大學(xué)高等數(shù)學(xué)第二冊(cè)復(fù)習(xí)資料

高等數(shù)學(xué)第二冊(cè)

第七章空間解析幾何與向量代數(shù)

在這一章中，首先建立空間直角坐標(biāo)系，引進(jìn)自由向量，

并以坐標(biāo)和向量為根底，用代數(shù)的方法討論空間的平面和直

線，在此根底上，介紹一些常用的空間曲線與曲面。通過(guò)這

一章的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)空間想象能力，嫻熟的向量代數(shù)的計(jì)算能

力和推理、演繹的邏輯思維能力。也為學(xué)習(xí)多元微積分做準(zhǔn)

備。

重點(diǎn)：曲面方程，曲線方程

難點(diǎn)：較深刻地理解曲面〔平面〕、曲線〔直線〕方程，

并能把握方程所表示的圖形的特征。

（一）

1.空間笛卡爾坐標(biāo)系的構(gòu)成：空間的一個(gè)定點(diǎn)。，連同三

個(gè)兩兩互相垂直的有序向量組，稱為笛卡爾坐標(biāo)系。當(dāng)心心

的相互關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同時(shí)，稱為右手坐

標(biāo)系。在通常的討論中，常用右手笛卡爾坐標(biāo)系。關(guān)于一般

的坐標(biāo)系稱為仿射坐標(biāo)系，有興趣的同學(xué)可參閱《空間解析

幾何》這類專業(yè)教材。

2.空間向量可以從兩個(gè)途徑來(lái)認(rèn)識(shí)：

①由定義：具有大小和方向的量稱為向量，因此可由方向

（可由方向角來(lái)確定〕連同大小1模長(zhǎng)〕來(lái)確定〔注意，這

樣定義的向量稱為自由向量，簡(jiǎn)稱向量，自由向量與起點(diǎn)和

終點(diǎn)無(wú)關(guān)〕。書上往往用黑體字母表示，手寫時(shí)用黑體并不方

便，常在字母上面加一個(gè)箭頭表示，例：而，G等。

②可由向量的坐標(biāo)來(lái)把握向量。必須分清向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐

標(biāo)這兩個(gè)概念，一般情況下，設(shè)六｛a*｝的始點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

（%,無(wú)2,無(wú)3）,（%，為，%）,那么方=｛%2-再,%-Zj,即向量的坐標(biāo)與向

量的起點(diǎn)及終點(diǎn)的坐標(biāo)間有以下關(guān)系：

X=丁=為-%,z=Z2-4。因此，假設(shè)確定了向量的坐標(biāo)，

那么這個(gè)向量就確定了。

當(dāng)向量的起點(diǎn)與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合時(shí)，向量的坐標(biāo)與向

量的終點(diǎn)的坐標(biāo)在數(shù)值上相等。

3.在學(xué)習(xí)向量的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，利用幾何或物理模型比擬

容易掌握。如求向量的加法和減法可以平行四邊形或以力的

相加或相減為模型，求兩向量的數(shù)量積可以求力在某段路程

上所作的功為模型，求兩向量的向量積可以求力關(guān)于某點(diǎn)的

力矩為模型，并要熟練掌握每種運(yùn)算的算律。

4.一個(gè)平面具有各種形式的方程，如點(diǎn)法式，三點(diǎn)式，

截距式，一般式。在學(xué)習(xí)平面的各種形式的方程時(shí)，對(duì)方程

中常數(shù)的幾何意義應(yīng)引起充分的注意。如：平面方程

為+Cz+D=O,那么｛A,BC｝為平面的一個(gè)法向量，建立平面的

方程時(shí)應(yīng)根據(jù)條件靈活處理。點(diǎn)法式方程是應(yīng)用較方便，常

用的方程類型，這是因?yàn)樵谟懻撈矫鎲?wèn)題時(shí)，平面的法向量

常常起著關(guān)鍵性的作用。

5.確定空間一條直線的方法很多，在《高等數(shù)學(xué)》中把

它歸結(jié)為由直線上的一個(gè)定點(diǎn)和與直線平行的一個(gè)非零向量

來(lái)確定，或?qū)⑺闯蓛蓚€(gè)平面的交線?？臻g直線的標(biāo)準(zhǔn)式方

程與參數(shù)式方程，二維空間中的直線均有對(duì)應(yīng)的形式，但要

注意，只有空間直線可看成兩個(gè)平面的交線。

6.在《高等數(shù)學(xué)》中，常用的曲面方程為:

x2y2z2

橢球面靛+乒+/=,當(dāng)或b=c或c=a時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢

方程球面，當(dāng)"〃=c時(shí)，為球面方程。

雙曲面/*V+Z?_1,單葉雙曲面

方程【T，雙葉雙曲面

錐面方222

%yz7

--------11-0八,obcw0八

程a--b---c

'22

拋物面二+二,橢圓拋物面

2z=Wpq

22

方程二-”,雙曲拋物面—一

[pq,其中網(wǎng)＞o

柱面方網(wǎng)y，z)=。，母線平行于x軸的柱面方程

程/x,z)=o,母線平行于y軸的柱面方程

旋轉(zhuǎn)面母線

,繞Z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程"221=0

方程"(y,z)=o<￥+y,z

Vx2+z2)

d=0.繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程f兇土=0

(二)

1.向量在軸上的投影是個(gè)常用的概念，要注意向量在軸

上的投影是一個(gè)數(shù)量而不是一個(gè)向量，也不是一個(gè)線段。

設(shè)向量盛，其中投影軸為，，點(diǎn)A,5在軸上的投影分別為

4,B，,假設(shè)取與軸同方向的單位向量為那么有同=晅稱

x為而在軸/上的投影。因此向量Q在軸上的投影不是有向線

段德，而是一個(gè)數(shù)值，記為自力AB,易知Pr//A3=|Q|cos0,其

中。為通與軸/的夾角。

2.向量在坐標(biāo)軸上的投影稱為向量的坐標(biāo)。

3.向量的數(shù)量積，向量積一覽表：

a-baxb

—?*—(-?人-?\*

axb^a\\b\sin[〃/?Jzz0-g.

a-b=\a\\b\co{〃

中“。是同時(shí)垂直于"B

定義

的單位向量，且加

”。按右手系排列

a=\ax,%“},b=機(jī),％也｝

]b={b,b,b}

坐標(biāo)xyz

ijk

a-b=axbx+ayby+azbzaxb=axaya,

么bybz

特征萬(wàn)上Bo萬(wàn)?B=oallbo五xB

性質(zhì)即。也+ayby+azbz=0%_%_az

即bxbybz

點(diǎn)到平面乃的點(diǎn)到直線/的

距離為~=|%.叫)峪|,距離為d=l/°x"oMI,

(*1)，其中"。為平面乃(*2),其中，。為直線/上

幾何

的單位法向量，場(chǎng)是〃的單位向量,是直線

應(yīng)用

上的任一點(diǎn)，當(dāng)d=0/上的任一點(diǎn)。當(dāng)〃=。

時(shí)，(*1)式給出動(dòng)點(diǎn)M時(shí),(*2)式給出動(dòng)點(diǎn)M

所滿足的平面的方程。所滿足的直線的方程。

4.要熟練掌握平面，直線的各種形式的方程互化，關(guān)鍵

在于明確在各種形式的方程中，各個(gè)量〔常量、變量〕的幾

何意義以及它們之間的關(guān)系，在此根底上，互化是容易做到

的。如建立平面的三點(diǎn)式方程時(shí)，假設(shè)硬記公式那么不容易

記牢的，但從三個(gè)向量共面的角度去思考就能牢牢地記住。

5.要深刻理解空間直角坐標(biāo)系下平面的方程是一個(gè)關(guān)于

x,y,z的一次方程。反之，任何一個(gè)關(guān)于x,V,Z的一次方

程都表示一個(gè)平面。

6.平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關(guān)系

均是通過(guò)平面的法向量間，直線的方向向量間，或平面法向

量與直線的方向向量間的位置關(guān)系來(lái)討論，因此可歸結(jié)為向

量問(wèn)題來(lái)解決。如：兩個(gè)平面間的夾角問(wèn)題通過(guò)它們的法向

量的夾角來(lái)解決。

7.常用的曲面方程見1A〕中6,要真正掌握這些曲面的

形狀、特征，可以用“平行平面截割法〃，也就是用一族平

行平面〔一般平行于坐標(biāo)面〕來(lái)截割曲面，研究所截得的一

族曲線是怎樣變化的，從這一族截線的變化情況即可推想出

所表示的曲面的整體形狀，這是認(rèn)識(shí)曲面的重要方法，它的

根本思想是把復(fù)雜的空間圖形歸結(jié)為比擬容易認(rèn)識(shí)的平面曲

線。

8.空間曲線一般由兩個(gè)曲面相交而得，這樣的曲面有無(wú)

窮多個(gè)，假設(shè)曲線的形狀不易把握時(shí)，可先將兩個(gè)曲面方程

通過(guò)消去未知數(shù)的方法得兩個(gè)過(guò)曲線的射影柱面的方程，而

射影柱面的形狀是較容易把握的。

9.空間曲面和曲線除了利用圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的

關(guān)系建立方程外，還常用參數(shù)方程來(lái)表示。參數(shù)方程的特征

是方程中既有表示坐標(biāo)的變量，也有坐標(biāo)以外的其他變量〔稱

參數(shù)〕，且坐標(biāo)變量X,y,Z分別可以表示成參數(shù)的函數(shù)。

10.曲線〔直線〕的參數(shù)方程均含一個(gè)參數(shù)，曲面〔平面〕

的參數(shù)方程含兩個(gè)參數(shù)。簡(jiǎn)單的參數(shù)方程消去參數(shù)后可化得

普通方程，但并不是所有的參數(shù)方程都能化成普通方程的。

（三）

1.三個(gè)向量相乘有混合積（五外工和雙重向量積如辦3其

中雙重向量積的討論可見《空間解析幾何》這類專業(yè)教材,

對(duì)于混合積在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用較多，它具有一個(gè)十分重要的

幾何意義，即當(dāng)",不共面時(shí)，伍,B㈤的絕對(duì)值等于a,

萬(wàn)為棱的平行六面體的體積。因此利用混合積可以解決求一類

體積的問(wèn)題。

2.三個(gè)以上的向量相乘的問(wèn)題總可轉(zhuǎn)化為三個(gè)向量相乘,

因此可歸結(jié)為三個(gè)向量相乘來(lái)討論。

3.混合積的坐標(biāo)表示與特征性質(zhì)

設(shè)值={4，%,?！?，3=機(jī)自力」，5=3-J,那么

。工c.vL,卜石㈤=0=g,b,1共面。

4.在學(xué)習(xí)曲面與空間曲線時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：

①空間曲面方程的定義與平面曲線方程的定義相類似，

通常將曲面看成具有某種特征性質(zhì)的空間點(diǎn)的軌跡，用方程

網(wǎng)%.)=0來(lái)表示，從集合的觀點(diǎn)來(lái)看，曲面就是所有滿足方

程尸("z)=0的點(diǎn)(Qz)的集合。

②要充分理解空間曲線一般方程的定義。這里強(qiáng)調(diào)用通

過(guò)空間曲線/的任意兩個(gè)曲面的方程來(lái)表示，即用通過(guò)空間曲

線/的兩個(gè)曲面方程聯(lián)立起來(lái)表示空間曲線。假設(shè)由方程

E(x,y,z)=0

片(x,y,z)=0和工(x,y,z)=0表示的兩個(gè)曲面，除去曲線/：［工(乂％z)=o

上的點(diǎn)是它們的公共點(diǎn)外，再也沒(méi)有別的公共點(diǎn)，那么用

片(x,y,z)=O

優(yōu)(x,y,z)=O表示它們交線的方程。但要注意，聯(lián)立任意的兩個(gè)

x2+,y2+,z2=1

—一...............—―一―{/+V+Z2=2,

從代數(shù)上看這是一個(gè)矛盾方程組，不存在解；從幾何上看，

這是兩個(gè)同心的球面，它們沒(méi)有任何的公共點(diǎn)。

第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用學(xué)習(xí)指導(dǎo)

一、知識(shí)脈絡(luò)

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：求極限、求偏導(dǎo)數(shù)、求全微分、求極值。

2.難點(diǎn)：極限存在、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)

系，復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。

三、問(wèn)題與分析

1.之"3)與‘沿勰超升八》)僅當(dāng)前者存在時(shí)，才相等。

2.二重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微間的關(guān)系

3.多元函數(shù)中極限、連續(xù)、

偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么、一階

微分形式的不變性、初等函

數(shù)的連續(xù)性、最值定理、介

值定理均與一元函數(shù)中相應(yīng)內(nèi)容和結(jié)論對(duì)應(yīng)。

4.二重極限與二次極限是本質(zhì)不同的兩個(gè)概念。

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)My)沿任意路徑趨于a，%)時(shí)，假設(shè)人”)都以同

一數(shù)值為其極限，那么這樣得到的極限為二重極限；當(dāng)X,V

先后相繼地趨于X。，兒時(shí)的極限為二次極限。

(2)兩個(gè)二次極限存在且相等，不能得出二重極限存在。

f(.=孫

例如：x‘力必+F,容易驗(yàn)證兩個(gè)二次極限

㈣吧小加吧吧/(內(nèi))=°,但是州"2不存在。

(3)二重極限存在，不能得出二次極限存在。

例如：""6…)心叫，因?yàn)樾、樵诓缓袃蓚€(gè)坐標(biāo)軸

的平面點(diǎn)集上有定義，當(dāng)P(x,y)f(o,o)時(shí)，有x+y-O。由于有界

變量與無(wú)窮小量的乘積仍是無(wú)窮小量，可得

limfix.j；)=lim(x+y)sin—sin—=0

-o樹x，」,對(duì)任意給定的"。，由于

limxsin-sin—=0__limjsin-sin-lim(x+y)sin-sin-

x%V,而Q。xV不存在，所以、f。'x》不存在。

因此先對(duì)x后對(duì)，的二次極限理鷺小㈤不存在。同理㈣理小㈤

也不存在。

5.學(xué)習(xí)二次極限應(yīng)注意以下三個(gè)問(wèn)題：

(1)兩個(gè)二次極限分別存在時(shí)不能保證它們一定相等，因

此不能任意地交換求極限的先后順序。

例："工上!^,那么鳴曾加加-i,吧吧/(內(nèi))=1。

(2)二次極限中一個(gè)存在，另一個(gè)可以不存在。

1

一+y

例：“2)—x+y,容易驗(yàn)證

曾曾川,y)=l,而吧吧市，“不存在。

(3)兩個(gè)二次極限都可以不存在。

雪吧小,y)與吧蓼/(%,“都不存在。

6.學(xué)習(xí)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)應(yīng)注意的問(wèn)題:

求多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵是搞清各個(gè)變量之間的復(fù)合

關(guān)系，常用一種“樹形圖〃的圖形直觀地給出因變量、中間

變量及自變量的關(guān)系，幫助我們記憶公式，以便進(jìn)行正確運(yùn)

例如:2=/(x,y),"=M(x,y),V=v(x,y)

畫出“樹形圖〃

dzdzdudzdv

那么dxdudxdvdx

7.學(xué)習(xí)方向?qū)?shù)應(yīng)注意的問(wèn)題

(i)M是單側(cè)極限。因?yàn)檎购覨F,所以夕一。實(shí)際上

是"°+。

(2)&是雙側(cè)極限。&-0時(shí)，心可正、可負(fù)，因此夕=0時(shí),

dfdf_7rdfdf

至與瓦不一定相等，八萬(wàn)時(shí)，及與法也不一定相等。

（3）梯度.卜"唱出是一個(gè)向量，當(dāng)/的方向與梯度方

向相同時(shí)，方向?qū)?shù)。/到達(dá)最大值lg“r（"）i。

8.最小二乘法在數(shù)學(xué)建模中有廣泛的應(yīng)用，要注意領(lǐng)會(huì)

其精神實(shí)質(zhì)。

四、解題示范

lim三叵丑

例L求，盯

4Xy

=limi-^r^L.=]im=

解：原式，孫Q+而百）,2+而94

limf（x,y）

一般地，用定義證明；益二重極限不存在有二種途徑：

（1）找到兩條特殊的途徑，得出（X。）沿這兩條途徑趨于

（%，＞0）時(shí),f（x,y）的極限值不等.

（2）找到一條特殊的途徑證明（內(nèi)）沿此途徑趨于（X。。。）時(shí)，

心》）的極限不存在。

22

例2：求二“）+（”7）

解：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Mx，y）沿kX趨于（。，。）時(shí)，那么

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p（x?）沿y=2x趨于（o,o）時(shí)，那么

故原極限不存在。

例3：求z=in(i+/+y2)當(dāng)戶1,y=2時(shí)的全微分。

8z2xdz2y

解：因&l+/+y2,dyl+/+y2

dz_13z_2

dxx=i3dyx=i3

y=2,y=2

,,Jz|x=i=-dx+-dy

故233

例4:求〃=/(x，孫，町z)的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中/具有一階連續(xù)偏

導(dǎo)數(shù)。

解：將三個(gè)中間變量按順序編為1,2,3號(hào)，畫出“樹形

圖〃

31A

x(l)》x

例5：求函數(shù)〃二孫z在點(diǎn)/A當(dāng)&「⑷的方向

u=f

的方向?qū)?shù)。

?Z

解：/=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12)

cos。,cos"acos「超

13,13,13

dududu萬(wàn)bu

-——cosa+——cospH---cosy

因?yàn)闃鋎xdydz

du，2+，10+25=電

所以正(5,1,2)13131313

22

_U-V

例6.設(shè)y="y,取〃，"作為新自變量，試變換方

d2zd2z

-rr~r--T---T+〃2Z2=0

程氏dy-

dzdzdxdzdydzdzdzdzdxdzdydzdz

角星?dudxdudydudxdydvdxdvdydvdxdy

日口仁+2+。2+a1(u2+v2)z=0

BPdu2dv2

7,設(shè)z=z(x,y)由z+Mz-J：d"=0確定，求&②。

解：由z+Mz-卜-‘4=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)：

dzze*

從而加=二？(1)

原式兩邊對(duì)丁求導(dǎo)

dzze~y

從而分z+1(2)

(1)式兩邊對(duì)丁求導(dǎo)

將⑵代入得：

第九章重積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)

一、知識(shí)脈絡(luò)

二、、重點(diǎn)和難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：求二重積分、求三重積分

2.難點(diǎn)：將二重積分化為二次積分，將三重積分化為三

次積分

三、問(wèn)題與分析

1.重積分中有4個(gè)關(guān)鍵步驟：①任意分割積分區(qū)域；②

在分割后的小區(qū)域中任意取點(diǎn)；③求和；④求極限；

2.計(jì)算重積分的關(guān)鍵是化為累次積分，根據(jù)具體題目，

要能正確選擇坐標(biāo)系以及要正確考慮積分的先后次序；

3.二重積分的幾何意義：①當(dāng)/?（-”0時(shí)，表示以

曲面z=4"）為頂，以。為底的曲頂柱體體積；②當(dāng)/'（x,y）三1時(shí),

[[da=D,,.

D的面積；

4.二重積分的物理意義：當(dāng)心，y）表示平面薄片。的面密度

時(shí)，射（內(nèi)山表示。的質(zhì)量；

5.三重積分的物理意義：當(dāng)，（羽?。┍硎究臻g立體Q的體

密度時(shí)，可&表示Q的質(zhì)量。

四、計(jì)算二重積分時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題

1.選系：當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一局部，被積分函

yX

數(shù)含有必+v或兩個(gè)積分變量之比"7時(shí)，一般可選用極坐標(biāo)

系來(lái)計(jì)算；

2.選序：中選用直角坐標(biāo)系時(shí)，要考慮積分次序，先對(duì)

哪個(gè)變量積分較好；

3.積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性的正確配合，

例如當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于X軸對(duì)稱時(shí)，應(yīng)配合被積函數(shù)關(guān)于，的奇

偶性；

4.特例：當(dāng)被積分函數(shù)的變量可別離，并且積分區(qū)域?yàn)?/p>

兩鄰邊分別與兩坐標(biāo)軸平行的矩形時(shí)，那么二重積分可化為

兩個(gè)定積分的乘積。

五、解題示范

例L改變二次積分「時(shí);"u超的積分次序。

0<%<4

0<y<2L

解:積分區(qū)域。:[Wy改寫為0：

,,y)dx=J：dxj：f(x,y)dy

故，2

例2：計(jì)算L"干'\其中。是由直線kx及拋物線x=F所

圍成的區(qū)域。

0<y<l

解：積分區(qū)域。為：卜㈠"，于是

0<x<1

注意：如果先對(duì)>后對(duì)x積分，此時(shí)。為「〈”五，于是

/心產(chǎn)”。

siny

由于〒的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，積分難以進(jìn)行，

故本積分不能按此次序。

例3：計(jì)算/=其中。為/+

0<r<1

解：用極坐標(biāo)，此時(shí)。為：乃

工^曰/=errdrdO=

于ZE?！鉏切

注：如用直角坐標(biāo)，那么由于1"'”不能用初等函數(shù)表示,

積分就難以進(jìn)一步計(jì)算。

rrrdxdydz

例4：計(jì)算!(i+x+y+z)3,其中Q為平面x=o,y=0,z=0,

%+y+z=i所圍成的四面體。

0<x<l

<0<^<1-x

解：積分區(qū)域。為\于是

f17f1-X7f1~x~ydz

原式7。q。M。(l+x+y+z)3

例5：求M",其中。是由曲面z=G^及z=/+y2所圍

成的區(qū)域。

Q<e<2K

<0<r<1

解：積分區(qū)域Q為1七z〈H\于是

p2%p1pV2—r2

原式=J。叫。叫bzdz

例6：求其中。由不等式必+黃+卜-。)%〃，/+所

確定。

0<0<2TT

<0<^<—71

解：直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，于是。為展『Seos。

=fffrcos69-r2smcpdrdcpdO

故原式Jn

二/

6o

第十章曲線積分與曲面積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)

一、內(nèi)容提要

（一）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分

1.定義：力（羽團(tuán)=哨/的M，,其中金（』,2,…㈤表示第，.個(gè)

小弧段的弧長(zhǎng)八嗯RJ。

2.性質(zhì)：具有與定積分類似的性質(zhì)。如線性性質(zhì)，對(duì)積

分路徑的可加性等。

3.計(jì)算：

（1）假設(shè)曲線〃的界數(shù)方程為尤=削,y=M）（aVK/）且雙）,

刈在卜，身上連續(xù),，（無(wú)，力在L上連續(xù),那么

JJ（X，y）ds=J：f[x（t\y（t^J\x'（t）2+y\t）2}lt

（2）假設(shè)曲線L的方程為一y（x）（a「"）且如在[a，U連續(xù),

上連續(xù),那么

（3）假設(shè)曲線比的極坐標(biāo)方程為?！阿蹋╝?”￡）,且「‘⑹在

［a,同上連續(xù),D在L上連續(xù),那么

ff（x,y）ds=『/［pcos6>,psin外J爐+"（8））四

（4）假設(shè)空間曲線L的方程為四），9），z3在［a,￡］上連續(xù)

f（x,y,z）在L上連續(xù)，那么

/（x,y,2）辦=J：/MO,M），zG）］V13（++［z3『出

（二）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

1定義.L0&y^dx+Q（"'=圖"M3a）M+Q?，〃）“』苴物理音

義是變務(wù)戶=Mx，或+Q（x方沿有向弧段L所作的功，即

2.性質(zhì)：除了與弧長(zhǎng)的曲線積分相同的性質(zhì)外，應(yīng)注意

方向性

3.計(jì)算：

（1）假設(shè)曲線乙的參數(shù)方程為-MD,y=M）,且曲線L的起

點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的/的值為a和夕，又皿）,y3在［a，例或股a］上

連續(xù)，P（X?）,。（7）在L上連續(xù)，那么

（2）假設(shè)曲線L的直角坐標(biāo)方程為尸心），且曲線L的起點(diǎn)

和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的X的值為a和。，又加）在卜㈤或上司上連續(xù)，那

么

（3）假設(shè)空間曲線L的參數(shù)方程為x=x”），廣則，z=z%且

曲線L的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的珀勺值為a和萬(wàn)，又皿），了⑺，*/）

在心，例或欣a］上連續(xù)，那么

（三）格林公式，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件

1.格林公式

設(shè)Ma）和如,y）及一階導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)域。上連續(xù)，那么有

其中分段光滑曲線L是區(qū)域。的正向邊界。

2.四個(gè)等價(jià)命題

假設(shè)MD）,。（“）在單連通區(qū)域。內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那

么在。內(nèi)以下四個(gè)命題相互等價(jià)：

（1）曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中乙是。中分

段光滑曲線；

（2）沿。中任一分段光滑閉曲線L有了（2）公+。（2上=。。

dPdQ

（3）對(duì)。內(nèi)的任一點(diǎn)GM有曲=詼。

（4）在。內(nèi)存在一函數(shù)u（x，y）使du=P（x，y）dx+Q（x，y）dy,那么有

3.兩種曲線積分之間的關(guān)系

J；P（x,y）dx+Q（x,y）dy=J/Pcosa+Qcos分）為其中，cos尸是L上任一點(diǎn)L

方向上的切向量的方向余弦。

（四）對(duì)面積的曲面積分

1.定乂：？3G,其中州（=i，2「?，"）是曲面

塊2上的第，個(gè)塊的面積人愕圓｝。

物理意義是密度，（…a的曲面塊s的質(zhì)量當(dāng)

，（x,y,z）=l時(shí)為面積。

2.計(jì)算

假設(shè)曲面E可用單值函數(shù)z=z（x,y）表示設(shè)％為在卬平面上

的投影區(qū)域，那么

假設(shè)曲面E的方程為單值函數(shù)x=M'z）假設(shè)>=心/）,設(shè)以和乙

為E在W平面和皿平面上的投影，那么曲面積分可類似地化

成重積分:

/（X，y，z）ds=jjf{x,y（x,z）,z]Jl+y：+yfdxdz

或DDxz

（五）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

j、r、jjP（x,y.z）dydz+Q（x,y,z）dxdz+7?（x,y.z）dxdy

1?:2

其中（加入表示E的第,?子塊用在卬平面上的投影，（純）"，國(guó)人含

義類似八嚅｛州的直徑｝。

物理意義：設(shè)流體密度為1,流速為

v（x,y,z）=P（x,y,z）;+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k,那么單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)有向曲

面'指定一側(cè)的流量為

2.計(jì)算

假設(shè)曲面2的方程為z=z（x,y）,那么

jjP（x,z）dydz-±jj7?[x,z（x,y^lxdy

（當(dāng)2為曲面的上、下側(cè)時(shí)分別取

正、負(fù)號(hào)）

類似地，假設(shè)曲面￡的方程為-My*）那么

!"/叩氏"土用（當(dāng)工為曲面的前、后側(cè)時(shí)分別取正、

負(fù)號(hào)）

假設(shè)曲面'的方程為y=Mx,z）那么

好（…M土產(chǎn)….（當(dāng)z為曲面的右、左側(cè)時(shí)分別取正、

負(fù)號(hào)）

3.兩類曲面積分的關(guān)系

其中cosa,cos分，cos/是有向曲面2上點(diǎn)（x,y,z）處的法向量的方向

余弦。

（六）高斯公式

設(shè)空間閉區(qū)域。由分片光滑的閉曲面2所圍成，函數(shù)

P（x,y,z）、Q（x,y,z）、M%3）在Q上是有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么

其中2中Q的整個(gè)邊界的外側(cè)。

（七）斯托克斯公式

設(shè)「為分段光滑的有向空間閉曲線，E為以「為邊界的分

片光滑的有向曲面，「的正向與E的側(cè)符合右手法那么，函數(shù)

P（x,y）、Q（x,y,z）、鳳蒼％z）在包含曲面￡在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)是

有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么有

（八）通量與散度、環(huán)量與流量

設(shè)向量場(chǎng)式（X,y,z）=P（x，y，z）7+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k通量（或流量）

①=]1而ds…//…、，，、、，，『

I,其中t心仙。伸尸伸/｝為￡上t點(diǎn)t（”2）處的單位法向重。

.一dPdQdR

titi、.d7ivcc--------1---------1-------

散度：&②Oz

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與E的形狀無(wú)關(guān)的充要條件是散度為

零。

1]k

rota=A±￡

dxdydz

旋度：PQR

環(huán)流量：向量場(chǎng)1沿有向閉線「的環(huán)流量為f「w+3y+叔z

二、根本要求

（一）理解曲線、曲面積分的定義，掌握曲線、曲面積分

的計(jì)算方法；

（二）掌握第二類曲線、曲面積分與路徑、形狀無(wú)關(guān)的條

件及其判斷方法；

（三）了解通量與環(huán)流量與旋度的概念，并掌握它們的計(jì)

算方法；

（四）掌握各類曲線、曲面積分之間的關(guān)系；

（五）掌握曲線、曲面的積分的有關(guān)應(yīng)用（求面積、求曲

線段和曲面塊的重心坐標(biāo)等）;

（六）掌握高斯公式和斯托克斯公式及其應(yīng)用。

三、注意的幾點(diǎn)

（一）第一類曲線積分的計(jì)算應(yīng)掌握弧長(zhǎng)微分的根本公式

=所有形式的計(jì)算公式均可由此推出，第一類曲面

積分也有類的公式。

（二）第二類曲線積分與積分曲線的方向有關(guān)

第二類曲面積分與曲面空間有關(guān)

（三）第一類曲面積分的計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意“一投、二代、

三換〃以及利用積分區(qū)域的對(duì)線性和被積函數(shù)的第二類曲面

積分的計(jì)算應(yīng)注意“一投、二代、三定號(hào)〃。

（四）利用第二類曲線積分求平面圖形面積是格林公式

的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用可利下面各式計(jì)算

面積：A=xdy-ydx-jxdy-ydx

（五）利用格林公式時(shí)，要注意條件：

1.曲線是閉曲線，錄不封閉那么應(yīng)添加曲線使其封閉；

2.函數(shù)P（X，＞）和。（3）在封閉曲線圍成的區(qū)域。內(nèi)應(yīng)具有一

階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

3.曲線積分的方向是正向，即逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

利用高斯公式時(shí)也應(yīng)注意類似問(wèn)題。

（六）有關(guān)重心公式

線度夕的空間曲線「的重心公式

面度為夕的空間曲面E的重心坐標(biāo)

第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)

重點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的根本概念和根本性質(zhì)，數(shù)

項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的討論，函數(shù)的暴級(jí)數(shù)

展開及其應(yīng)用

難點(diǎn)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判斷，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的討論、

一致收斂性的判斷，將函數(shù)展開為塞級(jí)數(shù)，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

的和函數(shù)，將周期函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)

（一）

00

A1無(wú)窮級(jí)數(shù)是形如［""*+的+…+…的無(wú)窮和式，簡(jiǎn)

稱級(jí)數(shù)。其中乙稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。假設(shè)（"=1,2，…

00

V'U

都是數(shù)，那么稱級(jí)數(shù)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；假設(shè)

孫口〃（%）"=1,2,…），都是定義在某個(gè)區(qū)間/上的函數(shù)，那

00

Vu（x）

么稱級(jí)數(shù)占n為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。

_0000

A2級(jí)數(shù)1"〃（1”"⑴）的前刀項(xiàng)的和：

稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）的局部和。對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

00

M>U,假設(shè)

吧s”二s（有限值），那么稱級(jí)數(shù)收斂,并稱S為級(jí)數(shù)的

0000

___00

和,記為s二，并稱級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)占“〃第〃項(xiàng)后的余

00

項(xiàng)。假設(shè)吧S”不存在，那么稱級(jí)數(shù)5""發(fā)散。對(duì)于函數(shù)項(xiàng)

00

7u（X）

級(jí)數(shù)，假設(shè)%。〃T使函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)占"n收

斂（發(fā)散），那么稱%。為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)（發(fā)散點(diǎn)）；一

切收斂（發(fā)散）點(diǎn)的集合，叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂（發(fā)散）

oo

域。在收斂域上，記s⑴=哩"%）,稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)［"〃⑴

oooo

的和函數(shù)，并稱此（x）=I""°）為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1”"⑺的余項(xiàng)。

A3數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判斷是本章的重點(diǎn)，容易證明數(shù)項(xiàng)

00

級(jí)數(shù)收斂的必要條件是級(jí)數(shù)的通項(xiàng)（滿足吧二°,

因此假設(shè)通項(xiàng)不趨于零，那么級(jí)數(shù)必發(fā)散。除了定義，以

下根本性質(zhì)也有助于我們判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。

00000000

（1）假z'設(shè)S'."”收"人斂，,那么,之ku"亦、.收"人斂，,且l>，ku,二七u;

000000

（2）假設(shè)占""與"〃均收斂，那么自亦收斂，且

000000

E（w?±VJ_SM?Sv?

n=\——n=l+n=l;

（3）在級(jí)數(shù)前面添加或去掉有限項(xiàng)后所得的級(jí)數(shù)與原級(jí)

數(shù)的斂散性相同；

（4）收斂級(jí)數(shù)的各項(xiàng)按規(guī)那么加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)仍然

收斂。按某規(guī)那么加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)發(fā)散，那么原

級(jí)數(shù)發(fā)散；

（5）柯西收斂原那么。

A4以下幾個(gè)重要的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其斂散性已經(jīng)明確：

00

⑴等比級(jí)數(shù)牛尸，當(dāng)@<1時(shí)收斂，當(dāng)止1時(shí)發(fā)散;

00]

調(diào)和級(jí)數(shù)自力

⑵發(fā)散;

00]

⑶P-級(jí)數(shù)自R"°),當(dāng)?！丛?時(shí)發(fā)散；…時(shí)收斂;

00]

(4)倒階乘級(jí)數(shù)自獲收斂.

A5函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域的討論也是本章的重點(diǎn)之一。本章我

們著重研究?jī)煞N函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：塞級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)。募級(jí)數(shù)

00

是形如自明”一3的級(jí)數(shù)。幕級(jí)數(shù)的收斂域，除端點(diǎn)外是關(guān)于

X。對(duì)稱的區(qū)間5-R，x°+R),兩端點(diǎn)處是否收斂需單獨(dú)檢驗(yàn)，其

中尺稱為收斂半徑。黑級(jí)數(shù)我們著重討論與=。的情況，即級(jí)數(shù)

0000

W因?yàn)槿?jí)數(shù)一般形式>grj可以通過(guò)變量替換

X=xf化為力,。此級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法為：先求,

R=—

那么收斂半徑夕；再檢驗(yàn)兩端點(diǎn)處是否收斂，從而收斂域

二(與一氏/+7?兀收斂的端點(diǎn)。

A6掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義及其判別方法，最常用的

00

方法是維爾斯特拉斯判別法：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴定義在數(shù)

00

>v

集D上，是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，假設(shè)對(duì)一切相。有

oooooo

那么""一致收斂。其它還有阿貝爾判別法

和狄利克雷判別法。一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，逐項(xiàng)微分或逐

項(xiàng)積分運(yùn)算后的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其和函數(shù)等于原函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和

函數(shù)的微分或積分。此性質(zhì)在求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)及函數(shù)

的嘉級(jí)數(shù)展開中有著重要應(yīng)用。

（二）

Bl正項(xiàng)級(jí)數(shù)就是通項(xiàng)的級(jí)數(shù)。它是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中比擬

簡(jiǎn)單的一類級(jí)數(shù)，其收斂的充要條件是局部和S"有上界。

8

判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)自心的斂散性，除了上述收斂的充要條件，

還有如下常用方法：

(1)比擬法：

0000

假設(shè)七而》"收斂，那么4"收斂；假設(shè)打

0000

而自孫發(fā)散，那么自""發(fā)散。

比擬法的極限形式如下：

lim旦U=/V00V00

假設(shè)…匕，(0</<+8),那么白M"與白v"同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)

散。

8

在比擬法中，正項(xiàng)級(jí)數(shù)1明的斂散性常借助于一些的

00]

正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性來(lái)判斷。如二力發(fā)散，由此推得假設(shè)

0000]

吧(。<"+8),那么?"發(fā)散。又如P-級(jí)數(shù)[露，當(dāng)…時(shí)

收斂，由此推得假設(shè)吧<+8),且”1,那么自"

收斂。

(2)比值法

<1，收斂;

limA”。卜1yM發(fā)散;

假設(shè)，當(dāng)—時(shí)，那么白〃待定?

(3)根值法

<1,收斂;

_p<>1§發(fā)散;

假設(shè)嗯必=8當(dāng).，時(shí)，那么馬””待定.

B2關(guān)于事級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,設(shè)"了與=""的收斂半徑分

別為R和乃，那么在N<min{R,"內(nèi)有

000000

￡a/"￡2x"_Z(4,±2卜"

n=0±n=0-n=0?

000000

￡a”x"、2b"x"、工"

(n=0J(n=0J—n=0,

其中Cn=a0bli+哂_1+…+anb0。

在比N<可能小得多的區(qū)間內(nèi)有

00

-=0

0000

n-0-〃=0

其中an=bocn+b]*+…+么分。

B3嘉級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)還可以進(jìn)行逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積

00

分運(yùn)算，例如在收斂域（-&&內(nèi)，對(duì)收）=牙”進(jìn)行逐項(xiàng)微分

00

Vx"T

可得新的嘉級(jí)數(shù)馬na"二s⑴；逐項(xiàng)積分可得新的嘉級(jí)數(shù)

COc

y^^x"+1=['S(x)dx

注1、在收斂域（一氏&內(nèi)對(duì)嘉級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分后所

得新的嘉級(jí)數(shù)，其收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同，但在收斂域兩

端點(diǎn)處的斂散性有可能改變。

注2、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分法是求募級(jí)數(shù)的和函數(shù)的重要

方法。根本思路是對(duì)于給定的暴級(jí)數(shù)，進(jìn)行逐項(xiàng)微分或逐

項(xiàng)積分，將其化為其和函數(shù)的事級(jí)數(shù)。以下寨級(jí)數(shù)的和函

數(shù)在計(jì)算中經(jīng)常用到：

oo1oo1ooooH+1

2九"=不2（一心"=不32（一1）"=51+乃

n=0工人；〃=01~rA?n=QLA?n=Q〃十J.?

產(chǎn)一_oo_2n-l_oo2n

V:—=exV(-1)"-1--------=sinxV(-l)n----=cosx

士加；￡(2n-l)!,￡2nl

例:求以下寨級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)：

00004H+1

(-i<x<i]；(2〕S4”+1(-1<X<1]