2023年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)：最值（范圍）問(wèn)題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)

第U天最值（范圍）問(wèn)題

③③卷⑤卷鯉）⑥

最值問(wèn)題，在中考里，無(wú)論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺(jué)

有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方。在各地中考種都以

中高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。

預(yù)測(cè)分值：10分左右

難度指數(shù)：★★★★

E必考指數(shù)：★★★★

1）.在代數(shù)部分最值問(wèn)題多出現(xiàn)在函數(shù)部分，無(wú)論是一次函數(shù)還是二次函

數(shù)，都需要先求自變量的取值范圍，再求函數(shù)解析式，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，求

得最值。有關(guān)內(nèi)容在前面的一次函數(shù)、二次函數(shù)中都有諸多體現(xiàn)。近幾年,

利用配方法求最值來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，也常常見(jiàn)到。

2）在幾何最值問(wèn)題，八何背景下的最值是考生感覺(jué)較難的，往往沒(méi)有思路。

常見(jiàn)的有：（1）幾何圖形中在特殊位置下的最值;⑵比較難的線段的最值問(wèn)

題，其依據(jù)是:①兩點(diǎn)之間，線段最短;②垂線段最短，涉及的基本方法還有:

利用軸對(duì)稱(chēng)變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大干第三邊”“三角

形兩邊之差小干第三邊”等;③借助干圓的知識(shí);④二次函數(shù)的最值法解決。

⑥令⑥⑥

真題回顧

一.選擇題

1.（2022?阜新）在有理數(shù)T,-2,0,2中，最小的是（）

A.-1B.-2C.0D.2

2.（2022?郴州）有理數(shù)-2,0,3中，絕對(duì)值最大的數(shù)是（）

22

13

A.-2B.—C.0D.-

22

3.（2022?杭州）圓圓想了解某地某天的天氣情況，在某氣象網(wǎng)站查詢(xún)到該地這

天的最低氣溫為-6°C,最高氣溫為2"C,則該地這天的溫差（最高氣溫與最低氣

溫的差）為（）

Q

-6oC-2βC

小雨

東北風(fēng)3~4級(jí)

優(yōu)

A.-8°CB.-4°CC.4°CD.8°C

4.（2022?云南）中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運(yùn)算的

國(guó)家.若零上10°C記作+10°C,則零下10。C可記作（)

A.IOoCB.0°CC.-ιo°cD.-20°C

5.（2022?瀘州）與2+√i?最接近的整數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

6.（2021?日照）在下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，最大的實(shí)數(shù)是（）

A.-2B.-JlC.?D.0

2

7.（2021?徐州）下列無(wú)理數(shù)，與3最接近的是（）

A.y∕βB.√7C.√ioD.E

--1X>-2-X,

8.（2022?邵陽(yáng)）關(guān)于X的不等式組,33有且只有三個(gè)整數(shù)解，則”的

3-l<'（α-2）

[22

最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

2

9.（2021?綿陽(yáng)）關(guān)于X的方程以+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x∣、X2?若々=2%，

則4?-9ac的最大值是（）

A.1B.√2C.√3D.2

10.（2022?淄博）若二次函數(shù)y=α√+2的圖象經(jīng)過(guò)P（l,3）,。（加㈤兩點(diǎn),則代數(shù)

式〃2_4加一4〃+9的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

11.（2022?資陽(yáng)）如圖是二次函數(shù)y=q2+6x+c的圖象，其對(duì)稱(chēng)軸為直線X=-1,

且過(guò)點(diǎn)（0,1）.有以下四個(gè)結(jié)論：①abc>0,②α-A+c>l,③3α+c<0,④若頂點(diǎn)

坐標(biāo)為（-1,2）,當(dāng),儡*1時(shí)，y有最大值為2、最小值為-2,此時(shí)機(jī)的取值范圍是

-3?-1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

12.（2022?衢州）已知二次函數(shù)y="（x-l）2-α（"0）,當(dāng)-啜Jr4時(shí),y的最小值

為7,則”的值為（）

A.1或4B.4或」C./或4D.」或4

23232

13.（2022?柳州）如圖，直線y=x+3分別與X軸、y軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)C,直線

%=-x+3分別與X軸、），軸交于點(diǎn)3和點(diǎn)C,點(diǎn)P（m,2）是AABC內(nèi)部（包括邊上）

的一點(diǎn)，則機(jī)的最大值與最小值之差為（）

14.（2022?遼寧）拋物線y=αr2+?x+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=T,

直線y=&+c與拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,0）.下列說(shuō)法：①必>0;②4“+c>0;③若

（-2,y）與（g,y?）是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則M<丫2；④方程加?+?χ+c=O的兩根為

Λ1=-3,X2=?;⑤當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)>+3-幻X有最大值.其中正確的個(gè)數(shù)是

)

A.2B.3C.4D.5

15.（2022?包頭）已知實(shí)數(shù)”,匕滿(mǎn)足b-α=l,則代數(shù)式儲(chǔ)+奶一3+7的最小值

等于（）

A.5B.4C.3D.2

16.（2022?賀州）已知二次函數(shù)y=2∕-4x7在噴/α?xí)r，y取得的最大值為15,

則〃的值為（）

A.1B.2C.3D.4

17.（2022?宿遷）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=2（χ>0）的圖象上，以O(shè)A為一邊作

X

等腰直角三角形OAB,其中NOAB=90。，AO=A則線段08長(zhǎng)的最小值是（）

18.（2022?嘉興）已知點(diǎn)A（α,b）,8（4,C）在直線y=?x+3（々為常數(shù),IHo）上,若ab

的最大值為9,則C的值為（）

35

A.1B.-C.2D.≡

22

19.（2022?舟山）已知點(diǎn)A（α,b）,8（4,C）在直線y=Ax+3（%為常數(shù),ZWo）上，若ab

的最大值為9,則C的值為（)

53

A.-B.2C.-D.1

22

20.（2022?陜西）如圖，是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體紙盒.若一只螞蟻要沿著正方

體紙盒的表面，從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)3去覓食，則需要爬行的最短路程是（）

A.?J3B.2C.√5D.3

21.（2022?綿陽(yáng)）如圖1,在菱形A8C/）中，ZC=120o,/是A3的中點(diǎn)，N是對(duì)

角線比?上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)ON長(zhǎng)為X,線段MV與4V長(zhǎng)度的和為y,圖2是y關(guān)于X

的函數(shù)圖象，圖象右端點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（26,3）,則圖象最低點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）

22.（2022?湘西州）如圖,在RtΔABC中，ZA=90o,M為BC的中點(diǎn)，”為45上

一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG//AB,交〃用的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AC=8,AB=6,則四邊形

ACG〃周長(zhǎng)的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

23.（2022?柳州）如圖，從學(xué)校A到書(shū)店B有①、②、③、④四條路線，其中最

短的路線是（)

24.（2022?泰州）如圖，正方形ABeD的邊長(zhǎng)為2,E為與點(diǎn)。不重合的動(dòng)點(diǎn)，以

DE為一邊作正方形DEFG.設(shè)OE=4，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為4、d3,則

d,+d2+?的最小值為（）

C.2√2D.4

25.（2022?玉林）請(qǐng)你量一量如圖ΔABC中BC邊上的高的長(zhǎng)度，下列最接近的是

)

26.（2022?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂

點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格圖形ABCo中，M,N分別是43,BC

上的格點(diǎn)，BM=4r,BN=2.若點(diǎn)。是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM,PN，

則所有滿(mǎn)足ZMPN=45。的ΔP2VW中，邊PM的長(zhǎng)的最大值是（）

A.4立B.6C.2√iθD.3√5

27.（2022?杭州）如圖，已知ΔABC內(nèi)接于半徑為1的Q,∠BAC=6（e是銳角）,

則ΔABC的面積的最大值為（）

B.COSe(I+sin6)C.sinΘ(↑÷sinθ)D.sinθ(?+cosθ)

28.（2022?泰安）如圖，四邊形ABa）為矩形，AB=3,8C=4,點(diǎn)P是線段BC

上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段ΛP上一點(diǎn),ZADM=ZBAP,則的最小值為（)

c?八一1D.√13-2

29.（2022?金華）如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系后,學(xué)校和

體育場(chǎng)的坐標(biāo)分別是（3,1）,（4,-2）,下列各地點(diǎn)中，離原點(diǎn)最近的是（)

市絲校

ES

^≡≡"

A.超市B.醫(yī)院C.體育場(chǎng)D.學(xué)校

30.（2022?安徽）已知點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為6的等邊ΔABC的中心，點(diǎn)P在A4BC外,

ΔABC,ΛPAB,APBC,ΔPC4的面積分別記為S0,S1,S2,S3.若S∣+星+&=2S°,

則線段OP長(zhǎng)的最小值是（）

A.偵B.述C.3事1D.述

222

31.（2022?遂寧）如圖，D、E、尸分別是ΔABC三邊上的點(diǎn)，其中BC=8,BC

邊上的高為6,且DE//3C,則ADE尸面積的最大值為（）

A.6B.8C.10D.12

二.填空題

32.（2022?宿遷）滿(mǎn)足√il∕的最大整數(shù)2是.

33.（2022?日照）如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,「是X

軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段以繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段P尸，連接OF,則線段OF

長(zhǎng)的最小值是

34.（2022?青海）如圖，從一個(gè)腰長(zhǎng)為60cm,頂角為120。的等腰三角形鐵皮。記

中剪出一個(gè)最大的扇形g）,則此扇形的弧長(zhǎng)為cm.

O

三.解答題

35.（2022?無(wú)錫）某水果店出售一種水果，每箱定價(jià)58元時(shí)，每周可賣(mài)出300

箱.試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)：每箱水果每降價(jià)1元，每周可多賣(mài)出25箱；每漲價(jià)1元，每周

將少賣(mài)出10箱.已知每箱水果的進(jìn)價(jià)為35元，每周每箱水果的平均損耗費(fèi)為3

元.

（1）若不進(jìn)行價(jià)格調(diào)整，這種水果的每周銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少元？

（2）根據(jù)以上信息,你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)如何定價(jià)才能使這種水果的每周銷(xiāo)售利潤(rùn)最多？

36.（2022?無(wú)錫）如圖，二次函數(shù)yJf+L-』的圖象與X軸交于點(diǎn)A、8（A在

424

5左側(cè)），點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上.

（1）求A、8兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線AC與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為O,求點(diǎn)。坐標(biāo)；

（3）設(shè)E關(guān)于直線即、8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為尸、G,求以G廠為直徑的圓面積的

最小值.

37.（2022?內(nèi)蒙古）某商店決定購(gòu)進(jìn)A、3兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品.若購(gòu)進(jìn)A種

紀(jì)念品10件，8種紀(jì)念品5件，需要IOOO元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，8種紀(jì)

念品3件，需要550元.

（1）求購(gòu)進(jìn)A、8兩種紀(jì)念品的單價(jià)；

（2）若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要

求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于8種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量

不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？

（3）若銷(xiāo)售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，

在第（2）間的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn).

區(qū)域模擬

一.選擇題

1.（2023?寶應(yīng)縣一模）已知點(diǎn)A（α,b）,3（4,2）在直線＞=丘+3伏為常數(shù)，?≠0）±,

則向有（）

A.最大值-9B.最大值9C.最小值-9D.最小值9

2.（2023?龍港市一模）已知二次函數(shù)y=∕-4x+2,關(guān)于該函數(shù)在隔左3的取值

范圍內(nèi)有最大值-1,α可能為（）

A.-2B.-1C.0.5D.1.5

3.（2023?平陰縣一?模）已知二次函數(shù)y=α√-20r+α+2（α≠0）,若—掇Ik2時(shí)，函

數(shù)的最大值與最小值的差為4,貝?的值為（）

A.±-B.±1C.-1或/D.1或3

333

4.（2023?增城區(qū)一模）如圖，已知直線y=-岳+3與X軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B與點(diǎn)A

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).M是直線上的動(dòng)點(diǎn),將OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ON.連接BN,

則線段BN的最小值為（)

y

?BoTA?x

A.3B.3+√3C.2坦D.3-√3

5.（2023?大慶一模）若α.O,b..0,則有（6-揚(yáng)），0,即α+b..2瘋.已知函數(shù)

y∣=X+l（x>-l）與函數(shù)%=（x+iy+4（x>-l），由上述結(jié)論判斷&的值正確的是（

%

）

A.有最小值4B.有最小值2&C.有最小值&D.有最小值1

6.（2023?濟(jì)陽(yáng)區(qū)一模）把二次函數(shù)y=αχ2+?x+c（α>0）的圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)

變換，所得圖象的解析式為y="（x+l）2-/,若（"L2）"+"c.0成立，則機(jī)的最小

整數(shù)值為（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2023?肇源縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系XS，中，半徑為2的。與X軸

的正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)5是；Q上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=0χ-3與

4

X軸、y軸分別交于點(diǎn)。、E,則點(diǎn)C到直線DE的最小距離為（）

343

A.1B.-C.-D.-

554

8.（2023?寬城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=-/一4工+1與〉軸

交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A平行于X軸的直線交拋物線y=f于8、C兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線

PC,則ΔP3C面積的最大值是（）

C.6D.4

9.（2023?綏德縣一模）已知二次函數(shù)y=d√+?x,當(dāng)x=-6時(shí)，y<0,當(dāng)犬=-5時(shí),

y>0,點(diǎn)M（九〃）是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，要使”的值相對(duì)最大，則機(jī)的值可以是

（）

A.-1B.-2C.-3D.0

10.（2023?廬陽(yáng)區(qū)一模）二次函數(shù)y=d-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)①⑼，則代數(shù)式從+6/

的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

11.（2023?晉州市模擬）甲、乙、丙、丁四個(gè)人所行的路程和所用時(shí)間如圖所示,

按平均速度計(jì)算，走得最快的是（）

4路程∕km

4-?--r-t-rr-n--

??I中I?

Q?--?--------I--I--------1

JIllll

°102030405060時(shí)間為注

A.甲B.乙C.丙D.T

12.（2023?龍川縣一模）關(guān)于二次函數(shù)>=-（X-I）2+3的最值,說(shuō)法正確的是（）

A.最小值為T(mén)B.最小值為3C.最大值為1D.最大值為3

13?（2023?老河口市模擬）點(diǎn)（-2,y）,（-l,j2）,（1,%），（2,%）都在反比例函數(shù)y」

X

的圖象上，則M,y2,力,”中最小的是（）

A.ylB.%C.%D.yi

14.（2023?西安一模）已知二次函數(shù)>=加+2辦+2關(guān)+5（其中X是自變量），當(dāng)

X.2時(shí)，y隨X的增大而增大,且當(dāng)-2皴1時(shí)，y的最大值為10,則α的值為（）

A.1B.-√5或有C.2.5D.1或-2.5

15.（2023?靜樂(lè)縣一模）2022年的卡塔爾世界杯受到廣泛關(guān)注，在半決賽中，梅

西的一腳射門(mén)將足球沿著拋物線飛向球門(mén)，此時(shí)，足球距離地面的高度力與足球

被踢出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間，之間的關(guān)系式為6=-產(chǎn)+加.已知足球被踢出9s時(shí)落地，那

么足球到達(dá)距離地面最大高度時(shí)的時(shí)間/為（）

A.3sB.3.5sC.4sD.4.5s

16.（2023?岳陽(yáng)樓區(qū)模擬）已知拋物線y=加-2mu+mj2+4與X軸交于c、。兩

點(diǎn)（C在O的左側(cè)），當(dāng)囁如4時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-3,則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)最

大值為（）

A.-3B.1C.5D.8

17.（2023?碑林區(qū)三模）西安大雁塔音樂(lè)噴泉是西安的一張名片，許多人慕名前

往.若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖建立坐標(biāo)系后，可由函數(shù)

y=__L（i+/）/+a確定，其中,為實(shí)數(shù).若其中某個(gè)噴泉水柱的最大高度是4,

-20

則此時(shí)對(duì)應(yīng)的，值為（）

A.2B.4C.2或-2D.4或T

18.（2023?蓮湖區(qū)一模）已知拋物線y=ατ2-20r+l（α<0）,當(dāng)—啜Ik2時(shí)，y的最

小值為-2,則當(dāng)-掇JC2時(shí)，y的最大值為（）

A.2B.1C.0D.-1

19.（2023?雁塔區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y=α√-20x+∕+3（其中X是自變量且

a≠0）,當(dāng)工,-2時(shí)，y隨X的增大而減小，且-掇k2時(shí)，y的最大值為7,則α的

值為（）

A.1或YB.1C.2或-2D.2

20.（2023?灤州市模擬）如圖，在矩形紙片ABa）中，AB=3,BC=I,沿對(duì)角線

Ae剪開(kāi)（如圖1）;固定ZW）C,把ΔABC沿4）方向平移（如圖2）,當(dāng)兩個(gè)三角形

重疊部分的面積最大時(shí)，移動(dòng)的距離A/T等于（）

圖1圖2

A.1B.1.5C.2D.3

21.（2023?廣東模擬）二次函數(shù)y=α√+云+c（α≠O）與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)司,

馬滿(mǎn)足∣x"+K∣=2?當(dāng)x=-g時(shí)，該函數(shù)有最大值4,則α的值為（）

A.-4B.-2C.1D.2

二.填空題

22.（2023?萊西市一模）已知拋物線>=加+云+3的圖象與X軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)

B（l,0）,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,有一動(dòng)點(diǎn)。在線段AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)。作X軸

的垂線，交拋物線于點(diǎn)E,交X軸于點(diǎn)F,AB=A,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為m.連接

AE,CE,則ΔACE的最大面積為.

23.（2023?寧津縣一模）甲、乙、丙、丁四個(gè)人步行的路程和所用的時(shí)間如圖所

24.（2023?工業(yè)園區(qū)一模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在正數(shù)M,函數(shù)值

y都滿(mǎn)足I）I,M,則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù).其中，M的最小值稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的

邊界值.若函數(shù)y=2x+l（戰(zhàn)*b,αxb）中，y的最大值是2,邊界值小于3,則α應(yīng)

滿(mǎn)足的條件是—.

25.（2023?武進(jìn)區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+4與X軸交于

點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)5,與直線y=履交于點(diǎn)C,P在直線BC上運(yùn)動(dòng)，則Po的最

26.（2023?楊浦區(qū)二模）如果拋物線y=0√-3的頂點(diǎn)是它的最高點(diǎn)，那么”的取

值范圍是—.

27.（2023?二道區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A（0,2）,8（1,0）,

C（3,l）,0（2,3）.二次函數(shù)y=αχ2+?r+c的圖象經(jīng)過(guò)其中任意三個(gè)點(diǎn)，當(dāng)”的值最

大時(shí)，二次函數(shù)的解析式為

I

-TC

I

X

28.（2023?蚌山區(qū)模擬）市政府要規(guī)劃一個(gè)形如梯形ΛBCZ）的花園，如圖,

ZB=NC=90。，8C=40米.園林設(shè)計(jì)者想在該花園內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)四邊形附口區(qū)域

來(lái)種植花卉，其他區(qū)域種植草皮，已知種植花卉的費(fèi)用為每平方米IOO元.要求

E、尸分別位于3C、8邊上，AEYAD,且=Z）F=32米.為了節(jié)約成

本，要使得種植花卉所需總費(fèi)用盡可能的少，即種植花卉的面積盡可能的小，請(qǐng)

根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)求出種花卉所需總費(fèi)用的最小值為元.

29.（2023?五常市一模）二次函數(shù)y=3（x-6『-16的最小值是

30.（2023?隴南模擬）如圖，利用一個(gè)直角墻角修建一個(gè)梯形儲(chǔ)料場(chǎng)ABCD,其

中NC=120。.若新建墻BC與CZ）總長(zhǎng)為12加，則該梯形儲(chǔ)料場(chǎng)ABcO的最大面積

2

L是m.

AB

31.（2023?鳳凰縣模擬）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求

面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三

邊長(zhǎng)分別為α,b,C記P="￡,則其面積S=JMJP-α）（p-b）（p-c）.這個(gè)公

式也被稱(chēng)為海倫-秦九韶公式.若p=5,c=4,則此三角形面積的最大值為一.

32.（2023?綠園區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y=-f+2g—>+3,當(dāng)2m-1<兀,2加時(shí),

函數(shù)的最大值為y=3,則m的取值范圍是

≡.解答題

33.（2023?海安市一模）小穎大學(xué)畢業(yè)后回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，開(kāi)了一家服裝專(zhuān)賣(mài)店代理

某品牌服裝的銷(xiāo)售.該服裝初始售價(jià)為每件100元，小穎統(tǒng)計(jì)開(kāi)業(yè)10個(gè)月以來(lái)

該服裝的每件售價(jià)y（元）與月份X的函數(shù)關(guān)系如圖所示，該服裝每件的進(jìn)價(jià)z（元

）與月份X的關(guān)系為z=-3f+12X+60.

3

（1）①求），與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

②第3個(gè)月每件服裝的利潤(rùn)是多少？

（2）若小穎每個(gè)月購(gòu)進(jìn)該服裝120件，當(dāng)月銷(xiāo)售完畢，第幾個(gè)月能獲得最大利

潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

34.（2023?呼和浩特一模）某校九年級(jí)學(xué)生小麗、小強(qiáng)和小紅到某商場(chǎng)參加了社

會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在活動(dòng)中他們參與了某商品的銷(xiāo)售工作，已知該商品的進(jìn)價(jià)為40

元/件，售價(jià)為60元/件，下面是他們?cè)诨顒?dòng)結(jié)束后的對(duì)話：小麗：我發(fā)現(xiàn)此商

品如果按60元/件銷(xiāo)售，每星期可賣(mài)出300件.小強(qiáng)：我發(fā)現(xiàn)在售價(jià)60元/件的

基礎(chǔ)上調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期比小麗所調(diào)查的銷(xiāo)售量300件要少賣(mài)出10

件.小紅：我發(fā)現(xiàn)在售價(jià)60元/件的基礎(chǔ)上調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，每星期比小

麗所調(diào)查的銷(xiāo)售量300件要多賣(mài)出20件.

（1）若設(shè)每件漲價(jià)X元，則每星期實(shí)際可賣(mài)出一件，每星期售出商品的利潤(rùn)

y∣（元）與X的關(guān)系式為M=，X的取值范圍是;

（2）若設(shè)每件降價(jià)“元，則每星期售出商品的利潤(rùn)為（元）與”的關(guān)系式為

%=；

（3）在漲價(jià)情況下，如何定價(jià)才能使每星期售出商品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是

多少？

35.（2023?天山區(qū)一模）一名高校畢業(yè)生響應(yīng)國(guó)家創(chuàng)業(yè)號(hào)召，回鄉(xiāng)承包了一個(gè)果

園，并引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)種植一種優(yōu)質(zhì)水果，經(jīng)核算這批水果的種植成本為16元/千

克、設(shè)銷(xiāo)售時(shí)間為X（天），通過(guò)一個(gè)月（30天）的試銷(xiāo)，該種水果的售價(jià)P（元

/千克）與銷(xiāo)售時(shí)間X（天）滿(mǎn)足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中噫Ik3（）,且X為整

數(shù)）.已知該種水果第一天銷(xiāo)量為60千克，以后每天比前一天多售出4千克.

（1）直接寫(xiě)出售價(jià)產(chǎn)（元/千克）與銷(xiāo)售時(shí)間X（天）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求試銷(xiāo)第幾天時(shí)，當(dāng)天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

（1）若拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0,3）,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上，與X軸有交點(diǎn).若點(diǎn)A（加,〃），

伙加-4,〃）在拋物線上，求C的取值范圍及,”的最大值.

37.（2023?姑蘇區(qū)模擬）如圖（1）,二次函數(shù)y=f+6χ+c的圖象與X軸交于A,

3兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-3）,直線/經(jīng)過(guò)

B,C兩點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為直線/上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作X軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)

M,再過(guò)點(diǎn)〃作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)N,當(dāng)PM=MN

時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（3）如圖（2）,點(diǎn)C關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)P為線段上BC的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連接AP;點(diǎn)Q為線段43上一點(diǎn)，且AQ=3PQ,連接。Q,求3AP+4。。的最小值

（直接寫(xiě)出答案）.

1.已知二次函數(shù)y=χ2+αr+4的圖象以y軸為對(duì)稱(chēng)軸.若點(diǎn)在該二次函數(shù)

的圖象上，則/?-〃的最大值等于（）

A.—B.4C.--D.--

444

2.已知二次函數(shù)y=加+bx+3（0'6是常數(shù)，且"0）的圖象過(guò)點(diǎn)（-2,-5）與點(diǎn)（1,4）,

當(dāng)-2烈c?時(shí)，有最小值-5,則C的取值范圍是（）

A.c..IB.c...-2C.1瓢4D.-2M-4

3.如圖，直線y=-3+4與X軸交于點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)E（2,0）,點(diǎn)。為線

段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。，PE,DE,當(dāng)ΔPED的周長(zhǎng)最

小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（)

yt

c

D

C.(0,y)D.(O,∣)

二.填空題

4.如圖1,在AABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)X表示線

段AP的長(zhǎng)，y表示線段族的長(zhǎng)，y與X之間的關(guān)系如圖2所示，當(dāng)線段8P最短

時(shí)，ΔBCP的周長(zhǎng)為"?，ΔASP的周長(zhǎng)為“，m-n=

Sl圖2

三.解答題

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=以2+法+3與X軸交于A,5兩點(diǎn)，與

y軸交于C點(diǎn)，連接BC.P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接∕?,交BC于

點(diǎn)、D.其中BC=AB,O3=4.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求生的最大值；

DA

（3）若函數(shù)y=奴2+6x+3在相-！領(lǐng)km+-（其中“*）范圍內(nèi)的最大值為s,最

226

小值為且LST<3,求，，的取值范圍.

22

真題回顧

一.選擇題

1.【答案】B

【解答】解：有理數(shù)-1,-2,0,2中，最小的是-2,

故選：B.

2.【答案】A

【解答】解：一2的絕對(duì)值是2,-L的絕對(duì)值是_1,0的絕對(duì)值是0,3的絕對(duì)值

222

.?.-2的絕對(duì)值最大.

故選A.

3.【答案】D

【解答】解：根據(jù)題意得：2-(-6)=2+6=8(°C),

則該地這天的溫差為8°C.

故選：D.

4.【答案】C

【解答】解：零上10°C記作+10°C,

..零下KrC記作:-IOoC,

故選：C.

5.【答案】C

【解答】解：3<√15<4,ΓfU15-9>16-15,

.?.J聲更接近4,

.?.2+√i?更接近6,

故選：C.

6.【答案】B

【解答】解：正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)，

.*.>—>0>—2,

2

故選：B.

7.【答案】C

【解答】解：(向2=6,(")2=7,(加)2=10,(717)2=11,32=9,

.?.與3最接近的是√i6.

故選：C.

8.【答案】C

-L>2-X①

【解答】解：33,

-x-l<-(α-2)(2)

由①得：x>1,

由②得：x<a9

解得：?<x<aj

不等式組有且僅有三個(gè)整數(shù)解，即2,3,4,

.?.4<4,5,

??.4的最大值是5,

故選：C?

9.【答案】D

【解答】解：關(guān)于X的方程加+/7χ+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根內(nèi)、x2,

bc

.?x+x=——9XX=一,

λ2a12a

■x2=2x1,

.,.3x=-—，即x=--—,

1a3ax

2b

??x2=-τ~,

3a

c_2h1

??-=T，

a9。

.,.9ac=2b2,

2〃2

.?.4b-9tzc=4?-9tz?-=4?-2?2=-2(?-I)2+2,

-2<0,

:.4b-9ac的最大值是2,

故選：D.

10.【答案】A

【解答】解：,二次函數(shù)y=加+2的圖象經(jīng)過(guò)P(l,3),

.?.3=α+2,

..Cl—\,

.,.y=X2+2,

Q(m,w)在y=X?+2上，

.?n=n^+2,

:.n2-4m2-4〃+9=(m2+2)2-4m2-4(∕M2+2)+9=m4-4ιn2+5=(m2-2)2+1，

■.(〃/-2)2..0,

二./-4/-4〃+9的最小值為1.

故選：A.

11.【答案】A

【解答】解：二次函數(shù)y=θχ2+?x+c的圖象,其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=T,且過(guò)點(diǎn)(0,1),

.?.ab>0,

.?.abc>0,故①正確；

從圖中可以看出，當(dāng)X=T時(shí)，函數(shù)值大于1,

因此將x=-l代入得，(-l)2?α+(-l)??+c>l，

即α-A+c>l,故②正確；

b

---=—11,

2a

:.b=2a,

從圖中可以看出，當(dāng)X=I時(shí)，函數(shù)值小于0,

.?.67+?÷C<O,

.?.3α+c<0,故③正確；

.?二次函數(shù)y=α√+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=”(x+l>+2,

將(0,1)代入得，l=α+2,

解得a=-l>

二次函數(shù)的解析式為y=-(x+l)2+2,

當(dāng)X=1時(shí)，>,=-2；

.?.根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，得到-舞帆-1,故④正確;

綜上所述，①②③④均正確，故有4個(gè)正確結(jié)論，

故選A.

12.【答案】D

【解答】解：y=”(x-l)2-α的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=1,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-a),

當(dāng)a>0時(shí)，在-1黜4,函數(shù)有最小值-a,

)，的最小值為Y,

.?.-a=-4,

/.(7=4;

當(dāng)avθ時(shí),在-掇。4,當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)有最小值,

.?9a-a=-49

解得a=一L

2

綜上所述：”的值為4或一L,

2

故選：D.

13.【答案】B

【解答】解：點(diǎn)P(〃?,2)是AABC內(nèi)部(包括邊上)的一點(diǎn),

.?.點(diǎn)P在直線y=2上，如圖所示，

當(dāng)尸為直線y=2與直線K的交點(diǎn)時(shí)，加取最大值,

當(dāng)尸為直線y=2與直線H的交點(diǎn)時(shí)，〃,取最小值,

必=-X+3中令y=2,則X=1,

X=X+3中令y=2,則x=-l,

的最大值為1,機(jī)的最小值為-1.

則機(jī)的最大值與最小值之差為：1-(-1)=2.

故選：B.

14.【答案】A

【解答】解：拋物線的開(kāi)口方向向下，

.?.6T<0.

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=T,

.?,-A=-ι,

2a

：.b=2a9b<0.

αV0,b<09

:.ah>O9

??.①的結(jié)論正確；

拋物線y=ax1+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0),

.,.9a—3h+c=O,

「.9a—3x2α+c=0,

.,.3a+c=0.

.?.4。+C=QV0,

.?.②的結(jié)論不正確；

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=T,

點(diǎn)(-2,X)關(guān)于直線X=-1對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(0,%),

a<0,

二.當(dāng)時(shí)，y隨X的增大而減小.

1八

->0>-1l,

2

.?.乂>%?

.?.③的結(jié)論不正確；

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=-1,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(TO),

拋物線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),

，拋物線y=αχ2+?r+c與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3,1,

2

方程加+?r+c=O的兩根為x∣=-3,x2=?,

二④的結(jié)論正確；

直線y=fcv+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0),

.,.—3k+c=0,

..c=3k?

3。+C=0,

.,.c——3cι，

?二34=一&7,

.,.k=-a?

函數(shù)y=?+(?-?)JC

=ax1+(2a+d)x

=ax2+3cιx

/3、29

=a(x+-)——a9

24

。vθ,

.?.當(dāng)x=-3時(shí),函數(shù)y=α√+S-k)x有最大值，

2

??.⑤的結(jié)論不正確.

綜上，結(jié)論正確的有：①④，

故選：A.

15.【答案】A

【解答】解:?,b-a=?,

:.b=a+\,

.,.a2+2Z?—6〃+7

=^2+2(α÷1)-6a+7

=+2。+2-6。+7

=a2-4tz÷4+5

=(6Z-2)2+5,

.??代數(shù)式/+28-6α+7的最小值等于5,

故選：A.

16.【答案】D

【解答】解：，.二次函數(shù)y=2f—"=2(l)2—3,

.?.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為元=1,頂點(diǎn)(1,-3),

.?.當(dāng)y=-3時(shí)，x=l,

當(dāng)y=15時(shí)，2(X-1)2-3=15,

解得X=4或％=-2,

?當(dāng)時(shí)，y的最大值為15,

.?.q=4,

故選：D.

17.【答案】C

【解答】解：三角形QS是等腰直角三角形,

.?.當(dāng)08最小時(shí)，OA最小,

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）,

a

即：a2+-^--4..0,

,4.

..Cl2H——..4，

a

■(α--)2..0,

a

兩邊同時(shí)開(kāi)平方得：a--=0

a

.?.當(dāng)α=2時(shí)，OA有最小值,

a

解得％=應(yīng)，a2=-0（舍去）,

.?.A點(diǎn)坐標(biāo)為（應(yīng)，應(yīng)）,

.,.OA=2,

「三角形OAB是等腰直角三角形，OB為斜邊，

.?.OB=√20A=2yf2.

解法二：03最小時(shí)，OA最小，此時(shí)OA是到圖象上的最近距離，（M的解析式是

y=x,

故4√Σ,√2）,

.?.Q4的最小值為2,

..OB的最小值為2√Σ.

故選：C.

18.【答案】C

【解答】解：」點(diǎn)AQb),8(4,C)在直線y=履+3上,

JaA:+3=匕①

???[依+3=田

由①可得：ah=a(ak+3)=kcr+3a=k(a÷―)2--，

2k4k

ab的最大值為9,

9

.,MVO,-----=9,

4k

解得k=-L,

4

把k=-1代入②得：4x(-3+3=C，

.*.c=29

故選：C.

19.【答案】B

【解答】解：點(diǎn)A(α,b),B(4,c)在直線y=履+3上,

J成+3=b①

,,[4k+3=c@9

由①可得：Clb=Cl(Clk+3)=ka2÷3tz=k(a+―)2,

2k4k

M的最大值為9,

9

.?k<0,——=9,

4k

解得A=」，

4

把左=一；代入②得：4x(-()+3=C,

.c=2,

故選：B.

20.【答案】C

【解答】解：需要爬行的最短路程即為線段AB的長(zhǎng)，如圖:

正方體棱長(zhǎng)為1，

.?.BC=1,AC=2,

AB=√AC2+BC2=√22+12=√5,

.?.需要爬行的最短路程為正；

故選：C.

21.【答案】C

【解答】解：如圖，連接AC,MC,

D

四邊形ABCD是菱形，ZBCD=I20。，

.?.AB=BC,AC垂直平分8E>,ZABC=60。，ZABD=ZDBC=30。,

:.AN=CN,ΔA8C是等邊三角形，

.?AN+MN=CN+MN,

二.當(dāng)點(diǎn)N在線段CM上時(shí)，AN+MV有最小值為CN的長(zhǎng)，

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2召，3）,

.?.DB=2√3,AB+BM=3,

點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),

:.AM=BM,CM±AB,

/.2BM+BM=3^

.?.BM=1,

tanZABC=tan60。=皿=5

BM

:.CM=邪,

cosZABD=cos30o==—，

BN,2

：.BN'=空,

3

...DN=巫,

3

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(竽，√3),

故選：C.

22.【答案】B

【解答】解：CGHAB,

:.ΛB=AMCG

M是BC的中點(diǎn)，

,BM=CM,

在ABMH和ACMG中，

ZB=ZMCG

<BM=CM,

ZBMH=ZCMG

.?.?BMH=ΔGV∕G(A5A),

.?.HM=GM,BH=CG,

AB=6，AC=8，

四邊形ACG”的周長(zhǎng)=AC+CG+A∕7+GH=Afi+AC+GH=14+GH,

.?.當(dāng)GW最小時(shí)，即MH"LΛβ時(shí)四邊形ACGT/的周長(zhǎng)有最小值，

NA=90。，MH±AB,

:.GH//AC,

.?.四邊形ACGH為矩形，

.?.GH=8,

，四邊形ACG”的周長(zhǎng)最小值為14+8=22,

故選：B.

23.【答案】B

【解答】解：根據(jù)題意可得，

從學(xué)校A到書(shū)店8有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是②.

故選：B.

24.【答案】C

【解答】解：如圖，連接AE,

四邊形OEFG是正方形，

NEDG=90°,EF=DE=DG,

四邊形A8CD是正方形，

.?.AD=CD,ZADC=90o,

.-.ZADE=ZCDG,

.?.ΔADE三ACDG(SAS),

.?.AE=CG9

4+d?+?=EF+CF÷AE,

點(diǎn)A,E,F,C在同一條線上時(shí)，瓦'+b+AE最小，即&+4+4最小,

連接AC,

；.4+4+4最小值為AC,

在RtΔABC中，AC=√2AS=2√2,

.?.Jl+d2+&最小=AC=2忘，

故選：C.

25.【答案】D

【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作ADJLBC于。，

用刻度尺測(cè)量AD的長(zhǎng)度，更接近2c?m,

故選：D.

【解答】解:如圖所示:

BM=NC=4,BN=CP=2,且NB=NC=90°,

.?.ABMN=ACNP(SAS),

.?.MN=NP,NBMN=NCNP,

ZBMN+ZBNM=90°,

ZBNM+NCNP=90。,

NMNP=90°,

.?.Δ∕VMP為等腰直角三角形，

根據(jù)題意得到點(diǎn)P的軌跡為圓弧，當(dāng)MP為直徑時(shí)最長(zhǎng),

在RtABMN和RtΔNCP中，

根據(jù)勾股定理得：MN=NP=^j22+42=2√5,

則PM=JMN2+PM=2√10.

BNC

27.【答案】D

【解答】解：當(dāng)ΔABC的高AD經(jīng)過(guò)圓的圓心時(shí)，此時(shí)ΔABC的面積最大,

如圖所示，

A!D^BC,

..BC=IrBD,ABOD=ABAC=θ,

在RtΔBOD中,

.BDBDCODOD

sin6,=---=----,CoS夕==

OB1OB1

.?.BD=sinθ,OD=CoSe,

.?BC=2BD=2sinθ,

AD=AO+OD=l+cosθ,

：.SMBC=gA'。?BC=；X2Sin，(1+cosθ)=sin夕(1+cosθ).

故選：D.

28.【答案】D

【解答】解：如圖，取4)的中點(diǎn)O,連接03,OM.

四邊形ABCD是矩形,

/.ZfiAD=90o,AD=BC=4,

.?.ZBAP+Zmw=90。，

ZADM=ZBAP9

ΛZADM÷ZZMΛ∕=90O，

.?.ZAΛ∕E>=90o,

AO=OD=29

:.OM=-AD=2,

2

.?.點(diǎn)M在以。為圓心，2為半徑的。上,

OB^^AB2+AO2=√32+22-√13,

:.BM..OB-OM=岳-2,

.?.的最小值為a-2.

故選：D.

29.【答案】A

【解答】解：如右圖所示，

點(diǎn)O到超市的距離為：√F7i7=√5,

點(diǎn)o到學(xué)校的距離為：忻i7=M,

點(diǎn)O到體育場(chǎng)的距離為：√4Γ72Γ=√20,

點(diǎn)o到醫(yī)院的距離為：TiK=M,

√5