人教A版高中數(shù)學(xué)必修二《第八章 立體幾何初步》單元導(dǎo)學(xué)案

人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第八章立體幾何初步》單元導(dǎo)學(xué)案8.1基本幾何圖形第1課時棱柱、棱錐、棱臺【學(xué)習(xí)目標】知識目標1．通過對實物模型的觀察，歸納認知簡單多面體——棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征．2．能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來判斷、描述現(xiàn)實生活中的實物模型．3．與平面幾何體的有關(guān)概念、圖形和性質(zhì)進行適當類比，初步學(xué)會用類比的思想分析問題和解決問題．核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：多面體與旋轉(zhuǎn)體等概念的理解；2.邏輯推理：棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特點；3.直觀想象：判斷空間幾何體；4.數(shù)學(xué)建模：通過平面展開圖將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.【學(xué)習(xí)重點】：掌握棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征；【學(xué)習(xí)難點】：棱柱、棱錐和棱臺的側(cè)面展開圖問題.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本97-100頁，填寫。1、空間幾何體定義：如果只考慮物體的_________和_________，而不考慮其它因素，那么這些由物體抽象出來的_________就叫做空間幾何體。2、多面體與旋轉(zhuǎn)體多面體的定義：由__________________圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的______；相鄰兩個面的__________叫做多面體的棱；棱與棱的__________叫做多面體的頂點．旋轉(zhuǎn)體的定義：由一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定_________旋轉(zhuǎn)所形成的_________叫做旋轉(zhuǎn)體．3、、幾種基本空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：有兩個面互相_________，其余各面都是_________，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相_________。棱柱中，兩個互相_________的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的_________叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的_________叫做棱柱的頂點。底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……用各頂點_________表示棱柱，如棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。（2）棱錐：有一個面是_________，其余各面都是__________________的三角形.底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中三棱錐又叫_________。棱錐也用頂點和底面_________表示，如棱錐S-ABCD。（3）棱臺：用一個_________于棱錐底面的平面區(qū)截棱錐，_________之間的部分叫做棱臺。原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點。由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……用各_________表示棱柱，如棱臺ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。小試牛刀1．判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．()(3)用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺．()2．下面圖形中，為棱錐的是()A．①③B．①③④C．①②④D．①②3．下列圖形中，是棱臺的是()4．一個棱柱至少有______個面，頂點最少的一個棱臺有______條側(cè)棱．【自主探究】題型一棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特點例1(1)下列命題中正確的是________．(填序號)①有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；②棱柱的一對互相平行的平面均可看作底面；③三棱錐的任何一個面都可看作底面；④棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點．(2)關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法的序號為________．①這是一個六面體.②這是一個四棱臺.③這是一個四棱柱.④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到．⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到．跟蹤訓(xùn)練一1、棱臺不具備的特點是()A．兩底面相似B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱都相等D．側(cè)棱延長后都交于一點2、給出下列幾個命題，其中錯誤的命題是()A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形B．棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個公共頂點C．多面體至少有四個面D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺題型二簡單結(jié)合體的判斷例2如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1.(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？如果不是，說明理由．跟蹤訓(xùn)練二1、如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體有幾個面、幾個頂點、幾條棱？題型三空間幾何體的側(cè)面展開圖例3如圖是三個幾何體的側(cè)面展開圖，請問各是什么幾何體？例4長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點A出發(fā)沿表面爬行到點C1，求螞蟻爬行的最短路線．跟蹤訓(xùn)練三1．下列四個平面圖形中，每個小四邊形都是正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個正方體的是()2．水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的表面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是()A．1B．2C．快D．樂【達標檢測】1．下面圖形中，為棱錐的是()A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②2．下列說法正確的是()A．棱柱的底面一定是平行四邊形B．棱錐的底面一定是三角形C．棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D．棱柱被平面分成的兩部分可能都是棱柱3．一個棱臺至少有________個面，面數(shù)最少的棱臺有________個頂點，有________條棱．4．一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖所示，A，B，C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，∠ABC＝________.5．如圖所示是一個三棱臺ABC－A′B′C′，試用兩個平面把這個三棱臺分成三部分，使每一部分都是一個三棱錐．答案小試牛刀1.(1)√(2)×(3)×2．C.3．C.4.53.自主探究例1【答案】(1)③④(2)①③④⑤.【解析】(1)結(jié)合有關(guān)多面體的定義及性質(zhì)判斷．對于①，還可能是棱臺；對于②，只要看一個正六棱柱模型即知是錯的；對于③，顯然是正確的；④顯然符合定義．故填③④.(2)①正確．因為有六個面，屬于六面體的范圍．②錯誤．因為側(cè)棱的延長線不能交于一點，所以不正確．③正確．如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱．④⑤都正確．如圖所示．跟蹤訓(xùn)練一【答案】1、C.2、D.【解析】1.由棱臺的定義及特征知，A、B、D是棱臺的特點，故選C.2.根據(jù)各種幾何體的概念與結(jié)構(gòu)特征判斷命題的真假．A、B均為真命題；對于C，一個圖形要成為空間幾何體，則它至少需有4個頂點，3個頂點只能構(gòu)成平面圖形，當有4個頂點時，可圍成4個面，所以一個多面體至少應(yīng)有4個面，而且這樣的面必是三角形，故C也是真命題；對于D，只有當截面與底面平行時才對．例2【答案】(1)該長方體是棱柱，并且是四棱柱，祥見解析．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面.【解析】(1)該長方體是棱柱，并且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面都是四邊形，其余各面都是矩形，當然是平行四邊形，并且四條側(cè)棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】這個幾何體有8個面；6個頂點；12條棱．【解析】這個幾何體有8個面，都是全等的正三角形；有6個頂點；有12條棱．例3【答案】①為五棱柱；②為五棱錐；③為三棱臺．【解析】①為五棱柱；②為五棱錐；③為三棱臺．例4【答案】最短路線長為eq\r(74).【解析】沿長方體的一條棱剪開，使A和C1展在同一平面上，求線段AC1的長即可，有如圖所示的三種剪法：(1)若將C1D1剪開，使面AB1與面A1C1共面，可求得AC1＝eq\r(42＋5＋32)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).(2)若將AD剪開，使面AC與面BC1共面，可求得AC1＝eq\r(32＋5＋42)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).(3)若將CC1剪開，使面BC1與面AB1共面，可求得AC1＝eq\r(4＋32＋52)＝eq\r(74).相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為eq\r(74).跟蹤訓(xùn)練三【答案】1、C.2、B.【解析】1、選C將四個選項中的平面圖形折疊，看哪一個可以圍成正方體．2、選B由題意，將正方體的展開圖還原成正方體，1與樂相對，2與2相對，0與快相對，所以下面是2.當堂檢測 1-2.CD3.569.4.60°.5．【答案】見解析【解析】過A′，B，C三點作一個平面，再過A′，B，C′作一個平面，就把三棱臺ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三個三棱錐分別是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一).8.1基本幾何圖形第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體【學(xué)習(xí)目標】知識目標1．認識圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征．2．認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：簡單組合體概念的理解；2.邏輯推理：圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特點；3.直觀想象：判斷空間幾何體；4.數(shù)學(xué)運算：球的相關(guān)計算、最短距離等；5.數(shù)學(xué)建模：通過平面展開圖將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.【學(xué)習(xí)重點】：掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征；【學(xué)習(xí)難點】：旋轉(zhuǎn)體的相關(guān)計算.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本101-104頁，填寫。一、常見的旋轉(zhuǎn)體1、圓柱：定義：以_______的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體。旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的_______；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的_______；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成曲面叫做圓柱的_______；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，_______于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。圓柱用表示它的_______的字母表示，如圓柱O’O。2、圓錐：以______________的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體。圓錐也有_______、_______、_______和_______。圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圓錐SO。3、圓臺：用平行于_______底面的平面去截圓錐，_______和_______之間的部分叫做圓臺。圓臺也有軸、底面、側(cè)面、母線。圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圓臺O’O。4、球：以半圓的_______所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)_______形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體。半圓的圓心叫做_______，半圓的半徑叫做球的_______，半圓的直徑叫做球的_______，球常用球心字母O表示，如球O。小結(jié)：常見空間幾何體有棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球。其中_______、_______統(tǒng)稱為柱體，_______、_______統(tǒng)稱為錐體，_______、_______統(tǒng)稱為臺體，所以簡單空間幾何體概括分類為：柱體、錐體、臺體和球體。二、簡單組合體1．簡單組合體的定義由___________________組合而成的幾何體叫作簡單組合體．2．簡單組合體的兩種基本形式(1)由簡單幾何體_______而成；(2)由簡單幾何體_____________________而成。小試牛刀1．判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．()(2)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是一圓柱．()(3)圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺．()(4)半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球．()2．下列說法不正確的是()A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形B．圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形C．圓臺的側(cè)面展開圖是一個梯形D．過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑3．如圖所示，其中為圓柱體的是()4．如圖所示，已知圓錐SO的母線長為5，底面直徑為8，則圓錐SO的高h＝________.【自主探究】題型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特點給出下列說法：(1)圓柱的底面是圓面；(2)經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；(3)圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交；(4)夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體．其中說法正確的是________．跟蹤訓(xùn)練一1、判斷下列各命題是否正確．(1)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；(2)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；(3)到定點的距離等于定長的點的集合是球．題型二簡單組合體例2觀察下列幾何體的結(jié)構(gòu)特點，完成以下問題：(1)幾何體①是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的？試畫出幾何圖形，使得旋轉(zhuǎn)該圖形180°后得到幾何體①.(2)幾何體②的結(jié)構(gòu)特點是什么？試畫出幾何圖形，使得旋轉(zhuǎn)該圖形360°得到幾何體②.(3)幾何體③是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的？并說明該幾何體的面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)．跟蹤訓(xùn)練二1、下列組合體是由哪些幾何體組成的？題型三旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計算例3已知球的半徑為10cm，若它的一個截面圓的面積為36πcm2，則球心與截面圓圓心的距離是________cm.例4如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？跟蹤訓(xùn)練三如圖,圓臺側(cè)面的母線AB的長為20cm,上、下底面的半徑分別為5cm,10cm,從母線AB的中點M處拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點,求這條繩子長度的最小值. 【達標檢測】1．截一個幾何體，所得各截面都是圓面，則這個幾何體一定是()A．圓柱 B．圓錐C．球 D．圓臺2．將邊長為1的正方形以其一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的底面周長是()A．4π B．8πC．2π D．π3．用一個平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個幾何體可能是下面哪幾種：________(填序號)．①棱柱；②棱錐；③棱臺；④圓柱；⑤圓錐；⑥圓臺；⑦球．4．在半徑為25cm的球內(nèi)有一個截面,它的面積是49πcm2,則球心到這個截面的距離為________.

5．如圖所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是由哪些簡單幾何體組成的.答案小試牛刀1.(1)×(2)×(3)√(4)×2．C.3．C.4.3.自主探究例1【答案】（1）（2）.【解析】解析(1)正確，圓柱的底面是圓面．(2)正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；(3)不正確，圓臺的母線延長相交于一點；(4)不正確，圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體．跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】(1)錯誤．(2)正確．(3)錯誤．【解析】(1)錯誤．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示．(2)正確．(3)錯誤．應(yīng)為球面．例2【答案】(1)幾何體①是由圓錐和圓臺組合而成的．圖見解析.(2)幾何體②是由一個圓臺，從上而下挖去一個圓錐而得到，且圓錐的頂點恰為圓臺底面圓的圓心．圖見解析.(3)幾何體③是由一個四棱錐與一個四棱柱組合而成，且四棱錐的底面與四棱柱底面相同．該幾何體共有9個面、9個頂點、16條棱.【解析】(1)幾何體①是由圓錐和圓臺組合而成的．可旋轉(zhuǎn)如下圖(a)180°得到幾何體①.(2)幾何體②是由一個圓臺，從上而下挖去一個圓錐而得到，且圓錐的頂點恰為圓臺底面圓的圓心．可旋轉(zhuǎn)如圖(b)360°得到幾何體②.(3)幾何體③是由一個四棱錐與一個四棱柱組合而成，且四棱錐的底面與四棱柱底面相同．該幾何體共有9個面、9個頂點、16條棱.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】(1)由兩個幾何體組合而成，分別為球、圓柱．(2)由三個幾何體組合而成，分別為圓柱、圓臺、圓柱．(3)由三個幾何體組合而成，分別為圓錐、圓柱、圓臺．.【解析】(1)由兩個幾何體組合而成，分別為球、圓柱．(2)由三個幾何體組合而成，分別為圓柱、圓臺、圓柱．(3)由三個幾何體組合而成，分別為圓錐、圓柱、圓臺．例3【答案】8.【解析】如圖，設(shè)截面圓的半徑為r，球心與截面圓圓心之間的距離為d，球半徑為R.由示意圖易構(gòu)造出一個直角三角形，解該直角三角形即可．由已知，R＝10cm，由πr2＝36πcm2，得r＝6cm，所以d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(100－36)＝8(cm)．例4【答案】2eq\r(1＋π2).【解析】把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖所示，連接AB′，則AB′即為螞蟻爬行的最短距離．∵AB＝A′B′＝2，AA′為底面圓的周長，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝eq\r(A′B′2＋AA′2)＝eq\r(4＋2π2)＝2eq\r(1＋π2)，跟蹤訓(xùn)練三1、【答案】50cm.【解析】作出圓臺的側(cè)面展開圖,如圖所示,由Rt△OPA與Rt△OQB相似,得=,即=,解得OA=20,所以O(shè)B=40.設(shè)∠BOB′=α,由弧BB′的長與底面圓Q的周長相等，得2×10×π=π·OB·,解得α=90°.所以在Rt△B′OM中,B′M2=OB′2+OM2=402+302=502,所以B′M=50.即所求繩長的最小值為50cm.當堂檢測 1-2.CC3.①②③⑤.4.24cm.5．【答案】該組合體是由一個圓柱、兩個圓臺拼接而成的.【解析】如圖1所示,①是矩形,旋轉(zhuǎn)后形成圓柱,②③是梯形,旋轉(zhuǎn)后形成圓臺.所以旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖2所示,通過觀察可知,該組合體是由一個圓柱、兩個圓臺拼接而成的.8.2立體圖形的直觀圖【學(xué)習(xí)目標】知識目標1．掌握斜二測畫法畫水平設(shè)置的平面圖形的直觀圖．2．通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖．核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：斜二測畫法的理解；2.數(shù)學(xué)運算：與直觀圖還原的有關(guān)計算；3.數(shù)學(xué)建模：畫平面幾何和空間幾何體的直觀圖.【學(xué)習(xí)重點】：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖；【學(xué)習(xí)難點】：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本107-111頁，填寫。1．用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的步驟(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸相交于點O′，且使____________________________，它們確定的平面表示水平面．(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成_____于x′軸或y′軸的線段．(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中_______________，平行于y軸的線段，______________________.2．用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟(1)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可．(2)畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸的夾角為90°，并畫出__________(與原圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側(cè)棱即可)，連線成圖．(3)擦去輔助線，__________用虛線表示．小試牛刀1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°()(2)用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，平行的線段在直觀圖中仍平行，且長度不變 ()2．如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的 ()3.已知△ABC的直觀圖如圖所示，則原△ABC的面積為________．【自主探究】題型一水平放置的平面圖形直觀圖的畫法例1用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.跟蹤訓(xùn)練一1.畫邊長為1cm的正三角形的水平放置的直觀圖.題型二幾何體的直觀圖畫法例2用斜二測畫法畫長、寬、高分別是3cm、2cm、1.5cm的長方體ABCD－A′B′C′D′的直觀圖．例3已知圓柱底面半徑為1cm，側(cè)面母線長為3cm的圓柱的直觀圖.跟蹤訓(xùn)練二1．用斜二測畫法畫一個底面邊長為4cm，高為6cm的正六棱柱(底面為正六邊形，側(cè)面為矩形的棱柱)的直觀圖．2.一個幾何體,它的下面是一個圓柱,上面是一個圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合,圓柱的底面直徑為3cm,高為4cm,圓錐的高為3cm,畫出此幾何體的直觀圖.題型三與直觀圖還原有關(guān)的計算問題例4如圖所示，水平放置的一個平面圖形的直觀圖是邊長為1cm的正方形O′A′B′C′，則原圖形的周長是______cm.跟蹤訓(xùn)練三1、已知△ABC是正三角形，且它的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2【達標檢測】1．利用斜二測畫法畫直觀圖時，下列說法中正確的是（）①兩條相交直線的直觀圖是平行直線；②兩條垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線；③正方形的直觀圖是平行四邊形；④梯形的直觀圖是梯形.A．①② B．③④ C．①③ D．②④2．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是（）．A． B．C． D．3．用斜二測畫法畫出的水平放置的一角為60°，邊長是4的菱形的直觀圖的面積是______.4．如圖所示，用斜二測畫法作水平放置的的直觀圖，得，其中，是邊上的中線，則由圖形可知下列結(jié)論中正確的是______.（填序號）①；②；③；④.5．畫棱長為2cm的正方體的直觀圖．答案小試牛刀1.(1)×(2)×2．A.3．9.自主探究例1【答案】見解析.【解析】（1）如圖（1），在正六邊形中，取所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸，兩軸相交于點O.在圖（2）中，畫相應(yīng)的軸與軸，兩軸相交于點，使.（2）在圖（2）中，以為中點，在x軸上取，在軸上取以點為中點，畫平行于軸，并且等于；再以為中點，畫平行于軸，并且等于.（3）連接，并擦去輔助線軸和軸，便獲得正六邊形水平放置的直觀圖圖（3）.跟蹤訓(xùn)練一1.【答案】見解析【解析】(1)如圖所示，以BC邊所在直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在直線為y軸，再畫對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，連接A′B′、A′C′，則△A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖．(3)擦去坐標軸得直觀圖△A′B′C′.例2【答案】見解析【解析】(1)畫軸．如圖①所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝3cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1cm.分別過點M和點N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱，過A、B、C、D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取1.5cm長的線段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成圖．順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改為虛線)，就得到長方體的直觀圖(如圖②)．例3【答案】見解析【解析】(1)畫軸.如圖所示,畫x軸、z軸,使∠xOz=90°.(2)畫下底面.在x軸上取A,B兩點,使OA=OB=1cm.選擇橢圓模板中適當?shù)臋E圓過A,B兩點,使它為圓柱的下底面.(3)畫上底面.在Oz上截取點O′,使OO′=3cm,過O′作Ox的平行線O′x′,類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面.(4)成圖.連接AA′，BB′,整理得到圓柱的直觀圖.跟蹤訓(xùn)練二1．【答案】見解析【解析】(1)畫軸：畫x′軸、y′軸、z′軸，記坐標原點為O，如圖①所示．(2)畫底面：按x′軸、y′軸畫邊長為4cm的正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱：過A，B，C，D，E，F(xiàn)各點分別作z′軸的平行線，并在這些平行線上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它們都等于6cm.(4)成圖：順次連接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉輔助線，并將被遮住的部分改為虛線)，就得到正六棱柱的直觀圖，如圖②所示．2.【答案】見解析【解析】(1)畫軸.如圖1所示,畫x軸、z軸,使∠xOz=90°.(2)畫圓柱的兩底面.在x軸上取A,B兩點,使AB的長度等于3cm,且OA=OB.選擇橢圓模板中適當?shù)臋E圓過A,B兩點,使它為圓柱的下底面.在Oz上截取點O′,使OO′=4cm,過O′作Ox的平行線O′x′,類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面.(3)畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P,使PO′等于圓錐的高3cm.(4)成圖.連接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此幾何體的直觀圖,如圖2所示.例4【答案】8．【解析】將直觀圖還原為原圖形，如圖所示，可知原圖形為平行四邊形，且AO⊥BO.又OA＝O′A′＝1cm，OB＝2O′B′＝2cm，所以AB＝＝3cm.故原圖形的周長為2×(1＋3)＝8(cm)．跟蹤訓(xùn)練三1、【答案】D.【解析】選D由于S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，且eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\f(\r(2),4)，所以S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.當堂檢測 1-2.BA3..4.③.5．【答案】見解析【解析】(1)作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2cm，AD＝1cm.(2)過點A作z′軸，使∠BAz′＝90°，分別過點A，B，C，D，沿z′軸的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2cm.(3)連接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下圖①，擦去輔助線，把被遮住的線改為虛線，得到的圖形如下圖②就是所求的正方體的直觀圖．8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標】知識目標1．通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式．2．能運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題．核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式；2.數(shù)學(xué)運算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積；3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，運用棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.【學(xué)習(xí)重點】：掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積計算公式和應(yīng)用；【學(xué)習(xí)難點】：棱臺的體積公式的理解.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本114-115頁，填寫。（一）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱、棱錐、棱臺都是由多個_______圖形圍成的多面體，因此它們的表面積等于_______的面積之和，也就是_______的面積．（二）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝_______.2．棱錐：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝_______.3．棱臺：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝______________.小試牛刀1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)一個幾何體的展開圖有多種形式,所以其表面積是不確定的.()(2)錐體的體積等于底面面積與高之積. ()(3)任何一個三棱柱都可以分割成三個等體積的三棱錐.()2．若長方體的長、寬、高分別為3cm,4cm,5cm，則長方體的體積為()A．27cm3 B．60cm3C．64cm3 D．125cm33．棱臺的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則棱臺的體積等于________．【自主探究】題型一棱柱、棱錐、棱臺的表面積例1已知如圖，四面體的棱長均為，求它的表面積．跟蹤訓(xùn)練一1、如圖所示，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個側(cè)面都是矩形)，兩端是封閉的，筒高1.6m，底面外接圓的半徑是0.46m，問：制造這個滾筒需要________m2鐵板(精確到0.1m2)．題型二棱柱、棱錐、棱臺的體積例2如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐A－DED1的體積為________．例3如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精確到）？跟蹤訓(xùn)練二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點，若△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為________；2、如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．【達標檢測】1．已知某長方體同一頂點上的三條棱長分別為1,2,3，則該長方體的表面積為()A．22 B．20C．10 D．112．已知高為3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，如圖，則三棱錐B－AB1C的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)3．棱長都是3的三棱錐的表面積S為________．4．用一張正方形的紙把一個棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是________．5．如圖所示，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)．(1)畫出這個幾何體(不要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的表面積及體積．答案小試牛刀1.(1)×(2)×(3)√2．B.3．6＋2eq\r(2).自主探究例1【答案】【解析】因為四面體S－ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍．不妨求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D，如圖所示．因為BC＝SB＝a，SD＝,所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.故四面體S－ABC的表面積S＝4×a2＝a2.跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】5.6【解析】因為此正六棱柱底面外接圓的半徑為0.46m，所以底面正六邊形的邊長是0.46m.所以S側(cè)＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝4.416＋2×eq\f(\r(3),4)×0.462×6≈5.6(m2)．故制造這個滾筒約需要5.6m2鐵板．例2【答案】eq\f(1,6).【解析】V三棱錐A－DED1＝V三棱錐E－DD1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).例3【答案】【解析】由題意知長方體的體積，棱錐的體積，所以這個漏斗的容積.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】8eq\r(3).【解析】由題意，設(shè)AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，則BD＝C1D＝eq\r(a2＋\f(b2,4))，BC1＝eq\r(a2＋b2)，由△BC1D是面積為6的直角三角形，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4)b2))×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).2、【答案】見解析【解析】如圖，連接EB，EC.四棱錐E－ABCD的體積V四棱錐E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱錐C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱錐E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱錐E－ABCD＝4.∴多面體的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20.當堂檢測 1-2.AD3.9eq\r(3).4.8.5．【答案】(1)如圖所示．(2)表面積(22＋4eq\r(2))cm2，體積10(cm3)．【解析】(1)這個幾何體如圖所示．(2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝(22＋4eq\r(2))cm2，所求幾何體的體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標】知識目標1．通過對圓柱、圓錐、圓臺、球的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計算公式．2．能運用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題．核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積公式；2.數(shù)學(xué)運算：求旋轉(zhuǎn)體及組合體的表面積或體積；3.數(shù)學(xué)建模：數(shù)形結(jié)合，運用圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題.【學(xué)習(xí)重點】：掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計算公式和應(yīng)用；【學(xué)習(xí)難點】：圓臺的體積公式的理解.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本116-119頁，填寫。（一）圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱(底面半徑為r，母線長為l)圓錐(底面半徑為r，母線長為l)圓臺(上、下底面半徑分別為r′，r，母線長為l)側(cè)面展開圖底面積S底＝2πr2S底＝____S底＝________側(cè)面積S側(cè)＝____S側(cè)＝____S側(cè)＝________表面積S表＝________S表＝________S表＝______________________（二）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．棱柱：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝_________.2．棱錐：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝_________.3．棱臺：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝__________________.(三)球的體積公式與表面積公式1．球的體積公式V＝_________(其中R為球的半徑)．2．球的表面積公式S＝_________.小試牛刀1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個球的半徑之比為1：3，則其表面積之比為1：9.()(2)經(jīng)過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑．()(3)圓臺的高就是相應(yīng)母線的長. ()2．直徑為1的球的體積是()A．1 B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,3) D．π3.已知一個銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16cm2,高為4cm,現(xiàn)將它熔化后鑄成一個正方體的銅塊(不計損耗),那么鑄成的銅塊的棱長是()A.2cmB.3cmC.4cmD.8cm4．圓臺OO′的母線長為6，兩底面半徑分別為2,7，則圓臺的側(cè)面面積是________．【自主探究】題型一圓柱、圓錐、圓臺的表面積例1若一個圓錐的軸截面是邊長為4cm的等邊三角形，則這個圓錐的側(cè)面積為________cm2，表面積為________cm2.跟蹤訓(xùn)練一1．圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為()A．81π B．100πC．168π D．169π題型二圓柱、圓錐、圓臺的體積例2如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）跟蹤訓(xùn)練二1.如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積．2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥BC，以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．題型三球的表面積與體積例3如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.例4平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π跟蹤訓(xùn)練三1、將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()A.eq\f(4π,3)B.eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(\r(3)π,2)D.eq\f(π,6)2．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D．5πa2【達標檢測】1．圓柱的一個底面積是S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是()A．4πS B．2πSC．πS D.eq\f(2\r(3),3)πS2．已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則該圓臺較小底面的半徑為()A．7 B．6C．5 D．33．若圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為2的半圓，則圓錐的體積是________．4．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.5．軸截面是正三角形的圓錐內(nèi)有一個內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為1cm，求球的體積．答案小試牛刀1.(1)√(2)√(2)×2．B.3．C4.54π.自主探究例1【答案】8π12π.【解析】如圖所示，∵軸截面是邊長為4cm的等邊三角形，∴OB＝2cm，PB＝4cm，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝π×2×4＝8π(cm2)，表面積S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．跟蹤訓(xùn)練一1．【答案】C【解析】選C先畫軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解．圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側(cè)＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.例2【答案】423.9kg【解析】一個浮標的表面積是，所以給1000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料.跟蹤訓(xùn)練二1.【答案】10π.【解析】用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.2.【答案】見解析【解析】由題意知以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒置的且與圓柱等高的圓錐，如圖所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由上述計算知，圓柱的母線長為eq\r(3)a，底面半徑為2a；圓錐的母線長為2a，底面半徑為a.∴圓柱的側(cè)面積S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2，∴組合體上底面面積S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為圓柱的體積減去圓錐的體積，且V柱＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V錐＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.∴旋轉(zhuǎn)體的體積V＝V柱－V錐＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.例3【答案】【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.球的體積，圓柱的體積，.例4【答案】B【解析】如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3).即球的半徑為eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.跟蹤訓(xùn)練三1.【答案】A.【解析】由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是V球＝eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).2．【答案】B.【解析】選B由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，OP＝eq\f(1,2)a，所以球的半徑R＝OA滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＝eq\f(7,12)a2，故S球＝4πR2＝eq\f(7,3)πa2.當堂檢測 1-2.AA3.eq\f(\r(3),3)π.4.4.5．【答案】eq\f(4\r(3),27)πcm3.【解析】如圖所示，作出軸截面，O是球心，與邊BC，AC相切于點D，E.連接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝eq\f(1,2)AC.∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).∵CD＝1cm，∴AC＝2cm，AD＝eq\r(3)cm，設(shè)OE＝r，則AO＝(eq\r(3)－r)，∴eq\f(r,\r(3)－r)＝eq\f(1,2)，∴r＝eq\f(\r(3),3)cm，V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(4\r(3),27)π(cm3)，即球的體積等于eq\f(4\r(3),27)πcm3.8.4.1平面【學(xué)習(xí)目標】知識目標1.正確理解平面的概念；2.能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系；3.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實,理解三個基本事實和三個推論的地位與作用.核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：平面概念的理解；2.邏輯推理：點線共面、多點共線，多線共點問題；3.直觀想象：點、直線、平面之間的位置關(guān)系.【學(xué)習(xí)重點】：1、平面的概念及表示；2、平面的三個基本事實和推論，注意他們的條件、結(jié)論、作用、圖形語言及符號語言.【學(xué)習(xí)難點】：平面的三個基本事實的掌握與運用.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本124-127頁，填寫。1、平面(1)平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是__________________的.(2)平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成_______,且橫邊長等于其鄰邊長的_______.如圖(1).②如果一個平面被另一個平面遮擋住,為了增強它的立體感,把被遮擋部分用_______畫出來或者不畫.如圖(2).(3)平面的表示平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等.2、點、直線、平面之間的位置關(guān)系及語言表達點A在直線l上，則_______，點A在直線l外，則_______;點A在平面α內(nèi)，則_______，點A在平面α外，則_______;直線l在平面α內(nèi)，則_______，直線l在平面α外，則_______;平面α與平面β相交直線l，則______________.3、平面的基本事實文字語言圖形語言符號語言基本事實1過______________的三點,有且只有一個平面A,B,C三點不共線?存在唯一的平面α,使A,B,C∈α基本事實2如果一條直線上的_______在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有_______公共點,那么它們有且只有一條_______的公共直線P∈α,P∈β?α∩β=l,且P∈l基本事實1的三個推論推論1：經(jīng)過____________________________，有且只有一個平面.推論2：經(jīng)過_____________________，有且只有一個平面.推論3：經(jīng)過_____________________，有且只有一個平面.小試牛刀1.下列說法:①書桌面是平面;②8個平面重疊后,要比6個平面重疊后厚;③有一個平面的長是100m,寬是90m;④平面是絕對平滑,無厚度,無限延展的抽象概念.其中正確的個數(shù)為()(A)0 (B)1(C)2 (D)32.三條直線兩兩相交,可以確定平面的個數(shù)是()(A)1個 (B)1個或2個(C)1個或3個 (D)3個3.若A∈平面α,B∈平面α,C∈直線AB,則()(A)C∈α (B)C?α(C)AB?α (D)AB∩α=C4.如圖,已知D,E是△ABC的邊AC,BC上的點,平面α經(jīng)過D,E兩點,若直線AB與平面α的交點是P,則點P與直線DE的位置關(guān)系是____________________________.

【自主探究】題型一文字語言、圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)換例1根據(jù)下列符號表示的語句,說明點、線、面之間的位置關(guān)系,并畫出相應(yīng)圖形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α．跟蹤訓(xùn)練一1、A,B,C表示不同的點,n,l表示不同的直線,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正確的是()(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α?α∩β=直線AB(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共線?α與β重合(D)l∈α,n∈α,l∩n=A?l與n確定唯一平面2、如圖,用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.題型二點線共面例2如圖,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求證直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).跟蹤訓(xùn)練二1、空間兩兩相交且共點的三條直線,可以確定的平面數(shù)是()(A)1(B)2 (C)3 (D)1或3題型三多點共線、多線共點問題例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AB的中點,F為AA1的中點.求證:CE,D1F,DA三線交于一點.跟蹤訓(xùn)練三1．如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結(jié)論正確的是()(A)A,M,O三點共線 (B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面 (D)B,B1,O,M共面【達標檢測】1.文字語言敘述:“平面內(nèi)有一條直線,則這條直線上的點必在這個平面內(nèi)”改成符號語言是()(A)a∈α,A?a?A?α(B)a?α,A∈a?A∈α(C)a∈α,A∈a?A?α(D)a∈α,A∈a?A∈α2.下列圖形中不一定是平面圖形的是()(A)三角形 (B)平行四邊形(C)梯形 (D)四邊相等的四邊形3.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,這四個點不共面的一個圖是()4.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分別為棱BC,C1C,B1C1的中點,O1,O2分別為四邊形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,則下列各組中的四個點在同一個平面上的是.

①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.5.如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為8cm,M,N,P分別是AB,A1D1,BB1的中點.(1)畫出過M,N,P三點的平面與平面A1B1C1D1的交線以及與平面BB1C1C的交線;(2)設(shè)過M,N,P三點的平面與B1C1交于點Q,求PQ的長.答案小試牛刀1.B2．C3．A4.點P在直線DE上自主探究例1【答案】見解析.【解析】(1)點A在平面α內(nèi),點B不在平面α內(nèi).(2)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點A,且點A不在直線l上.(3)直線l經(jīng)過平面α外一點P和平面α內(nèi)一點Q.圖形分別如圖(1),(2),(3)所示.跟蹤訓(xùn)練一【答案】1、D.2、①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.②中,α∩β=l,a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P.【解析】1.選D，D選項的表述有問題.2.在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P.例2【答案】見解析．【解析】因為l1∩l2=A,所以l1,l2確定一個平面α.因為l2∩l3=B,所以l2,l3確定一個平面β.因為A∈l2,l2?α,所以A∈α.因為A∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共線的三個點A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】D．【解析】兩兩相交且共點的三條直線若在一個平面內(nèi),可確定一個平面,若不在一平面內(nèi),每兩條直線可確定一個平面,共可確定3個平面,故選D．例3【答案】見解析．【解析】連接EF,D1C,A1B,因為E為AB的中點,F為AA1的中點,所以EFA1B.又因為A1BD1C,所以EFD1C,所以E,F,D1,C四點共面,可設(shè)D1F∩CE=P.又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD,所以點P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點.又因為平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,所以據(jù)公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三線交于一點.跟蹤訓(xùn)練三1．【答案】A.【解析】連接A1C1,AC,則A1C1∥AC.所以A1,C1,C,A四點共面.所以A1C?平面ACC1A1.因為M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理O也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,所以A,M,O三點共線.故選A.當堂檢測 1-3.BDD4.①③④.5．【答案】（1）見解析（2）43【解析】(1)如圖,設(shè)M,N,P三點確定的平面為α,則α與平面ABB1A1交于MP.設(shè)MP∩A1B1=R,則RN是α與平面A1B1C1D1的交線.設(shè)RN∩B1C1=Q,則PQ是α與平面BB1C1C的交線.(2)因為正方體的棱長為8cm,M,P分別為AB,BB1的中點,所以B1R=BM=4cm.在△RA1N中,=,所以B1Q=412×4=4在Rt△PB1Q中,PB1=4cm,B1Q=43所以PQ=42+（8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標】知識目標1．了解直線與直線之間的三種位置關(guān)系，會用圖形語言和符號語言表示；2．了解直線與平面之間的三種位置關(guān)系，會用圖形語言和符號語言表示；3．了解平面與平面之間的兩種位置關(guān)系，會用符號語言和圖形語言表示．核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：異面直線的理解；2.邏輯推理：判斷空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系；3.直觀想象：空間圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.【學(xué)習(xí)重點】：了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系；【學(xué)習(xí)難點】：會用圖形語言、符號語言表示直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本128-131頁，填寫。1.異面直線(1)定義:不同在_______________________的兩條直線叫做異面直線.(2)畫法:2.空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無公共點相交在同一平面內(nèi)__________________平行在同一平面內(nèi)沒有公共點異面不同在任何一個平面內(nèi)沒有公共點3.直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內(nèi)_________有_____個公共的直線a與平面α相交_________有且只有_____公共的直線a與平面α平行_________________公共點4.平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩平面平行__________公共點兩平面相交_____有無數(shù)個公共點,這些點__________小試牛刀1.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是()(A)異面 (B)平行(C)相交 (D)以上都有可能2.直線l與平面α有兩個公共點,則()(A)l∈α (B)l∥α(C)l與α相交 (D)l?α3.如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個平面的位置關(guān)系一定是()(A)平行 (B)相交(C)平行或相交 (D)不能確定4.直線a?平面α,直線b?平面α,則a,b的位置關(guān)系是.

【自主探究】題型一直線與直線的位置關(guān)系例1如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AA1,AB的中點,試判斷下列各對線段所在直線的位置關(guān)系:(1)AB與CC1;(2)A1B1與DC;(3)A1C與D1B.跟蹤訓(xùn)練一1、正方體ABCD-A1B1C1D1中,與棱AB異面且垂直的棱有()(A)8條 (B)6條 (C)4條 (D)3條題型二直線與平面的位置關(guān)系例2如圖所示,ABCD-A1B1C1D1為正方體,試判定BC1與六個面的位置關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練二下列說法中,正確的個數(shù)是()①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交,那么另一條也和這個平面相交②一條直線和另一條直線平行,它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行③若直線a在平面α外,則a∥α.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3題型三平面與平面的位置關(guān)系例3α,β是兩個不重合的平面,下面說法中,正確的是()(A)平面α內(nèi)有兩條直線a,b都與平面β平行,那么α∥β(B)平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β,那么α∥β(C)若直線a與平面α和平面β都平行,那么α∥β(D)平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行,那么α∥β跟蹤訓(xùn)練三1、平面α與平面β平行且a?α,下列四種說法中,①a與β內(nèi)的所有直線都平行;②a與β平行;③a與β內(nèi)的無數(shù)條直線平行,其中正確的個數(shù)是()(A)0 (B)1(C)2 (D)3【達標檢測】1．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()(A)一條直線不相交 (B)兩條直線不相交(C)無數(shù)條直線不相交 (D)任意一條直線不相交2．如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面的位置關(guān)系為()(A)平行 (B)相交(C)直線在平面內(nèi) (D)平行或直線在平面內(nèi)3.下列命題中，正確命題的個數(shù)是（）①平行于同一條直線的兩個平面平行；②平行于同一個平面的兩個平面平行；③一個平面內(nèi)有一條直線與另一平面平行，則這兩個平面平行；④兩個平面平行，則分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行.(A)0(B)1(C)2(D)34、如圖所示,G,H,M,N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH與MN是異面直線的圖有.(填序號)

5、已知空間四邊形ABCD,AB≠AC,AE是△ABC中BC邊上的高,DF是△BCD中BC邊上的中線,求證:AE和DF是異面直線.答案小試牛刀1.D2．D3．C4.平行、相交或異面自主探究例1【答案】見解析.【解析】(1)因為C∈平面ABCD,AB?平面ABCD,又C?AB,C1?平面ABCD,所以AB與CC1異面.(2)因為A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.(3)因為A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,則A1,B,C,D1在同一平面內(nèi).所以A1C與D1B相交.跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】C【解析】如圖所示,一共有12條棱,其中有三條與AB平行,有四條與AB相交,還剩四條,這四條是CC1,DD1,A1D1,B1C1都是與AB異面且垂直.故選C.例2【答案】見解析．【解析】因為B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,所以BC1?面BCC1B1.又因為BC1與面ADD1A1無公共點,所以BC1∥面ADD1A1.因為C1∈面CDD1C1,B?面CDD1C1,所以BC1與面CDD1C1相交,同理BC1與面ABB1A相交,BC1與面ABCD相交,BC1與面A1B1C1D1相交.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】B【解析】由直線與平面的位置關(guān)系可知①正確;這條直線可能在經(jīng)過另一條直線的平面內(nèi),所以②不正確,對于③包括兩種情形,直線a∥α或直線a與α相交,故③不正確.故選B.例3【答案】D【解析】對于A,α與β可能相交或平行,錯;對于Β,α與β可能相交或平行,錯;對于C,α與β可能相交或平行,錯;D符合面面平行的定義,正確.選D.跟蹤訓(xùn)練三1、【答案】C【解析】因為α∥β,a?α,所以a與β無公共點,所以a∥β,故②正確,所以a與β內(nèi)的所有直線都沒有公共點,所以a與β內(nèi)的直線平行或異面,故①不正確,③正確.故選C.當堂檢測 1-3.DDB4.②④5．【答案】見解析【解析】假設(shè)AE和DF不是異面直線,則AE和DF共面,設(shè)過AE,DF的平面為β,若E,F重合,則E為BC的中點,所以AB=AC,與AB≠AC相矛盾.若E,F不重合,因為B∈EF,C∈EF,而EF?β,所以B∈β,C∈β,又A∈β,D∈β,所以A,B,C,D四點共面,這與題設(shè)ABCD為空間四邊形矛盾,綜上可知,假設(shè)不成立,所以AE與DF為異面直線.8.5.1直線與直線平行【學(xué)習(xí)目標】知識目標1.正確理解基本事實4和等角定理；2.能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關(guān)問題.核心素養(yǎng)1.直觀想象：基本事實4及等角定理的理解；2.邏輯推理：基本事實4及等角定理的應(yīng)用.【學(xué)習(xí)重點】：能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關(guān)問題.【學(xué)習(xí)難點】：能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關(guān)問題.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本133-135頁，填寫。1.平行線的傳遞性基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線___________.符號表示:a∥b,b∥c?a∥c.2.定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角_____________.小試牛刀1.已知∠BAC=30°,AB∥A′B′,AC∥A′C′,則∠B′A′C′等于()(A)30° (B)150°(C)30°或150° (D)大小無法確定2.下列四個結(jié)論中假命題的個數(shù)是()①垂直于同一直線的兩條直線互相平行;②平行于同一直線的兩直線平行;③若直線a,b,c滿足a∥b,b⊥c,則a⊥c;④若直線l1,l2是異面直線,則與l1,l2都相交的兩條直線是異面直線.(A)1 (B)2 (C)3 (D)43、如圖所示的四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,G,H分別為AD,BC上的中點,E,F分別在PD,PC上,且=,則EF與GH的關(guān)系是.

【自主探究】題型一基本事實4的應(yīng)用例1如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.跟蹤訓(xùn)練一1、如圖所示,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分別是A′D′,C′D′的中點,求證:四邊形ACNM是梯形.題型二等角定理的應(yīng)用例2如圖所示,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,已知E,E′分別是正方體ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中點,求證:∠BEC=∠B′E′C′.跟蹤訓(xùn)練二1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AD,AB的中點,M,N分別為B1C1,C1D1的中點.求證:(1)MC∥A1E,A1F∥CN;(2)∠EA1F=∠NCM.【達標檢測】1.空間四邊形的兩條對角線相互垂直,順次連接四邊中點的四邊形一定是()(A)空間四邊形(B)矩形(C)菱形(D)正方形2.在三棱錐PABC中,PC與AB所成的角為70°,E,F,G分別為PA,PB,AC的中點,則∠FEG等于()(A)20° (B)70°(C)110° (D)70°或110°3．平面內(nèi)直線上有兩個不同點到直線的距離相等，則兩直線的位置關(guān)系是______.4．已知，，，則等于______．5．如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點且AC=BD.求證：四邊形EFGH是菱形.答案小試牛刀1.C2．B3．平行自主探究例1【答案】證明見解析.【解析】證明：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=12同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=12所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.跟蹤訓(xùn)練一1、【答案】證明見解析.【解析】如圖所示,連接A′C′,因為M,N分別是A′D′,C′D′的中點,所以MN∥A′C′,且MN=A′C′.由正方體的性質(zhì)可知A′C′∥AC,且A′C′=AC.所以MN∥AC,且MN=AC,所以四邊形ACNM是梯形.例2【答案】證明見解析．【解析】證明:如圖所示,連接EE′.因為E,E′分別是AD,A′D′的中點,所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.所以四邊形AEE′A′是平行四邊形.所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.又因為AA′∥BB′,且AA′=BB′,所以EE′∥BB′,且EE′=BB′.所以四邊形BEE′B′是平行四邊形.所以BE∥B′E′.同理可證CE∥C′E′.又∠BEC與∠B′E′C′的兩邊方向相同,所以∠BEC=∠B′E′C′.跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】D．【解析】證明(1)取A1D1的中點I,連接DI,MI,因為M為B1C1的中點,ABCD-A1B1C1D1為正方體,所以C1D1CD,MIC1D1,根據(jù)基本事實4知CDMI,故IDCM為平行四邊形,所以MC∥ID,又I,E分別為A1D1,AD的中點,所以A1IED,所以A1IDE為平行四邊形,所以A1E∥ID.故MC∥A1E.同理可證A1F∥CN.（2)由(1)知A1F∥CN,MC∥A1E,又A1E,A1F與CM,CN的方向分別相反,所以∠EA1F=∠NCM.當堂檢測 1-2.BD3.平行或相交或重合4.或5．【答案】證明見解析【解析】證明：連接EH，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，且EH=12同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且FG=12BD,EF=所以EH∥FG，且EH=FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.因為AC=BD,所以EF=EH.所以四邊形EFGH為菱形.8.5.2直線與平面平行第1課時直線與平面平行的判定【學(xué)習(xí)目標】知識目標1．理解直線和平