湖南省多校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)含解析

湖南省多校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁(yè)。全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上

無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知全集U=R,集合A={x∈Z∣0<W≤2},8={T,0,l,2,3},則圖中陰影部分表示的集合為

()

A.{-2,0}B.{-2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,0,3}

2.若復(fù)數(shù)3+i為方程/+,nr+”=。(〃?，rt∈R)的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)根是()

A.-3—iB.3—iC.i-3D.i+3

3.將A,B,C,D9E五個(gè)字母排成一排，且A,后均不排在兩端，則不同的排法共有()

A.108種B.72種C.36種D.18種

22

4.已知方程+二一=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是()

k-?9-k

A.(1,9)B.(-∞,9)C.(1,5)(5,9)D.(1,4∞)

5.已知log,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A，［*)b,(?！?C?(J』d?f03

6.如圖，沿著網(wǎng)格線(xiàn)，先從點(diǎn)4到點(diǎn)B,然后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,到達(dá)點(diǎn)。的最短的路徑的條數(shù)為()

U

A.720B.480C.360D.240

7.在三棱錐P—ABC中，B4，面ABC,∕?=AB=3,AC=4,且NB4C=60°,若G為△/?8的

重心，則CG與平面ABC所成角的正弦值為()

√34√2√182√14

A.--B.----C.-----D--.--

661414

8.甲盒中有2個(gè)紅球和1個(gè)黃球，乙盒中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，丙盒中有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球.從甲

盒中隨機(jī)抽取一個(gè)球放入乙盒中，攪拌均勻，然后從乙盒中隨機(jī)抽取一個(gè)球放入丙盒中，攪拌均勻后，再

從丙盒中抽取一個(gè)球，則從丙盒中抽到的是紅球的概率為()

?17c16-13c13

A.—B.—C.—D.—

36271854

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知雙曲線(xiàn)C:χ2-4y2=],則雙曲線(xiàn)的()

A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(、后,0),(-√5,θ)

B.離心率為J5

c?漸近線(xiàn)方程為x+2y=0和x-2y=0

D.虛軸長(zhǎng)為1

10.已知隨機(jī)事件A,B滿(mǎn)足P(A)=g,P(B)=g,則()

A.若事件4,B互斥,則P(A+B)=?∣

B.若P(A+3)=*,則事件4,8互斥

6

C.若事件A,8相互獨(dú)立，則P(AB)=(

D.若P(AB)=L,則事件A,B相互獨(dú)立

6

11.如圖，已知A。，BE,CT分別是BC的三條中線(xiàn)，G為BC的重心，設(shè)尸為AABC所在平面上

任意一點(diǎn)，則()

A.GA+GB+GC=QB.PA+PB+PC=PG

C.PA+PB+PC=PD+PE+PFD.BC-AD+CA-BE+ABCF

12.如圖，已知直四棱柱ABeD-A4GA的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，A41=3,E,F,G分別為A&,

AB,CG的中點(diǎn)，H為正方形4片￡。（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.存在點(diǎn)H,使得E,F,G,”四點(diǎn)共面

B.存在點(diǎn)H,使得“G_L面”E尸

C.若EGLFH,則”的軌跡長(zhǎng)度為2夜

D.四面體EFG”的體積為定值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知α為第二象限角，sin—=—,則tana的值為_(kāi)_____.

23

14.從編號(hào)為1~5號(hào)的球中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記編號(hào)為i,再?gòu)氖Ｏ碌那蛑腥〕鲆粋€(gè)球，記編號(hào)為j,在i<j

的條件下，∕<i+2的概率為.

15.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)4：-2=0與"：〃式一y+2w=0交于點(diǎn)P,則IOPl的值為.

16.已知函數(shù)/（X）=G?+%一χ]nx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x∣,X2,且x∣<X2<2x∣,則a的取值范圍是

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

17.（本小題滿(mǎn)分10分）

設(shè)/(x)=(l+χ2)-(l+x)~”(m∈N,,n∈N*).

(1)當(dāng)根=4,〃=3時(shí)，記/(x)的展開(kāi)式中x'的系數(shù)為4(Z=0,1,2,3,4,5,6,8),求生+4

的值；

(2)若/(x)的展開(kāi)式中f的系數(shù)為20,求'的最小值.

18.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ABlBC,AP_L平面ABCr>,

。為線(xiàn)段PO上的點(diǎn)，DQ=ZPQ,AB=BC=PA=I,AD=2.

(1)證明：BP〃平面ACQ；

(2)求直線(xiàn)PC與平面AC0所成角的正弦值.

19.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知正項(xiàng)數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和為5“，且45“=44,,+(4,-+I)。n∈N*,n≥2,a1=1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：---1----1----1---1---<—.

SlS2S3Sn3

20.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知尸為拋物線(xiàn)丁2=2〃%(〃>0)的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(4,0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于4,B兩點(diǎn)，

且滿(mǎn)足Q4,08.

(1)求P的值；

(2)若NA∕8=120°,求直線(xiàn)AB的方程.

21.(本小題滿(mǎn)分12分)

目前，我國(guó)近視患者人數(shù)多達(dá)6億，青少年近視率居世界第一，從宏觀出發(fā)，為了民族的未來(lái)，從微現(xiàn)出

發(fā)，為了青少年的健康，青少年的近視問(wèn)題已經(jīng)提升到國(guó)家戰(zhàn)略層面.根據(jù)衛(wèi)健委要求，某中學(xué)抽查了60

名學(xué)生的視力情況，按[4.0,4,2),[4,2,4.4),[4,4,4,6),[4,6,4,8),[4,8,5,0),[5.0,5.2]分組，制

作成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)為了作進(jìn)一步的調(diào)查，從視力在［4,0,4,4］內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，若已知其中有兩人的視力落在

［4,0,4.2］內(nèi)，求另外四人視力均落在［4.2,4.4］內(nèi)的概率;

(2)用樣本頻率估計(jì)總體，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，記視力落在區(qū)間［4,8,5.2］內(nèi)的人數(shù)為X,

E(X)+E(Y)

落在區(qū)間［4.6,5.0)內(nèi)的人數(shù)為匕試求的值.

E(x+r)

22.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知函數(shù)/(x)=e*-l,g(x)=ln(x+l).

(1)若/(x)2依(x)在(0,4W)上恒成立，求4的取值范圍；

(2)設(shè)A(XI,χ)(X］>0)為y=/(χ)圖象上一點(diǎn)，β(x2,y2)(x2>0)為y=-g(x)圖象上一點(diǎn)，。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，若ZAOB為銳角，證明：x2>X：.

湖南省多校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.答案：D

解析：全集為U,集合A={—2,—1,1,2},B={-1,0,1,2,3},圖中陰影部分表示的集合是{-2,0,3}.故

選D.

2.答案：B

解析：根據(jù)實(shí)系數(shù)方程的虛根成共軌復(fù)數(shù)可知，另一個(gè)復(fù)數(shù)根為3-i,故選B.

3.答案：C

解析：將A,B,C,D,E五個(gè)字母排成一排，且A,E均不排在兩端，首先將A,E排在中間3個(gè)位置，

有A；種排法，再將剩下的3個(gè)人全排列有A；種排法，所以一共有A；A；=36種排法.故選C?

4.答案：C

22[J>。，

解析：因?yàn)榉匠桃灰?上一=1表示橢圓，所以有<9一人>0,解得1<左<5或5<左<9.

k—\9—k

k-?≠9-k,

5.答案：A

1

解析：當(dāng)O<a<l時(shí)，Iogn?<2=Iogna,即即O<α<g,

又>2,即22-2">2,故2—加>1,即O<α<L,

當(dāng)α>l時(shí)，由<1<2,無(wú)解，

綜上，實(shí)數(shù)α的取值范圍是(θ,g).故選A.

6.答案：C

解析：從A點(diǎn)到B點(diǎn)需要向右走3段，向上走3段，共有C：=20種，

從B點(diǎn)到C點(diǎn)，向下走1段，向右走2段，共C；=3種，

從C點(diǎn)到。點(diǎn)，向右走2段，向上走2段，共C；=6利

因此，從A點(diǎn)到。點(diǎn)的最短路徑的走法有20*3x6=360種.故選C.

7.答案：D

解析：因?yàn)镚為重心，故AG=J(AB+AP),從而CG=C4+AG='A8+!AP-AC,

3、/33

22

I∣21Z?1/\2222

∣CG∣=-(AB)+-(AP)+AC+-AB-AP--AB-AC--AP-AC=?+l+?6-4=14.

ap∣CG∣=√i4.

11

APCG=-APAB+-APAP-APAC=3,

33

√14

則COS(AP,CG)=APCG3

∣AP∣?∣CG∣-3√14~?A

注意到平面機(jī)的法向量即正因此CG與平面視所成角的正弦值即J為↑4音.故選D.

1311

解析：甲盒抽到黃球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為R=系/丁日

1121

甲盒抽到黃球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紅球的概率為P2=?

234318

2111

甲盒抽到紅球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為P,=Wx上X■L=上，

33239

2111

甲盒抽到紅球，乙盒抽到黃球，丙盒抽到紅球的概率為P,=WχLx■L=上，

33239

2122

甲盒抽到紅球，乙盒抽到紅球，丙盒抽到紅球的概率為P,=*χLXW=W

43239

111217

因此丙盒中抽到的紅球的概率為++故選

pl+p2+P3+Ap+-=A?

9.答案：CD

1_√5

解析：由α=l,hc-——

22

10.答案：ACD

P(A+8)=P(A)+尸(B)=L+，=?，故A正確;

解析：對(duì)于A選項(xiàng),

236

對(duì)于B選項(xiàng)，P(A+6)=P(A)+P(6),并不一定有A,8互斥；B錯(cuò)誤

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槭录?,B相互獨(dú)立，故P(AB)=P(A)P(B)=LxL=L,故C正確;

236

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)镻(AB)=L=LxL=P(A)P(B),故事件A,8相互獨(dú)立，故D正確.

623

II.答案：ACD

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，注意到AG=2GO,因此AG=2GZ)=GB+GC,從而GA+GB+GC=O,故A

正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，由64+65+6。=0可得抬一26+依-。6+7＞。一26=0,即/54+/56+2。=3/56,

故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)，PA+PB^2PF,PB+PC=IPD,PC+PA=IPE,相加即得

PA+PB+PC=PD+PE+PF,故C正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，2BC?AD=BC?(AB+AC)=A3?BC+BC?AC,同理2C4?BE=CA?BC+C4?BA,

2ABCF^ABCB+ABCA,三式相加即得BC?AQ+C4?BE+AB?C尸=O,故D正確.

12.答案：AC

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)H為ClA時(shí)，E,F,G,H共面，故A正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，”G在面ABBlA上的投影不可能與EF垂直，因此”G不垂直于ER從而B(niǎo)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng),取A",ABl的中點(diǎn)例,N,當(dāng)”在MN上時(shí),FH在面A4GA上的投影為MA而N"J.AG,

且AG〃EG,因此「HLEG,即H的軌跡即為MM且其長(zhǎng)度為MN=2近，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，由于面EFG與面AqClA不平行，因此體積不為定值.故D錯(cuò)誤.

13.答案：-4√5

解析：由α為第二象限角可知區(qū)在第一、三象限，而Sinq=或＞0,則色在第一象限，故tant=@

223222

2x6

2Ctan—a

因止匕tana=-------?=-4√5

2a

1—tan—1-2

24

2

14.答案：一

5

解析：設(shè)事件A：i<j'事件8：j<i+2,則事件AB：i<j<i+2,則MA)=C=,n(AB)=4,從

442

而P(BIA)

C；105

15.答案：2

解析:直線(xiàn)4過(guò)定點(diǎn)A(2,0),/2過(guò)定點(diǎn)W-2,0),

當(dāng)〃z≠0時(shí)，兩直線(xiàn)的斜率分別為K=一,，k,=m,k/,=—1,故APL3P,從而OP=LA8=2；

in2

當(dāng)帆=O時(shí)，易求得P(2,0),此時(shí)IOpl=2,

綜上可知，IQH=2.

In21

16.答案:

^4^,2e

InY

X

解析：依題意/'(》)=2分一111%有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程2。=%’有兩個(gè)解再，x2,且滿(mǎn)足∣<X2<2%,

設(shè)g(x)=(,則直線(xiàn)y=24和函數(shù)g(x)=W的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且滿(mǎn)足藥</<2和

因?yàn)間'(x)=>0),因此函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+。。)上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)g(x)在x=e處取得最大值，最大值為g(e)=f故2α<L

所以作直線(xiàn)y=α和函數(shù)g(x)=W的圖象如下：

由圖象知：l<%<e<X2,

e

因此①當(dāng)l<x1<5時(shí)，2x1<e<x2,不符合題意；

②當(dāng)M>?∣時(shí)，要e≤X2<2xl,而函數(shù)g(x)在(e,÷oo)上單調(diào)遞減,

則g(2xj<g(w)=g(xj,即4N1<S,解得In玉>ln2,所以2<x∣<e.

綜合①②得2＜玉＜e.

g(2)=(,g(e)=∣,所以“的取值范圍是In21A

又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在(2,e)上單調(diào)遞增,,

^4'2ey'

17.解析：(1)由題意“x)=(l+χ2)4-(l+χ)6.

24

(l+x)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Z5=Ctf"

(1+%)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為(+|=鹿/,……2分

故為=V=-20,4=C；V=_9,

因此為+%=-29;...5分

(2)C2〃(2"二1)=20,即祖=2"一〃+20,……6分

由函數(shù)g(x)=x+?在(0,M)上單調(diào)遞減，在(√I6,+oo)上單調(diào)遞增.

注意到〃取值為整數(shù)，因此g(〃)=〃+?的最小值為min{g(3),g(4)}=里.……9分

因此畫(huà)的最小值為光一1=9，……10分

n33

18.解析：(1)證明：如圖，連接B。與AC相交于點(diǎn)例，連接M。，

VBC//AD,AD^2BC,.：MD=2BM,……2分

?：DQ=ZPQ,：.MQ〃BP……4分

?；MQ//BP,BP仁平面ACQ,MQU平面ACQ,二3尸〃平面AC。；6分

(2)由A3,AD,AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

各點(diǎn)坐標(biāo)如下：4(0,0,0),C(1,1,O),P(0,0,1),βlo,∣,∣j.

P

Q

'?r……8分

設(shè)平面ACQ的法向量為加=(x,y,z),

,22、AC?加=x+y=O,

由AC=(l,l,0).AQ-0,-,—.有<22令X=1，?=-1>z—1,可得

I33)AQ-m=—y+—z=0,

33

m=(l,-l,l),.......10分

由CP=(TT,1),有CPs=I,∣CP∣=同=Gsin(CP,πι?-—p=—p=——.

'/√3×√33

故直線(xiàn)尸C與平面ACQ所成角的正弦值為g?……12分

19.解析：依題意，當(dāng)“≥2時(shí)，由4S,,=4α,,+(%τ+l)2,可得4S.∣=(。,一+1＞，……2分

22

則4S,,=｛an+1),兩式相減可得4q=(an+1/1),

即(％Tf=，即&+加一2)=0，

因?yàn)椋?｝為正項(xiàng)數(shù)列，因此為=α,ι+2,……5分

則｛%｝是以4=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則%=2及一1：……6分

(2)由5“=a“I]=A?,

=II444J11、

而—=~7=---7<---?----=7--------77--------7=2------------------,........

Sfln~4/r4/?~-1+?2n-?2π+l√

1111

------1--------1--------F???++MM…+MM」+…

S?S32232n2(352?-12/1+1J32n+l

l±1...±?5.

gp++++12分

SlS?S3SH3

20.解析：(1)設(shè)A(X],yj,B(A?,%),直線(xiàn)AB：x=zny+4,

聯(lián)立拋物線(xiàn)方程得y2-2p"zy-8p=0,得y∣+%=2pm,yly2=Sp,......3分

則XIX2=(Mq)-=16.

^4p2

由(MLOB可得玉々+X%=。，可得16—8/?=0,得p=2,……5分

(2)由(1)可知拋物線(xiàn)方程為V=4x,F(1,O),

此時(shí)AB；X=tny+4,y1+y2=4m,yly2=-16.

22

∣E4∣?∣FB∣=(x1+l)(x2÷l)=(mγ1+5)(my2+5)=^yly2+5m(y1+γ2)+25=4m+25,......7分

FAFB=(Xl-l)(x2-1)+γlγ2=(wγ1+3)(wγ2+3)+y1γ2

2

=(∕"2+l)y∣%+3,然(X+y2)+9=-Am-7.......9分

1FA-FB-4/??2-7—,解得加=±」?,......11分

由cosZAFB=一一=>1——π

2∣E4?∣FB∣Am2+2522

因此直線(xiàn)AB的方程為x=±乎y+4,即2x±JTFy-8=0.……12分

21.解析:⑴視力落在［4,0,4.2］內(nèi)的人數(shù)為3,視力落在［4,2,4.4］內(nèi)的人數(shù)為6.

設(shè)事件4抽取的6人中有兩人的視力落在［4,0,4.2］內(nèi)，事件&剩下的四人視力落在［4.2,4.4］內(nèi).

則P(A)=3、6,P(AB)=??,……2分

C9Cq

(4

從而P(MA)=/(”)一C/,3×159

2414分

L)P(A)g+g3×15+2013

(2)視力落在區(qū)間［4.8,5.2］內(nèi)的概率為0.2*(1+1.5)=］,故乂~川2,；

視力落在區(qū)間［4.6,5.0)內(nèi)的概率為0.2X(1.25+1)=4，故F~B∣2,

1OIQ

.?.f(X)+E(y)=2×-+2×-=—6分

v7v722010

令Z=X+y,則Z的可能取值為0,1,2,3,4,

若抽取的學(xué)生視力落在［4.6,4.8),［5.0,5.2］內(nèi)，則Z的值+1,若落在［4.8,5.0)內(nèi)，則Z的值+2,

視力落在［4.6,4.8)I［5.0,5.2］內(nèi)的概率為:+=Κ，落在［4.8,5.0)內(nèi)的概率為t,

∣2=?iP(ZT=哈

則P(Z=O