個B.3個C.2個D.1個

知識點(diǎn)02分式有意義的條件

(1)分式有意義的條件是分母不等于零.

(2)分式無意義的條件是分母等于零.

(3)分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號.

(4)分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號.

【知識拓展】(2021秋?昌吉市校級期末)當(dāng)X()時，分式&L有意義.

χ-50

A.x>50B.x<5OC.x=5OD.x≠5O

【即學(xué)即練1】（2021秋?利通區(qū)校級期末）若分式上有意義，則X的取值范圍是.

5-χ

【即學(xué)即練2］（2021秋?定遠(yuǎn)縣校級期末）若分式上二有意義，則X的取值范圍為_________.

X2-4—

知識點(diǎn)03分式的值為零的條件

分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

注意：“分母不為零”這個條件不能少.

【知識拓展】（2022春?思明區(qū)校級月考）不論X取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（）

A.X2-3B.-L-C.(x+l)2D.?t?

χ-lx+2

【即學(xué)即練1】（2021秋?紅河州期末）若分式X-2021的值為0,則X的值為（)

x+2021

A.-2021B.2021C.0D.±2021

【即學(xué)即練］如果分式m的值等于那么的值為（

2Il-40,m)

Irr4

A.±4B.4C.-4D.不存在

知識點(diǎn)04分式的值

分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應(yīng)從已知

條件和所求問題的特點(diǎn)出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃巍⑥D(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑.

【知識拓展1］（2022?全椒縣一模）已知x-y=2xy（XW0）,則5x-5y-4xy的值為（）

χ-y

A.-AB.-3C.?D.3

33

【即學(xué)即練】已知工1=2,則2a-2b-ab的值為

aba+5ab-b

知識點(diǎn)05分式的基本性質(zhì)

（1）分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.

（2）分式中的符號法則：

分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變.

【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題

1.分式中的系數(shù)化整問題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中

的系數(shù)化為整數(shù).

2.解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩個，分式的值不

變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時，分子、分母應(yīng)為一個整體，改變符號是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號.

3.處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的.

【知識拓展1]（2021秋?倉山區(qū)校級期末）下列各式中，化簡正確的是（）

6

A.?=χ3B.江一

X乙-χ+y

Qx+a?Dχ-3_1

y+ay2x（χ-3）2x

【即學(xué)即練1】（2021秋?洛川縣校級期末）己知加=〃,下列等式：（1）zn+2=n+2;（2）bm=zbn↑（3）—=

n

1;（4）—B-=-??-.其中，正確的個數(shù)為（）

b2+2b2+2

A.1B.2C.3D.4

【即學(xué)即練2】（2021秋?仁懷市期末）下列等式成立的是（）

2,2

HR.-X----+--y----_χ÷jy

x÷y

6

D.-=3

26

X

知識點(diǎn)06約分

（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.

（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定.

①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式.

②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號時，一般把負(fù)號提到分式本身的前面.

③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式.

（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最

大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分.

【知識拓展】（2021秋?藁城區(qū)期末）化簡：3χ2+3xy=x+γ（）

6X2（）

A.3xB.6xC.2D.2x

【即學(xué)即練1】（2021秋?興城市期末）下列各分式化簡后與空R相等的是（）

m-∏

2?2

A2m+nB.m÷.n..

22

2m-∏m-n

QmF+：DIn2?jm

?2

πrn+:m-mn

【即學(xué)即練2】（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）小麗在化簡分式」時，*部分不小心滴上小墨水，請

2

x-ιχ+ι

你推測，*部分的式子應(yīng)該是（）

A.X2-2x+lB.X2+2X+1C.x2-lD.x2-2x-1

知識點(diǎn)07最簡分式

最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式.

和分?jǐn)?shù)不能化簡一樣，叫最簡分?jǐn)?shù).

【知識拓展】（2021秋?孟村縣期末）下列選項(xiàng)是最簡分式的是（)

A』B.i?lC.占1

D.

32

3xy+ι

【即學(xué)即練1】（2021秋?鹿邑縣期末）下列各分式中，是最簡分式的是（）

A.×1B.x?2x+l

2xx+1

C.?t?D.x-1

XX2-I

知識點(diǎn)08最簡公分母

（1）最簡公分母的定義：

通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母.

（2）一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次

塞，所有不同字母都寫在積里.②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系

數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的幕的因式都要取最高次慕.

【知識拓展】（2021秋?漢陽區(qū)校級期末）分式」^與，的最簡公分母是（）

2χ-2l-χ

A.X-1B.x2-lC.2（x-1）D.2（x-1）2

【即學(xué)即練1]（2021秋?龍山縣期末）①工，三都是分式；②分式的基本性質(zhì)之一可以表示為A=區(qū)；③

X3BB-C

2

幺是最簡分式；④，χ、與，y、的最簡公分母是二（x+2）2.以上四個結(jié)論中正確的有（）

ya（x+2）b（x+2）

A.③④B.①④C.①D?

知識點(diǎn)09列代數(shù)式（分式）

（I）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式.

（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義.②分清數(shù)量關(guān)系.③注意運(yùn)算順序.④規(guī)范書寫格式.⑤

正確進(jìn)行代換.

注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分?jǐn)?shù)線代替.

【知識拓展1】（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）甲、乙兩港口之間的海上行程為戒〃?，一輪船以"〃?//?的航速從

甲港順流航行到乙港.已知水流速度為M血兒則這艘輪船從乙港逆水航行回到甲港所用的時間為（）

h.

A.-?B.—≡-C.-≡-D.—?-

a-χa-2xa+xa_2x

【即學(xué)即練1】（2021秋?方正縣期末）甲乙兩個碼頭相距S千米，某船在靜水中的速度為“千米/時，水流

速度為人千米/時，則船一次往返兩個碼頭所需的時間為（）小時.

A.-2≡.B.-2≡.C.≡-÷≡.D.-≡-+-≡-

a+ba-baba+ba-b

【即學(xué)即練2]（2021秋?棲霞市期末）有一大捆粗細(xì)均勻的鋼筋，現(xiàn)要確定其長度，先稱出這捆鋼筋的總

質(zhì)量為。千克,再從中截出10米長的鋼筋,稱出這10米的質(zhì)量為6千克,那么這捆鋼筋的總長度為（）

A.?米B.曳米

bb

C.辿■米D-（詈-IO）米

10

Q能力拓展

選擇題（共3小題）

1.（2020?原陽縣校級自主招生）如果分式-gx-9的值恒為正數(shù),則X的取值范圍是（）

X-χ-6

A.XV-2B.x≠3C.x>-3D.x>-2SLX≠3

2.（2019春?城關(guān)區(qū)校級月考）化簡2ri+4二2*n,得（）

2-2n+3

A.on+1,ΛB.-2,,+lC.?D.?

4884

3.（2018?李滄區(qū)校級自主招生）當(dāng)X取」_.11…，?,I,2,…，2016,2017,2018時,

20182017,20162

2

計算代數(shù)式一J的值，再把所有結(jié)果加起來，則這個總和為）

l÷x2

A.2017B.2018C.20171D.20182

22

二.填空題（共1小題）

4.（2019?南沼區(qū)校級自主招生）已知a,b,c為三個非零實(shí)數(shù),7-1為多項(xiàng)式戶+/+加+。的因式.則也氈生

C

的值為.

Ξ.解答題（共4小題）

5.（2019?鹽城）【生活觀察】甲、乙兩人買菜，甲習(xí)慣買一定質(zhì)量的菜，乙習(xí)慣買一定金額的菜，兩人每

次買菜的單價相同，例如：

第一次

菜價3元/千克

質(zhì)量金額

甲1千克3元

乙1千克3元

第二次：

菜價2元/千克

質(zhì)量金額

甲1千克_______元

乙_______千克3元

（1）完成上表；

（2）計算甲兩次買菜的均價和乙兩次買菜的均價.（均價=總金額÷總質(zhì)量）

【數(shù)學(xué)思考】設(shè)甲每次買質(zhì)量為，"千克的菜，乙每次買金額為"元的菜，兩次的單價分別是。元/千克、

〃元/千克,用含有機(jī)、小“、b的式子,分別表示出甲、乙兩次買菜的均價.、記’比較.、豆的

大小，并說明理由.

【知識遷移】某船在相距為S的甲、乙兩碼頭間往返航行一次.在沒有水流時，船的速度為V,所需時間

為山如果水流速度為P時(p<v),船順?biāo)叫兴俣葹?v+p),逆水航行速度為(v-p),所需時間為

/2.請借鑒上面的研究經(jīng)驗(yàn)，比較力、的大小，并說明理由.

6.(2001?廣州)一艘船由A到8順?biāo)叫忻啃r走Ul千米，由B到A逆水航行每小時走V2千米，求此船

在A、8間往返一次平均每小時走多少千米？

7.(2016春?高郵市校級期中)已知：β^i∣,

(1)若A=i?——,求"?的值；

a+2

(2)當(dāng)α取哪些整數(shù)時，分式B的值為整數(shù)；

(3)若α>0,比較A與B的大小關(guān)系.

8.(2019秋?來鳳縣期末)如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這

個分式為“和諧分式”.

22

(1)下列分式：①上L;②①22.-；③上J；④、R-其中是“和諧分式”是(填

2?2,22?2/?,V2

X+11a-bX-y(a+b)

寫序號即可)；

(2)若〃為正整數(shù)，且/_為“和諧分式，，，請寫出〃的值;

X+ax+4

4a2

(3)在化簡

ab2-b3

小東和小強(qiáng)分別進(jìn)行了如下三步變形：

小東：原式凸I告XAw?粵=域曰粵變_

23232232

ab-bbbab-bb（ab-b）b

小強(qiáng)：原式=-粵2Kdxg="7%2一粵二/W?式喈

ab2-b?bb/（a-b）b?（a-b）b?

顯然，小強(qiáng)利用了其中的和諧分式，第三步所得結(jié)果比小東的結(jié)果簡單，原因是：

請你接著小強(qiáng)的方法完成化簡.

高分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

一.選擇題（共7小題）

I.（2021秋?天津期末）下列各式：-三2Λ+3√,生史工，-l∕n,其中是分式的有（）

3yπy+32

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）要使分式—×—有意義，則X的取值應(yīng)滿足（）

x-2022

A.X=2022B.x>2022C.x<2022D.XW2022

3.（2021秋?建安區(qū)期末）若分式WlL的值為零，則X的取值范圍是（）

3x-2

A.x=0B.X=-1且C.X=-1D.x≠2

33

4.（2021秋?梁溪區(qū)期末）若旦表示一個整數(shù)，則整數(shù)《可取的值共有（）

a-l

A.2個B.3個C.4個D.5個

5.（2021秋?順平縣期末）下列分式變形一定成立的是（）

?χ-3XrXxnrXx+nnx+xx

y-3yyynyy?y+yy

6.（2021秋?威縣期末）對于分式」一，變形正確的是（）

χ-3

A.B.-L_C.__D..?

3-χ3-χx+3x+3

7.（2021秋?惠州期末）下列分式是最簡分式的是（)

A..?bB.a+bC._2_D.-祖

22

a+ba-?l2x+4ca

二.填空題（共5小題）

8.（2021秋?天津期末）若分式_及_有意義，則。的取值范圍是.

3a+2

9.（2021秋?威縣期末）已知分式2∑1.

2-χ

（1）X=,分式無意義；

（2）X=,分式值是零.

10.（2021秋?德江縣期末）若分式殳1工1的值為零，則X的值為_______.

X+5

2

IL（2022?南山區(qū)模擬）若J-±1=3,則—5-------的值為

242----------

aa-o2a-11

22

12.（2021秋?河西區(qū)期末）約分.6*72xy+6y的結(jié)果為_______.

6χ-6y

三.解答題（共3小題）

22

13.（2021秋?廣豐區(qū)期末）（1）已知上?=∣,求j--2gb+b的值;

aa2+ab+b2

（2）已知工+』=2,求a-2ab+b的值.

ab2a+ab+2b

14.（2021秋?甘井子區(qū)期末）已知（加+〃）2=25,（加-〃）2=9,求一^—的值.

2?2

m+n

15.（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問

題.

材料一：在解決某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形

式，從而運(yùn)用約分化簡，以達(dá)到計算目的.例：已知：求代數(shù)式/+工的值.

2?42

X+11吩X

22

解：―'—="y'?'?—~~—=4fi∣J—-?p‰4.?.x+'=4.?.X2÷^g?=（χJ?）2-2=[6-2=]4

X?+14XXXXXZX

材料二：在解決某些連等式問題時，通?？梢砸?yún)?shù)“k”，將連等式變成幾個值為k的等式，這樣就

可以通過適當(dāng)變形解決問題.例：若2x=3y=4z,且孫z≠0,求的值.

y+z

Ik1

解：令2x=3y=4z=∕c(fe≠0)則X=K?,y=K,z=-X=2=2=6

y+z〒節(jié)

234

τk4τk12

根據(jù)材料回答問題：（1）已知—=1,求X+2的值.

x2-χ+l4X

（2）已知且:Λ=w,（abc≠ω,求3b+4c的值.

5232a

題組B能力提升練

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?沂水縣期末）已知分式上工的值是”,如果用x、y的相反數(shù)代入這個分式所得的值為。，則

l-χy

a、b關(guān)系（）

A.相等B.互為相反數(shù)C.互為倒數(shù)D.乘積為-1

2.（2020秋?泰山區(qū)期末）下列各式從左到右的變形正確的是（）

?一χ-y二χy

x+2y-x+2y

Ba+ba-b

a-ba+b

Q0.2a+b2a+b

a+0.2ba÷2b

1

x^7y2x-y

D.

?χ4yx+2y

3.（2020秋?蘭山區(qū)期末）若x、y的值均擴(kuò)大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（)

A.?B.立C.?D.-2^

y+1x+1x+y3χ-y

4.（2021秋?開封期末）下列各分式中，是最簡分式的是（）

2.2222.

A.XyB.X-yc.XXD.旦

x+yx+yxy/

5?（2021春?北硝區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）

2/

A.若分式三二生的值為0,則X=2

χ-2

O2

B.3U是分式

-χy

C.-----?-----與--------的最簡公分母是浦（X-y）（y-x）

a（χ-y）b（y-χ）

D.y二Xy

3-x3X-X2

6.（2020秋?淹池縣期末）甲、乙兩地相距加千米，某人從甲地前往乙地，原計劃〃小時到達(dá)，因故延遲

了1小時到達(dá)，則他平均每小時比原計劃少走的千米數(shù)為（）

Am_mBm_IrICm_IrIDm_m

nn-ln-lnnn+1n+1n

二.填空題（共2小題）

7.（2021秋?巢湖市期末）若分式-IJZ的值為0,則α=______.

a2+a-6

8.（2021秋?溫嶺市期末）若把分式正紅的x、y同時變?yōu)樵瓉淼?0倍，則分式的值（填變大,

2x

變小，不變）

三.解答題(共5小題)

9.(2021秋?信都區(qū)校級月考)仔細(xì)閱讀下面的材料并解答問題:

例題：當(dāng)X取何值時，分式I-X的值為正?

2χ-l

解：依題意得上∑^>0,則有①1I-*??；騗lr<°,

2x-l[2χ-l>0[2χ-l<0

解不等式組①得工<χ<l,解不等式組②得不等式組無解，故上<χ<l.

22

所以當(dāng)上<x<l,分式上?的值為正.

22χ-l

依照上面方法解答問題：

當(dāng)X取何值時，分式一合一的值為負(fù)？

302上

X-2X÷x

10.(2021春?江北區(qū)校級期中)按要求完成下列各題：

C2_2

(1)若(X-3)(x+〃z)=x2+λtr-15,求工——坦—的值.

8n+5

(2)已知(n-2020)2+(2021-n)2=3,求(A?-2020)(2021-n)的值.

(3)已知多項(xiàng)式21-3/+。/+7X+6含有因式/+工-2,求包的值.

b

11.(2019秋?石景山區(qū)期末)我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式，例如：1=1+1.

22

在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”;

當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”.

例如：像211,二，…，這樣的分式是假分式；像」一，…，這樣的分式是真分式，類似的,

2

x-2x+2x-2x-i

假分式也可以化為整式與真分式的和的形式.

例如：ZiI=(x-2)+3=]+2;

x-2x-2x-2

x[=(x+2)(x-2)+4=X_2+4

x+2x+2x+2

解決下列問題：

(1)將分式工二2化為整式與真分式的和的形式為：.(直接寫出結(jié)果即可)

x+3

(2)如果分式立紅的值為整數(shù)，求X的整數(shù)值.

x+3

12.(2021秋?龍鳳區(qū)期末)閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：已知?--(〃、b、C互不相等)，求x+y+z的值.

a-bb-cc-a

解：設(shè)X=y=z=k，則X=A(a-b),y=k(b-c),z=k(C-Q),

a-bb-cc-a

.?χ+y+z=k(α-b+b-c+c-a)=女?0=0,Λχ+γ+z=0.

依照上述方法解答下列問題：

已知：Xj?w?w工，其中χ+y+zwo,求χφy-z的值.

xyzx+y+z

13.（2021秋?思明區(qū)校級期末）已知A,B兩港之間的距離為150千米，水流速度為5千米/時.

（1）若一輪船從A港順流航行到B港所用的時間是從B港逆流航行到A港所用時間的2,求該輪船在

3

靜水中的航行速度：

（2）記某船從4港順流航行到B港，再從8港逆流航行返回到A港所用的時間為“；若該船從A港航

行到B港再返回到A港均為靜水航行，所用時間為12,請比較/1與/2的大小，并說明理由.

題組C培優(yōu)拔尖練

選擇題（共I小題）

1.（2021秋?甘井子區(qū)期末）下列式子是分式的是（）

_2_2?

A.XB.3C.XD.3

二.填空題（共1小題）

?^??2χ-χy+2y

2.（2020秋?沂源縣期中）若Xq=2,則3x+5xy+3y=

≡.解答題（共7小題）

3.（2021?東港區(qū)一模）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這

個分式為“和諧分式”.

x+1xT+2XT22a2-2a+3（a-l）乙+22

如X-I=χ-l=χ-l+x~l=1+χ-l,a-1=a-1=α-1+a-1,

x+1a2-2a+3

則7zτ和一0都是"和諧分式”.

（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是：（填序號）；

,,2口

y1

x+12+xx+2n

①X；②2；③X+1；④y

x2+6χ-3

（2）將“和諧分式XT—化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形為：

x^+6χ-3

x-1=.

Jx+πxy=ll

（3）應(yīng)用：已知方程組ix+3πι=2y有正整數(shù)解，求