《4.2指數(shù)函數(shù)》專題復習與訓練

《4.2指數(shù)函數(shù)》專題復習與訓練第1課時指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)學習目標核心素養(yǎng)1.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法．(重點、難點)2．能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，并能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象說明指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．(重點)1.通過學習指數(shù)函數(shù)的圖象，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)．2．借助指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).【新課導入】1．指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a的范圍a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過定點(0,1)，即當x＝0時，y＝1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)對稱性函數(shù)y＝ax與y＝a－x的圖象關于y軸對稱思考1：指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么？提示：指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于字母a.當a>1時，圖象具有上升趨勢；當0<a<1時，圖象具有下降趨勢．思考2：：指數(shù)函數(shù)值隨自變量有怎樣的變化規(guī)律？提示：指數(shù)函數(shù)值隨自變量的變化規(guī)律．1．下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2x＋1 B．y＝x3C．y＝3·2x D．y＝3－xD[由指數(shù)函數(shù)的定義可知D正確．]2．函數(shù)y＝3－x的圖象是()ABCDB[∵y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，∴B選項正確．]3．若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(3,8)，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2xC．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x D．f(x)＝xeq\s\up5(\f(1,3))B[設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，則由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故選B.]4．函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．(1，＋∞)[結合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，若y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函數(shù)，則a>1.]【合作探究】指數(shù)函數(shù)的概念【例1】(1)下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.A．1 B．2C．3 D．0(2)已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)，則f(－2)＝________.(1)D(2)eq\f(1,9)[(1)①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量x，而是x的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)a，只有規(guī)定a>0且a≠1時，才是指數(shù)函數(shù)；④中3x前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)，故選D.(2)設f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(3),9)得a－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).]1．判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)，要牢牢抓住三點：(1)底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；(3)ax的系數(shù)必須為1.2．求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法．1．已知函數(shù)f(x)＝(2a－1)x是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)[由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)，且a≠1，所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．]指數(shù)函數(shù)的圖象的應用【例2】(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點________．(1)D(2)(3,4)[(1)由于f(x)的圖象單調(diào)遞減，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故選D.(2)令x－3＝0得x＝3，此時y＝4.故函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點(3,4)．]指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理技巧1抓住圖象上的特殊點，如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點.2利用圖象變換，如函數(shù)圖象的平移變換左右平移、上下平移.3利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.奇偶性確定函數(shù)的對稱情況，單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢.2．已知f(x)＝2x的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由y＝f(x)的圖象通過怎樣的變化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.[解](1)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向左平移1個單位得到．(2)y＝2x－1的圖象是由y＝2x的圖象向右平移1個單位得到．(3)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個單位得到．(4)∵y＝2－x與y＝2x的圖象關于y軸對稱，∴作y＝2x的圖象關于y軸的對稱圖形便可得到y(tǒng)＝2－x的圖象．(5)∵y＝2|x|為偶函數(shù)，故其圖象關于y軸對稱，故先作出當x≥0時，y＝2x的圖象，再作關于y軸的對稱圖形，即可得到y(tǒng)＝2|x|的圖象．]指數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題[探究問題]1．函數(shù)y＝2x2＋1的定義域與f(x)＝x2＋1的定義域什么關系？提示：定義域相同．2．如何求y＝2x2＋1的值域？提示：可先令t＝x2＋1，則易求得t的取值范圍為[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，故2t≥2，所以y＝2x2＋1的值域為[2，＋∞)．【例3】求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝eq\r(1－3x)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3；(3)y＝4x＋2x＋1＋2.[思路點撥]eq\x(函數(shù)式有意義)→eq\x(原函數(shù)的定義域)eq\o(→,\s\up15(指數(shù)函數(shù)),\s\do15(的值域))eq\x(原函數(shù)的值域)[解](1)要使函數(shù)式有意義，則1－3x≥0，即3x≤1＝30，因為函數(shù)y＝3x在R上是增函數(shù)，所以x≤0，故函數(shù)y＝eq\r(1－3x)的定義域為(－∞，0]．因為x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，所以eq\r(1－3x)∈[0,1)，即函數(shù)y＝eq\r(1－3x)的值域為[0,1)．(2)定義域為R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16.又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，∴函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域為(0,16]．(3)因為對于任意的x∈R，函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2都有意義，所以函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2的定義域為R.因為2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2的值域為(2，＋∞)．1．若本例(1)的函數(shù)換為“y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－1)”，求其定義域．[解]由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－1≥0得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0，∴x≤0，即函數(shù)的定義域為(－∞，0]．2．若本例(3)的函數(shù)增加條件“0≤x≤2”，再求函數(shù)的值域．[解]∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.令2x＝t，則t∈[1,4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，易知f(t)在[1,4]上單調(diào)遞增，∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，即函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2的值域為[5,26]．1．函數(shù)y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．2．函數(shù)y＝af(x)的值域的求解方法如下：(1)換元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定義域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再結合y＝f(u)確定出y＝f(ax)的值域．1．判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)這一結構形式．2．指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關系：在y軸右側，圖象從上到下相應的底數(shù)由大變??；在y軸左側，圖象從下到上相應的底數(shù)由大變小，即無論在y軸的左側還是右側，底數(shù)按逆時針方向變大．3．由于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的定義域為R，所以函數(shù)y＝af(x)(a>0且a≠1)與函數(shù)f(x)的定義域相同，求與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的值域時，要考慮并利用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．【課堂達標練習】1．思考辨析(1)y＝x2是指數(shù)函數(shù)．()(2)函數(shù)y＝2－x不是指數(shù)函數(shù)．()(3)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方．()[答案](1)×(2)×(3)√2．如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系是()A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．a(chǎn)＜b＜1＜d＜cB[作直線x＝1，與四個圖象分別交于A，B，C，D四點，則A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由圖可知b<a<1<d<c，故選B.]3．函數(shù)y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定義域是________．[0，＋∞)[由1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥0得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，∴x≥0，∴函數(shù)y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定義域為[0，＋∞)．]4．設f(x)＝3x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.(1)在同一坐標系中作出f(x)，g(x)的圖象；(2)計算f(1)與g(－1)，f(π)與g(－π)，f(m)與g(－m)的值，從中你能得到什么結論？[解](1)函數(shù)f(x)，g(x)的圖象如圖所示：(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，f(π)＝3π，g(－π)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－π＝3π，f(m)＝3m，g(－m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－m＝3m.從以上計算的結果看，兩個函數(shù)當自變量取值互為相反數(shù)時，其函數(shù)值相等，即當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時，它們的圖象關于y軸對稱．《指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)》專題訓練[合格基礎練]一、選擇題1．若函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則aA．4 B．1或3C．3 D．1C[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a≠1，,a2－4a＋4＝1，))解得a＝3，故選C.]2．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥8)的值域是()A．R B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,256)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,256))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,256)，＋∞))B[因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在[8，＋∞)上單調(diào)遞減，所以0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8＝eq\f(1,256).]3．函數(shù)y＝eq\r(2x－1)的定義域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)C[由2x－1≥0得2x≥1，即x≥0，∴函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，選C.]4．當a>0，且a≠1時，函數(shù)f(x)＝ax＋1－1的圖象一定過點()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D．(1,0)C[∵f(－1)＝a－1＋1－1＝a0－1＝0，∴函數(shù)必過點(－1，0)．]5．函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝－x＋a的圖象大致是()ABCDA[當a>1時，函數(shù)f(x)＝ax單調(diào)遞增，當x＝0時，g(0)＝a>1，此時兩函數(shù)的圖象大致為選項A.]二、填空題6．函數(shù)f(x)＝3eq\r(x－1)的定義域為________．[1，＋∞)[由x－1≥0得x≥1，所以函數(shù)f(x)＝3eq\r(x－1)的定義域為[1，＋∞)．]7．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)經(jīng)過點(－1,5)，(0,4)，則f(－2)的值為________．7[由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋3，所以f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7.]8．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))則函數(shù)f(x)的值域是________．(－1,0)∪(0,1)[由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0.∴函數(shù)f(x)的值域為(－1,0)∪(0,1)．]三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝ax－1(x≥0)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函數(shù)y＝f(x)(x≥0)的值域．[解](1)因為函數(shù)圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，所以a2－1＝eq\f(1,2)，則a＝eq\f(1,2).(2)由(1)知函數(shù)為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2，所以函數(shù)的值域為(0,2]．10．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．(1)設t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值與最小值；(2)求f(x)的最大值與最小值．[解](1)設t＝3x，∵x∈[－1,2]，函數(shù)t＝3x在[－1,2]上是增函數(shù)，故有eq\f(1,3)≤t≤9，故t的最大值為9，t的最小值為eq\f(1,3).(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函數(shù)的對稱軸為t＝1，且eq\f(1,3)≤t≤9，故當t＝1時，函數(shù)f(x)有最小值為3，當t＝9時，函數(shù)f(x)有最大值為67.[等級過關練]1．函數(shù)y＝a－|x|(0<a<1)的圖象是()ABCDA[y＝a－|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))|x|，易知函數(shù)為偶函數(shù)，∵0<a<1，∴eq\f(1,a)>1，故當x>0時，函數(shù)為增函數(shù)，當x<0時，函數(shù)為減函數(shù)，當x＝0時，函數(shù)有最小值，最小值為1，且指數(shù)函數(shù)為凹函數(shù)，故選A.]2．若a>1，－1<b<0，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象一定在()A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限A[∵a>1，且－1<b<0，故其圖象如圖所示．]3．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，則m＋n的值為________．12[∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上為減函數(shù)，∴m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9，故m＋n＝12.]4．函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,3x＋1)的值域是________．(0,1)[函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(3x,3x＋1)，即有3x＝eq\f(－y,y－1)，由于3x＞0，則eq\f(－y,y－1)＞0，解得0＜y＜1，值域為(0,1)．]5．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．(1)若f(x)的圖象如圖①所示，求a，b的取值范圍；(2)若f(x)的圖象如圖②所示，|f(x)|＝m有且僅有一個實數(shù)解，求出m的范圍．[解](1)由f(x)為減函數(shù)可知a的取值范圍為(0,1)，又f(0)＝1＋b<0，所以b的取值范圍為(－∞，－1)．(2)由圖②可知，y＝|f(x)|的圖象如圖所示．由圖象可知使|f(x)|＝m有且僅有一解的m值為m＝0或m≥3.第2課時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應用學習目標核心素養(yǎng)1.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并會應用，能利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪的大小及解不等式．(重點)2．通過本節(jié)內(nèi)容的學習，進一步體會函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具，并能運用指數(shù)函數(shù)研究一些實際問題．(難點)借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).【合作探究】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小【例1】比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.52.5和1.53.2(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1)．[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函數(shù)y＝1.5x的兩個函數(shù)值，由于底數(shù)1.5>1，所以函數(shù)y＝1.5x在R上是增函數(shù)，因為2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函數(shù)y＝0.6x的兩個函數(shù)值，因為函數(shù)y＝0.6x在R上是減函數(shù)，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)當a>1時，y＝ax在R上是增函數(shù)，故a1.1>a0.3；當0<a<1時，y＝ax在R上是減函數(shù)，故a1.1<a0.3.比較冪的大小的方法1同底數(shù)冪比較大小時構造指數(shù)函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性比較.2指數(shù)相同底數(shù)不同時分別畫出以兩冪底數(shù)為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象，當x取相同冪指數(shù)時可觀察出函數(shù)值的大小.3底數(shù)、指數(shù)都不相同時，取與其中一底數(shù)相同與另一指數(shù)相同的冪與兩數(shù)比較，或借助“1”與兩數(shù)比較.4當?shù)讛?shù)含參數(shù)時，要按底數(shù)a>1和0<a<1兩種情況分類討論.1．比較下列各值的大小：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))，2eq\s\up5(\f(2,3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2)).[解]先根據(jù)冪的特征，將這4個數(shù)分類：(1)負數(shù)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3；(2)大于1的數(shù)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))，2eq\s\up5(\f(2,3))；(3)大于0且小于1的數(shù)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2)).(2)中，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))<2eq\s\up5(\f(1,3))<2eq\s\up5(\f(2,3))(也可在同一平面直角坐標系中，分別作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x，y＝2x的圖象，再分別取x＝eq\f(1,3)，x＝eq\f(2,3)，比較對應函數(shù)值的大小，如圖)，故有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up8(\f(1,2))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up8(\f(1,3))<2eq\s\up5(\f(2,3)).利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【例2】(1)解不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤2；(2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范圍．[解](1)∵2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1，∴原不等式可以轉化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是減函數(shù)，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)分情況討論：①當0<a<1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是減函數(shù)，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，根據(jù)相應二次函數(shù)的圖象可得x<－1或x>5；②當a>1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函數(shù)，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，根據(jù)相應二次函數(shù)的圖象可得－1<x<5.綜上所述，當0<a<1時，x<－1或x>5；當a>1時，－1<x<5.1．利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式．2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習慣，若底數(shù)不確定，就需進行分類討論，即af(x)>ag(x)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx>gx，a>1，,fx<gx，0<a<1.))2．若ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范圍．[解]因為ax＋1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x，所以ax＋1>a3x－5，當a>1時，y＝ax為增函數(shù)，可得x＋1>3x－5，所以x<3；當0<a<1時，y＝ax為減函數(shù)，可得x＋1<3x－5，所以x>3.綜上，當a>1時，x的取值范圍為(－∞，3)；當0<a<1時，x的取值范圍為(3，＋∞)．指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的綜合應用[探究問題]1．試結合圖象，分析y＝2－x，y＝2|x|，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1的單調(diào)性，并寫出相應單調(diào)區(qū)間．提示：eq\o(減區(qū)間為－∞，＋∞)eq\o(\a\al(增區(qū)間為0，＋∞,減區(qū)間為－∞，0))eq\o(減區(qū)間為－∞，＋∞)2．結合探究1，分析函數(shù)y＝2|x|與函數(shù)y＝|x|的單調(diào)性是否一致？提示：y＝2|x|的單調(diào)性與y＝|x|的單調(diào)性一致．3．函數(shù)y＝a－x2(a>0，且a≠1)的單調(diào)性與y＝－x2的單調(diào)性存在怎樣的關系？提示：分兩類：(1)當a>1時，函數(shù)y＝a－x2的單調(diào)性與y＝－x2的單調(diào)性一致；(2)當0<a<1時，函數(shù)y＝a－x2的單調(diào)性與y＝－x2的單調(diào)性相反．【例3】判斷f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x的單調(diào)性，并求其值域．[思路點撥]eq\x(令u＝x2－2x)→eq\x(函數(shù)ux的單調(diào)性)→eq\x(函數(shù)y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u的單調(diào)性)eq\o(→,\s\up15(同增異減))eq\x(\a\al(函數(shù)fx,的單調(diào)性))[解]令u＝x2－2x，則原函數(shù)變?yōu)閥＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上遞減，在[1，＋∞)上遞增，又∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u在(－∞，＋∞)上遞減，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x在(－∞，1]上遞增，在[1，＋∞)上遞減．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u，u∈[－1，＋∞)，∴0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，∴原函數(shù)的值域為(0,3]．把本例的函數(shù)改為“f(x)＝2eq\s\up15(－x2＋2x”)，求其單調(diào)區(qū)間．[解]函數(shù)y＝2eq\s\up15(－x2＋2x)的定義域是R.令u＝－x2＋2x，則y＝2u.當x∈(－∞，1]時，函數(shù)u＝－x2＋2x為增函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝2eq\s\up15(－x2＋2x)在(－∞，1]上是增函數(shù)．當x∈[1，＋∞)時，函數(shù)u＝－x2＋2x為減函數(shù)，函數(shù)y＝2u是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝2eq\s\up15(－x2＋2x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)．綜上，函數(shù)y＝2eq\s\up15(－x2＋2x)的單調(diào)減區(qū)間是[1，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1]．函數(shù)y＝afxa>0，a≠1的單調(diào)性的處理技巧1關于指數(shù)型函數(shù)y＝afxa>0，且a≠1的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是fx的單調(diào)性，它由兩個函數(shù)y＝au，u＝fx復合而成.2求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝fu，u＝φx，通過考查fu和φx的單調(diào)性，求出y＝fφx的單調(diào)性.1．比較兩個指數(shù)式值的大小的主要方法(1)比較形如am與an的大小，可運用指數(shù)函數(shù)y＝ax的單調(diào)性．(2)比較形如am與bn的大小，一般找一個“中間值c”，若am<c且c<bn，則am<bn；若am>c且c>bn，則am>bn.2．解簡單指數(shù)不等式問題的注意點(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解．如果a的值不確定，需分0<a<1和a>1兩種情況進行討論．(2)形如ax>b的不等式，注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解．(3)形如ax>bx的不等式，可借助圖象求解．3．(1)研究y＝af(x)型單調(diào)區(qū)間時，要注意a>1還是0<a<1.當a>1時，y＝af(x)與f(x)單調(diào)性相同．當0<a<1時，y＝af(x)與f(x)單調(diào)性相反．(2)研究y＝f(ax)型單調(diào)區(qū)間時，要注意ax屬于f(u)的增區(qū)間還是減區(qū)間.【課堂達標練習】1．思考辨析(1)y＝21－x是R上的增函數(shù)．()(2)若0.1a>0.1b，則a>b(3)a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，則x＝0.()(4)由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)也組不成具有奇偶性的函數(shù)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．若2x＋1<1，則x的取值范圍是()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)D[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函數(shù)，∴x＋1<0，∴x<－1.]3．下列判斷正確的是()A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83C．π2＜πeq\r(2) D．0.90.3＞0.90.5D[∵y＝0.9x在定義域上是減函數(shù)，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]4．已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,9))).(1)比較f(2)與f(b2＋2)的大小；(2)求函數(shù)g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．[解](1)由已知得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)，因為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上遞減，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．(2)因為x≥0，所以x2－2x≥－1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up25(x2－2x)≤3，即函數(shù)g(x)＝aeq\s\up15(x2－2x)(x≥0)的值域為(0,3]．《指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應用》專題訓練[合格基礎練]一、選擇題1．設a＝40.9，b＝80.48，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，則()A．c>a>b B．b>a>cC．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>bD[a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5＝21.5，因為函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.]2．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2a＋1<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－2a，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))B[∵函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上為減函數(shù)，∴2a＋1>3－2a，∴a>eq\f(1,2).]3．若函數(shù)f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是減函數(shù)，則實數(shù)aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))A[由于底數(shù)3∈(1，＋∞)，所以函數(shù)f(x)＝3(2a－1)x＋3的單調(diào)性與y＝(2a－1)x＋3的單調(diào)性相同．因為函數(shù)f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是減函數(shù)，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是減函數(shù)，所以2a－1<0，即a<eq\f(1,2)，從而實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，選A.]4．已知函數(shù)f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，則f(x)()A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)A[因為f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，且定義域為R，所以f(－x)＝3－x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－3x＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x))＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．又y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是減函數(shù)，所以f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是增函數(shù)．]5．函數(shù)y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則函數(shù)y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是()A．6 B．1C．3 D.eq\f(3,2)C[函數(shù)y＝ax在[0,1]上是單調(diào)的，最大值與最小值都在端點處取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函數(shù)y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，故x＝1時，ymax＝3.]二、填空題6．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實數(shù)m，n滿足f(m)>f(n)，則m，n的大小關系為________．m<n[∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是減函數(shù)，又f(m)>f(n)，∴m<n.]7．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，則a，b，c的大小關系是________．b<a<c[因為－1<x<0，所以由指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)可得：2x<1,2－x>1,0.2x>1，又因為0.5x<0.2x，所以b<a<c.]8．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調(diào)遞增區(qū)間為________．[0，＋∞)[由于底數(shù)eq\f(1,2)∈(0,1)，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調(diào)性與y＝1－x2的單調(diào)性相反，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調(diào)遞增區(qū)間就是y＝1－x2的單調(diào)遞減區(qū)間．由y＝1－x2的圖象(圖略)可知：當x≤0時，y＝1－x2是增函數(shù)；當x≥0時，y＝1－x2是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x2的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞)．]三、解答題9．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.[解](1)設u＝－x2＋3x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(17,4)，易知u在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是減函數(shù)，∴a>1時，y＝au在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是減函數(shù)．(2)當x∈(1，＋∞)時，函數(shù)y＝2x－1，因為t＝x－1為增函數(shù)，y＝2t為增函數(shù)，∴y＝2x－1為增函數(shù)；當x∈(－∞，1)時，函數(shù)y＝21－x.而t＝1－x為減函數(shù)，y＝2t為增函數(shù)，∴y＝21－x為減函數(shù)．故函數(shù)y＝2|x－1|在(－∞，1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．10．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)(x∈R)．(1)用定義證明：不論a為何實數(shù)，f(x)在R上為增函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，求a的值；(3)在(2)的條件下，求f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值．[解](1)證明：∵f(x)的定義域為R，任取x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(1,2x1＋1)－a＋eq\f(1,2x2＋1)＝eq\f(2x1－2x2,2x1＋12x2＋1).∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴不論a為何實數(shù)