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文檔簡介

全等球體基礎練習證明題題目設球體$O_1,O_2$的半徑分別為$R_1,R_2$，它們的距離為$d$。證明若$d=R_1+R_2$，則兩個球體重合。證明假設$O_1,O_2$為兩個球體的球心，$P_1,P_2$為兩個球體上的任意點，$Q$為$P_1,P_2$所連直線與$O_1O_2$相交的點,$h$為$Q$點到直線$P_1P_2$的距離。由題意可得$$d=R_1+R_2.$$又因為$O_1O_2$為$P_1P_2$的垂線，所以有$$P_1Q^2-(O_1Q-R_1)^2=h^2,$$其中$P_1Q^2$可表示為$(P_1P_2-O_1O_2)^2$，化簡得$$P_1Q^2=(P_1P_2)^2-2(P_1P_2)\cdot(O_1O_2)+(O_1O_2)^2.$$代入$P_1Q^2-(O_1Q-R_1)^2=h^2$，整理得$$O_1Q\cdotR_1=-d\cdoth.$$同理，可得$$O_2Q\cdotR_2=d\cdoth.$$由兩式可推出$$O_1Q\cdotO_2Q=-d^2h^2.$$再根據(jù)余弦定理可得$$O_1O_2^2=R_1^2+R_2^2-2R_1R_2\cos{\angleQO_1O_2}.$$由于$P_1$、$P_2$是任意點，所以$\angleQO_1O_2$也是任意值，而$\cos{\angleQO_1O_2}$的范圍為$[-1,1]$，所以$O_1O_2^2$也是任意值，即$O_1O_2$有任意長度。當且僅當$O_1O_2=d$時，才有$h=0$，也即$P_1Q$與$P_2Q

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