2023年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練：幾何證明題（能力提升）

2023年中考數(shù)學(xué)沖刺階段專題強訓(xùn)：幾何證明題

班級:姓名：考號：

1.如圖所示，Co為。。的直徑，AD,AB,BC分別與G)O相切于點。、E、C(AD<BC).連

接。E并延長與直線BC相交于點P,連接。4、OB.

⑴求證：0AL08；

(2)求證：BC=BP;

(3)若OA=3,OB=4,求AO?BC的值.

2.有一組對邊平行，一個內(nèi)角是它對角的兩倍的四邊形叫做倍角梯形.

(1)已知四邊形ABeD是倍角梯形，AD∕∕BC,ZA=IOOo,請直接寫出所有滿足條件的NO的

度數(shù)；

(2)如圖1,在四邊形ABCo中，ZBΛZ)+ZB=180o,BC=AD+CD.求證：四邊形ABCo是倍

角梯形；

(3)如圖2,在(2)的條件下，連結(jié)AC,當(dāng)AB=AC=A0=2時，求BC的長.

3.如圖，?RtΔABC?RtΔADEΦ,/4=90°,AB=AC,AD=AE,點、D,E分別在AB,

AC上.現(xiàn)將4AOE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角度(0。＜。＜180。)，連接8。，CE.

(1)求證：ΔADB^ΔAEC；

(2)已知AB=4,AD=3,求解以下問題：

①若0。＜。＜90。，且CoSa＞:，求線段8。長度的取值范圍；

4

②若0o＜a＜180。，則點B,C,D,E中是否存在三點共線的情況？若存在，求出線段BO的

長度；若不存在，請說明理由.

4.如圖，AABC和AAOE是有公共頂點A的兩個等腰直角三角形，NoAE=NBAC=90。，

AD=AE,AB=AC=G,。在線段BC上，從B到。運動，點M和點N分別是邊BC,OE的中

點.

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】若點。是BC邊的中點時，除二—,直線8。與MN相交所成的銳角的度

數(shù)為(請直接寫出結(jié)果)

(2)【解決問題］若點。是BC邊上任意一點時，上述結(jié)論是否成立，請說明理由.

(3)【拓展探究】在整個運動過程中，請直接寫出N點運動的路徑長，及CN的最小值.

5.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段AE,記旋轉(zhuǎn)角為α.連

接BE,CE,過點C作直線BE的垂線，垂足為F.

(1)如圖1,當(dāng)c=60。時，左的值為______.

Cr

(2)當(dāng)0o<α<180。且點尸不與點E重合時，

①(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請說明理

②當(dāng)以點C,E,尸為頂點的三角形是等腰直角三角形時，請直接寫出BE的長.

6.已知矩形MBCD的頂點M是線段AB上一動點，AB=BC,矩形MBC。的對角線交于點0,

連接Ma80.點尸為射線QB上一動點（與點B不重合），連接PM.作PNLPM交射線CB

于點N.

①依題意補全圖1:

②寫出線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系并證明.

⑵如圖2,若∕OMB=a,當(dāng)點P在08的延長線上時，請補全圖形并直接寫出PM與PN的數(shù)

量關(guān)系.

7.如圖1,在AABC中，BC=3,NACB=90。，點。在線段84上運動，以線段OB為直角邊

O

構(gòu)造等腰放2k3DE,BE是斜邊，當(dāng)點。運動到點A時（如圖2）,Zk3C尸的面積為是,若

v147

BO的長為X,與AABC重疊部分的面積為S.

⑵求S關(guān)于X的函數(shù)解析式并直接寫出自變量X的取值范圍.

8.如圖1,.ABC和.Z)EF中，ZABC=NDEF=90°,照="=2,邊OE與AB相交于點P,且

BCEF

筆啜=2,連接尸?PC.

圖1圖2

⑴求,的值；

FD

⑵如圖2,連接C/，BE,將。砂繞著點尸在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中疼是否為定值，若

BE

是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

⑶在(2)的條件下，若BC=2,EF=I,當(dāng)3,E,F三點在一條直線上時，求的的長度.

9.如圖1,正方形ABeO中，M,N分別是A3、BC上的點，DM,DN分別與對角線AC相交

于點F、E.

(1)若DM=DN,求證：ZAFM=ZCEN;

(2)若NMDN=45°,求證：2AE-CF=AO；

(3)如圖2,連接8。交AC于點0,若DN平分NBDC,直接寫出0E：BN：NC的值.

圖1圖2

10.在ABC中，ZACB=90°.將ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度（旋轉(zhuǎn)角度不大于180。），得

至「OEC（點。，E分別與點A,8對應(yīng)），連接AO,BE.

（1）如圖1,當(dāng)點A,C,E在同一條直線上時，直接寫出AO與8E的位置關(guān)系為；

（2）如圖2,當(dāng)點。落在AB上時，（點。不與點A重合），請判斷AO與BE的位置關(guān)系，并證

明你的結(jié)論；

（3）如圖3,將ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。時，延長AO與直線BC,8E分別相交于點F,G,

連接CG,試探究線段CG與。E之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

11.如圖，在ABCΦ,ZAC8=90。,NftAC的平分線A。交BC于點

過點。作OE14）交AB于點E,以AE為直徑作O.

（1）求證：BC是一。的切線；

（2）若AC=3,BC=4,求8E的長；

（3）在（2）的條件下，求tanNEDB的值.

12.在矩形ABCD中，BC=KCD,點E,尸分別是邊AD、BC上的動點，且AE=C尸，連接EF,

將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點。落在點H處.

圖】≡2

(1)如圖1,當(dāng)EH與線段BC交于點P時，求證：PE=PF;

(2)如圖2,當(dāng)點P在線段Ce的延長線上時，G”交AB于點M,求證：點M在線段EF的垂

直平分線上；

(3)當(dāng)AB=5時，在點E由點A移動到A。中點的過程中，計算出點G運動的路線長.

13.以AB為直徑作半圓O,AB=Io,點C是該半圓上一動點，連接AC、BC,并延長BC到

點。，使OC=BC,過點。作OELAB于點E、交AC于點凡連接。F.

(1)如圖1,當(dāng)點E與點。重合時，求NBAC的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)OE=8時，求線段族的長；

(3)在點C運動過程中，若點E在線段OA上，是否存在以點E、。、尸為頂點的三角形與△ABC

相似？若存在，求出此時線段OE的長；若不存在，請說明理由.

14.如圖，射線4?和射線CB相交于點8,ZABC≈a(0o<a<180o),且AB=CB,點。是射線

CB上的動點(點。不與點C和點3重合),作射線A并在射線AD上取一點E,使ZAEC=a,

連接CE,BE.

⑴如圖1,當(dāng)點。在線段CB上，α=60。時,在AD上截取AF=CE,連接8F,證明：?ABFg∕?CSE,

請求ZAEB的度數(shù)，探求線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,當(dāng)點。在線段CB上，c=90。時，請寫出ZAEB的度數(shù)，探求線段AE,BE,CE之

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)點。在線段CB上，α=i20。時，請直接寫出線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系.

15.如圖1,在菱形AB8中，ZDAB=GOo,AB=A,以AB為直徑作半圓。交AQ于點E,過點

E作。的切線交8于點G,交胡的延長線于點尺當(dāng)點尸從點G運動至點尸時，點。恰好

從點A運動至點8,設(shè)AQ=X,PF^y.

AQOAQO

圖1圖2

(1)求證：AF=DG.

⑵求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式.

(3)連接PQ.

①當(dāng)PQ與AAEB的一邊平行時，求X的值.

②如圖2,記PQ與BE交于點M,連結(jié)MG,BG若NEPM=NMGB,求一BMQ的面積.

16.如圖，四邊形ABe。中，AB=BC,ZABC=UOo,連接OB,總、有NDBC=/DAB+60°.

備用圖備用圖

(1)求—4>8的度數(shù);

⑵點F是線段CD的中點，連接BF.

①寫出線段AD，BD,8尸之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

②延長AD8/相交于點M連接CN,若A8=2G,求線段CN長度的最小值.

17.數(shù)學(xué)探究小組利用一些三角形彩紙裁剪面積最大的內(nèi)接正方形，他們就有關(guān)問題進行了探

究：

定義：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的邊上，那么我們就把這個正方形叫做三角

形的內(nèi)接正方形.

作圖：如圖1,正方形DEFG的頂點E,尸在邊AB上，頂點。在邊AC上，在ABC及其內(nèi)部,

以A為位似中心，作正方形DEFG的位似正方形D'EF'G',且使正方形D'E,F'G'的面積最大.

實踐操作：

(1)第一小組拿到的鈍角三角形原材料，你認(rèn)為在鈍角三角形中存在個內(nèi)接正方形;

(2)第二小組拿到的是直角三角形原材料，小明說：在直角三角形中，兩個頂點都在斜邊上的

內(nèi)接正方形的面積較大.小麗同學(xué)認(rèn)為他的結(jié)論不正確，她通過計算腰長為1的等腰直角三角

形（如圖2和圖3）的情況給予說明，請你幫助小麗同學(xué)完成計算和說理過程；

⑶第三小組拿到的是不等邊銳角三角形原材料，小華同學(xué)認(rèn)為：在不等邊銳角三角形中，兩

個頂點都在較大邊上的內(nèi)接正方形的面積反而較小.小華同學(xué)己經(jīng)寫出了題設(shè)條件，請你幫助

他完成推理過程.如圖4,設(shè)銳角.ΛBC的三條邊分別為a、AC不妨設(shè)“>"c,三條邊上的對

應(yīng)高分別為4、4、%,內(nèi)接正方形的邊長分別為乙、幾、*

18.綜合與實踐

問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，王老師讓同學(xué)們用兩張矩形紙片進行探究活動.

陽光小組準(zhǔn)備了兩張矩形紙片ABCz）和所G"，其中AB=6,AD=S,將它們按如圖1所示的方

式放置，當(dāng)點A與點E重合，點F,，分別落在AB,AO邊上時，點F,〃恰好為邊AB,A。的

中點.然后將矩形紙片EFG"繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,連接母■與

D

圖3

觀察發(fā)現(xiàn):

（1）如圖2,當(dāng)a=90。時，小組成員發(fā)現(xiàn)BF與。，存在一定的關(guān)系，其數(shù)量關(guān)系是.;位

置關(guān)系是

探索猜想：

⑵如圖3,當(dāng)90。<&<180。時，(1)中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

拓展延伸：

⑶在矩形￡7七”旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C,A,F三點共線時，請直接寫出線段/汨的長.

19.【基礎(chǔ)鞏固】

⑴如圖1,ABIBC于點B,CELBC于點、C,AC工DE交BC于點D,求證：￡=空

DECE

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,在矩形ABC。中，E是BC上的一點，作。F_LAE交BC于點F,CE=EF,若

AB=2,AD=4,求得的值.

【拓展提高】

3

⑶如圖3,菱形ABS的邊長為man∕A8="E為AO上的一點,作DGACE交AC于點八

交AB于點G,且CE=2。尸，求BG的長.

圖1圖2圖3

20.如圖，為矩形ABC。的對角線，點E在AQ上，連接BE,F是OBDE的外接圓與DC的延

長線的一個交點，延長BC交圓于點G,點。恰好是EG的中點，連接EF,分別交8C,8。于點

H,M,連接￡)”.

(1)求證：BDLEF.

(2)求證：四邊形8瓦汨是菱形.

(3)若H恰好是MF的中點時，求空的值.

21.如圖1,在,,ABC中，BC=2√5,AB=5,CotNABC=g.點。、E分別在邊AC、AB1.(不

與端點重合)，8。和CE交于點F，滿足ZABQ=ZBCE.

⑴求證：CD2=DFDB;

(2)如圖2,當(dāng)CEIAB時，求CD的長；

(3)當(dāng)，8F是等腰三角形時，求以■:〃的值.

22.(1)［證明體驗］如圖1,在oABC中，。為AB邊上一點，連接8,若ZAS=ZABC,求證：

AC2=AD-AB.

(2)在RtAABC中，ZAC5=90。,ZABC=60。，BC=2,。為AB邊上一動點，連接C。，E為CD

中點，連接BE.

①［思考探究］如圖2,當(dāng)ZAa)=NiDBE時，求AQ的長.

②［拓展延伸］如圖3,當(dāng)NQE3=30。時，求AO的長.

圖1圖2圖3

23.如圖，以AB為直徑的。中，4C切。于點A,且AC=AB,連接BC,交。于點。，作

射線CO交。于點E.

(1)作AM,CE于點M,交BC于點、N,交。于點F,連接BF(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不

寫作法)；

⑵在(1)的條件下，

①求證：Δ,ACM^Δ,BAF；

②若Ab=6,求BZ)的長.

24.如圖1,。的直徑AB垂直弦CD于點E,點P為AC上的一點，連接PE并延長交。于點

Q,連接。Q,過點P畫P尸〃。Q交。C的延長線于點F.若。。的直徑為10,QE=3.

⑴求。的長;

(2)如圖2,當(dāng)∕PQO=90°時,求NPEC的正切值;

(3)如圖1,設(shè)PE=X，DF=y.

①求y關(guān)于X的函數(shù)解析式；

②若PFXoQ=20,求)的值.

25.已知：如圖1,四邊形ABC。中，AB=AD=CD,ZB=ZC<90o.

(1)求證：四邊形ABCD是等腰梯形;

(2)邊CO的垂直平分線E尸交C。于點E,交對角線AC于點P,交射線AB于點E

①當(dāng)AF=AP時，設(shè)Ao長為X,試用X表示Ae的長；

②當(dāng)斯=DE時，求黑的值.

(1)如圖1,將等邊ABC沿AE)折疊，使得AC與A3重合，則NBAD的度數(shù)為。；

【問題探究】

(2)如圖2,在YABCO中，E、尸分別為A8、CQ的中點，AC是對角線，S.AC1BC,判斷

四邊形AEcF的形狀，并說明理由;

【問題解決】

（3）如圖3是一個矩形木板，已知BC=2√i48,點E、F分別是AB、C。的中點，現(xiàn)要制作一

塊直角三角形（RtZ?CMP）的木楔，要求該木楔的直角頂點M是A。的中點，點尸在8C邊上.木

匠師傅在這塊木板上的作法如下：

①連接所，以點B為圓心，外的長為半徑作弧，交EF于點N,交邊BC于點Q

②連接朗并延長，與AD的交點是點M的位置；

③作ZABM的平分線交A。于點“，連接Hq并延長，與BC的交點是點P的位置.

請問，若按上述作法，制作的！CMP木楔是否符合要求？請說明理由.

參考答案：

144

1.

25

2.(1)滿足條件的NA的度數(shù)為160°或130°；

(3)βC=√5+l

3-⑵①°<8"萬；②存在,劭=回押或叵產(chǎn)

4.(1)血，45°

⑵成立

(3)〃點運動的路徑長為6,"的最小值為3

5?⑴T

⑵①仍然成立②嗜或竽.

6.(1)①畫圖見解析；②)P忙PN

s`PM

⑵麗=UuIɑ.

7.⑴AC=4;