2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第六章數(shù)　列

第六章數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法

,最新考綱,

1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）.

2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

?考向預(yù)測?

考情分析：數(shù)列通項公式的求解，前〃項和S,與數(shù)列的項小之間的關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)列的

性質(zhì)與應(yīng)用仍是高考考查的熱點，題型以選擇與填空題為主，有時也會出現(xiàn)在解答題中.

學(xué)科素養(yǎng)：通過求數(shù)列的通項公式及數(shù)列函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核

心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

—?、必記3個知識點

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念______________________處______________________

數(shù)列一按照排列的一列數(shù)

數(shù)列的項___________________________數(shù)列中的___________________________

數(shù)列的通項__________________________數(shù)列｛"”｝的第"項a”__________________________

數(shù)列｛4,,｝的第〃項小與〃之間的關(guān)系能用公式_______表示，這個公式叫做

通項公式

____________________________數(shù)列的通項公式

前〃項和____________數(shù)列｛如｝中，S,=叫做數(shù)列的前〃項和____________

［提醒］數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又

要考慮數(shù)列方法的特殊性.

2.數(shù)列的表示方法

列表法___________________列表格表示n與的對應(yīng)關(guān)系____________________

圖象法一________________把點畫在平面直角坐標(biāo)系中_________________

通項

把數(shù)列的通項使用________表示的方法

公公式

式

遞推使用初始值“1和α"+ι=A‰）或a?,02和a”ι=flμ,如-i）等表示數(shù)列的

法lt

公式方法

［提醒］（1）并不是所有的數(shù)列都有通項公式；（2）同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯

3.數(shù)列的分類

分類原則類型______________滿足條件______________

有窮數(shù)列項數(shù)—

按項數(shù)分類

無窮數(shù)列一項數(shù)

遞增數(shù)列〃〃+1____

遞減數(shù)列一

1____a，i其中

按項與項間

n∈N*

的大小關(guān)系常數(shù)列

a+?=a

分類nn

從第2項起，有些項大于它的前一項，

擺動數(shù)列

有些項小于它的前一項的數(shù)列_________

二、必明2個常用結(jié)論

1.如與SI的關(guān)系，若數(shù)列｛小｝的前〃項和為S,,則即=［qSi'"=1，

I?n-?n-l,n≥2

2.在數(shù)列｛%｝中，若斯最大，則若如最小，則咤:n-1

d

Idn-n+lIdn?dn+1

三、必練4類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請在括號中打“J”或"X”）.

（1）根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個.（）

（2）1,1,1,1,…，不能構(gòu)成一個數(shù)列.（）

（3）任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（）

（4）如果數(shù)列｛”“）的前W項和為S,,則對V"∈N*,都有如+∣=S"+ι—SM）

（二）教材改編

2.［必修5R7T2改編］數(shù)列｛斯｝的前幾項為條3,8,泉…，則此數(shù)列的通項可能是

）

3.［必修5?P33T4改編］在數(shù)列｛斯｝中，αι=l,α,,=l+X（"22）,則的=.

an-ι

（三）易錯易混

4.（忽視項數(shù)為整數(shù)的情況）數(shù)列｛%｝中，t?=-"2+H"（"GN*）,則此數(shù)列最大項的值是

2

5.（忽視n=1的特殊情況）已知數(shù)列｛〃”｝的前n項和5,,=n+I,則an=

（四）走進高考

6.［全國卷I］記S,為數(shù)列｛4■｝的前〃項和.若S,=2β"+1,貝”6=.

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一數(shù)列的有關(guān)概念及通項公式［基礎(chǔ)性］

I.已知數(shù)列的通項公式為為=/—8〃+15,則3（）

A.不是數(shù)列｛斯｝中的項

B.只是數(shù)列｛〃“｝中的第2項

C.只是數(shù)列｛α,,｝中的第6項

D.是數(shù)列｛斯｝中的第2項或第6項

2.數(shù)列：，-?己，…的一個通項公式為(

24Io

A.%=(-1)看

3.已知數(shù)列｛〃“｝為5,55,555,5555,…，則這個數(shù)列的一個通項公式是為=.

反思感悟由前幾項歸納數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略

(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)

想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.

(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④

各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，

或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(一1)”或(一1尸+1,n∈N?

處理.

考點二由an與Sn的關(guān)系求通項an［綜合性］

［例1］(1)設(shè)S,為數(shù)列｛α,J的前〃項和，若2S"=3。"—3,則Ot=()

A.27B.81C.93D.243

(2)［2022?山西河津二中月考］設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足。|+2。2+22俏+…+2"-?1=物∈N*),則｛斯｝

的通項公式為“"=()

A?RIC—D1

2n2n^12n2n+1

(3)已知數(shù)列｛斯｝的前n項和S,=∕+2"+1,則an=

聽課筆記：

反思感悟

I.已知S,求處的三個步驟

(1)先利用“∣=S∣求出a??,

⑵用n-］替換S“中的n得到一個新的關(guān)系，利用斯=區(qū)-5“-1(〃22)便可求出當(dāng)

時4“的表達式；

(3)對〃=1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合時““的表達式，如果符合，則可以把數(shù)

列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分〃=1與兩段來寫.

2.S,與為關(guān)系問題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用斯=5“一5-|(〃22)轉(zhuǎn)化為只含5“，SLl的關(guān)系式.

(2)利用S)-SLl=斯("乞2)轉(zhuǎn)化為只含如，ɑ,?的關(guān)系式，再求解.

【對點訓(xùn)練】

1.［2022?孝感模擬］已知數(shù)列｛為｝的前〃項和S,=2∕+l,"∈N*,則恁一0=()

A.13B.14

C.15D.16

2/2022?遼寧省實驗中學(xué)模擬］設(shè)數(shù)列｛如｝的前n項和為S,,且*=2(檢一1),則如=()

A.2nB.2〃-1

C.2〃D.2n-l

3.設(shè)數(shù)列｛〃“｝滿足m+3ɑ2∏-----?-(2n~?)an=2",則出產(chǎn).

考點三由數(shù)列的遞推公式求通項公式［創(chuàng)新性J

角度1形如4”+|=%+人〃)，求累加法)

［例2］設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足αι=l,且斯+1—α"=n+l(/GN*),求數(shù)列｛0?｝的通項公式.

聽課筆記：

角度2形如4"+|=4忒〃)，求小.(累乘法)

［例3］在數(shù)列｛斯｝中，a↑=l,求數(shù)列｛”,,｝的通項公式.

聽課筆記：

角度3形如小+I=A%+B(AWO且AWl),求知.(構(gòu)造法)

［例4］已知數(shù)列｛”“｝滿足α∣=l,‰+ι=3α,,+2,求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

聽課筆記：

角度4形如小+產(chǎn)鼻（A,B,C為常數(shù)），求斯（取倒數(shù)法）

Ban+C

［例5］已知數(shù)列｛6｝中,?=1,α,,+ι=^?（n∈N*）,則數(shù)列｛內(nèi)｝的通項公式an=________

an+^

聽課筆記：

反思感悟

形如α什］=aιι+/(〃)

由

項

遞公形如α,f+ι=aj(n)

式

推

的

公

構(gòu)造等比數(shù)列

方

式

法

求

通

兩邊取倒數(shù)

兩邊取對數(shù)

因式分解

【對點訓(xùn)練】

L［2022?赤峰模擬］（一題多解）設(shè)數(shù)列｛斯｝的前幾項和為S”q=1,｛S〃+w〃｝為常數(shù)列,

則an=（）

2

A-?1B.

n(n+l)

5-2n

cD.

?3

2.［2022?保定模擬］已知數(shù)列???是首項為I,公比為2的等比數(shù)列,

則log2αn=()

n(n-l)

A.H(H÷1)B.

4

Cn(n+l)n(n-l)

D.

?22

3.［2022?張家界模擬］若數(shù)列僅“｝中,“∣=l,斯+∣=點,則這個數(shù)列的第K）項"∣o=（）

A.28B.29C.-D.-

2829

4.［2022?衡水檢測］設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,已知0=1,5π+ι-2Sπ=l,w∈N*,則

數(shù)歹U｛all］的通項公式為.

考點四數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用［綜合性］

角度1數(shù)列的周期性

［例6J［2022.黑龍江哈師大附中月考］設(shè)數(shù)列｛④｝滿足0=2,且對任意正整數(shù)〃，總有（小

+1—1）（1一m）=2即成立，則數(shù)列｛如｝的前2023項的乘積為（）

A.-B.1C.2D.3

2

聽課筆記：

反思感悟解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

角度2數(shù)列的單調(diào)性

［例71已知等差數(shù)列｛如｝的前n項和為S“（〃∈N"）,且an-2n+λ,若數(shù)列｛S,J5N7,"∈N*）

為遞增數(shù)列，則實數(shù)力的取值范圍為.

聽課筆記：

反思感悟解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法

作差

根據(jù)斯+1—%的符號判斷數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

比較法

f≡根據(jù)皿（%>0或α,,<0）與1的大小關(guān)系進行判斷

比較法an

數(shù)形

結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

結(jié)合法

角度3數(shù)列的最大項與最小項

［例8］（1）若數(shù)列｛”,,｝的通項斯=總電，則數(shù)列｛如｝中的最大項是第項.

（2）［2022?大慶模擬］已知數(shù)列｛知｝的通項公式斯=（〃+2）?修則數(shù)列｛斯｝的項取最大值

時，n—.

聽課筆記：

反思感悟求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法

（1）將數(shù)列視為函數(shù)y（x）當(dāng)XeN*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)yu）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)

圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出y（x）的最值，進而求出數(shù)列的最大（?。╉棧?/p>

aa

n^「I，s'2）確定最大項，

｛an—an-l，

(ɑn≤Qn-I

利用（麓22）確定最小項;

?n≤αn+l

（3）比較法：若有的+1一期=角1+1）—/（"）>0（或。”>0時,皿>1）,則4,,+ι>t?,則數(shù)列

an

｛〃“｝是遞增數(shù)列，所以數(shù)列｛“〃｝的最小項為?fl）；若有④+La〃=ys+1）-/（〃）Vo（或an

>0時，≡≥±i<l）,則如+]V斯,則數(shù)列｛斯｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛〃,,｝的最大項為0=∕U）.

an

【對點訓(xùn)練】

1.[2022?廣元聯(lián)考]已知數(shù)列｛〃“｝,若斯+1=?！?斯+2（"GN*）,則稱數(shù)列｛%｝為“凸數(shù)

列”.已知數(shù)列｛兒｝為“凸數(shù)列"，且"=1,b2=-2,貝U｛兒｝的前2022項的和為（）

A.0B.1C.-5D.-1

2.[2022湖北武漢部分重點中學(xué)聯(lián)考]已知斯=」2（"￡E）,設(shè)即為數(shù)列｛如｝的最大項，

n—5√2

則tn=.

微專題24滲透美育教育凸顯數(shù)學(xué)之美五育并舉

[例1[2020?全國卷H]北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層

中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依

次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知

每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

解析：由題意可設(shè)每層有"個環(huán)，則三層共有3〃個環(huán)，.?.每一環(huán)扇面形石板的塊數(shù)構(gòu)成

以m=9為首項、9為公差的等差數(shù)列且項數(shù)為3”.不妨設(shè)上層扇面形石板總數(shù)為S,

中層總數(shù)為S2,下層總數(shù)為S3,.??S3-S2=[9（2"+1）?"+XFX9]-[9（"+1）?"+XFX9]

=9.2=729,解得〃=9（負值舍去）.則三層共有扇面形石板（不含天心石）27X9+學(xué)X9=

27×9+27×13×9=27×14X9=3402（塊）.故選C.

答案：C

名師點評“美''是景與情的交融，破解此類以數(shù)學(xué)之美為背景的數(shù)列題的關(guān)鍵：一是

能夠構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，如本題，根據(jù)已知條件和圖形構(gòu)建出等差數(shù)列模型；二是會用公式，如

本題，會利用等差數(shù)列的前〃項和公式，即可快速求出結(jié)果.

［變式訓(xùn)練］［2022?云南西南聯(lián)考］一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏

時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔

群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔

數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,…,若該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群共有()

A.IO層B.11層C.12層D.13層

第六章數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法

積累必備知識

1.一定順序每一個數(shù)aπ=f(n)

2.(〃，an)公式

3.有限無限＞V

三、

1.答案：(I)J(2)×(3)×(4)√

2.解析：數(shù)列為！3，M條…，其分母為2,分子是首項為1,公差為5的

等差數(shù)列，故通項公式為等.

答案：A

i

3.解析：α2=l+^?=2,?3=1+—=,?4=1+^^=3,α5=l+^=-?

a1∏22a?3

答案：I

4.解析：a--H2+1In=—(n~~—)2+—，Vn∈N+,?二當(dāng)〃=5或〃=6時，取最大

n24

值30.

答案：30

5.解析：當(dāng)H=I時，"ι=Sι=l+l=2,當(dāng)時，斯=SI-SLl=2〃-1,經(jīng)檢驗，

當(dāng)鼠=1時，不符合上式，.?.%=12,n=l,

(2n—1,n≥2且n∈N*.

答案"f2，n=l;

I2n-1,n≥2且n∈N*

6.解析：根據(jù)S"=2(‰+l,可得S"+ι=2<?+∣+1,兩式相減得“"+∣=2αzι+ι-2αz,,即如+

t-2all,當(dāng)〃=1時，St-aι=2ai+l,解得“ι=-l,所以數(shù)列｛斯｝是以-1為首項，2為公

比的等比數(shù)列，所以S6=W?R=-63.

I-Z

答案：一63

提升關(guān)鍵能力

考點一

1.解析：令%=3,即〃2—8〃+15=3,解得〃=2或6,故3是數(shù)列｛斯｝中的第2項或

第6項.故選D.

答案：D

2.解析：該數(shù)列是分數(shù)形式，分子為奇數(shù)2〃+1,分母是2",各項的符號由(一1尸+1來

確定，所以D選項正確.故選D.

答案：D

3.解析：將原數(shù)列改寫為?義9,IX99,∣×999,易知數(shù)列9,99,999,…的通項

公式為10"-1,故所求的數(shù)列的一個通項公式為斯=I(IOH-1).

答案：∣(10H-1)

考點二

例1解析：⑴根據(jù)2S"=34”—3,可得2S"+ι=3α”+ι^-3,兩式相減得2t?+ι=3a"+ι-3?！?，

即如+ι=3α,,,當(dāng)〃=1時，2Sι=3αι-3,解得內(nèi)=3,所以數(shù)列｛斯｝是以3為首項,3為公比

的等比數(shù)列，所以0t=4∣q3=34=81.故選B.

2,iln1

(2)Vαι+2α2+2α34------∣-2-‰=^(n∈N*),二易知心2時，2^αn=p又0=：,一對

一切〃∈N",2rt^1‰=∣,

；?%=*,故選C.

(3)當(dāng)/7=1時，αι=Sι=l+2+l=4;當(dāng)時,m=SS1-i=2〃+1.經(jīng)檢驗，a?=4

4n=1

｛2n÷1,n≥2.

答案:(I)B(2)C

4,n=

I2n÷l,共2且16寸

對點訓(xùn)練

I.解析：?.?S"=2∕+1,π∈N*

.?.0=S∣=2X12+1=3,

22

a5=S5-S4=(2×5+1)-(2×4+1)=18,

則。5一勾=18—3=15,故選C.

答案：C

2.解析：當(dāng)"=1時，αι=Sι=2(α∣-l),可得α∣=2;當(dāng)“22時，an^Sll-Sl,-i^2a,l-

24,,τ,.?.α,,=2α,ι,.?.數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，公比為2,首項為2,，通項公式為斯=2",故

選C.

答案：C

3.解析：?.?4ι+30?+…+(2〃—l)α,ι=2",

?*?4∣=2∣=2.

當(dāng)"12時，4ι+3<J2+…+(2〃-3)a?-ι=2"-∣,兩式相減得(2〃一l)0fl=2"-∣,

.?.斯=客，經(jīng)檢驗，0=2不符合上式.

Zn-I

2,n=1,

--,n≥2且neN”.

v-2n-l

(2,n=l,

n1

答案：］2^口

且∈

kv2~n-~l-,∏≥2nN*

考點三

2—

例2解析：由題意有〃α∣=2,。2=3,…,an-an-1—n(n≥2).

1(n-l)(2+n)n2+n-2

以上各式相加，得小-4I=2+3+???-rn=------------=---------.

22

又?.%∣=1,.",=?522).

;當(dāng)n=?時也滿足此式，,O〃=土產(chǎn)("WN*).

例3解析：：斯=巴二斯

n

?∏-2__n_31

70〃-2??！?2”-3,,a=-aι.

??Cln-\1n-2，**2

以上(〃一1)個式子相乘得

12n-1a11

Cln=av-2'~3'***--n-=n—=一n?

當(dāng)〃=1時，0=1,上式也成立.

"=%∈N'

例4解析：?.?%+ι=3斯+2,

**??！?ι+1=3(。〃+1),

：.嗎1=3,數(shù)列｛斯+1｝為等比數(shù)列，公比q=3,

又41+1=2,.?.4"+l=2?3"I

,,1

Λaw=2?3^-l(n∈N*).

例5解析：..?4,,+ι=W?,

θn+2

...1an+21I1

a

n+ι2anan2

?11_1

??~~~~~—.

an+ιan2

1

又。］=1,一=1>

31

???{J是以1為首項，豺公差的等差數(shù)列,

答案:?

n+1

對點訓(xùn)練

1.解析：方法一(累乘法)因為數(shù)列｛斯｝的前”項和為S,且0=1,

所以S∣+lX0=l+l=2.

因為｛S"+w,J為常數(shù)列,所以由題意知，Sl,+nan=2,

當(dāng)”22時(〃+1)斯=(〃-l)αzι-ι,

從而….工

ala2a3an-ι

_12...n-l

34n+l,

所以4"=-Jn，當(dāng)n=l時上式成立，

n(n+l)

所以a”=,2個

n(n+l)

方法二(特值驗證法)由“∣=l,｛S,+"%｝為常數(shù)列，可得S∣+lXa∣=l+l=2,故，

+〃斯=2.

當(dāng)n-?時，0=1,排除C；

當(dāng)"=2時，S2+2×a2=2,

即4ι+s+2α2=2,即3俏=1,他=?A,B,D都滿足；

當(dāng)n=3時，53÷3a3=2,

即1+1+4〃3=2,

解得〃3=g排除A、D.

O

答案：B

2.解析：..Ni,，區(qū)，…是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

aιan-ι

?a∏——2M~1

an-ι

?~一anan-ι...a2?

.?a--------------—a?

nan-ιan-2aI

=2n"^1?2n~2?????21?l

n(nτ)

=2-2-

則lθg2斯=lθg22嗎D=n(iζ-1),故選口.

答案：D

3.解析：因為小+尸咨兩邊取倒數(shù)得二一一工=3,又ɑ∣=l,所以數(shù)列是首項

aa

l+3a11n+ιnIanJ

為1,公差為3的等差數(shù)列，所以Z=l+("-l)X3=3"-2,即斯=4；,所以“ιo=τ,L=

an3n—23×10-2

?,故選C?

Zo

答案：C

4.解析：因為S“+i—2S,=1,

所以S"+ι=2S,,+l.

因此S"+∣+1=2(S"+1),因為防=Sl=1,S∣+l=2,所以｛Sz,+l｝是首項為2,公比為2

的等比數(shù)列.

所以S,,+1=2",Sn=2"-?.

n

當(dāng)”?2時,an=Sn-Sn-ι=2~',αι=l也滿足此式，

所以”,,=2"r,n∈N*.

nl

答案：al,=2',n∈N*

例6解析：由題意知1一斯者0,所以期+ι=l+?L.又0=2,所以42=1+魯=-3,

l-a∏l-?i

“3=1+言=—44=1+普=%"5=1+言=2=0,…由此可得數(shù)列｛斯｝是周期為4的

數(shù)列.又因為所以可以得到數(shù)列｛〃〃｝的前2023項的乘積為(Sa243。4)5°5.4以2。3=

2X(—3)X(一｝=3.故選D.

答案：D

例7解析：當(dāng)"27時，數(shù)列｛S〃｝為遞增數(shù)列，設(shè)S”+i>S〃，即S〃+|—S'=%+ι>O,

二??！ㄊ?2(∕t+l)+λ≥O,則z≥—2n—2.

又?.?〃27,一2n一2≤一16,即2>—16.

答案：(一16,÷°o)

例8解析：(1)令y(x)=x+絲(x>0),由基本不等式得兀c)》2fΓ^=6√Tθ,當(dāng)且僅當(dāng)

XNX

x=3√IU時，等號成立.因為斯=二5，所以一絆，由于〃∈N*,故當(dāng)幾=9或〃

n+—n+——6VlO60

=10時,4"=2為最大值.

(2)因為斯+|—α,,=("+3).修)一(〃+2).修)=停).隹詈-(〃+2)]=G)~?

當(dāng)n<4時，an+↑-aπ>0,即an+ι>an;

當(dāng)〃=4時，an+i-an-0,即知+1=??；

當(dāng)〃>4時，an+?~an<Q,即a"+i<a”.

所以該數(shù)列中最大項為第4項和第5項.

答案：(1)9或10(2)4或5

對點訓(xùn)練

==

I-解析：'?i>"+2=T+ι—bn,b\\,bi-2,

Λ?3=?2-b?=_2_1=-3,

84=加一歷=-1,

Z?5=Z?4—83=—1—3)=2,

?=?5-?4=2-(―1)=3,

?7=?6-?5=3-2=1.

???｛瓦｝是周期為6的周期數(shù)列，

且Ss=\—2—3—1+2+3=0.

:?52022=S337X6=0.

答案：A

2.解析：‰=?=l+≤?(n∈N*),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)〃≤7或〃>8時，數(shù)

n—5√2n—5√2

列伍〃｝為遞減數(shù)列.因為當(dāng)∕ι≤7時，an<?,當(dāng)〃28時，所以〃8為最大項，可知根=

8.

答案：8

微專題Q滲透美育教育凸顯數(shù)學(xué)之美

變式訓(xùn)練

解析：設(shè)該數(shù)列為{m},依題意可知，?5,。6,…成等差數(shù)列，且公差為2,死=5,

設(shè)塔群共有〃層，則S,=1+3+3+5+55-4)+也等包X2=108,

解得〃=12,所以該塔共有12層，故選C.

答案：C

第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和

?最新考綱?

1.理解等差數(shù)列的概念.

2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.

3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.

4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.

?考向預(yù)測?

考情分析：等差數(shù)列的判斷與證明，等差數(shù)列的基本運算，等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用仍是

高考考查的熱點，三種題型都有可能出現(xiàn).

學(xué)科素養(yǎng)：通過等差數(shù)列的證明考查邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過等差數(shù)列的基本運算及

性質(zhì)的應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一`必記3個知識點

I.等差數(shù)列的概念

(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于,那么這個數(shù)列

就叫做等差數(shù)列；數(shù)學(xué)語言表達式：an+∣-an=d(nCN+,”為常數(shù)).

(2)如果三個數(shù)X,A,y組成等差數(shù)列，那么A叫做X和y的等差中項.

［提醒］(IM>0=｛斯｝為遞增數(shù)列；

(2)d=0n｛4,,｝為常數(shù)列；

(3)d<0n｛a,,｝為遞減數(shù)列.

2.等差數(shù)列的通項公式與前〃項和公式

(1)若等差數(shù)列｛”“｝的首項是G,公差為d,則其通項公式為%=;

(2)前〃項和公式：.

3.等差數(shù)列的性質(zhì)

⑴通項公式的推廣：an-am+(n,∕M∈N+);

(2)若｛斯｝為等差數(shù)列，且伏，I,tn,n∈N+),則；

(3)若｛〃“｝是等差數(shù)列，公差為d,則以，ak+m,或+筋，…('m∈N+)是公差為

的等差數(shù)列；

(4)若S“為等差數(shù)列｛α.｝的前〃項和，則數(shù)列%,S2m-Sm,SM-S2m，…也是等差數(shù)列;

(5)若S.為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，則數(shù)歹耳手｝也為等差數(shù)列.

二、必明2個常用結(jié)論

1.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)

(1)若項數(shù)為2〃，則SLS奇=〃d,.=2;

、偶an+ι

(2)若項數(shù)為2〃一1("》2),則S國=Ss=na,l,S舟一Sa=”“，^-=—.

S偶n-1

2.兩個等差數(shù)列｛斯｝,｛為｝的前〃項和S,“T"之間的關(guān)系為患=M=

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“或"X”).

(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)

列.()

(2)數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2%+∣=如+%+2.()

(3)數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為〃的一次函數(shù).()

(4)已知數(shù)列｛為｝的通項公式是a“=p〃+式其中p,q為常數(shù))，則數(shù)列｛〃“｝一定是等差數(shù)

列.()

(5)等差數(shù)列的前〃項和公式是常數(shù)項為O的二次函數(shù).()

(二)教材改編

2.［必修5?P44例2改編］已知S”為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，④=2,S4=M,則限等于

()

A.32B.39C.42D.45

3.［必修5?P39練習(xí)Ts改編］在等差數(shù)列｛“"｝中，若43+44+a5+α6+α7=450,則汲+制

(三)易錯易混

4.(忽視等差數(shù)列為O的項)在等差數(shù)列｛”“｝中，∣"3∣=∣49∣,公差d<0,則使數(shù)列｛斯｝的前

n項和S,取得最大值的正整數(shù)n的值是.

5.(忽視等差教列相鄰項的符號)在首項為28的等差數(shù)列｛的｝中，從第8項開始為負數(shù),

則公差d的取值范圍是.

(四)走進高考

6.［2020?全國卷∏］記&為等差數(shù)列｛”“｝的前〃項和.若“∣=-2,a2+a6=2,則SH)=

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一等差數(shù)列基本量的運算［基礎(chǔ)性］

1.［2021?廣東省揭陽市高三期中］已知｛斯｝為等差數(shù)列，其前〃項和為S,,若“3=6,S3

=12,則公差d等于()

?-1b?1c?2d?3

2.［2022?廣西南寧適應(yīng)性考試］記S“為等差數(shù)列｛”“｝的前〃項和，若03=2,Si=I,則數(shù)

列｛α,,｝的通項公式為=()

C.2〃-4D.(〃一1)(〃一2)

3.［2022?福建廈門市測試］已知公差不為0的等差數(shù)列｛斯｝中，G+α4="6,α9=a∣,則

SO=?

4.［2022?四川遂寧市測試］已知等差數(shù)列｛&｝滿足a∣+"3=8,"2+0l=14,則它的前8項

的和S8=()

A.70B.82C.92D.105

反思感悟等差數(shù)列運算問題的通性通法

(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出公差d,然后由通項公式或前〃項和公式轉(zhuǎn)化為

方程(組)求解.

(2)等差數(shù)列的通項公式及前“項和公式，共涉及五個量α∣,a,l,d,n,S1,,知其中三個

就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.

(3)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而αι和d是等差數(shù)列

的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法.

考點二等差數(shù)列的判定與證明［綜合性］

［例1］(l)［2021?全國甲卷］已知數(shù)列｛0｝的各項均為正數(shù),記S,為｛為｝的前"項和，從下

面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；②數(shù)列｛圖｝是等差數(shù)列；③z=30.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

(2)已知數(shù)列｛斯｝中，0=；,其前〃項和為￡,且滿足如=信(〃\2).求證：數(shù)列E;｝是

等差數(shù)列.

聽課筆記：

一題多變

(變條件，變問題)若例1(2)中“③=U(〃22)”改為“斗=會七(〃，2)”且其他條件

ZSn—1^?n-1+1

不變.

(1)證明：數(shù)歹u｛(｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

反思感悟等差數(shù)列的判定與證明方法

如果一個數(shù)列｛",｝從第2項起，每一項與它的

前一項的差等于同一個常數(shù)，那么可以判斷數(shù)

列SJ為等差數(shù)列

如果一個數(shù)列｛4｝對任意的正整數(shù)”都滿足2∏"i

=an+ant2,那么可以判斷｛“,｝為等差數(shù)列

如果一個數(shù)列｛”,｝的通項公式滿足""=p"+g

",4為常數(shù))的形式，那么可以得出舊｝是

*項為p+q,公差為P的等差數(shù)列

如果一個數(shù)列｛α,｝的前n項和公式滿足S)I=An2

+3”(A,B為常數(shù))的形式，那么可以得出數(shù)

列(??)是首項為A+B,公差為2A的等差數(shù)列

［提醒］在解答題中證明一個數(shù)列為等差數(shù)列時，只能用定義法和等差中項法.

【對點訓(xùn)練】

［2022?鄂爾多斯市第一中學(xué)檢測］已知數(shù)列｛斯｝,α∣=l,s=3,且滿足細與i=2("22

an÷2

且"CN*),證明新數(shù)列｛α,,+∣-α,,｝是等差數(shù)列，并求出小的通項公式.

考點三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用［基礎(chǔ)性、綜合性］

角度1等差數(shù)列項的性質(zhì)

［例2］(l)［2022?福建省永安質(zhì)檢］等差數(shù)列｛%｝中，若s+α8=15-45，則的等于()

A.3B.4C.5D.6

(2)［2022?黑龍江哈爾濱市測試心,是等差數(shù)列｛斯｝的前n項和，a↑+a2+ai^3,a1+a9=

10,則S9=()

A.9B.16C.20D.27

聽課筆記：

反思感悟等差數(shù)列項的性質(zhì)

(1)??=α,+(n—m)d(m,n∈N*),d=Ana"1.

nn—πι

1

(2)若〃z+"=p+q(∕π,n,p,<y∈N*),K］al,∣+an=ap+a(l.

角度2等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

［例3］(l)f2022?河南洛陽市檢測］已知等差數(shù)列｛”“｝的前n項和為S,,,若S3=%S6=63,

則乃十四十僅等于()

A.63B.71C.99D.117

(2)已知S,是等差數(shù)列｛斯｝的前n項和，若a=-2018,?-?≡=6,則5=

lNUloLUxZ2022

聽課筆記：

反思感悟等差數(shù)列和的性質(zhì)

在等差數(shù)列｛4〃｝中，5〃為其前〃項和，則：

⑴數(shù)列S,",SALSm,Syfn-Siini…也是等差數(shù)列.

(3)§2“=n｛a?+。2")=…=n(an+〃,?+1).

(4)52H-I=(2n-l)‰

(5)若〃為偶數(shù)，則S<LS+=M若〃為奇數(shù)，則S*-S,M="(中間項).

【對點訓(xùn)練】

1.［2022?山西臨汾市檢測］設(shè)等差數(shù)列｛α,J的前〃項和為S,,若4+勾=做+。5,則SU=

()

A.28B.34C.40D.44

2.［2022?黑龍江大慶市檢測］設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”其中S2=3,S4=15,則

&=()

A.9B.18C.27D.36

3.［2022?安徽滁州市月考］兩等差數(shù)列｛“,｝和｛5｝的前n項和分別是S“、Tn,己知黑=々，

Tnn+3

則荒=()

A.7B.-C.—D.—

384

4.在等差數(shù)列｛m｝中，G=-2022,其前〃項和為S”若需一郎=2,則S2022的值為

考點四等差數(shù)列前〃項和的最值問題［綜合性］

［例4］(l)［2022?吉林長春市檢測］等差數(shù)列｛斯｝的前八項和為Sn,S7=49,a3=3a6,則

S”取最大值時的〃為()

A.7B.8C.14D.15

(2)f2022?通遼新城高三檢測］已知等差數(shù)列｛m｝的前n項和為Sn,且S1>Ss,S8=S9<Sl0.

則下面結(jié)論錯誤的是()

A.6/9=0

B.S15>S∣4

C.d<0

D.S8與S9均為S,的最小值

聽課筆記：

反思感悟求等差數(shù)列前n項和的最值的方法