第23練空間點直線平面之間的位置關(guān)系-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題練習(xí)（新高考）（解析版）

專題07立體幾何初步

第23練空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

誰練基礎(chǔ)

1.（2022?上海長寧?二模）如圖，已知A、B、C、D、E、尸分別是正方體所在棱的中點，則下列直線中與

直線EF相交的是（）.

A.直線ABB.直線BC

C.直線CDD.直線D4.

【答案】A

【解析】如圖，易知AF"G,"GBE,所以A廣〃BE,S-AF=-BE,

2

所以ABE尸為梯形，故AB與EF相交，AlE確;

因為BCMH,MHNL,NLEF,所以BC〃可■,故B錯誤;

因為平面CDH，平面EFNL,CDU平面CDH,EFU平面EFNL,

所以直線CQ與直線EF無公共點，故C錯誤；

因為ADU平面4DF,EFl平面ADP=F,故AD與EF異面，D錯誤.

故選：A

2.（2022?江蘇常州?模擬）已知直線相，〃是平面。的兩條斜線，若“，〃為不垂直的異面直線，貝∣"m〃

在平面ɑ內(nèi)的射影M，〃’()

A.不可能平行，也不可能垂直B.可能平行，但不可能垂直

C.可能垂直，但不可能平行D.可能平行，也可能垂直

【答案】D

【解析】如圖，在正方體中，即AA為機，EF為n,底面ABCO為平面α,則〃?，〃在平面ɑ內(nèi)的射影AZ)

和CD垂直；

如圖，在正方體中，即為"?，BG為n,底面ABCD為平面α,則〃?，〃在平面ɑ內(nèi)的射影AD和BC平

行；

綜上，，小〃在平面α內(nèi)的射影H,〃'可能平行，也可能垂直.

故選：D.

3.(2022?福建福州?三模)在底面半徑為1的圓柱00∣中，過旋轉(zhuǎn)軸00∣作圓柱的軸截面ABCQ,其中母線

AB=2,E是BC的中點，F(xiàn)是A8的中點，貝IJ()

A.AE=CF,AC與E尸是共面直線B.AE≠CF,AC與E尸是共面直線

C.AE=CF,AC與E尸是異而直線D.AE≠CF,AC與E尸是異面直線

【答案】D

【解析】解：山題意，圓柱的軸截面ABC。為邊長為2的正方形，

E是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，

所以ACU平面ABC,EF與平面ABC相交，且與AC無交點，

所以AC與EF是異面直線；

XCF=√l2+22=√5,Af=^22+(√2)2=√6,所以AEXC

4.（2022?北京?1（）1中學(xué)模擬）在如圖所示的四個正方體中，能得出AB，。。的是（）

【答案】A

【解析】根據(jù)各選項圖形知：A中ABJ_CE＞；8中A8和的夾角為60。；C中AB和C。的夾角為45。；D

中AB和的夾角為arctan收；

故選：A

5.（2022?黑龍江?牡丹江市第三高級中學(xué)三模（文））在長方體ABCQ-A中，A8=3,AO=4,AAi

=2,則異面直線AC和8C/所成角的余弦值是.

【答案】盛

25

【解析】如圖，連接A。/,CD1,則/Q∕AC（或其補角）就是異面直線Ae和3。所成的角，

易知AC=5,AD∕=2√5.CDi=岳,山余弦定理得

AD,2+AC2-CD,28√5

cosZDjAC=

2ADi?AC25

故答案為：隨

25

6.（2022?山東濟南?二模）下列命題：

①平行于同一條直線的兩條直線平行；

②如果平面外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，那么該直線與這個平面平行；

③如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；

④如果一條直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線垂直于這個平面；

⑤如果一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么直線也和斜線垂直.

其中正確命題的序號為.

【答案】①②③

【解析】①，根據(jù)平行公理可知：平行于同一條直線的兩條直線平行.所以①正確，

②，根據(jù)線面平行的判定定理可知：如果平面外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，那么該直線與這個

平面平行，所以②正確.

③，結(jié)合面面平行的判定定理可知：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個

平面平行.所以③正確.

④，如果一條直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么該直線可能在這個平面內(nèi)，所以④錯誤.

⑤，如果一條直線/和平面ɑ的一條斜線α在平面內(nèi)的射影匕垂直，直線/La時，但/與α不垂直.

所以⑤錯誤.

故答案為：①②③

2維練能力J//

1.（2022?上海黃浦?二模）如圖，已知尸、。、R分別是正方體ABC。-AAGR的棱AB、BC和GA的中

點，由點尸、。、R確定的平面夕截該正方體所得截面為（）.

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【解析】如圖，分別取A4、AA、CG的中點F、E、M,連接RAFE、EP、PQ、QM.MR,

由正方體性質(zhì)RF//PQ,所以R、足P、QW平面a,且RF//PQ//MN,又。尸、RP、EN交于同一點。，所

以區(qū)Me平面α,所以點尸、Q、R確定的平面夕即為六邊形RFEPQM

2.（2022?山東濰坊?模擬）學(xué)校手工課上同學(xué)們分組研究正方體的表面展開圖.某小組得到了如圖所示表

面展開圖，則在正方體中，AB.CD、EF.GH這四條線段所在的直線中，異面直線有（）

A.1對B.3對C.5對D.2對

【答案】B

【解析】作出正方體的圖形如下圖所示:

?iκi?

則AB與CD、ABliGH、EFhiG”是異面直線，共3對.

故選：B.

3.（2022?北京?北大附中三模）已知平面α,6,/,直線用和”，則下列命題中正確的是（）

A.若“貝IJa〃/

B.若C_Ly,￡_Ly,則α〃夕

C.若，J_c,則“〃α

D.若加〃s〃〃￡,則加〃”

【答案】A

【解析】選項A正確，因為垂直于同一直線的兩個平面互相平行；

選項B錯誤，平面α和夕也可以相交：

選項C錯誤，直線〃可能在平面ɑ內(nèi)；

選項D錯誤，直線機和〃還可能相交或者異面.

故選：A.

4.（2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬）已知直三棱柱ABC-ABQ,若AB=BC=B瓦，ABLBC,D是棱CG

中點，則直線AC與直線4。所成角的余弦值為（）

A.JLB.也

33

C叵D?巫

55

【答案】C

【解析】若G為Bq中點，連接CG,AG,又。是棱CG中點,

所以，在直三棱柱ABC-AqG中C。//與G且Cz）=BlG,即COAG為平行四邊形,

所以CG//BQ,則直線AC與直線8Q所成角即為NACG,

若AB=BC=BB1=2,則CG=AG=-^5,AC=2>

8√IO

所以COSN4CG=

2×Λ∕5×2Λ∕2

故選：C

5.（2022?北京東城?三模）如圖，在正方體ABC。-ABCR中，E,F分別為CC/,DG的中點，則下列

直線中與直線魴相交的是（）

A.直線AFB.直線AAC.直線CQlD.直線AA

【答案】A

【解析】連接ERCR,AB,則E—/CR,EF=；CR,

山ADJiBCAD?=BC,可得四邊形ARCB為平行四邊形,

；?AxBI/CD1,A1B=CD1,

所以EF∕∕AB,EF=gAB,即四邊形EEBA為梯形，

故直線AF與直線BE相交，

直線A。與直線BE為異面直線，直線GA與直線BE為異面直線，直線AA與直線BE為異面直線.

故選：A.

6.（2022?遼寧?沈陽二中模擬）如圖，G、H、M、N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線

GH與MN是異面直線的圖形有.

【答案】②④

【解析】解：根據(jù)題意，

在①中，MG//MV且"G=M7,則四邊形用GHN是平行四邊形，有HG//MN,不是異面直線；

圖②中，G、H、N三點共面，但M史面G”N,因此直線G”與MN異面；

在③中，M.N分別是所在棱的中點，所以GM”HN且GM≠HN、故HG,NM必相交，不是異面直線;

圖④中，G、M、N共面，但"任面GMN,.?.G”與MN異面.

所以圖②④中G”與MV異面.

故答案為：②④.

7.（2022?海南?孟津縣常袋鄉(xiāng)石碑凹中學(xué)模擬）如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，NAeB=90。，

AAx=AC=BC=X,則異面直線AB與AC所成角的余弦值是.

【答案邛

【解析】解：連結(jié)BG，?.?AC"AG,

???NCdB是異面直線AB與AC所成角（或所成角的補角），

o

???在直三棱柱ABC-A4G中，ZACB=90,AAl=AC=BC=?,

'AB=EAyB=BBCt=√2,A￡=l，

?,?CoSNCIAB=曰'

二異面直線AB與AC所成角的余弦值為名

故答案為：f

8.（2022?四川?綿陽中學(xué)實驗學(xué)校模擬（文））已知正三棱柱ABC-的所有棱長均相等，直線4片與

BG所成的角為O,則sin，=

【答案】叵

4

【解析】設(shè)P,M,MG分別為A8陰,4G中點，連接PM,MN,PN,NG,PG,

-PMHABxrMNIlB3,

二.直線A片與BC1所成角為/PMN的補角，即NpMN=萬—2

設(shè)正三棱柱的棱長為1,

：.PM=-AB.=—,MN=-BC=~,PG=-AC=-,NG=L

21222l22

.?.PN=?JPG2+NG2=—，

2

PM2+MN2-PN2?

.,.cosZ.PMN=

2PMMN4

?

貝IJcosθ=—cos（萬一。）二一cos/PMN

4

又丑聞

.,.sinθ-JI-COS2Θ=.

4

故答案為：叵.

4

3維練素養(yǎng)

1.（2022?山東聊城?二模）已知某圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，直線/是底面所在平面內(nèi)的一條直線，則

該直線/與母線所成的角的余弦值的取值范圍為（）

【答案】A

【解析】設(shè)底面圓的半徑為，母線長為R，因為圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，

1jr

所以］?2Q?R=3Q2,即R=3＞因為直線與直線所成角的范圍為0,-,

所以當(dāng)直線/與底面圓相切時，直線/與母線所成角最大為則該直線/與母線所成的角的余弦值的最小值

為COSl■=（）;

當(dāng)直線/過底面圓的圓心時，由線面角的定義可知，此時直線/與母線所成角最小，則該直線/與母線所成的

角的余弦值的最大值為g=W=!,

ACR3

即該直線/與母線所成的角的余弦值的取值范圍為OT.

故選：A

2.（2022?浙江省義烏中學(xué)模擬）直線ɑ,平面α,直線劭平面萬，則“力，”是“a/夕’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因為直線平面a,直線b〃平面夕，若01:，則a、4平行、相交或重合，

即上山K“a〃￡”:

若a〃￡,則直線a,平面夕，設(shè)過直線6的平面/與平面夕相交，交線為c,

因為直線6〃平面夕，立線力U平面人平面/平面/=直線c,所以，直線6〃直線c,

因為直線aJ?平面夕，直線CU平面4，所以，直線直線c,故直線直線8,

即“。_LbU"。/夕【

因此，"a1是"W夕’的必要不充分條件.

故選：B.

3.（2022?福建莆田?模擬）莆田媽祖城有一鐘樓，其頂部可視為正四棱柱與正四棱錐的組合體，如圖，四

個大鐘分布在正四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針成

60。角的次數(shù)是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】由題設(shè)，在0、6點時相鄰鐘面上的時針都平行，即夾角為。度：在3、9點時相鄰鐘面上的時針

垂直，即夾角為90度，

所以相鄰鐘面上的時針，在0~3、3~6、6~9、9~12點之間各有一次成60。角的情況，故共有4次成60。

角.故選：B

4.（2022?重慶南開中學(xué)模擬）如圖，在三棱錐A—BCD中，AB=AC=BD=CD=?）,AD=BC=2,M,

N分別是AD,3C的中點.則異面直線AN,CM所成角的余弦值為（）

56

R

A.6--7-

【答案】C

【解析】解：如圖，連接BM，取BM的中點。，連接ON，

因為N是8C中點，則ON//CM,

所以NANO（或其補角）就是異面直線AMCM所成的角，

由已知AV=CW=j32-f=2√∑,NO=-CM=y[2,AO=JI、電￥=G，

所以COSRO=生空嘩小型

2×2√2×√28

7

所以異面直線AN，CM所成角的余弦值為《

O

故選：C.

A

5.（2022?廣東?模擬）已知是空間中兩條互相垂直的異面直線，則下列說法正確的是（）

A.存在平面α,使得αuα且b_La

B.存在平面?，使得bu夕且

C.存在平面/,使得a_L?,b_Ly

D.存在平面e,使得

【答案】ABD

【解析】如下圖，可知A、B、D都正確，而滿足C的平面/不存在.

故選：ABD.

6.（2022?廣東?模擬）如圖，在正三棱柱ABC-ABe中，AA=248,β>=（1-2）B?（0≤Λ≤1）-則下列

結(jié)論正確的是（）

A.不存在2,使得異面直線48與GP垂直

B.當(dāng)X=：2時，異面直線AP和BC所成角的余弦值為熱3

C.若Aβ=l,當(dāng)4=（時，三棱錐P-ABCl的外接球的表面積為T

D.過戶且與直線A8和直線BG所成角都是60。的直線有兩條

【答案】ABC

【解析】對于A,假設(shè)存在;1滿足題意，使得ABLC/,又ABL，BBlCGP=P,所以ABj_平面CBAG，

所以Afi_L8C,這與，ABC是正三角形矛盾，所以假設(shè)不成立，故A正確；

2T]T

對于B,當(dāng)2=§時，BP=-BBt,如圖1,

取AA靠近點4的三等分點H,連接B4,CH,易得3P∕∕∕M1,BP=H4∣,所以四邊形BPAH是平行四邊

形，則BH/M1P,所以NCBH或其補角即為異面直線AP和BC所成的角，設(shè)AA=2A8=2,則BC=I,

Γ-77SBH=BdH?13

SH=Cff=Jl+-=-,在.8C”中，由余弦定理得c°sNC—一2BH?BC-'5「歷,故B正

V932×-×l

確；

對于C,AA=24B=2,當(dāng)/=:時，結(jié)合正弦定理可得得外接圓的半徑2r=-!—=氈nr=3，

2sin60033

設(shè)N?ABIG外接圓的圓心為。I，三棱錐P-A4G的外接球球心為O,半徑為R，如圖2,

rH↑

易知Oq=T4尸=；,K=0。：+戶=氐,所以三棱錐P-AMG的外接球的表面積為勿代=與，故C正

確;

對于D,在平面ABiBA和平面及GCB內(nèi)，過點尸分別作直線AB和直線與G的平行線和.，由異而宜

線所成的角的定義知：過P的直線與直線AB和直線所成角與過P的直線與直線p。和PE所成角相等，

如圖3,過P作4〃OE；

/1

圖3

如圖4,過P作4，使得/尸PE=NT=PD=60。；

如圖5,過P作4，使得/GPE=/GPZ）=60。，共三條，故D錯誤.

7.（2022?山東威海?三模）已知a、￡是兩個不同的平面，加、〃是平面a及萬外兩條不同的直線，給出四

個論斷：①加_L〃，②a〃〃，③〃Iβ,@mLa,則正確的是（）

A.②③④n①B.①③④=>②C.①@③D.①②③=>④

【答案】AC

【解析】對于A,箱a〃β,Mla,則，又Y“β,：.m±n,故A正確：

對于B,若m_La,機_1_〃，則"〃a,有="/,；.a與0平行或相交，故B錯誤；

對于C,若a〃/?,mLa.則/〃_!■?，又，：mLn`.,.n∕/β,故CIE確：

對于D,若〃β,a∕∕β,則〃〃a,又則，〃與a平行或相交，故D錯誤.

故選：AC.

8.(2022?湖北?模擬)已知四面體ABCO中，AB=CD=2,BC=4,AC=BD=2小,直線AB與CC所

π

成角為則下列說法正確的是()

B.A。與8C所成角余弦值一定為W

A.AO的取值可能為2逐

C.四面體ABCC體積一定為延

D.四面體ABC。的外接球的半徑可能為2及

3

【答案】ACD

【解析】由題可知，ABlBC,DCLBC,則可將四面體ABC。的四個頂點放入如下圖所示的直?:棱柱中,

1TT

考慮到直線48與CD所成角為r,故有如卜兩種情況：

對于左圖，ZAθE=y,則A￡=2,Az)=疹工7=2石；此時A。與5C所成角余弦值為竽：所以選項

A正確；

因為匕?-F8=(gx2x2χsinq)χ4=4√5,

所以vA-BCD=vF-BCD=VH-FCD=匕IHE-FCT)=:

分別取三棱柱ABE-尸8上下底面三角形的外心G,H,連接GH,則線段G”的中點。即為三棱柱

ABE-FCD外接球球心，也即為四面體ABCD的外接球心,

故四面體ABCD的外接球半徑OB=yjOG2+GB2

24

對