2018-2023年高考數(shù)學真題匯編：函數(shù)概念與性質（附答案解析）

2018-2023年高考數(shù)學真題知識點分類匯編：函數(shù)概念與性質

選擇題（共14小題）

1.（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

A.y=sinxB.y=cosxC.y=x3D.y=2x

2.（2022?天津）函數(shù)/（x）=Ix"lI的圖像為（）

3.（2022?甲卷）函數(shù)/（x）=（3x-3-jc）CoSX在區(qū)間［-2,二一］的圖像大致為（）

22

第1頁（共32頁）

4.（2022?甲卷）函數(shù)y=（3、-3、）CoSX在區(qū)間匚，，匚］的圖像大致為（）

22

第2頁（共32頁）

5.(2022?乙卷)已知函數(shù)/(x),g(X)的定義域均為H,且/(x)+g(2-χ)=5,g(x)

22

-/(%-4)=7.若＞=g(X)的圖像關于直線x=2對稱，g(2)=4,則E/(%)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

6.(2022?乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)

第3頁(共32頁)

2xcosx

Jry?D.v=2≡inx

x2+lx2÷l

7.（2022?新高考∏）已知函數(shù)/（x）的定義域為R,且/（x+y）tf（x-y）=∕（x）∕（y）,

22

/(1)=1,則￡/(%)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

8.(2022?上海)下列函數(shù)定義域為R的是（)

1_1_

A.y=χ2B.y=xiC.y=χ3D.尸χ2

9.(2021?全國)函數(shù)y=log2（1-X2）的單調遞減區(qū)間是（)

A.(-∞,0)B.(0,+8)C.(-1,0)D.(0,1)

10.（2021?全國）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）

A.y=lg(X-I)+lg(x+l)B.y=bitυc+cosx∣

1

C.y=χ3D.y—(x+2)2+(2x-1)2

InIXI

11.(2021?天津)函數(shù)/(x)的圖象大致為（）

X2+2

12.（2021?北京）設函數(shù)/（x）的定義域為［0,1］,則”/（X）在區(qū)間［0,1］上單調遞增”是

V（X）在區(qū)間［0,1］上的最大值為/（1）”的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

13.（2021?新高考11）已知函數(shù)/?）的定義域為R（/（x）不恒為0）,/（x+2）為偶函數(shù),

/（2x+l）為奇函數(shù)，則（）

第4頁（共32頁）

A./(-上)=OB./(-1)=0C./(2)=0D./(4)=0

14.(2021?上海)以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)()

A.y=-3xB.y-x,C.>>=loguD.y=3*

二.填空題(共10小題)

15.(2022?全國)設函數(shù)f(x)=df(α>0,且"Wl)是增函數(shù)，若，，？=W-,

f(2)-f(-2)10

貝!|a=.

16.(2022?全國)設/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，g(X)是定義域為R的偶函數(shù).若/

(x)+g(x)=2x,則g(2)=.

17.(2022?上海)設函數(shù)/(x)滿足f(χ)=f(二:)對任意Xe[0,+8)都成立，其值域

1+x

是為，已知對任何滿足上述條件的/G)都有blr=∕(x),OWX<〃}=4/?,則。的取值范

圍為.

18.(2022?乙卷)若/(x)=∕"∣α+-l-∣+6是奇函數(shù)，貝!)α=,b=.

l-χ

19.(2022?北京)設函數(shù)/(x)=|''若/(x)存在最小值，則α的一個

(χ-2)z,x≥a.

取值為;a的最大值為.

20.(2022?北京)函數(shù)/(x)=工+√TW的定義域是.

X

21.(2021?全國)已知函數(shù)/(x)=ax3+bx+csinx-2,且/(-2)=8,則/(2)=.

22.(2021?全國)函數(shù)f(x)=正近不的定義域是.

23.(2021?新高考II)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)/(x):.

,

?(XlX2)=∕(xι)/(%2);②當Xe(0,+8)時，，(x)>0；(3)f(X)是奇函

數(shù).

24.(2021?浙江)己知α∈R,函數(shù)/(x)=,X>2,若f(f(氓))=3,貝IJa

Iχ-3I+a,x≤2.

三.解答題(共6小題)

25.(2021?上海)已知Xi,X2ER，若對任意的X2-XIWS,f(x2)~f(??)∈5,則有定義：f

(x)是在S關聯(lián)的.

第5頁(共32頁)

(1)判斷和證明/(x)=Ix-1是否在［0,+8)關聯(lián)？是否有［0,1］關聯(lián)？

(2)若/(x)是在｛3｝關聯(lián)的，/(x)在x∈［0,3)時，/(x)=x2-2x,求解不等式：2

Wy(X)≤3.

(3)證明：/(x)是｛1｝關聯(lián)的，且是在［0,+8)關聯(lián)的，當且僅當uf(x)在［1,2］

是關聯(lián)的

26.(2021?甲卷)已知函數(shù)F(X)=∣χ-2∣,g(x)=∣2x+3∣-∣2χ-1|.

(1)畫出y=/(%)和y=g(x)的圖像；

(1)若α=l,求函數(shù)的定義域；

(2)若。#0,若/(ax)=。有2個不同實數(shù)根，求。的取值范圍；

(3)是否存在實數(shù)α,使得函數(shù)/(x)在定義域內具有單調性？若存在，求出“的取值

范圍.

2

28.(2020?全國)設函數(shù)/(x)=√-X+5X+6?

(1)求/(x)的定義域；

(2)求/(x)的單調區(qū)間：

(3)求/G)在區(qū)間［1,5］的最大值和最小值.

29.(2020?上海)已知非空集合NUR,函數(shù)y=∕(x)的定義域為。，若對任意∕∈/且x∈D

不等式/(x)W∕(x+f)恒成立，則稱函數(shù)/(x)具有/性質.

(1)當/=｛-1｝,判斷/(X)=-x、g(x)=2X是否具有A性質：

第6頁(共32頁)

(2)當Z=(O,1),/(x)=x+工，Λ-∈[α,+8),若f(χ)具有4性質，求α的取值范

X

圍；

(3)當∕={-2,m},w∈Z,若。為整數(shù)集且具有/性質的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所

有符合條件的機的值.

30.(2018?全國)xi、X2∈R./(0)≠0,且/(2XI)+/'(2x2)=/(x∣+x2)?∕(XLX2).

(1)求/(0)；

(2)求證/(x)為偶函數(shù)；

(3)若/(Tr)=0,求證/(x)為周期函數(shù).

第7頁(共32頁)

2018-2023年高考數(shù)學真題知識點分類匯編：函數(shù)概念與性質

參考答案與試題解析

一.選擇題（共14小題）

1.（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

A.y=sinxB.y=cosxC.y-xiD.y-2x

【考點】函數(shù)奇偶性的性質與判斷.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學抽象.

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義逐項分析判斷即可.

【解答】解：對于4,由正弦函數(shù)的性質可知，y=sinx為奇函數(shù)；

對于8,由正弦函數(shù)的性質可知，y=cosx為偶函數(shù)；

對于C,由哥函數(shù)的性質可知，y=χ3為奇函數(shù)；

對于。，由指數(shù)函數(shù)的性質可知，y=2'為非奇非偶函數(shù).

故選：B.

【點評】本題考查常見函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題.

2.（2022?天津）函數(shù)/（x）=Ix"lI的圖像為（）

第8頁（共32頁）

【專題】對應思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學抽象.

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和特殊點，即可判斷.

【解答】解：函數(shù)/(x)=Iχ2^^lI的定義域為(-8,O)U(0,+8),

X

.*./(-%)=IX-II=-f(X),

-X

.?.該函數(shù)為奇函數(shù)，故/錯誤；

x>0時，Xf0,f(?)-*+∞;X=1,f(?)=0；χf+8,f(χ)-→?+∞,

故BC錯誤，。正確.

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)圖象，屬于基礎題.

3.(2022?甲卷)函數(shù)/(x)=(3r-3'υCoSX在區(qū)間［-工，工］的圖像大致為()

22

第9頁(共32頁)

【專題】數(shù)形結合；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結合函數(shù)的特殊值判斷點的位置，推出選項即可.

【解答】解：/(x)=(3x-3-jc)COST,

可知/(-x)=(3x-3v)cos(-x)--(3v-3λ')CoSX=-f(x),

函數(shù)是奇函數(shù)，排除8。；

當x=l時，/(?)=(3-3l)Cosl>0,排除C.

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題.

4.(2022?甲卷)函數(shù)y=(3x-3^jc)COSX在區(qū)間［-5,等］的圖像大致為()

第10頁(共32頁)

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；邏輯推理；數(shù)學運算.

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結合函數(shù)的特殊值判斷點的位置，推出選項即可.

【解答】解：/(x)=(3x-3'x)CO&X,

可知/(-x)=(3x-3x)cos(-x)=-(3x-3x)COSX=-f(x),

函數(shù)是奇函數(shù)，排除BD；

當X=I時，/(1)=(3-3l)cosl>0,排除C.

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題.

第11頁(共32頁)

5.(2022?乙卷)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為心且/(x)+g(2-x)=5,g(x)

22

-∕(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，g(2)=4,則￡/(4)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【考點】抽象函數(shù)及其應用；函數(shù)的值.

【專題】計算題：函數(shù)思想：綜合法：函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】由y=g(X)的對稱性可得/(x)為偶函數(shù)，進而得到/(x)關于點(-1,-1)

中心對稱，所以/(1)=/(-1)=-1,再結合/(x)的周期為4,即可求出結果.

【解答】解：；y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，則g(2-x)=g(2+x),

'：f(x)+gC2-χ)=5,：.f(-χ)+g(2+x)=5,：.f(-χ)=fYx),故f(x)為偶

函數(shù)，

Vg(2)=4,/(0)+g(2)=5,得/(0)=1.由g(X)-/(χ-4)=7,得g(2-%)

=/(-χ-2)+7,代入/(x)+g(2-x)=5,得/(x)+f(-χ-2)=-2,故/(x)

關于點(-1,-1)中心對稱，

：.f(1)=/(-1)=-1,由f(x)-x-2)=-2,-χ)=f(x),得/(x)V

(x+2)—~29

Λ∕(x+2)V(Λ-+4)=-2,故/(x+4)=/(x),/(x)周期為4,

由/(0)+/(2)=-2,得/(2)=-3,又/(3)=/(-1)=/(1)=-1，

22

所以￡/(%)=6∕,(1)+6/,(2)+1(3)+5∕'(4)=IlX(-1)+5×l+6×(-3)=-

k=l

24,

故選：D.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題.

6.(2022?乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)

是()

第12頁(共32頁)

【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結合法；函數(shù)的性質及應用；直觀想象.

【分析】首先分析函數(shù)奇偶性，然后觀察函數(shù)圖像在(1,3)存在零點，可排除8選項,

再利用基本不等式可判斷Co選項錯誤.

【解答】解：首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù)，

其次觀察函數(shù)在(1,3)存在零點，

3_

而對于8選項：令y=0,即與==0,解得x=0,或χ=l或χ=-l,故排除8選項；

χ2+l

C選項：當x>0時，2x>0,x2+l>0,因為COSXe[-1,1],

故警怒《字-=-?r,且當χ>0時?，χ4Λ>2.故上「41，

χ2+lχ2+lXJXXJ

XX

而觀察圖像可知當x>0時，/(x)max^?9故C選項錯誤.

。選項，y=生粵?中，當x=3時，y=2sιn3>o,故排除。選項.

x2÷lio

故選：A.

【點評】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎題.

7.(2022?新高考∏)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+y)+f(x-y)=/(x)f(y),

22

/(D=1,則E/(%)=()

k=l

A.-3B.-2C.OD.1

【考點】抽象函數(shù)及其應用.

第13頁(共32頁)

【專題】對應思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】先根據(jù)題意求得函數(shù)/(X)的周期為6,再計算一個周期內的每個函數(shù)值，由此

可得解.

【解答】解：令y=l,則/(x+l)4∕(x-1)=f(x),即/(x+l)=∕(x)-/(χ-l),

Λ∕(x+2)=∕(x+l)-/(?),/(x+3)=∕(x+2)-/(x+l),

Λ∕(x+3)=-∕(x),則/(x+6)=-∕(x+3)=∕(x),

：.f(x)的周期為6,

令X=1,y=0得/(1)4∕(l)=/(1)×f(0),解得/(0)=2,

又/(x+l)=f(?)-fCx-1),

.?.∕(2)=/(1)-/(0)=-1,

/(3)=/(2)-/⑴=-2,

f(4)=/(3)-/(2)=-1,

/(5)=/(4)-/(3)=1,

f(6)=∕Y5)-f(4)=2,

6

???￡f(k)=l-1-2-1+1+2=0,

k=l

22

???￡f(k)=3×0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=∕(1)￥(2)4/(3)”(4)

k=l

=-3.

故選：A.

【點評】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)周期性的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

8.（2022?上海）下列函數(shù)定義域為R的是（）

A.f2B.y=xc.y=χ3D.尸χ2

【考點】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】函數(shù)思想；轉化法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】化分數(shù)指數(shù)基為根式，分別求出四個選項中函數(shù)的定義域得答案.

【解答】解:定義域為{x∣x>0},

第14頁（共32頁）

y=χT=L,定義域為｛X∣X≠O｝,

X

J_

y=x§=%，定義域為R，

?

y=x2=Vx,定義域為｛小2。｝.

1

???定義域為R的是V=X'.

Jr?

故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎題.

9.(2021?全國)函數(shù)y=log2(l-x2)的單調遞減區(qū)間是()

A.(-8,0)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)

【考點】復合函數(shù)的單調性.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

2

【分析】函數(shù)V=log2(1-X)的單調遞減區(qū)間是函數(shù)，=1-χ2,(_l<χ<l),的減區(qū)

間，然后結合二次函數(shù)的單調性求解即可.

【解答】解：設f=l-χ2,(-l<x<l),

則y=log2f,

由y=k>g2f為增函數(shù),

即函數(shù)V=log2(1-X2)的單調遞減區(qū)間是函數(shù)f=l-X2,(-l<x<l),的減區(qū)間，

又函數(shù)f=l-χ2,(-IVxVl),的減區(qū)間為(0,1),

即函數(shù)y=k)g2(I-X2)的單調遞減區(qū)間是(0,1),

故選：D.

【點評】本題考查了復合函數(shù)的單調性，重點考查了對數(shù)函數(shù)的單調性，屬基礎題.

10.(2021?全國)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.y=lg(X-I)+lg(x+l)B.y=∣sinx+cosx∣

1

C.y=X丁D.y=(x+2)2+(2χ-I)2

【考點】函數(shù)奇偶性的性質與判斷.

【專題】轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】分別運用函數(shù)的奇偶性的定義，對各個選項意義判斷可得結論.

【解答】解：對于A,y—lg(X-I)+lg(x+l)的定義域為(1,+o°)>不關于原點對稱,

故Z不正確；

第15頁(共32頁)

對于8,y=f(?)=ISilU?+cosx∣的定義域為R,但/(-x)≠/(x),故8不正確；

1

對于C,y=fCx)=XT的定義域為R，/(-x)=-f(χ),/(x)為奇函數(shù)，故C不正

確：

對于Z),y=f(x)=(x+2)2+(2x-1)2=5x2+5,滿足/(-x)=f(X),故y=/(x)

為偶函數(shù)，故。正確.

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和運用，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題.

11.(2021?天津)函數(shù)/(x)=InlXL的圖象大致為()

X2+2

【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】計算題；數(shù)形結合；方程思想；轉化思想；綜合法：函數(shù)的性質及應用：數(shù)學

抽象.

【分析】根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，排除/C,再分析(0，1)上函數(shù)值的符號，

排除。，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/(x)=嗎|XL其定義域為{x∣x≠0},

X2+2

有/(-X)=.5IXL=/=),是偶函數(shù)，排除ZC,

X2+2

在區(qū)間(0,1)上，ln?x?=lnx<0,必有f(x)<0,排除。，

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的判斷，屬于基礎題.

12.(2021?北京)設函數(shù)/(x)的定義域為［0,1］,則“/(x)在區(qū)間［0,1］上單調遞增”是

V(X)在區(qū)間［0,1］上的最大值為/(1)”的()

第16頁(共32頁)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；充分條件與必要條件.

【專題】證明題；對應思想；試驗法；函數(shù)的性質及應用；簡易邏輯；邏輯推理.

【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義，判斷命題的真假性即可.

【解答】解：若函數(shù)/?)在［0,1］上單調遞增，

則函數(shù)/(x)在［0,1］上的最大值為/(1),

若/(x)=(?-?)2,則函數(shù)/(x)在［0,1］上的最大值為/(1),

3

但函數(shù)/(x)在［0,1］上不單調，

故選：A.

【點評】本題考查了充分、必要條件的判斷，屬于基礎題.

13.(2021?新高考∏)已知函數(shù)f(x)的定義域為R(f(x)不恒為0),/(x+2)為偶函數(shù)，

/(2x+l)為奇函數(shù)，則()

A./(-∕)=0B./(-1)=0C./(2)=0D.f(4)=0

【考點】奇偶性與單調性的綜合.

【專題】計算題：轉化思想：綜合法；函數(shù)的性質及應用；邏輯推理.

【分析】根據(jù)/(x+2)為偶函數(shù)，可得/(χ+4)=/(-X),/(2x+l)為奇函數(shù)，可得/

C-2x+l)=-/(2x+l),即可判斷選項.

【解答】解：?.?函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，

.?√'(2+x)=∕(2-χ),

V∕(2x+1)為奇函數(shù)，

：.f(1-2x)=-∕<2x+l),

用X替換上式中2x+l,得/(2-x)=-/(x),

：.f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=∕(x),即/(x)=∕(x+4),

故函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

?.?∕(2x+l)為奇函數(shù)，

：.f(1-2x)=-f(2x+l),即/(2x+l)?(-2x+l)=0,

用X替換上式中2升1,可得，/(x)V<2-χ)=0,

Λ/(x)關于(1,0)對稱，

第17頁(共32頁)

又?./⑴=0,

：.f(-1)=-f(2+1)=-/(1)=0.

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性的綜合應用，屬于中檔題.

14.(2021?上海)以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)()

A.y--3xB.y=xiC.y=logκD.y-3x

【考點】函數(shù)奇偶性的性質與判斷；函數(shù)單調性的性質與判斷.

【專題】轉化思想；定義法；函數(shù)的性質及應用；邏輯推理.

【分析】結合基本初等函數(shù)的單調性及奇偶性分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：y=-3x在R上單調遞減且為奇函數(shù)，/符合題意；

因為y=χ3在R上是增函數(shù)，8不符合題意；

y=log3X,V=3?v為非奇非偶函數(shù)，C不符合題意；

故選：A.

【點評】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調性及奇偶性的判斷，屬于基礎題.

二.填空題(共10小題)

15.(2022?全國)設函數(shù)∕G)=ax(a>0,且α≠l)是增函數(shù)，若上(.Lt工工二L1.=W_

f(2)-f(-2)10

貝!!a=3.

【考點】函數(shù)單調性的性質與判斷.

【專題】計算題；對應思想；定義法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】先利用指數(shù)基的運算化簡求出。，再利用指數(shù)函數(shù)的單調性求解即可.

【解答】解：：函數(shù)/(x)-ax(α>0,且αWl),

?f(l)-f(-l)-a~a?_1_3

,

"f(2)-f(-2)a2,a-2a+a-lΞθ

.?.3Q2-10α+3=0,

Λa=3或a=—,

3

：函數(shù)/(x)-ax(α>0,且α≠l)是增函數(shù)，

??4=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調性和指數(shù)幕的運算，屬于基礎題.

第18頁(共32頁)

16.(2022?全國)設/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，g(x)是定義域為R的偶函數(shù).若/

(x)+g(%)=?,則g(2)=_工_.

-8-

【考點】函數(shù)奇偶性的性質與判斷.

【專題】轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】由函數(shù)的奇偶性的定義和指數(shù)的運算性質，解方程可得所求值.

【解答】解：由/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，可得-2)=-/(2)；

由g(x)是定義域為R的偶函數(shù)，可得g(-2)=g(2).

若f(x)+g(x)=2x,則/(2)+g(2)=4,①

又/(-2)+g(-2)=-/⑵+g(2)=1.②

4

①+②可得2g(2)=21,

4

即有g(2)二號

故答案為：XL.

8

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和運用，體現(xiàn)了方程思想和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，

屬于基礎題.

17.(2022?上海)設函數(shù)f(x)滿足f(χ)=f(--)對任意.x∈[0,+8)都成立，其值域

1+x

是囹,已知對任何滿足上述條件的/G)都有{W=∕(x),0≤x4}="則。的取值范

圍為_?告1,-KO

【考點】函數(shù)的值域；函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】方案型：函數(shù)思想；轉化思想：綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】由題可得{y∣y=f(X),04χ＜痔L}=Af,再根據(jù)a＜痔L時不合題

意，進而即得；或等價于一恒成立，即工-(l+a)＜χ恒成立，進而即得.

l+x÷aa

【解答】解：法一：令X」」，解得XNi二L(負值舍去)，

X+12

當XlCLO,時，χ2G十r∈[1」，1]，

當XlE啤L，Q)時，χ2=7?E(0,)，

/???乙

第19頁(共32頁)

且當X代號，Q)時，總存在、24一。，年)，使得∕g=∕g,

故{y∣y=f(χ),0<x<近21}=Af'

若aV"、L，易得f￡{yIy=f(χ),O≤x≤a)>

所以a≥^zL

即實數(shù)α的取值范圍為［痔L,κ≈o):

法二：原命題等價于任意a>0,f(x+a)=f(——)，

1+x+a

所以不」_<a=x>工-(ι+a)恒成立，

1+x+aa

即工_(l+a)40恒成立，又α>0,

a

所以a瀉ZL

即實數(shù)。的取值范圍為戶告L,-p??).

故答案為：［返二L,-KO).

【點評】本題考查了抽象函數(shù)的性質的應用，同時考查了集合的應用，屬于中檔題.

18.(2022?乙卷)若f(.x)=0|a+二一|+6是奇函數(shù)，則α=-■1,b=ln2

I-X2-

【考點】函數(shù)奇偶性的性質與判斷.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】顯然。#0,根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得，且XW：1△，所以1+工=7,

aa

進而求出〃的值，代入函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的性質/(O)=O即可求出b的值.

【解答】解：/(x)=ln?a+-L-?+b,

I-X

若。=0,則函數(shù)/(%)的定義域為不關于原點對稱，不具有奇偶性，

Λα≠O,

由函數(shù)解析式有意義可得，XWl且a+'#。，

l-χ

Λx≠l且x#Ia,

a

???函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，???定義域必須關于原點對稱，

第20頁(共32頁)

I+——-1,解得a--―,

a2

.?.∕'(x)=歷|,l+x、∣+b,定義域為{x∣XWl且XW-1},

2(l-χ)

由/(O)=0得，ln^+b—0,

J.h=ln2,

故答案為：-工；Inl.

2

【點評】本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質，屬于中檔題.

，,√*?

—aX+1Xa

19.(2022?北京)設函數(shù)[(x)=]''若/(x)存在最小值，則α的一個

(χ-2)”,x≥a.

取值為0;a的最大值為1.

【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；分段函數(shù)的應用.

【專題】數(shù)形結合；分析法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】對函數(shù)/(x)分段函數(shù)的分界點進行分類討論，研究其不同圖像時函數(shù)取最小

值時。的范圍即可.

【解答】解：當“<0時，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，不滿足題意，

當。=0時.，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，滿足題意;

當0<α<2時，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿足-/+I2。，解

得：OVaWl;

第21頁(共32頁)

當α=2時，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，不滿足題意,

當α>2時，函數(shù)/(x)圖像如圖所示，要使得函數(shù)/(x)有最小值，需(4-2)2w-

/+1,無解，故不滿足題意；

綜上所述：α的取值范圍是[0,1],

故答案為：0,1.

【點評】本題主要考查利用分段函數(shù)圖像確定函數(shù)最小值是分界點的討論，屬于較難題

目.

20.(2022?北京)函數(shù)/(x)=∕+√TN的定義域是(-8,0)IJ(0,”.

X

【考點】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】由分母不為0,被開方數(shù)非負列不等式組，即可求解函數(shù)的定義域.

【解答】解：要使函數(shù)/(x)=1+√TG有意義，

X

則(x。?，解得XWI且XW0,

ll-χ>0

所以函數(shù)的定義域為(-8,O)U(0,1].

第22頁(共32頁)

故答案為：(-8,O)U(0,1].

【點評】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題.

21.(2021?全國)已知函數(shù)/(x)=OX3+6χ+csi∏x-2,且/(-2)=8,則/(2)=

12.

【考點】函數(shù)奇偶性的性質與判斷.

【專題】整體思想：綜合法：函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】由已知得/(-x)(X)=-axi-bx-CSinX-2+ax3+hx+csinx-2=-4,結合

已知/(-2)=8可求.

【解答】解：因為(X)=αx3+bx+csinx-2,

所以/(-x)+f(x)=-axi-6X-CSinX-2+axi+bx+csinx-2=-4,

因為/(-2)=8,

所以/(2)=-12.

故答案為：-12.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應用，屬于基礎題.

22.(2021?全國)函數(shù)/(x)=亞或不的定義域是(-8,1].

【考點】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】計算題；對應思想；定義法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使函數(shù)解析式有意義的不等式，求出解集即可.

【解答】解：Y函數(shù)/(x)=√2x+1-4x>

Λ2?v+1-4?v>0,；.(2jc)2-2?2Λ'≤0,

Λ0<2Λ≤2,ΛX≤1,

函數(shù)/(χ)=12^+1-4x的定義域是(-8,1],

故答案為：(-8,1].

【點評】本題考查了求函數(shù)定義域的應用問題，解題的關鍵是列出使函數(shù)解析式有意義

的不等式，是基礎題.

23.(2021?新高考∏)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)/(x):/(x)=χ2.

①/√X1X2)=/(XI)/(X2)；②當Xe(0,+8)時，r(χ)>0;③r(X)是奇函

數(shù).

第23頁(共32頁)

【考點】函數(shù)奇偶性的性質與判斷.

【專題】計算題：函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運

算.

【分析】可看出/(x)=X2滿足這三個性質.

【解答】解：/(X)=X20?,f(χχ)=(χ.χ)2=χ2χ2=f(χ)f(χ);當Xe

?12乙L21，2乙L1乙2

(O,+∞)時，f(X)=2x>0;f(x)=2x是奇函數(shù).

故答案為：/(x)=x2.

a

另解：塞函數(shù)/(x)=X(α>0)即可滿足條件①和②；偶函數(shù)即可滿足條件③，

綜上所述，取/(x)=X2即可.

【點評】本題考查了事函數(shù)的求導公式，奇函數(shù)的定義及判斷，考查了計算能力，屬于

基礎題.

24.(2021?浙江)已知a€R,函數(shù)/(x)=，*"明x>2>若/(/(&))=3,則0

Iχ-3∣+a,x≤2.

=2?

【考點】函數(shù)的值；分段函數(shù)的應用.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質及應用；數(shù)學運算.

【分析】利用分段函數(shù)的解析式，先求出的值，進而求出/(/(五)),列出方

程，求解。的值即可.

【解答】解：因為函數(shù)/(χ)=IX-4，X-2,

Iχ-3I+a,x≤2

所以￡(右)=(遍)2-4=2，

則/(f(V^))=/(2)=∣2-3∣+α=3,解得α=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了函數(shù)的求值問題，主要考查的是分段函數(shù)求值，解題的關鍵是根據(jù)

自變量的值確定使用哪一段解析式求解，屬于基礎題.

三.解答題(共6小題)

25.(2021?上海)已知X”X2∈R.若對任意的X2-XiCS,/(x2)一/(制)∈5,則有定義：/

(X)是在S關聯(lián)的.

(1)判斷和證明［(x)=2χ-l是否在［0,+8)關聯(lián)？是否有［0,1］關聯(lián)？

第24頁(共32頁)

(2)若/(x)是在｛3｝關聯(lián)的，f(x)在x∈［0,3)時，f(x)=χ2-2x,求解不等式：2

≤/(x)≤3.

(3)證明：/(x)是｛1｝關聯(lián)的，且是在［0,+8)關聯(lián)的，當且僅當“/(x)在［1,2］

是關聯(lián)的

【考點】函數(shù)恒成立問題.

【專題】方程思想：綜合法：函數(shù)的性質及應用：不等式的解法及應用；邏輯推理；數(shù)

學運算.

【分析】(1)任取XI-X26［0,+o°),證明/(Xl)-/(X2)∈［0<+°o)>證明f(x)—2x

-1在［0,+8)關聯(lián)，取χι=l,X2=O,證明/(x)在［0,1］不關聯(lián)；(2)先得到/(x+3)

-./-(X)=3,再得到x6［0,3)和x∈［3,6)的解析式，進而得到答案；(3)先證明/(x)

在｛1｝是關聯(lián)的力(X)是在｛1｝關聯(lián)的，且是在［0,+8)關聯(lián)的，再證明/(χ)在［1,2］

是關聯(lián)的=∕(x)是在｛1｝關聯(lián)的，且是在［0,+8)關聯(lián)的.

【解答】解：(l)∕(x)在［0,+8)關聯(lián)，在［0,1］不關聯(lián)，

任取Xl-X2∈［0,+∞).則/(XI)-f(X2)=2(XI-X2)∈［0,+∞),：.f(x)在［0,+

8)關聯(lián)；

取XI=LX2=0,則Xl-X2=16［0,1］,

,.?∕(xi)-/(X2)=2(XI-X2)=2?［0,1］,：.f(x)在［0,1］不關聯(lián)；

(2)?.∕(x)在｛3｝關聯(lián)，,對于任意XI-X2=3,都有f(xι)-/(X2)=3,

二對任意X,都有/(x+3)-/(x)=3,

由xe［O,3)時，f(x)=χ2-2x,得/(x)在Xa0,3)的值域為［-1,3),

Λ∕(x)在,隹［3,6)的值域為［2,6),

Λ2≤∕(x)W3僅在x∈［0,3)或x∈［3,6)上有解,

x∈［0,3)時，/(x)=X2-2X,令2W∕-2XW3,解得我+lWx<3,

尤［3,6)時，/(x)=∕(χ-3)+3=χ2-8x+18,令2Wx2-8x+18W3,解得3WxW5,

.?.不等式2W∕(x)W3的解為［√ξ+L5］,

(3)證明：①先證明：/(x)是在｛1｝關聯(lián)的，且是在［0,+8)關聯(lián)的力(X)在口，2］

是關聯(lián)的，

由已知條件可得，f(x+l)=f(x)+1,

：.f(X+〃)=f(x)+n,∕7∈Z,

第25頁(共32頁)

XV∕(x)是在［O,+8)關聯(lián)的,

，任意％2>制，f(X2)>/(XI)成立，

若1≤T2-Xl≤2,

ΛXI+1≤X2≤XI÷2,

Λ/(xι÷l)≤/(%2)≤/(xι+2),即f(XI)+1≤∕(X2)≤/(XI)+2,

Λ1≤/(%2)-/G1)≤2,

???∕(x)是［1,2］關聯(lián)，

②再證明：/(x)在［1,2］是關聯(lián)的R(x)是在｛1｝關聯(lián)的，且是在［0,+8)關聯(lián)的，

■：f(x)在［1,2］是關聯(lián)的，二任取XI-X2日1，2］,都有f(陰)-/Q2)∈［1,2］成立,

即滿足l≤xι-X2<2,都有1≤∕(XI)-f(X2)≤2,

下面用反證法證明/(x+l)-f(x)=1,

若f(x+l)-f(X)>1,則/(x+2)-f(x)=f(x+2)-f(x+l)+f(x+l)-f(X)>

2,與/(x)在口，2］是關聯(lián)的矛盾，

若/(x+l)-f(x)<1,而/(x)在［1,2］是關聯(lián)的,則/(x+l)-f(x)矛盾，

.?.∕(x+l)-f(x)=1成立，即/(x)是在｛1｝關聯(lián)的，

再證明/(x)是在［0,+8)關聯(lián)的，

任取XI-X2日"，+