2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第八章 8-4直線、平面平行的判定與性質(zhì)

§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)

【考試要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.

-落實主干知識

【知識梳理】

1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

判定平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直

7t>Ua'^a//a

定理線平行，那么該直線與此平面平行Z≡

a∕∕b.

一條直線與一個平面平行，則過這條直4〃Ot

性質(zhì)

線的任一平面與此平面的交線與該直?=^a∕∕h

定理

線平行aCB=b

2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

au6、

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另bus

判定

一個平面平行，那么這兩個平面aCb=P>^β∕∕a

定理

平行Z74〃a

b//a>

a∕∕β1

性質(zhì)如果兩個平行平面同時和第三個

=>a∕∕b

定理平面相交,那么它們的交線平行￡Gy=)

【常用結(jié)論】

(I)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a±β,則α〃及

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α〃夕，β∕∕γ,則a〃y.

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即。_1&,?±α,則A

(4)若α〃夕，“uct,∣J∣∣Ja∕∕β.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面.（X）

（2）若直線平面α,PGa,則過點P且平行于直線α的直線有無數(shù)條.（X）

⑶若直線“u平面a,直線bu平面.，a∕∕b,則α〃4.（X）

（4）如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.（√）

【教材改編題】

1.下列說法中，與“直線”〃平面a”等價的是（）

A.直線。上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)

B.直線a與平面a內(nèi)的所有直線平行

C.直線“與平面a內(nèi)無數(shù)條直線不相交

D.直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都不相交

答案D

解析因為a〃平面a,所以直線a與平面a無交點，因此a和平面a內(nèi)的任意一條直線都

不相交.

2.己知不重合的直線a,和平面a,則下列選項正確的是（）

A.若a〃a,?Ca,則

B.若a〃a,b//?.貝!]a〃b

C.若al∕b,bUa,則a〃a

D.若a〃b,aCa,則b〃a或6Ua

答案D

解析若a〃a,bUa,則a〃人或異面，A錯；

若a〃a,b//a,則“〃人或異面或相交，B錯；

若a〃匕，?Ca,則a〃a或aUa,C錯；

?a∕∕b,aUa,貝!|b〃a或bu%D對.

3.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFG”為截面，則四邊形EFGH的形狀為

答案平行四邊形

解析,/平面ABFE〃平面DCGH,

又平面E尸G”C平面ABFE=EF,

平面EFG”n平面DCGH=HG,

.?.E尸〃HG.同理EH〃FG,

.?.四邊形EFGH是平行四邊形.

■探究核心題型

題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

命題點1直線與平面平行的判定

例1如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABC。是平行四邊形，E,尸分別是8C,PD的中

點，求證:

(I)PB〃平面4CF；

(2)EF〃平面PAB.

證明（1）如圖，連接B。交AC于0,連接。匕

,.?四邊形ABCD是平行四邊形,

。是8。的中點,

又：尸是尸D的中點,

.?.OF//PB,

又,/OFU平面ACF,PBa平面ACF,

,PB〃平面ACF.

⑵取以的中點G,連接GF,BG.

Y尸是PO的中點,

GIF是△/?O的中位線,

GF

；底面ABC。是平行四邊形，E是8C的中點,

:,BE^AD,:,GF^BE,

：.四邊形BEFG是平行四邊形，

J.EF//BG,

又「ERI平面以8,BGU平面∕?8,

.?.EF〃平面PAB.

命題點2直線與平面平行的性質(zhì)

例2如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，四邊形ABC。是平行四邊形，M是PC的中點，在

OM上取一點G,過G和孫作平面交BO于點H.

求證：PA//GH.

證明如圖所示，連接AC交8。于點0,連接0M,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

二0是AC的中點，

又M是PC的中點，

J.PA//OM,

又OMU平面8Λ”>,HW平面BMD,

.?.B4〃平面BMD,

又平面∕?HG∩平面BMD=GH,

:,PA//GH.

【教師備選】

如圖，四邊形ABC。是矩形，網(wǎng)平面A8C。，過BC作平面BCFE交AP于點E,交DP于點

F,求證：四邊形BCFE是梯形.

證明四邊形ABCQ為矩形，

BC//AD.

YAOU平面7?O,Bat平面∕?o,

BC〃平面PAD.

；平面BCFEC平面PAD=EF,

BCU平面BCFE,

：.BC//EF.

"：AD=BC,AD≠EF,

：.BC≠EF,

四邊形BCFE是梯形.

思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無公共點).

②利用線面平行的判定定理(Hα,?Cβ,CJlb=Oj心*

③利用面面平行的性質(zhì)(α〃夕，a<≡a=>a∕/β).

④利用面面平行的性質(zhì)(α〃夕，a<tβ,a//a≠>a∕/β).

(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確

定交線.

跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，已知四邊形ABC。是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF

的中點.

(1)求證：AM〃平面BOE；

(2)若平面4。MrI平面BAE=/,平面ABMrl平面BDE=H7,試分析/與機(jī)的位置關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

⑴證明如圖，記Ae與Bo的交點為0,連接OE

因為O,M分別為AC,EF的中點，四邊形ACE尸是矩形,

所以四邊形AOEM是平行四邊形，

所以AM〃OE.

又因為OEU平面BDE,AMC平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

⑵解l∕∕m,證明如下：

由⑴知AM〃平面BDE,

又AMU平面AoM,平面AoMn平面BoE=/,

所以l//AM,

同理，AM〃平面BDE,

又AMU平面ABM,平面ABMC平面BOE=∕n,

所以機(jī)〃AM,所以/〃丸

題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例3如圖所示，在三棱柱ABC—4BιG中，過BC的平面與上底面4BlCl交于G”(GH與

BlG不重合).

⑴求證：BC〃GH；

(2)若E,F,G分別是AB,AC,4B∣的中點，求證：平面E∕?ι〃平面BCHG.

證明(1)；在三棱柱A8C—A山ICl中，

平面4BC〃平面A1B1C1,

又；平面BCHGC平面A8C=BC,

且平面BC"G∩平面4BιG=HG,

由面面平行的性質(zhì)定理得BC〃GH.

(2)VE,F分別為AB,AC的中點，

.'.EF//BC,

YERJ平面BCHG,BCU平面BCHG,

.?.EF〃平面BCHG.

又G,E分別為分刑,AB的中點,AB—4分

.?.A∣G統(tǒng)EB,

四邊形4E8G是平行四邊形，.?A↑E∕∕GB.

「AiRI平面3C7/G,GBU平而BCHG,

,AiE〃平面BCHG.

又?.?A∣E∩EF=E,AiE,EFU平面EN,

.?.平面Eah〃平面BCHG.

延伸探究在本例中，若將條件“E,F1G分別是AB,AC,AIBl的中點”變?yōu)椤包c、D,Di

An

分別是AC,ACl上的點，且平面平面ABI，試求發(fā)的值.

解如圖，連接A由交ABl于0,連接ODi.

由平面BCQ〃平面AB∣D∣,

且平面48Cm平面BClD=BcI,

平面Aι8C∣∩平面ABiDi=DlO,

所以BG〃八。，則船=黑=L

ZJ∣C∣OD

r.yA?D?DC

又v由理設(shè)tQG一而,

區(qū)—一AD.

所以高一L即反一L

【教師備選】

如圖，在三棱柱A8C-48C∣中，E,F,G分別為B∣C∣,AiBl,AB的中點.

⑴求證：平面AlGG〃平面BEa

⑵若平面AlClGCBC=H,求證：”為BC的中點.

證明(I)VE,用分別為BiG,AIBl的中點，

C.EF∕∕A?C?,

；4GU平面AIClG,ERl平面AlCIG,

.?.EF〃平面AiGG,

又F,G分別為4/1,AB的中點，

：.AiF=BG,

又AI尸〃BG,

四邊形AlGBF為平行四邊形，

則BF//A1G,

?；AiGU平面AIClG,BRl平面AlClG,

...B/〃平面AiGG,

又EFCBF=F,EF,BFU平面BEF,

，平面4GG〃平面BEF.

(2)；平面ABC〃平面AlBlC平面AIGGrI平面AlBlCl=AICι,

平面4GG與平面ABC有公共點G,則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC于點H,如圖，

則AlCi〃G”，#GH//AC,

：G為AB的中點，為BC的中點.

思維升華證明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(/_La,Ilga〃[S).

(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α〃夕,

β∕∕γ^>a∕/γ).

跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱柱A8C。一AlBlGol的底面ABCD是正方形.

⑴證明:平面48￡>〃平面CnB|；

(2)若平面ABCDn平面Cf>∣B∣=直線/,證明：BιDι∕∕L

證明(1)由題設(shè)知BE統(tǒng)。Oi,所以四邊形BBIG。是平行四邊形，所以

又BOa平面CQlB1,BQlU平面CQIB],

所以80〃平面CA8∣.

因為AIDl統(tǒng)BICI統(tǒng)BC,

所以四邊形AlBCd是平行四邊形，

所以48〃DC

又AlBQ平面CAS,OlCU平面CDIB],

所以A山〃平面CAB∣.

又因為BonAl8=B,BD,48U平面AIBD,

所以平面AIBD〃平面CD1Bi.

(2)由(1)知平面AlBO〃平面CDiBi,

又平面ABCZ)∩平面CABl=直線I,

平面ABCorl平面AlBQ=直線BD,

所以直線/〃直線BD,

在四棱柱A8CO-4∣BICIDl中，四邊形BDDIBI為平行四邊形,

所以BIZ)1〃雙),所以BlDi〃/.

題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

例4如圖，在正方體A8CD-A∣8GQι中，E為QCl的中點.

(1)求證：Bn〃平面AEC；

(2)CG上是否存在一點凡使得平面AEC〃平面8FA，若存在，請說明理由.

⑴證明如圖，連接B。交AC于O,連接EO.

因為A8CZ)—Aι8∣CQ∣為正方體，底面ABC。為正方形，

對角線AC,BO交于。點，

所以。為B。的中點，

又因為E為?？诘闹悬c，

所以在aC8Ql中，OE是aOBDi的中位線，

所以O(shè)E〃BO∣.

又因為OEU平面AEC,8。Q平面AEC,

所以BDl〃平面AEC.

(2)解當(dāng)CG上的點F為中點時，即滿足平面AEC〃平面BFA.

連接BF,DR

因為尸為CG的中點，E為ODi的中點，

所以CF^ED1,

所以四邊形CFD1E為平行四邊形,

所以D↑F∕/EC,

又因為ECU平面AEC,DIF(I平面AEC,

所以O(shè)lF〃平面AEC.

由⑴知BQl〃平面AEC,

又因為BDIr∣O∣F=O∣,BDι,GFU平面8FZ)∣,

所以平面AEC〃平面BFDi.

【教師備選】

如圖，四邊形ABCO與AoEf■均為平行四邊形，M,N,G分別是AB,AD,EF的中點.求

證：

(I)BE〃平面DMF；

(2)平面BQE〃平面MNG.

證明(1)如圖，連接AE,則AE必過。尸與GN的交點0,

連接M。，則M。為AABE的中位線，所以BE〃M0.

又BEQ平面DMF,MoU平面DMF,

所以BE〃平面DMF.

(2)因為MG分別為平行四邊形AoEF的邊A。，EF的中點，所以DE〃GN,

又DEa平面MNG,GNU平面MNG,

所以QE〃平面MNG.

又M為AB的中點，

所以VN為AABQ的中位線，所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,BZXt平面MNG,

所以8?！ㄆ矫鍹NG,

又DE,8。U平面BOE,DECBD=D,

所以平面BDE〃平面MNG.

思維升華證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題

的關(guān)鍵.面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，四邊形EFG4為空間四邊形ABC。的一個截面，若截面為平行四邊

形.

⑴求證：AB〃平面EFG/7；

(2)若A8=4,CZ)=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.

(1)證明四邊形EFGH為平行四邊形，

:,EF//HG.

平面ABQ,EF(I平面ABD,

.?.EF〃平面ABD.

又；EFU平面ABC,

平面ABO∩平面ABC=A8,

.,.EF//AB,

又YABQ平面EFG”，EFU平面EFGH,

.?.AB〃平面EFGH.

⑵解設(shè)EF=Mo<x<4),

由(1)知EF//AB,

.Cf=空=人

"CB~AB~4,

與(1)同理可得C￡>〃FG,

?FG_BF

"'^CD~~BC,

.?.四邊形EFG”的周長

L=+6-2x)~12—x.

XV0<x<4,

Λ8<L<12,

故四邊形EFG”周長的取值范圍是(8,12).

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（2022?寧波模擬）下列命題中正確的是（）

A.若α,人是兩條直線，且?！╞,那么。平行于經(jīng)過〃的任何平面

B.若直線“和平面ɑ滿足a〃a,那么。與ɑ內(nèi)的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個平面平行

D.若直線“，和平面α滿足a〃6,aUa,Met,貝!∣6〃a

答案D

解析A中，?？梢栽谶^Z?的平面內(nèi)；B中，α與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能

相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知6〃a,正確.

2.設(shè)/是直線，α,S是兩個不同的平面，則下列能判斷/〃α的是（）

A.l∕∕β,a∕∕β

B./與平面ɑ內(nèi)無數(shù)條直線平行

C.iczβ,a∕∕β

D.l±β,a±β

答案C

解析對于A,/可能在α內(nèi)，故不能判斷/〃α,故A不正確；

對于B,/可能在α內(nèi)，故不能判斷/〃α,故B不正確；

對于C,因為∕u.,a∕∕β,由面面平行的定義得/〃α,故C正確；

對于D,/可能在α內(nèi)，故不能判斷/〃α,故D不正確.

3.（2022?成都模擬）如圖，在三棱柱48C-A山IG中，AM=2MAl,BN=2NBl,過MN作一

平面分別交底面4ABC的邊BC,AC于點E,F,貝∣J（）

A.MF//EB

B.AiBi//NE

C.四邊形MNEF為平行四邊形

D.四邊形MNEF為梯形

答案D

解析由于B,E,F三點共面，F(xiàn)∈平面BEF,M隹平面BEF,故MF,EB為異面直線,

故A錯誤；

由于S,N,E三點共面，Bi∈平面8∣NE,Al陣平面BiNE,故AIB∣,NE為異面直線,故B

錯誤；

：在平行四邊形AΛ∣8由中，AM=2MAl,

BN=2NB?,

:,AM//BN,AM=BN,

故四邊形AMNB為平行四邊形，

C.MN//AB.

又MNQ平面ABC,ABU平面A8C,

...MN〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,

平面MNEFC平面ABC=EF,

J.MN∕∕EF,.'.EF//AB,

顯然在AABC中，EF≠AB,

.?EF≠MN,

四邊形MNEF為梯形，故C錯誤，D正確.

4.（2022?杭州模擬）已知P為aABC所在平面外一點，平面α〃平面A2C,且α交線段%,

PB,PC于點A',B',C',若%'：44'=2：3,則SMBC：SAASC等于（）

'a:

A.2：3B.2：5

C.4：9D.4：25

答案D

解析:平面ɑ〃平面ABC,

,,,,,

J.AC//AC,AB//AB9BC//BC9

?'?S?A'BC:SAABC=（弘':孫ι）?

又Rl':AA'=2：3,

.,.∕?,:PA=I:5,

?*?S?A,B'C:SAABC=4:25.

5.如圖，在下列四個正方體中，A,B為正方體的兩個頂點，M,N,Q為所在棱的中點，則

在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）

答案D

解析A項，由正方體性質(zhì)可知A8〃N°,NQU平面MNQ,ABC平面MΛQ,AB〃平面MNQ,

排除；

B,C項，由正方體性質(zhì)可知AB〃MQ,MQU平面MV。，A3。平面MNQ,AB〃平面MNQ,

排除；

D項，由正方體性質(zhì)易知，直線AB與平面MN。不平行，滿足題意.

6.如圖，透明塑料制成的長方體容器ABC。-A出∣GO∣內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊AB于

地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個結(jié)論，其中正確的是()

D1C1

(3)

①沒有水的部分始終呈棱柱形；

②水面EFGH所在四邊形的面積為定值：

③隨著容器傾斜程度的不同，A1C,始終與水面所在平面平行；

④當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時，AEAH為定值.

A.①②B.①④

C.②③D.③④

答案B

解析根據(jù)棱柱的特征(有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的

公共邊都互相平行)，結(jié)合題中圖形易知①正確；由題圖可知水面EFG//的邊EF的長保持不

變，但鄰邊的長卻隨傾斜程度而改變，可知②錯誤；因為4G〃AC,ACU平面4BC。，AiCl

d5FffiABCD,所以AICl〃平面A8CQ,當(dāng)平面EfGH不平行于平面ABCD時，AlCl不平行

于水面所在平面，故③錯誤；當(dāng)容器傾斜如題圖(3)所示時，因為水的體積是不變的，所以棱

柱AEH-BFG的體積V為定值，又V^SΛAEHAB,高AB不變，所以SAAE〃也不變，即AEAH

為定值，故④正確.

InUa]l//m

7.考查①②兩個命題，①l∕∕m?=>l∕∕a;②m∕∕a?l∕∕a,它們都缺少同一個條件,

補(bǔ)上這個條件就可以使其構(gòu)成真命題（其中/,也為直線，α為平面），則此條件為

答案I（Ia

解析①由線面平行的判定定理知/Qα;②由線面平行的判定定理知∕（Iα.

8.如圖所示，在正四棱柱ABC。一AIBlCQl中，E,F,G,”分別是棱CC∣,C↑D?,D?D,

Oe的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動,則M只需滿足條件

就有MN〃平面B山。A.（注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況）

答案點M在線段FH上（或點M與點”重合）

解析連接"N,FH,FM圖略），

則FH〃DDi,HN//BD,

平面FHN//平面BIBDDI,只需MWFH,

則MNU平面FHN,：.MN//平面B↑BDDi.

9.如圖，在正方體ABC。-ABlGd中，E,F,G,”分別是BC,CCl,C?D?,AAl的中點,

求證：

(I)BF〃HDi;

(2)EG〃平面BBBD;

(3)平面30F〃平面B↑D↑H.

證明如圖.

(1)取B山的中點M,

連接”M,MC1,易證四邊形4MGA是平行四邊形,

：.HDi/∕MCi.

又MGHBF,

.?BF∕∕HD↑.

⑵取Bo的中點。，連接0E,ODi,

則OE晶。C.

又9G統(tǒng);。C,

：.OEDtG.

四邊形OEGz)I是平行四邊形，

J.EG∕∕D?O.

又。IoU平面BB∣Q∣Q,EGa平面BBιO∣Q,

...EG〃平面BBQiD.

(3)由(1)知8尸〃"O∣,由題意易證BD

又BiDi,HRu平面BQiH,BF,8。U平面BOR且BQm?D∣=O∣,DBCBF=B,

.?.平面B。尸〃平面B↑D↑H.

10.如圖，在四棱錐P-ABCO中，AD∕∕BC,AB=BC=^AD,E,F,H分別為線段AO,PC,

CO的中點，AC與BE交于。點，G是線段。尸上一點.

⑴求證：4P〃平面BEF；

⑵求證：GH〃平面PAD.

證明(1)如圖，連接EC,

因為40〃BC,BC=^AD,

所以BC〃AE,BC=AE,

所以四邊形ABCE是平行四邊形,

所以。為AC的中點.

又因為F是PC的中點，

所以FO//AP,

因為FoU平面BEF,

ARI平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

（2）連接F4,0H,因為F,，分別是尸C,CC的中點,

所以FH//PD,

因為PoU平面∕?O,FHQ平面加。,

所以FH〃平面PAD.

又因為。是BE的中點，”是CO的中點，

所以O(shè)H//AD,

因為4。U平面PAD,平面PAD,

所以?！啊ㄆ矫鍼AD.

又FHeOH=H,FH,。”U平面0,尸，

所以平面OHF〃平面PAD.

又因為GHU平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

注技能提升練

11.（2022?福州檢測）如圖所示，正方體4BCD-48ιC∣A中，點E,F,G,P,。分別為棱

AB,C∣D1,DiAl,DDGC的中點，則下列敘述中正確的是（）

A.直線BQ〃平面EFG

B.直線AlB〃平面ErG

C.平面APC〃平面EFG

D.平面A∣8Q〃平面EFG

答案B

解析過點E,F,G的截面如圖所示（H,/分別為A4∣,BC的中點），連接48,BQ,AP,

PC,易知8Q與平面EFG相交于點Q,故A錯誤；

'CA?B∕∕HE,AlBa平面EFG,HEU平面EFG,

.?.AιB〃平面EFG,故B正確；

APU平面AOOiAi,"GU平面AQQ∣Aι,延長”G與∕?必相交，故C錯誤；

易知平面ABQ與平面EFG有交點。，故D錯誤.

12.如圖所示，正方體ABCD-AIBlCIQl的棱長為3,M,N分別是棱A∣3,Blel的中點，P

是棱AD上的一點,AP=T,過P,M,N的平面交上底面于P。,Q在C。上，則PQ=.

答案2小

解析因為平面ABCD〃平面45GA,平面ABCz）∩平面PQMW=PQ,

平面A,BlCιD∣∩平面PQNM=MN,

所以MN//PQ,

又因為MN〃AC,所以PQ〃Ac

又因為AP=I,

6符、疼_理_理_2

m^AD~CD~AC~3,

99

所以PQ=^^AC=z^×2>y∣2=2-?∣2.

13.在正四棱柱ABC。-4B∣CQ∣中，。為底面ABC。的中心，P是。。的中點，設(shè)。是

Cel上的點，則點。滿足條件時，有平面G8Q〃平面∕?0.

答案。為CG的中點

解析如圖所示，設(shè)Q為CG的中點，

因為P為ODl的中點，

所以QB〃/?.連接DB,

因為P,。分別是。5,OB的中點，所以DIB〃尸0,

又Qi困平面公。，QBa平面∕?0,PoU平面必。，∕?U平面BA0,

所以。歸〃平面∕?0,QB〃平面∕?0,

又O∣8C08=B,D?B,QBU平面O∣BQ,

所以平面OlBQ〃平面PAO.

故。為CG的中點時，有平面OIBQ〃平面鞏0.

14.在三棱錐產(chǎn)一ABC中，PB=6,AC=3,G為的重心，過點G作三棱錐的一個截

面，使截面平行于PB和AC,則截面的周長為.

答案8

解析如圖，過點G作E尸〃AC,分別交％,PC于點、E,F,過點、E作EN〃PB交AB于點、

N