河北省張家口宣化一中高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

20202021學(xué)年上學(xué)期宣化一中高三數(shù)學(xué)期末試卷一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分）已知復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,1)，(0,1)A.1+i B.-1+i C.-1-i D.1-i設(shè)a∈R，則“sinα=cosα”是“sin2α=1”A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件向量a,b滿足|a|=1，|b|=2，A.45° B.60° C.90° D.120°已知數(shù)列an中，a3=2，a7A.23 B.32 C.43已知點(diǎn)M2,4在拋物線C:y2=2px(p>0)上，點(diǎn)MA.4 B.3 C.2 D.1在△ABC中，AB+AC=2AD，AEA.y=2x B.y=-2x C.x=2y D.x=-2y已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1，(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，OA.y=±12x B.y=±22x已知奇函數(shù)fx是R上增函數(shù)，gxA.glog314>g2-32二、不定項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共16.0分）如圖，正方體ABCD-A1B1C1A.直線BC與平面ABC1D1所成的角等于π4

B.點(diǎn)C到面ABC1D1的距離為22

C.兩條異面直線D1要得到y(tǒng)=cos2x的圖象C1，只要將y=sinA.將y=sin2x+π3的圖象C2沿x軸方向向左平移π12個(gè)單位

B.將y=sin2x+π3的圖象C2沿x軸方向向右平移11π12個(gè)單位

C.先作C2關(guān)于x軸對稱圖象C3，再將圖象C3沿x軸方向向右平移5π12已知集合M=x,yy=fx，若對于?x1,y1∈M，?x2,y2∈M，使得A.M1 B.M2 C.M3德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dirichlet,1805～1859)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個(gè)“奇怪的函數(shù)”y=f(x)=1,x∈Q0,x∈?RQ其中R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集.A.函數(shù)fx是偶函數(shù)

B.?x1，x2∈?RQ，fx1+x2=fx1+fx2恒成立

C.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知直線x-2y+a=0與圓O:x2+y2=2相交于A，B兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且?AOB為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)已知直線y=x+2與曲線y=ln(x+a)相切，則2019年7月，中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)志著中華五千年文明史得到國際社會認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間Ｔ(單位：年)的衰變規(guī)律滿足N=N0?2-T5730(N0表示碳14原有的質(zhì)量)，則經(jīng)過5730年后，碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼腳_____;經(jīng)過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的37至12已知ΔABC的頂點(diǎn)A∈平面α，點(diǎn)B，C在平面α異側(cè)，且AB=2，AC=3，若AB，AC與α所成的角分別為π3，π6，則線段BC長度的取值范圍為______四、解答題（本大題共6小題，共72.0分）已知fx(1)求函數(shù)fx的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間(2)求函數(shù)fx在區(qū)間-π在ΔABC，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且8absinC=3b2+(1)求cos(2)求ΔABC的面積S．

設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，(1)證明：Sn+1為等比數(shù)列，求出a(2)若bn=nan，求bn的前n項(xiàng)和Tn，并判斷是否存在正整數(shù)n使得Tn《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian?du);陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉膈(bie?nao)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵ABC-A1B(1)求證：四棱錐B-A1(2)若C1C=BC=2，當(dāng)鱉膈C1-ABC給定橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為a2+b2的圓是橢圓C(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;(2)點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l1，l2使得l1⊥l2，與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1，l2分別交其“衛(wèi)星圓”已知函數(shù)fx=lnx-x+2sin(1)求證：f'x在0,π上存在唯一零點(diǎn)(2)求證：fx20202021學(xué)年上學(xué)期宣化一中高三數(shù)學(xué)期末試卷答案和解析1.【答案】D

【解析】【試題解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

由已知條件可得z1,z【解答】解：∵復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為∴z1=1+i，z故選：D．

2.【答案】C

【解析】【試題解析】

【分析】

本題主要考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷等相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題，

根據(jù)題意，進(jìn)行求解即可．【解答】解：若sinα=cosα，則tanα=1，α=kπ+π4，k∈Z，得sin2α=sin2(kπ+π4)=sinπ2=1成立；

反之，若sin2α=1，則2α=2kπ+故選：C．

3.【答案】C

【解析】【試題解析】【分析】

本題主要考查了向量的夾角、向量的數(shù)量積及向量的垂直的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題，

設(shè)向量a與b的夾角為θ，結(jié)合題干條件求出夾角的余弦值，進(jìn)而即可得解．

【解答】

解：設(shè)向量a與b的夾角為，∴(a+b∵θ∈[0,π]，∴θ=90°．

故選C．

4.【答案】C

【解析】【試題解析】【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)先求出1an的公差，即可求出【解答】設(shè)等差數(shù)列1an的公差為則1a7=1a則1a5=故選：C．

5.【答案】A

【解析】【試題解析】【分析】

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

將點(diǎn)M2,4的坐標(biāo)代入拋物線方程，求出p=4，即得焦點(diǎn)F(2,0)【解答】解：由點(diǎn)M2,4在拋物線y2=2px上，可得16=4p即拋物線C:y2=8x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F(2,0)所以點(diǎn)M到拋物線C焦點(diǎn)的距離為：2--2故選：A．

6.【答案】D

【解析】【試題解析】【分析】

本題主要考查向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，

平面向量的基本定理及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題，

依題可得，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，AE=-2DE，從而可得出DE=-16(AB+AC【解答】解：如圖所示：

∵AB∴點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，∵AE+2DE=0又DB=∴EB又EB=x∴x=23,y=-故選：D．

7.【答案】D

【解析】【試題解析】【分析】

利用雙曲線的定義求出m=2a，由向量的數(shù)量積，可求出∠F1PF2【解答】因?yàn)镻F1-PF2=2a4a?2acos∠F即有4c2=4所以ba所以雙曲線的漸近線方程為：y=±2故選：D．

8.【答案】B

【解析】【分析】

根據(jù)定義，可判斷出g(x)為偶函數(shù)，根據(jù)其導(dǎo)數(shù)可得出，x>0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x<0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，再利用奇偶性將三個(gè)函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值，即可比較出大?。窘獯稹坑善婧瘮?shù)f(x)是R上的增函數(shù)，可得f'x當(dāng)x>0時(shí)，fx>0，當(dāng)x<0時(shí)，由gx=xfx，則g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)因?yàn)間'x=fx+xf'x，所以當(dāng)x>0時(shí)，g'故x>0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x<0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減．因?yàn)間log3所以glog故選：B．

9.【答案】ABD

【解析】【試題解析】

【分析】

本題考查正方體內(nèi)的點(diǎn)、線、面關(guān)系，涉及異面直線所成的角、線面成角、點(diǎn)面距離，以及外接球問題，屬中檔題．

根據(jù)線面角的定義及求法，點(diǎn)面距的定義，異面直線所成角的定義及求法，三棱柱的外接球的半徑求法，即可判斷各選項(xiàng)的真假．

【解答】解：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，

對于A，連接B1C，故B?1C⊥BC1，

又正方體中AB⊥平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，

又AB∩BC1=B，AB、BC1?對于C，因?yàn)锽C1//AD1，所以異面直線D1C和BC1所成的角為∠AD1對于D，因?yàn)锳1A,A1B1,A1故選：ABD．

10.【答案】ABC

【解析】【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換法則，即可判斷各選項(xiàng)是否可以變換得到．【解答】對于A，將y=sin2x+π3圖象C2沿x軸方向向左平移π12個(gè)單位，可得對于B，將y=sin2x+π3的圖象C2y=sin2x-11π12對于C，先作C2關(guān)于x軸對稱，得到y(tǒng)=-sin2x+π3的圖象C3，再將圖象C3沿x軸方向向右平移5π對于D，先作C2關(guān)于x軸對稱，得到y(tǒng)=-sin2x+π3的圖象C3，再將圖象C3沿x故選：ABC．

11.【答案】BD

【解析】【分析】

根據(jù)題意知，對于集合M表示的函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)Px1,y1【解答】由題意知，對于集合M表示的函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)Px1,y1在y=x2+1的圖象上，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)所以M1不是“互垂點(diǎn)集”對y=x+1所以在M2中的任意點(diǎn)Px1,y1，在所以M2是“互垂點(diǎn)集”在y=ex的圖象上，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)時(shí)，不存在對應(yīng)的點(diǎn)P'，所以M3不是“對y=sin所以所以M4是“互垂點(diǎn)集”故選：BD．

12.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性，集合的補(bǔ)集，新定義，屬于較難題．

根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項(xiàng)判斷即可．【解答】對于A，若x∈Q，則-x∈Q，滿足f(x)=f(-x)；

若x∈?RQ，則-x∈?RQ，滿足f(x)=f(-x)；

故函數(shù)對于B，取x1=π∈?RQ,x2=-π∈?對于C，若x∈Q，則x+T∈Q，滿足fx=fx+T；

若x∈?RQ，則x+T∈?對于D，要為等腰直角三角形，只可能如下四種情況：①直角頂點(diǎn)A在y=1上，斜邊在x軸上，

此時(shí)點(diǎn)B，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，

則BC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍然為無理數(shù)，

那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；②直角頂點(diǎn)A在y=1上，斜邊不在x軸上，

此時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，

則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；③直角頂點(diǎn)A在x軸上，斜邊在y=1上，

此時(shí)點(diǎn)B，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，

則BC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，

那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為0矛盾，故不成立；④直角頂點(diǎn)A在x軸上，斜邊不在y=1上，

此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，

則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立．綜上，不存在三個(gè)點(diǎn)Ax1,fx1，Bx2故選：ACD．

13.【答案】±5【解析】【分析】

根據(jù)等腰直角三角形邊長可求得弦長AB=2，利用點(diǎn)到直線距離公式求得圓心到直線距離d，根據(jù)垂徑定理構(gòu)造方程可求得結(jié)果．【解答】∵ΔAOB為等腰直角三角形

∴OA⊥OB，又OA=OB=r=2

又圓O的圓心到直線距離d=∴AB=2r2故答案為±

14.【答案】3

【解析】【分析】

設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，求出函數(shù)y=ln(x+a)的導(dǎo)數(shù)為y?【解答】設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0所以k切=1x0+a=1，并且y0=故答案為3．

15.【答案】12

【解析】【分析】

把T=5730代入N=N0?2-T5730，即可求出；再令【解答】∵N=N0?2-T5730，∴經(jīng)過5730年后，碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?2由題意可知：2-T兩邊同時(shí)取以2為底的對數(shù)得：log2∴-T∴T<6876，∴推測良渚古城存在的時(shí)期距今約在5730年到6876年之間．故答案為：12；6876

16.【答案】7,【解析】【分析】

由題意畫出圖形，分別過B,C作底面的垂線，垂足分別為B1，C根據(jù)BC2=BB1+B1C【解答】如圖所示：分別過B,C作底面的垂線，垂足分別為B1，C由已知可得，BB1=3，CC∵BC=BB1∴當(dāng)AB，AC所在平面與α垂直，且B,C在底面上的射影B1，C1，在A點(diǎn)同側(cè)時(shí)，BC長度最小，此時(shí)B1C1當(dāng)AB，AC所在平面與α垂直，且B,C在底面上的射影B1，C1，在A點(diǎn)異側(cè)時(shí)，BC長度最大，此時(shí)B1C1∴線段BC長度的取值范圍為7,故答案為：7,

17.【答案】

(1)由題意，化簡得f==2所以函數(shù)fx的最小正周期∵y=sinx的減區(qū)間為2kπ+由2kπ+π2≤2x-所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ+5π12(2)因?yàn)椤選∈-π2,0，所以所以，函數(shù)fx在區(qū)間-π2【解析】見答案

18.【答案】(1)由題意得8ab由余弦定理得：4a由正弦定理得4所以tanA=∴ΔABC中，cosA=(2)由余弦定理a2=解得b=3或b=5∵tanA=由S=12bc?sinA【解析】見答案

19.【答案】解：(1)∵∴Sn+1因?yàn)閍1=S故Sn+1+1S∵S1∴Sn+1=2n，即Sn=2n∴a(2)因?yàn)閎n=∴12即Tn=4-n+22n-1令f(x)=2x-x-26(x≥1)，f'∴fx=2而f5?f4<0，所以不存在正整數(shù)【解析】本題考查等比數(shù)列的判定與證明，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬難題．

(1)將已知變形為Sn+1+1=2Sn+1，n∈N*，再由Sn+1>0，可得Sn+1+1Sn(2)由(1)解得bn=nan=n2n-1，根據(jù)錯(cuò)位相減法解得Tn=4-n+22n-1，代入Tn

20.【答案】(1)∵A1A⊥底面ABC，∴又AB⊥AC，A∴AB⊥面ACC又四邊形ACC∴四棱錐B-A(2)∵AB⊥AC，BC=2，∴A又∵A1A⊥∴=當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=2時(shí)，V∵AB⊥AC