第09講 向量應(yīng)用（四大題型）（原卷版）

第09講向量應(yīng)用【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一：向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題．（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．知識點二：向量方法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：（1）問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．（2）建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學模型．（3）求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等．（4）回答問題，即把所得的數(shù)學結(jié)論回歸到物理問題．【典型例題】題型一：利用向量證明平面幾何問題【例1】（2024·高一課時練習）在中，是三條邊上的高，求證：相交于一點.【變式1-1】（2024·全國·高一隨堂練習）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點M為邊BC的中點，求證：．【變式1-2】（2024·河南信陽·高一校聯(lián)考期末）已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點在邊上，且，設(shè)與相交于點．記，．

(1)請用，表示向量；(2)若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．【變式1-3】（2024·四川涼山·高一階段練習）用向量的方法證明如圖，在中，點E，F(xiàn)分別是AD和DC邊的中點，BE，BF分別交AC于點R，T．你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？

題型二：利用向量解決平面幾何求值問題【例2】（2024·江西九江·高一統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，P為平面ABCD內(nèi)一點，AC與BP相交于點Q．(1)若，，求x，y的值；(2)求最小值．【變式2-1】（2024·湖北荊州·高一沙市中學?？计谀┮阎校?，是線段上一點，且，是線段上的一個動點.(1)若，求（用的式子表示）；(2)求的取值范圍.【變式2-2】（2024·廣東佛山·高一順德一中?？计谀┮阎呅蜛BCDEF的邊長為1，(1)當點M滿足__________時，．（注：無需寫過程，填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）(2)若點H是正六邊形ABCDEF內(nèi)或其邊界上的一點，求的取值范圍．題型三：向量在物理中的應(yīng)用【例3】（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，在細繩l上作用著一個大小為200N的力，與水平方向的夾角為45°，細繩上掛著一個重物，使細繩的另一端與水平面平行，求物重G的大小．

【變式3-1】（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，在一場足球比賽中，中場隊員在點A位置得球，將球傳給位于點B的左邊鋒，隨即快速直向插上．邊鋒得球后看到對方后衛(wèi)上前逼搶，于是將球快速橫傳至門前，球到達點C時前插的中場隊員正好趕到，直接射門得分．設(shè)，．（?。?/p>

(1)求中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移；(2)這一過程中中場隊員的位移與球的位移是否相等？【變式3-2】（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，一艘船從長江南岸點A出發(fā)，以km/h的速度垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h．

(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實際航行的速度；(2)求船實際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．【變式3-3】（2024·高一課時練習）兩個力作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點移動到點（其中分別是與軸、軸同方向的單位向量）．求：(1)分別對該質(zhì)點做的功；(2)的合力對該質(zhì)點做的功．題型四：平面幾何中的平行（共線）問題【例4】（2024·安徽阜陽·高一安徽省太和中學?？茧A段練習）如圖，的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H．若與共線，則（

）A． B．C． D．【變式4-1】（2024·高一課時練習）已知，，，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的對角線的長為．【變式4-2】（2024·高一課時練習）已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為，，，求第四個頂點的坐標．【變式4-3】（2024·高一課時練習）如圖所示，分別在平行四邊形的對角線的延長線和反向延長線上取點和點，使.試用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若平面上的三個力，，作用于一點，且處于平衡狀態(tài)．已知，，與的夾角為，則的大小為（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）某河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和的夾角為，北岸的點B在A的正北方向，游船正好到達B處時，（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知兩個力，的夾角為，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為，那么的大小為（

）A．N B．5N C．N D．10N4．（2024·廣西·高一校聯(lián)考期末）若非零向量與滿足，且，則為（

）A．三邊均不等的三角形 B．直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．等邊三角形5．（2024·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住，且處于平衡狀態(tài)，已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為（

）A． B． C． D．6．（2024·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）如下圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點M為邊BC上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024·高一課時練習）河水的流速為2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度為（

）A．10 B． C． D．128．（2024·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知點P是邊長為1的正方形的對角線上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·高一課時練習）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.下列結(jié)論中正確的是（

）A．越大越費力，越小越省力 B．的取值范圍為C．當時， D．當時，10．（2024·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）一物體受到3個力的作用，其中重力的大小為4N，水平拉力的大小為3N，另一力未知，則（

）A．當該物體處于平衡狀態(tài)時，B．當與方向相反，且時，物體所受合力大小為C．當物體所受合力為時，D．當時，11．（2024·浙江·高一期末）在水流速度為的河水中，一艘船以的實際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是（

）A．這艘船航行速度的大小為B．這艘船航行速度的大小為C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為12．（2024·全國·高一專題練習）已知點為外接圓的圓心，，，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2024·云南保山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在重的物體上有兩根繩子，繩子與鉛垂線的夾角分別為，物體平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為，.

14．（2024·江蘇南京·高一校考期末）如圖所示，為正三角形，，則．

15．（2024·云南大理·高一統(tǒng)考期末）在中，為其外心，，若，則．16．（2024·湖北武漢·高一湖北省武昌實驗中學校聯(lián)考期末）在正三角形中，，D是的中點，E是的中點，則．四、解答題17．（2024·湖北武漢·高一統(tǒng)考期末）已知點，直線與單位圓在第一象限的交點為.

(1)求；(2)求.18．（2024·高一課時練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AB的中點，點F，G分別是AD，BC的三等分點.設(shè)，.(1)用，表示，.(2)如果，EF，EG有什么位置關(guān)系?用向量方法證明你的結(jié)論.19．（2024·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知平面四邊形中，，向量的夾角為.(1)求證：；(2)點是線段中點，求的值.20．（2024·河北承德·高一校聯(lián)考階段練習）已知四邊形ABCD的四個頂點分別為，，，．(1)求向量與夾角的余弦值；(2)證明：四邊形ABCD是等腰梯形．21．（2024·四川綿陽·高一統(tǒng)