2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)15 四邊形【含答案】

2023年中考數(shù)學(xué)探究性試題復(fù)習(xí)15四邊形一、綜合題1．定義：有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做“準(zhǔn)矩形”；有兩組鄰邊(不重復(fù))相等的四邊形叫做“準(zhǔn)菱形”．如圖①，在四邊形ABCD中，若∠A=∠C=90°，則四邊形ABCD是“準(zhǔn)矩形”；如圖②，在四邊形ABCD中，若AB=AD，BC=DC，則四邊形ABCD是“準(zhǔn)菱形”．（1）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上，請(qǐng)分別在圖③、圖④中畫出“準(zhǔn)矩形”ABCD和“準(zhǔn)菱形”ABCD'.(要求：D、D'在格點(diǎn)上)；（2）下列說法正確的有；(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))①一組對(duì)邊平行的“準(zhǔn)矩形”是矩形；②一組對(duì)邊相等的“準(zhǔn)矩形”是矩形；③一組對(duì)邊相等的“準(zhǔn)菱形”是菱形；④一組對(duì)邊平行的“準(zhǔn)菱形”是菱形．（3）如圖⑤，在△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向外作“準(zhǔn)菱形”ACEF，且AC=EC，AF=EF，AE、CF交于點(diǎn)D．①若∠ACE=∠AFE，求證：“準(zhǔn)菱形”ACEF是菱形；②在①的條件下，連接BD，若BD=2，∠ACB=15°，∠ACD=30°，求四邊形ACEF2．如圖：（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°，求證：EF=DF+BE．小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合時(shí)能夠證明，請(qǐng)你給出證明過程．（2）【類比引申】①如圖2，在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CB，DC延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)寫出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系（不要求證明）②如圖3，如果點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD延長線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF=45°，則EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系是（不要求證明）（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形ABCD的邊長為6，AE=35，求AF3．綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB=90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長AE交CE（1）猜想證明：試判斷四邊形BE（2）如圖②，若DA=DE，請(qǐng)猜想線段CF與FE（3）解決問題：如圖①，若AB=15，CF=3，請(qǐng)直接寫出4．（1）【實(shí)驗(yàn)】如圖①，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，線段PQ與MN相交于點(diǎn)O，當(dāng)OP=OQ時(shí)，四邊形PMQN的形狀為；A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四邊形其理論依據(jù)是．（2）【探究】如圖②，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線交邊CD于點(diǎn)F，連接AF，試猜想AB，AF，CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（3）【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，若∠BAD=90°，AD=2，AC=19，求△ABC5．如圖（1）【感知】如圖①，將?ABCD沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)F處，得到折痕DE，連結(jié)EF．若AD=4，則四邊形AEFD的周長為．（2）【探究】如圖②，將四邊形AEGD沿GE折疊，點(diǎn)A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、D′，點(diǎn)A′求證：四邊形AEA（3）若AB=6，CB=3，∠B=120°，CA′=1，則△6．綜合與探究在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處．（1）如圖①，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)AB=5，且AF?FD=10時(shí)，求EF的長；（3）如圖③，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AN+FD時(shí)，請(qǐng)直接寫出ABBC7．通過以前的學(xué)習(xí)，我們知道：“如圖1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，則CE=DF”．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上學(xué)習(xí)后，決定對(duì)該問題進(jìn)一步探究：（1）【問題探究】如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，試猜想EGFH=（2）【知識(shí)遷移】如圖3，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，試猜想EGFH（3）【拓展應(yīng)用】如圖4，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF8．某校數(shù)學(xué)興趣學(xué)習(xí)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一些特殊幾何圖形具有的性質(zhì)進(jìn)行了如下探究：（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，連接AM，以AM為腰作等腰△AMN，使AM=AN，∠MAN=∠BAC，連接CN．求證：∠ACN=∠ABM．（2）類比探究：如圖2，在等腰△ABC中，∠B=30°，AB=BC，AC=8，點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，以AM為腰作等腰△AMN，使AM=MN，∠AMN=∠B．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，連接CH．若正方形DEFG的邊長為8，CH=32，求△CDH9．如圖（1）【問題情境】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG，連接DG、BE，則DG與BE的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，點(diǎn)E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊在CE的右側(cè)作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，連接DG、BE.判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）【拓展提升】如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則2BG+BE的最小值為.10．【背景】如圖1，矩形ABCD中，AB=43，AB<AD，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，折疊矩形ABCD使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)K處，折痕為BP（1）【操作】用直尺和圓規(guī)在圖1中的AD邊上作出點(diǎn)P（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）【應(yīng)用】求∠BKM的度數(shù)和MK的長；（3）如圖2，若點(diǎn)E是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).連接EB，在EB左側(cè)作等邊三角形BEF，連接MF，則MF的最小值是；（4）【拓展】如圖3，若點(diǎn)E是射線KM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).將△BEK沿BE翻折，得△BET，延長CB至Q，使BQ=KE，連接TQ.當(dāng)△BTQ是直角三角形時(shí)，KE的長為多少？請(qǐng)直接寫出答案：.11．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=7，BC=10.點(diǎn)P是BC邊上的一點(diǎn)，連接AP，以AP為對(duì)稱軸作△ABP的軸對(duì)稱圖形△AQP（1）動(dòng)手操作當(dāng)點(diǎn)Q正好落在AD邊上時(shí)，在圖①中畫出△ABP的軸對(duì)稱圖形△AQP，并判斷四邊形ABPQ的形狀是▲；（2）問題解決如圖②，當(dāng)點(diǎn)P是線段BC中點(diǎn)，且CQ=2時(shí)，求AP的長；（3）拓展探究如圖③，當(dāng)點(diǎn)P、Q、D在同一直線上，且∠PQC=∠PQA時(shí)，求PQ的長.12．（1）【問題探究】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF，求證：AE=DF.（2）【知識(shí)遷移】如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，且BE⊥MN，求BEMN（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB=m，BC=n，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，當(dāng)∠EFC與∠MNC的度數(shù)之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，有EFMN13．在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究.如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A′B′ED，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′.（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】A′D與B′E的位置關(guān)系是；（2）【思考表達(dá)】連接B′C，判斷∠DEC與（3）如圖（2），延長DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG（4）【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)∠B=60°時(shí)，連接B′C，延長DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)寫出B′C14．矩形ABCD中，ABBC＝k（1）【特例證明】如圖（1），當(dāng)k＝2時(shí)，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過程如下，請(qǐng)你幫他補(bǔ)充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝12∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對(duì)應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過程）（2）【類比探究】如圖（2），當(dāng)k≠2時(shí)，求AEEF（3）【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)k＝3時(shí)，P為邊CD上一點(diǎn)，連接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=515．【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ADEB、ACHI和BFGC分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形．延長IH和FG，交于點(diǎn)L，連接LC并延長交DE于點(diǎn)J，交AB于點(diǎn)K，延長DA交IL于點(diǎn)M．（1）證明：AD=LC；（2）證明：正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；（3）請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．（4）【遷移拓展】如圖2，四邊形ACHI和BFGC分別是以△ABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在AB下方是否存在平行四邊形ADEB，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACHI、BFGC的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形ADEB（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請(qǐng)說明理由．16．綜合與實(shí)踐，【問題情境】：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥EP，EP與正方形的外角△DCG的平分線交于P點(diǎn)．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（1）【思考嘗試】同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點(diǎn)F，連接EF可以解決這個(gè)問題．請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，解答老師提出的問題．（2）【實(shí)踐探究】希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個(gè)題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問題．（3）【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，連接DP．知道正方形的邊長時(shí)，可以求出△ADP周長的最小值．當(dāng)AB=4時(shí)，請(qǐng)你求出△ADP周長的最小值．

答案解析部分1．【答案】（1）解：如圖3③所示，四邊形ABCD即為所求；如圖3④所示，四邊形ABCD'即為所求；（2）①②③④（3）解：①證明：在△ACF和△ECF中，AC=ECAF=EFCF=CF，∴∠ACF=∠ECF，∠AFC=∠EFC，∵∠ACE=∠AFE，∴∠ACF=∠EFC，∠ECF=∠AFC，∴AC//EF，AF//CE，∴準(zhǔn)菱形ACEF是平行四邊形，∵AC=EC，∴準(zhǔn)菱形ACEF是菱形；②如圖⑤，取AC的中點(diǎn)G，連接BG、DG、BD，∵四邊形ACEF是菱形，∴AE⊥CF，∴∠ADC=90°，∠ABC=90°，AG=CG，∴DG=GA=GC=GB，∵∠ACD=30°，∠ACB=15°，∴∠GCD=∠GDC=30°，∠GCB=∠GBC=15°，∴∠AGB=15°×2=30°，∠AGD=30°×2=60°，∴∠BGD=30°+60°=90°，∴△BGD是等腰直角三角形，∴BG=DG=2∴AC=2DG=2，∴AD=1∴CD=3∴菱形ACEF的面積為：122．【答案】（1）解：證明：把ΔABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ΔADG，如圖1，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∠B=∠ADG=90°，∴∠ADF+∠ADG=180°，∴F，D，G三點(diǎn)共線，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=45°，∴∠DAG+∠FAD=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵AF=AF，∴ΔEAF?ΔGAF(∴EF=FG=DF+DG，∴EF=DF+BE（2）不成立，結(jié)論：EF=DF-BE；BE=EF+DF（3）解：由（1）可知AE=AG=35∵正方形ABCD的邊長為6，∴DC=BC=AD=6，∴DG=A∴BE=DG=3，∴CE=BC?BE=6?3=3，設(shè)DF=x，則EF=FG=x+3，CF=6?x，在Rt△EFC中，∵CF∴(解得：x=2．∴DF=2，∴AF=A3．【答案】（1）解：四邊形BE∵將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，∴∠AEB=∠CE′B=90°，BE=B又∵∠BEF=90°，∴四邊形BEFE又∵BE=BE∴四邊形BEFE（2）解：CF=FE如圖②所示，過點(diǎn)D作DH⊥AE，垂足為H，則∠DHA=90°，∴∠DAH+∠ADH=90°，∵DA=DE，DH⊥AE，∴AH=1∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，∴∠DAH+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADH，在△AEB和△DHA中，∠AEB=∠DHA∠BAE=∠ADH∴△AEB≌△DHA(AAS)，∴AH=BE，由（1）知四邊形BEFE∴BE=E∴AH=E由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CE∴FE∴CF=FE∴CF=FE；（3）解：DE=3174．【答案】（1）D；對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形（2）解：AF=AB+CF．證明：如下圖，延長FE交AB的延長線于H，連接AF，∵四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，∴AB∥CD，BE=CE，∴∠HBE=∠FCE又∵∠BEH=∠CEF，∴△BEH≌△CEF(∴CF=BH，HE=FE，又∵AE⊥HF，∴AF=AH，∵AH=AB+BH=AB+CF，∴AF=AB+CF；（3）解：如圖，作DE∥AB，∴CEAE∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，即CD=BD，∴AE=CE，∴DE為△ABC的中位線，∴AE=1∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=90°，∴在Rt△ADE中，DE=A∴AB=2DE=3∴S△ABD∵△ABD與△ACD等底等高，∴S△ABD∴S△ABC5．【答案】（1）16（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠A∵將四邊形AEGD沿GE折疊，點(diǎn)A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、D′，點(diǎn)A′∴∠AGE=∠A′GE∴∠AGE=∠AEG，∴AE=AG，∴AG=A∴四邊形AEA（3）126．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，∴BC=BF，∠FBE=∠CBE，∠C=∠BFE=90°，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBF=∠AFB=30°，∴∠CBE=1∴∠CBE的度數(shù)為15°；（2）解：∵將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，∴∠BFE=∠C=90°，F(xiàn)E=CE，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE∴AF?DF=AB?DE，∵AF?DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC?DE=5?2=3，∴EF=EC=3，∴EF的長為3；（3）解：ABBC的值為37．【答案】（1）1（2）解：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長線于點(diǎn)N，∴AM=HF，AN=EG，在長方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM=90°，∴∠BAM=∠DAN，∴△ABM～△ADN，∴AMAN∵AB=m，BC=AD=n，∴AMAN∴EGFH（3）解：如圖所示：過C點(diǎn)作CM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)CE交BF于點(diǎn)O，∵CM⊥AB，∴∠CME=90°，∴∠1+∠2=90°，∵CE⊥BF，∴∠BOE=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∴△CME～△BAF，∴CEBF∵AB=BC，∠ABC=60°，∴CE8．【答案】（1）證明：∵∠BAC=∠MAN，∴∠BAC?∠MAC=∠MAN?∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN(∴∠ACN=∠ABM．（2）解：AN存在最小值，理由如下：∵AM=MN，AB=BC，∴∠BAC=∠C=12(180°?∠B)∴∠BAC=∠C=∠MAN=∠N，∴△ABC∽△AMN，如圖所示，連接CN，過點(diǎn)A作AN′⊥CN延長線于點(diǎn)N′，根據(jù)點(diǎn)到直線的垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)N與N′重合時(shí)，即A∵△ABC∽△AMN，∴AMAB=AN∴∠BAC?∠MAC=∠MAN?∠MAC，即∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△CAN，∴∠ACN=∠B=30°，在Rt△ACH中，∠ACN=30°，AH=1∴AN存在最小值，最小值為4．（3）解：如圖所示，連接BD，EH，過H作HQ⊥CD于∵H為正方形DEFG的中心，∴DH=EH，∠DHE=90°，即∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=CD，∴∠BDE+∠CDE=∠CDH+∠CDE=45°，∴∠BDE=∠CDH，∵BDCD∴△BDE∽△CDH，∴∠DCH=∠DBC=45°，設(shè)CE=x，則CD=x+6，∵DE=8，∴由勾股定理得：x2+(x+6)∴CD=23?3+6=23+3，在∴△CDH的面積為129．【答案】（1）DG=BE（2）解：DG=1理由如下：延長BE、GD相交于點(diǎn)H.∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE，∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，∴CD：CB=CG：CE，∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴DGBE∴DG=∵矩形ECGF∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°∴DG⊥BE（3）410．【答案】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：由折疊可知AB=BK=43∵點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AM=BM，MN⊥AB，∴MK垂直平分AB，∴AK=BK=AB，∴△ABK為等邊三角形，∴∠BKA=60°，∴∠BKM=1在Rt△BMK中，MK=BK?cos（3）3（4）4或6或8或1211．【答案】（1）解：如圖①，△AQP即為所求，；菱形；（2）解：如圖②，連接BQ交AP于點(diǎn)E，∵△AQP與△ABP是以AP為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，AQ=AB，BP=PQ，∴AP是線段BQ的垂直平分線.∴點(diǎn)E是BQ的中點(diǎn)，∠AEB=∠BEP=90°.又∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴EP為△BQC的中位線，BP=1∴EP=1在Rt△BEP中，BE=B在Rt△ABE中，AE=A∴AP=AE+EP=1+5=6；（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵△AQP與△ABP是以AP為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，∴∠APB=∠APQ，∴∠APQ=∠DAP，∴AD=DP=10，∵∠B=∠AQP=∠PQC=∠ADC，又∵∠ADC=∠ADP+∠PDC，∠PQC=∠PDC+∠DCQ，∴∠ADP=∠DCQ.∵AD∥BC，∴∠ADP=∠DPC，∴∠DCQ=∠DPC.∵∠PDC=∠QDC，∴△PDC∽△CDQ，∴PD即107∴DQ=49∴PQ=PD?DQ=10?4912．【答案】（1）證明：設(shè)AE、DF相交于點(diǎn)G，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADE=∠C=90°，

∴∠ADG+∠CDG=90°，

∵AE⊥DF，

∴∠AGD=90°

∴∠DAG+∠ADG=90°，

∴∠DAG=∠CDG，

在△ADE和△DCF中，

∠DAG=∠CDGAD=CD∠ADE=∠C

∴△ADE≌△DCF(ASA)，

∴（2）解：過點(diǎn)N作NP⊥AB于點(diǎn)P，BE、MN相交于點(diǎn)H，∴∠BPN=∠MPN=90°，∴∠PMN+∠PNM=90°，∵BE⊥MN，∴∠BHM=90°，∴∠MBH+∠PMN=90°，∴∠MBH=∠PNM，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=90°，∴∠A=∠MPN，∴∠ABE∽△PNM，∴BE∵∠ABC=∠C=∠BPN=90°，∴四邊形BCNP是矩形，∴NP=BC=4，∵AB=3，∴BE（3）解：∠EFC=∠MNC，理由如下：過點(diǎn)E作EK∥AB交BC于點(diǎn)K，過點(diǎn)N作NL∥BC交AB于點(diǎn)L，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABKE、BCNL是平行四邊形，∴EK=AB=m，NL=BC=n，∴EK若EFMN則△EFK∽△NML，∴∠FEK=∠MNL，∵EK∥CD，∴∠AEK=∠D，∵AD∥NL，∴∠D=∠CNL，∴∠AEK=∠CNL，∵AD∥BC∴∠EFC=∠AEF=∠AEK+∠FEK=∠CNL+∠MNL=∠MNC.13．【答案】（1）A（2）解：∠DEC=∠B理由：如圖，連接B′C，∵E為BC中點(diǎn)，∴EB=EC=EB∴點(diǎn)B、B′、C在以BC∴∠BB∴BB由翻折變換的性質(zhì)可知BB∴DE∥CB∴∠DEC=∠B（3）解：結(jié)論：∠DEG=90°；理由：如圖，連接B′C，DB，DB由翻折的性質(zhì)可知∠BDE=∠B設(shè)∠BDE=∠B′DE=x∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADB=∠CDB=∠B′D∴∠A′∴∠DGA∴∠BEB∵EC=EB′，點(diǎn)B、B′∴∠EB∵A′∴∠A∴∠GB∴∠CGA∵∠CGA∴∠GB∴GC=GB′，∵EB′=EC，∴EG⊥CB′，∵DE∥CB′，∴DE⊥EG，∴∠DEG=90°；（4）解：結(jié)論：DG理由：如圖，延長DG交EB′的延長線于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作DR⊥GA′交設(shè)GC=GB′=x∵∠B=60°，∴∠A=∠DA∴∠DA∴A′R=A在Rt△DGR中，則有(2a+x)2∴x=4∴GB′=∵TB∴△B∴TB∴T∴TB∵CB∴CB∴DE=7∵∠DEG=90°，∴DG∴DG14．【答案】（1）證明：如圖，在BA上截取BH=BE，連接EH．∵k=2，∴AB=BC．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠1=∠2=45°，∴∠AHE=180°-∠1=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠3=12∴∠ECF=∠3+∠4=135°，∵AE⊥EF，∴∠6+∠AEB=90°，∵∠5+∠AEB=90°，∴∠5=∠6，∵AB=BC，BH=BE，∴AH=EC，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（2）解：在BA上截取BH=BE，連接EH．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠DCF=12∴∠ECF=135°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴AEEF∵ABBC∴EC=HB=12∴AH=AB-12BC=1∴AEEF（3）解：以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADP繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°到△AP'H，∵k=3，∴ABBC設(shè)AB=3a，則BC=2a，∵∠PAE=45°，∴∠P'AP=90°，連接P'E，HE，延長P'H交CD于點(diǎn)G，連接EG，∵AH=AD=2a，∴BH=a，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=a，∴HE=2a，∠BHE=45°，∴∠P'HE=135°，∵CG=EC=a，∴∠GEC=45°，∴∠PGE=135°，∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，∴△AEP'≌△AEP（SAS），∴PE=P'E，∴△PEG≌△P'EH（AAS），∴∠PEG=∠P'EH，∵∠HEG=∠EGH=45°，∴∠HEG=90°，∴∠PEP'=90°，∴∠AEP=∠AEP'=45°，∴∠APE=∠AP'E=90°，∴四邊形APEP'是正方形，∴AP=PE，∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，∴∠DAP=∠EPC，∵AP=PE，∴△APD≌△PEC（AAS），∴AD=PC=2a，PD=ED=a，∴PE=5a，由（2）得△AHE∽△ECF，∴AHEC∵AE=∴EF=10∵∠HEG=∠AEF=9