數(shù)學(xué)模型課件

建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的模型原型是現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際對(duì)象,實(shí)際問(wèn)題。你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?x=20y=5求解航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型近藤次郎（日）的定義：數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象的特征或本質(zhì)給以數(shù)學(xué)表述的數(shù)學(xué)關(guān)系式。它是模型的一種。本德（美）的定義：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而作的一個(gè)抽象的簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型姜啟源(中)的定義：1.2

數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼1.3

數(shù)學(xué)建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;

地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是

的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個(gè)距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意

,f(

),g(

)至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);

對(duì)任意

，f(

)?g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理（介值定理）oxyab提示：利用零點(diǎn)定理（介值定理）模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因?yàn)閒(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評(píng)注:建模的關(guān)鍵~

和f(

),g(

)的確定長(zhǎng)方形的椅子會(huì)有同樣的性質(zhì)嗎？思考:1.3.2

商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問(wèn)題(智力游戲)3名商人

3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)試一試模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~過(guò)程的狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題模型求解xy3322110

窮舉法~編程上機(jī)

圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,

，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}思考：

(1)若船的情況不變，則2名商人2個(gè)隨從如何安全渡河？

(2)m名商人m個(gè)隨從(m≥4)能否安全渡河？

(3)一般地，m個(gè)商人n個(gè)隨從,m>n能否安全渡河?若能,怎樣渡河?六狗過(guò)河問(wèn)題

有三條大狗A、B、C，三條小狗a，b，c要過(guò)河，只有大狗和c小狗能劃船。船最多能載兩條狗。問(wèn)狗應(yīng)如何過(guò)河?阿拉伯夫妻過(guò)河問(wèn)題

有三對(duì)阿拉伯夫妻要過(guò)河，船最多可載兩人。

約束條件是根據(jù)阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在場(chǎng)的情況下與另外男子在一起，問(wèn)此時(shí)這三對(duì)夫妻能否過(guò)河?四對(duì)夫妻呢？

人、狗、雞、米過(guò)河問(wèn)題

某人要帶一條狗、一只雞、一籮米過(guò)河，但小船除需要人劃外，最多只能載一物過(guò)河，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)，狗要咬雞、雞要吃米。問(wèn)此人應(yīng)如何過(guò)河?練習(xí)：

從表中看出，人口每增加十億的時(shí)間，由一百多年縮短至十二、三年。常此以往，人口問(wèn)題將嚴(yán)重困擾世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。1.3.3、人口增長(zhǎng)的預(yù)報(bào)問(wèn)題

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在近幾個(gè)世紀(jì)來(lái)，世界人口也得到了快速的的增長(zhǎng)。下面的數(shù)據(jù)表反映了近幾個(gè)世紀(jì)的人口增長(zhǎng)情況。年1625183019301960人口（億）5102030年197419871999人口（億）405060

下面介紹兩個(gè)基本的人口模型，并利用表1給出的近兩個(gè)世紀(jì)的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)）對(duì)模型作出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2010年美國(guó)的人口。

下表是我國(guó)在20世紀(jì)中人口發(fā)展的狀況：年1908193319531964人口（億）3.04.76.07.2年198219902000人口（億）10.311.312.95

認(rèn)識(shí)人口數(shù)量變化的規(guī)律，建立合適的人口模型，作出準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4表1

美國(guó)人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)在上面的問(wèn)題中，假定人口的年增長(zhǎng)率是一個(gè)不變的常數(shù)。⑴指數(shù)增長(zhǎng)模型

一個(gè)簡(jiǎn)單的人口模型是指數(shù)模型：記今年人口為，年增長(zhǎng)率為，則以后第年的人口為

200多年前，馬爾薩斯基于人口增長(zhǎng)率不變的基礎(chǔ)，建立了著名的人口指數(shù)模型。⑴

建模記時(shí)刻時(shí)的人口為，并視其為連續(xù)變量，初始時(shí)的人口為，從到時(shí)間內(nèi)人口的增量為，則有令則得到應(yīng)滿足的微分方程：⑵由這個(gè)方程容易解得：當(dāng)時(shí)，⑶式表明人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)。故稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型。⑶

參數(shù)估計(jì)：⑶式中的和可以用表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。為了利用簡(jiǎn)單的最小二乘法，將⑶式取對(duì)數(shù)后得其中：。⑷

以1790年到1900年的數(shù)據(jù)擬合⑷式，可得

以1790年到2000年的全部數(shù)據(jù)擬合⑷式，可得1790—1900實(shí)際人口與計(jì)算人口的比較計(jì)算人口曲線實(shí)際人口1790—2000實(shí)際人口與計(jì)算人口比較計(jì)算人口曲線實(shí)際人口年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.516.5x26.07.49.111.113.616.6年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表2

指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果

結(jié)果分析用上面得到的參數(shù)代入⑶式，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)作比較得下表，表中計(jì)算人口是用1790年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果；計(jì)算人口是用全部數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，用這個(gè)模型基本上能夠描述19世紀(jì)以前美國(guó)人口的增長(zhǎng)情況，但是進(jìn)入20世紀(jì)后，美國(guó)人口增長(zhǎng)明顯放慢，此時(shí)模型不再適合了。這是為什么?年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.6188.0年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0一、機(jī)理分析法----根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律面得出模型。

1.比例分析法----建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法。

2.代數(shù)方法----求解離散問(wèn)題（離散的數(shù)據(jù)、符號(hào)、圖形）的主要方法。

3.邏輯方法----是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，對(duì)社會(huì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題，在決策，對(duì)策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用。

4.常微分方程----解決兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立"瞬時(shí)變化率"的表達(dá)式。

5.偏微分方程----解決因變量與兩個(gè)以上自變量之間的變化規(guī)律。

數(shù)學(xué)建模的基本方法1.4

數(shù)學(xué)建模的方法和步驟二、測(cè)試分析(或數(shù)據(jù)分析法)----將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)大量對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型。

1.回歸分析法----用于對(duì)函數(shù)f（x）的一組觀測(cè)值（xi,fi）i=1,2,…,n，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。

2.時(shí)序分析法----處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過(guò)程統(tǒng)計(jì)方法。

數(shù)學(xué)建模的基本方法三、仿真和其他方法

1.計(jì)算機(jī)仿真（模擬）----實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法，等效于抽樣試驗(yàn)。

①離散系統(tǒng)仿真----有一組狀態(tài)變量。

②連續(xù)系統(tǒng)仿真----有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

2.因子試驗(yàn)法----在系統(tǒng)上作局部試驗(yàn)，再根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具

數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法(解方程、畫(huà)圖形、證明定理以及邏輯運(yùn)算)、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性(符合,不符合,階段性或局部性符合)模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的一般步驟應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，需繼續(xù)完善。數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.5

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門(mén)技術(shù)，不如說(shuō)是一門(mén)藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過(guò)的模型

親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)直覺(jué)與靈感練習(xí)1某甲早8時(shí)從山下旅店A出發(fā)沿一條路徑上山，下午6時(shí)到達(dá)山頂B并留宿；次日早8時(shí)從山頂B沿同一條路徑下山，下午6時(shí)回到旅店A。某乙說(shuō)，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn)。為什么？AB甲乙解：我們從A點(diǎn)為始點(diǎn)記路程，設(shè)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的路程函數(shù)為，設(shè)從B點(diǎn)到A點(diǎn)的路程函數(shù)為。由題意有：

又都是連續(xù)函數(shù)，因此也為連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)定理，一定存在某一時(shí)刻使37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍蜿?duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束。問(wèn)共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？一般思維：逆向思維：每場(chǎng)比賽淘汰一名失敗球隊(duì)，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊(duì)，因此比賽進(jìn)行了36場(chǎng)。3某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車(chē)于6時(shí)抵達(dá)T市車(chē)站，它的妻子駕車(chē)準(zhǔn)時(shí)到車(chē)站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車(chē)于5時(shí)半抵達(dá)T市車(chē)站，隨即步行回家，它的妻子像往常一樣駕車(chē)前來(lái)，在半路上遇到他接回家時(shí)，發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘。問(wèn)他步行了多長(zhǎng)時(shí)間？車(chē)站家5：30相遇早10鐘5分鐘5分鐘6：005：55共走了25分鐘。甲乙兩站有電車(chē)相通，每隔10分鐘甲乙兩站互發(fā)一趟車(chē)，但發(fā)車(chē)時(shí)間不一定相同。甲乙兩站有一中間站丙，某人每天在隨機(jī)的時(shí)刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過(guò)丙站的那趟車(chē)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達(dá)甲站，僅約有10天到達(dá)乙站。問(wèn)開(kāi)往甲乙兩站的電車(chē)經(jīng)過(guò)丙站的時(shí)刻表是如何安排的？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09x=8:098:098:195.兄妹二人沿某街分別在離家3公里與2公里處同向散步回家，家中的小狗一直在二人之間來(lái)回奔跑。已知哥哥的速度為3公里/小時(shí)，妹妹的速度為2公里/小時(shí)，狗的速度為5公里/小時(shí)。試分析半小時(shí)后，狗在何處？一小時(shí)后，狗又在何處？（1）由于本題并未給出開(kāi)始散步時(shí)狗的具體位置，因此，我們無(wú)法確定半小時(shí)后狗在何處。即使假設(shè)開(kāi)始散步時(shí)狗在哥哥處，我們?nèi)匀粺o(wú)法確定狗在半小時(shí)后的位置，因?yàn)轭}目中并沒(méi)有給出狗的奔跑方式（比如說(shuō)狗是從哥哥處沒(méi)街道跑到妹妹處，再沿路返回，周而復(fù)始）。因此，最后的答案仍是狗可以在任何位置。（2）由于哥哥的速度為3公里/小時(shí)，妹妹的速度為2公里/小時(shí)，因此一小時(shí)后，哥哥和妹妹都已到家，而狗一直在二人之間，因此狗也到家了。練習(xí)：一男孩和一女孩分別在離家2km和1km且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問(wèn)小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上學(xué)時(shí)小狗也往返奔波在他們中間，問(wèn)當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗在何處？6某人由A處到B處去，途中需到河邊取些水，如下圖。問(wèn)走那條路最近？（用盡可能簡(jiǎn)單的辦法求解。）dAB河思考題長(zhǎng)方形椅子穩(wěn)定性問(wèn)題oxyABCD

思考題1長(zhǎng)方形椅子穩(wěn)定性問(wèn)題表示A,B與地面距離之和表示C,D與地面距離之和則由三點(diǎn)著地，有ACABCD思考2：

(1)若船的情況不變，則2名商人2個(gè)隨從如何安全渡河？

(2)m名商人m個(gè)隨從(m≥4)能否安全渡河？

(3)一般地，m個(gè)商人n個(gè)隨從,m>n能否安全渡河?若能,怎樣渡河?一.比例代表制例：有A、B、C、D四個(gè)政黨，代表50萬(wàn)選民，各政黨的選民數(shù)為：

A黨：199,000B黨：127,500C黨：124,000D黨：49,500要選出5名代表：

A黨：2席B黨：1席

C黨：1席D黨：0席缺少1席，如何分配這最后一席呢？

2.1

公平的席位分配1、大余數(shù)法按每10萬(wàn)選民1席分配后，按余數(shù)大小排序，多余的席位分給余數(shù)較大的各黨。黨名代表選民數(shù)整數(shù)席余數(shù)余額席總席數(shù)

A199,000199,00012B127,500127,50001C124,000124,00001D49,500049,500112.1

公平的席位分配2、洪德(d

Hondt)規(guī)則分配辦法是：把各黨代表的選民數(shù)分別被1、2、3、…除，按所有商數(shù)的大小排序，席位按此次序分配。即若A黨的人數(shù)比D黨的人數(shù)還多，那么給A黨3席、給D黨0席也是合理的。除數(shù)A黨B黨C黨D黨1199,000(1)127,500(2)124,000(3)49,500299,500(4)63,75062,00024,750366,333(5)42,50041,33316,500449,75031,875－－總席位31102.1

公平的席位分配3、北歐折衷方案作法與洪德規(guī)則類似，所采用的除數(shù)依次為1.4、3、5、7、…

A黨B黨C黨D黨

2

2

1

0三種分配方案，得到了完全不同的結(jié)果，最大余數(shù)法顯然對(duì)小黨比較有利，洪德規(guī)則則偏向最大的黨，北歐折衷方案對(duì)最大和最小黨都不利2.1

公平的席位分配二．份額分配法(QuotaMethod)一種以“相對(duì)公平”為標(biāo)準(zhǔn)的席位分配方法，來(lái)源于著名的“阿拉巴瑪悖論”(AlabamaParadox)。美國(guó)憲法第1條第2款對(duì)議會(huì)席位分配作了明確規(guī)定，議員數(shù)按各州相應(yīng)的人數(shù)進(jìn)行分配。最初議員數(shù)只有65席，因?yàn)樽h會(huì)有權(quán)改變它的席位數(shù)，到1910年，議會(huì)增加到435席。憲法并沒(méi)有規(guī)定席位的具體分配辦法，因此在1881年，當(dāng)考慮重新分配席位時(shí)，發(fā)現(xiàn)用當(dāng)時(shí)的最大余數(shù)分配方法，阿拉巴瑪州在299個(gè)席位中獲得8個(gè)議席，而當(dāng)總席位增加為300席時(shí)，它卻只能分得7個(gè)議席。這一怪事被稱為有名的“阿拉巴瑪悖論”。2.1

公平的席位分配

某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問(wèn)三系各有多少個(gè)席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則

表示某單位的席位數(shù)

表示某單位的人數(shù)

表示總?cè)藬?shù)

表示總席位數(shù)1問(wèn)題的提出2.1

公平的席位分配問(wèn)題20個(gè)席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)?20=10乙6060/200(30/100)?20=6丙4040/200(20/100)?20=4現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%?20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%?20=3.410641064現(xiàn)象1

丙系雖少了6人，但席位仍為4個(gè)。（不公平?。榱嗽诒頉Q提案時(shí)可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。21個(gè)席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%?21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%?21=3.5701173現(xiàn)象2

總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。T例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？2建模分析目標(biāo)：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來(lái)衡量。系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)AB當(dāng)席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。單位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對(duì)不公平標(biāo)準(zhǔn)A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大為改善！2）相對(duì)不公平表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。則A吃虧,或?qū)是不公平的。定義“相對(duì)不公平”對(duì)A的相對(duì)不公平值；同理，可定義對(duì)B的相對(duì)不公平值為：對(duì)B的相對(duì)不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo)制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3建模若A、B兩方已占有席位數(shù)為用相對(duì)不公平值討論當(dāng)席位增加1個(gè)時(shí)，應(yīng)該給A還是B方。不失一般性，有下面三種情形。情形1說(shuō)明即使給A單位增加1席，仍對(duì)A不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說(shuō)明當(dāng)對(duì)A不公平時(shí)，給A單位增加1席，對(duì)B又不公平。計(jì)算對(duì)B的相對(duì)不公平值情形3說(shuō)明當(dāng)對(duì)A不公平時(shí)，給B單位增加1席，對(duì)A不公平。計(jì)算對(duì)A的相對(duì)不公平值則這一席位給A單位，否則給B單位。結(jié)論：當(dāng)（*）成立時(shí)，增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給A單位，反之，應(yīng)分配給B單位。記則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給Q值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。若A、B兩方已占有席位數(shù)為4推廣有m方分配席位的情況設(shè)方人數(shù)為，已占有個(gè)席位，當(dāng)總席位增加1席時(shí)，計(jì)算則1席應(yīng)分給Q值最大的一方。從開(kāi)始，即每方至少應(yīng)得到以1席，（如果有一方1席也分不到，則把它排除在外。）5舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個(gè)席位，如何分配？按Q值方法：甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4練習(xí)：學(xué)校共1000學(xué)生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學(xué)生要組織一個(gè)10人委員會(huì)，試用慣例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結(jié)果。思考題：現(xiàn)有外形相同的１2個(gè)球，其中有一個(gè)的重量與其他11個(gè)不同。請(qǐng)用一架天平稱三次，將那個(gè)不同的球找出來(lái)。d’Hondt方法有k個(gè)單位，每單位的人數(shù)為pi

，總席位數(shù)為n。做法：用自然數(shù)1,2,3,…分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前n個(gè)，（這n個(gè)數(shù)來(lái)自各個(gè)單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n個(gè)數(shù)中哪個(gè)單位有幾個(gè)所分席位就為幾個(gè)。進(jìn)一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi

qi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni

應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！問(wèn)題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？2.2

錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途經(jīng)試驗(yàn)，一盤(pán)標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理0000左輪盤(pán)右輪盤(pán)磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)題背景要求不僅回答問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系。思考計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？主動(dòng)輪壓輪0000左輪盤(pán)右輪盤(pán)磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向錄像帶運(yùn)動(dòng)右輪盤(pán)半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢問(wèn)題分析觀察計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！模型假設(shè)

錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)

v

；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤(pán)半徑記作r

；

時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目的建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤(pán)轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長(zhǎng)度等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt,所以2.考察右輪盤(pán)面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤(pán)纏繞的長(zhǎng)度，有模型建立思考13種建模方法得到同一結(jié)果但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法。思考2模型求解參數(shù)估計(jì)另一種確定參數(shù)的方法——測(cè)試分析將模型改記作只需估計(jì)a,b理論上，已知t=184,n=6061,

再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可。實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得用最小二乘法模型檢驗(yàn)應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問(wèn)題：由模型算得n=4450時(shí)t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目。揭示了“t

與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì)a,b

即可。2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問(wèn)題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量

T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.3

雙層玻璃窗的功效dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過(guò)天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會(huì)如此之大2.4

汽車(chē)剎車(chē)距離美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背景與問(wèn)題

正常駕駛條件下,車(chē)速每增10英里/小時(shí)，后面與前車(chē)的距離應(yīng)增一個(gè)車(chē)身的長(zhǎng)度。

實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是“2秒準(zhǔn)則”：

后車(chē)司機(jī)從前車(chē)經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開(kāi)始默數(shù)

2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車(chē)速如何判斷“2秒準(zhǔn)則”與“車(chē)身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。問(wèn)題分析常識(shí)：剎車(chē)距離與車(chē)速有關(guān)10英里/小時(shí)(

16公里/小時(shí))車(chē)速下2秒鐘行駛29英尺(

9米)>>車(chē)身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米)“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車(chē)身”規(guī)則不同剎車(chē)距離反應(yīng)時(shí)間司機(jī)狀況制動(dòng)系統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候……最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。車(chē)速常數(shù)反應(yīng)距離制動(dòng)距離常數(shù)假設(shè)與建模1.剎車(chē)距離d等于反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2之和2.反應(yīng)距離d1與車(chē)速v成正比3.剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時(shí)間且F與車(chē)的質(zhì)量m成正比

反應(yīng)時(shí)間t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒?yún)?shù)估計(jì)

利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法

k=0.06計(jì)算剎車(chē)距離、剎車(chē)時(shí)間車(chē)速(英里/小時(shí))(英尺/秒)實(shí)際剎車(chē)距離（英尺）計(jì)算剎車(chē)距離（英尺）剎車(chē)時(shí)間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為“t秒準(zhǔn)則”模型車(chē)速(英里/小時(shí))剎車(chē)時(shí)間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車(chē)速（英里/小時(shí)）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234

一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來(lái)不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來(lái)探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。2.5雨中行走問(wèn)題1建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度2）降雨大小用降雨強(qiáng)度厘米/時(shí)來(lái)描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風(fēng)速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明1）把人體視為長(zhǎng)方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來(lái)記。3模型建立與計(jì)算1）不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積雨中行走的時(shí)間降雨強(qiáng)度模型中結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能減少淋雨量。從而可以計(jì)算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)，使問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)化。2）考慮降雨方向。人前進(jìn)的方向若記雨滴下落速度為（米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。所以，因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定，如何選擇使得最小。情形1結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得情形2結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得情形3

此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對(duì)雨從你的前面落到身上情形。因此，對(duì)于這種情況要另行討論。當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即這時(shí)，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為再次代如數(shù)據(jù)，得結(jié)果表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角從背后落下，你應(yīng)該以此時(shí)，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒(méi)淋雨。當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為4結(jié)論若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單，應(yīng)以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。5注意

關(guān)于模型的檢驗(yàn)，請(qǐng)大家觀察、體會(huì)并驗(yàn)證。雨中行走問(wèn)題的建模過(guò)程又一次使我們看到模型假設(shè)的重要性，模型的階段適應(yīng)性。2.5

劃艇比賽的成績(jī)賽艇2000米成績(jī)t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長(zhǎng)l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問(wèn)題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變問(wèn)題分析

前進(jìn)阻力~浸沒(méi)部分與水的摩擦力

前進(jìn)動(dòng)力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)阻力漿手?jǐn)?shù)量艇重浸沒(méi)面積

對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定

運(yùn)用合適的物理定律建立模型模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號(hào)：艇速v,浸沒(méi)面積

s,浸沒(méi)體積A,空艇重w0,阻力f,漿手?jǐn)?shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績(jī)

t

n

–1/9npfv模型檢驗(yàn)n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型

t

n

–1/9進(jìn)行檢驗(yàn)tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！問(wèn)題的提出：四足動(dòng)物的軀干的長(zhǎng)度(不含頭尾)與它的體重有什么關(guān)系？這個(gè)問(wèn)題有一定的實(shí)際意義。比如，在生豬收購(gòu)站或屠宰場(chǎng)工作的人們，往往希望能從生豬的身長(zhǎng)估計(jì)出它的體重。動(dòng)物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入對(duì)生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價(jià)值的模型．這里我們僅在十分粗賂的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用類比方法，借助力學(xué)的某些結(jié)果，建立動(dòng)物身長(zhǎng)和體重間的比例關(guān)系。2.6

動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重1、問(wèn)題的分析與假設(shè)

把四足動(dòng)物的軀干看作圓柱體，長(zhǎng)度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。將這種圓柱體的軀干類比作—根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。2、模型的建立：原理：動(dòng)物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對(duì)彈性粱的研究，有：進(jìn)一步分析b/l的意義……3、生物學(xué)角度分析b/lb/l生理學(xué)意義：

b/l是動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度。b/l太大，四肢將無(wú)法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過(guò)了支撐軀干的需要，無(wú)疑是一種浪費(fèi)。生物學(xué)進(jìn)化角度：經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期進(jìn)化，對(duì)每一種動(dòng)物而言b/l已經(jīng)達(dá)到其最合適的數(shù)值，即b/l應(yīng)視為與這種動(dòng)物的尺寸無(wú)關(guān)的常數(shù)。4、結(jié)論（1）關(guān)系式：（前面分析）（2）另一些比例關(guān)系：（3）最終結(jié)論：

即體重與軀干長(zhǎng)度的4次方戊正比。這樣，對(duì)于某一種四足動(dòng)物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長(zhǎng)度估計(jì)出動(dòng)物的體重了。討論題：

大小包裝問(wèn)題

在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價(jià)格比是1.2:1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價(jià)格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量?jī)r(jià)格c與w的關(guān)系，并解釋其實(shí)際意義。提示：價(jià)格由生產(chǎn)成本，包裝成本和其他成本等決定，這些成本中有的與重量w成正比有的與表面積成正比，還有與w無(wú)關(guān)的因素。提要：決定商品價(jià)格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。單價(jià)隨重量增加而減少單價(jià)的減少隨重量增加逐漸降低

問(wèn)題:

我們每個(gè)人都有跑步的經(jīng)歷,有人會(huì)因此而疲憊不堪,但有誰(shuí)會(huì)想:怎么跑步能使我們消耗的能量最少?2.7跑步與走路時(shí)如何節(jié)省能量

假設(shè):(1)跑步所花費(fèi)的時(shí)間分成兩部分:第一部分為兩條腿同時(shí)離地的時(shí)間；第二部分為一條腿或兩條腿同時(shí)落地的時(shí)間。于是人體重心運(yùn)動(dòng)軌跡如圖。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)：ABCdhab（2）假設(shè)跑步是勻速的，設(shè)為，則跑步是消耗的總能量為2.8、棋子顏色的變化1、問(wèn)題：任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個(gè)，排成如下圖所示的圓圓，然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來(lái)所放的棋子。再重復(fù)以上的過(guò)程，問(wèn)這樣重復(fù)進(jìn)行下去各棋子的顏色會(huì)怎樣變化呢?2、最終結(jié)論是什么？

可完全用數(shù)學(xué)的推理方法說(shuō)明最多經(jīng)過(guò)8次變換，各棋子的顏色都會(huì)變黑。3、分析注意：規(guī)則是兩同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，與有理數(shù)符號(hào)規(guī)則類似。方法：用+1表爾黑色，用－l表示白色，開(kāi)始擺的八顆棋子記為a1，a2，...，a8，并且ak＝+1或-1，

k＝1，2，…，8，下一次在al與a2中間擺的棋子的顏色由a1和a2是同色還是異色而定。類似的akak+1正好給出了所放棋子的顏色。4、符號(hào)運(yùn)算規(guī)則規(guī)則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號(hào)⊙，則：

(＋1)⊙(＋1)＝(＋１)^２=＋１

(－1)⊙(－1)＝(－１)^２=＋１

(＋1)⊙(－1)＝－１5、各次顏色的確定

可見(jiàn)：最多經(jīng)過(guò)8次變換以后，各個(gè)數(shù)都變成了+1，這意味著所有棋子都是黑色，且以后重復(fù)上述過(guò)程，顏色也就不再變化了。問(wèn)題：要用40塊方形瓷磚鋪如右圖所示形狀的地面,但當(dāng)時(shí)市場(chǎng)上只有長(zhǎng)方形瓷磚,每塊大小等于方形的兩塊。一人買(mǎi)了20塊長(zhǎng)方形瓷磚,試著鋪地面,結(jié)果弄來(lái)弄去始終無(wú)法鋪好。試問(wèn)是這人的功夫不到家還是這個(gè)問(wèn)題根本無(wú)解？2.9鋪瓷磚問(wèn)題首先必須分析是否可能用20塊長(zhǎng)方形瓷磚鋪成如圖所示的地面。為此，在圖上黑白相間地染色。發(fā)現(xiàn)共有19個(gè)白格和21個(gè)黑格。鋪上19塊后，總要剩下2個(gè)黑格無(wú)法鋪，因?yàn)橐粔K長(zhǎng)方形瓷磚無(wú)法蓋住兩個(gè)黑格。唯一的解決辦法就是把最后一塊分兩為兩塊。這種方法在數(shù)學(xué)上稱為奇偶校驗(yàn)，即可認(rèn)為涂黑格子是偶數(shù)，涂白格子的是奇數(shù)，同色的格子有相同的奇偶性。一塊長(zhǎng)方形瓷磚只能覆蓋奇偶性相反的一對(duì)方格，只有在剩下的兩個(gè)方格具有相反的奇偶性時(shí)，才可能把最后一塊長(zhǎng)方形瓷磚鋪上。顯然這該問(wèn)題是無(wú)解的。即任何改變鋪設(shè)方式的努力都是徒勞。

問(wèn)題：哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。18世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)，如圖所示。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來(lái)的位置。這就是著名七橋問(wèn)題。ABCD2.10

哥尼斯堡七橋問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)很簡(jiǎn)單有很有趣的問(wèn)題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰(shuí)也沒(méi)有做到。1736年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問(wèn)題的：既然陸地是橋梁的連接地點(diǎn)，不妨把圖中被河隔開(kāi)的陸地看成A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，7座橋表示成7條連接這4個(gè)點(diǎn)的線，如圖所示。問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成從四個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)出發(fā)，每條線只能走一次，最后回到這一點(diǎn)。即能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)。除起點(diǎn)和終點(diǎn)處，一筆畫(huà)中出現(xiàn)在交點(diǎn)處的邊總是一進(jìn)一出的，故交點(diǎn)的度數(shù)總和為偶數(shù)。即從每一點(diǎn)出發(fā)的線的條數(shù)只能是偶數(shù)，而圖中每一點(diǎn)處都只有奇數(shù)條線，故不可能！一般結(jié)論：(1)連接奇數(shù)個(gè)橋的陸地僅有一個(gè)或超過(guò)兩個(gè)以上，不能實(shí)現(xiàn)一筆畫(huà)；(2)連接奇數(shù)個(gè)橋的陸地僅有兩個(gè)時(shí)，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)一筆畫(huà)而停在另一陸地(3)每個(gè)陸地都連接有偶數(shù)個(gè)橋時(shí)，則從任一陸地出發(fā)都能實(shí)現(xiàn)一筆畫(huà)，而回到出發(fā)點(diǎn)。小結(jié):歐拉把這個(gè)問(wèn)題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化成，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來(lái)的位置。并且給出了所有能夠一筆畫(huà)出來(lái)的圖形所應(yīng)具有的條件。問(wèn)題：均勻正方體骰子的六個(gè)面分別刻有1,2,3,4,5,6的字樣,將一對(duì)骰子拋25次決定勝負(fù)。問(wèn)將賭注押在“至少出現(xiàn)一次雙六”或“完全不出現(xiàn)雙六”的哪一種上面有利？2.11

賭博問(wèn)題從數(shù)學(xué)上看是確定哪一種事件發(fā)生的概率大。記A為“至少出現(xiàn)一個(gè)雙六”這一事件，則為“完全不出現(xiàn)雙六”事件。故有記Ai為第i次拋擲這對(duì)骰子時(shí)出現(xiàn)雙六這一事件，則一對(duì)骰子拋擲一次可視為1次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，拋擲25次可視為25次獨(dú)立隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，所以問(wèn)題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.12

實(shí)物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無(wú)差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對(duì)甲是無(wú)差別的，MN將所有與p1,p2無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái)，得到一條無(wú)差別曲線MN,線上各點(diǎn)的滿意度相同,線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上。于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）。p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：

單調(diào)減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點(diǎn))

互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的

y換取較少的x;在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無(wú)差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2

乙的無(wú)差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）

雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無(wú)差別曲線族g=c2

(坐標(biāo)系x’O’y’,且反向）甲的無(wú)差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p’,(雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p兩族曲線切點(diǎn)連線記作ABABp

交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑AB雙方的無(wú)差別曲線族等價(jià)交換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點(diǎn)的連線CDAB與CD的交點(diǎn)p設(shè)X單價(jià)a,Y單價(jià)b,則等價(jià)交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x2.13

量綱分析與無(wú)量綱化物理量的量綱長(zhǎng)度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時(shí)間t

的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對(duì)無(wú)量綱量

，[

]=1(=L0M0T0)2.13.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式

1,

2,

3

為待定系數(shù)，

為無(wú)量綱量(1)的量綱表達(dá)式對(duì)比對(duì)x,y,z的兩組測(cè)量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),

為無(wú)量綱量設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價(jià),F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2,

,

Xn

是基本量綱,n

m,q1,q2,

,

qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個(gè)基本解，記作為m-r

個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量,且則[g]=LT-2,[l]=L,[

]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒(méi)面積s,海水密度

,重力加速度g。m=6,n=3Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個(gè)無(wú)量綱量

F(

1,

2,

3)=0與

(g,l,,v,s,f)=0等價(jià)為得到阻力f的顯式表達(dá)式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價(jià)量綱分析法的評(píng)注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解

方法的普適性函數(shù)F和無(wú)量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識(shí)2.12.2量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用例:航船阻力的物理模擬通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力~模型船的參數(shù)(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的參數(shù)(f1未知，