2023年黑龍江省綏化市普通高校對口單招數(shù)學(xué)自考模擬考試(含答案)

2023年黑龍江省綏化市普通高校對口單招

數(shù)學(xué)自考模擬考試（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（10題）

1.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則至少有一枚出現(xiàn)正面的概率是O

A.1B.3/4C.1/2D.1/4

2.若圓Cκx2+y2=l與圓C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m=（）

A.21B.19C.9D.-11

3設(shè)*合∕={L3?5}.8={3.6?9}.!iU8h

A.0

B?{3}

C.{1,5,6,9）

D.{1,3,5,6,9}

4.橢圓χ2∕2+y2=l的焦距為（）

A.1

B.2

C.3

5不等式M-2x<0的解集為

(-∞,0)∪(2,+∞)

A.

B.(0,2)

C10'21

D.R

6.若不等式χ2+χ+cV0的解集是｛x卜4VχV3｝,則C的值等于O

A.12B.-12C.11D.-11

7.下列四組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是()

B.y=21nx與y=lnx2

3π

..-----------FX

C.y=sιnx與y=cos(2)

D.y=cos(2π-x)與y=sin(π-x)

8.已知｛all｝是等差數(shù)列，aι+a7=-2,a3=2,則｛a11｝的公差d=()

A.-lB.-2C.-3D.-4

9.已知點(diǎn)A(I,-1)，B(-L1),則向量3?為()

A.(l,-l)B.(-l,l)C.(0,0)D.(-2,2)

10.已知向量a=(2,4),b=(-l,1),則2a-b=()

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

二、填空題(10題)

11.1+3+5+...+(2n-b)=.

12.函數(shù)Rx)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值為,

函數(shù)f(x)=3cos(x+工)的最小值是______=

13.6

14.有一長為16m的籬笆要圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積

是m2.

15.

以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)Φ(x)組成

的集合：對于函數(shù)Φ(x),存在一個正數(shù)M,使得函數(shù)Φ(x)的值域包含于區(qū)間[-M,

Ξ

M].例如，當(dāng)Φ:(x)=X,Φ2(X)=SinX時，Φi(x)∈A,Φ∑(x)∈B.現(xiàn)有如下命題：

①設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,則“f(x)∈A"的充要條件是"?b∈R,3a∈D,f(a)

—b",

②函嬴f(x)EB的充要條件是f(x)有最大值和最小值；

③若函數(shù)f(x),g(x)的定義域相同，且f(x)∈A,g(X)∈B,則f(x)+g(x)≡B.

④若函數(shù)f(x)=aln(x+2)+-?-(x>-2,a∈R)有最大值，則f(x)∈B.

xz+l

其中的真命題有.(寫出所有真命題的序號)

16.如圖是一個算法流程圖，則輸出S的值是

r?te

17.在平面直角坐標(biāo)系xθy中，直線2x+ay-l=0和直線(2a-l)x-y+l=0

互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值是

18.若函數(shù)詢=￡.財(cái)令

19.設(shè)向量a=(x,x+l),b=(l,2),且aJ_b,則X=.

某田徑隊(duì)有里運(yùn)動員3。人，女運(yùn)動員10人.用分層抽樣的方

法從中抽出一個各里為20的樣本，則抽出的女運(yùn)動員有

20.人?

三、計(jì)算題(5題)

21.己知直線1與直線y=2x+5平行，且直線1過點(diǎn)(3,2).

(1)求直線1的方程；

(2)求直線1在y軸上的截距.

22.求焦點(diǎn)X軸上，實(shí)半軸長為4,且離心率為3/2的雙曲線方程.

23.有語文書3本，數(shù)學(xué)書4本，英語書5本，書都各不相同，要把這

些書隨機(jī)排在書架上.

(1)求三種書各自都必須排在一起的排法有多少種？

(2)求英語書不挨著排的概率P。

己知函f(x)=Ioga-------，(a>0且a≠)

24.l+x

(1)求函數(shù)f(χ)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由。

25.有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，公差為10,后三個數(shù)成等比數(shù)

列，公比為3,求這四個數(shù).

四、簡答題(10題)

26.已知等差數(shù)列&;的前n項(xiàng)和是&=一竊求:

(1)通項(xiàng)公式4

(2)a∣+a3+a5+...+a25的值

27.點(diǎn)A是BCD所在平面外的一點(diǎn)，且AB=AC,BAC=BCD=90。,

BDC=60o,平面ABC_L平面BCD。

(1)求證平面ABD，平面ACD；

(2)求二面角A-BD-C的正切值。

28.設(shè)拋物線y2=4x與直線y=2x+b相交A,B于兩點(diǎn)，弦AB長2、后,

求b的值

29.已知向量a=(1,2),b=(x,1),μ=a+2b,v=2a-b且μ∕∕v;求

實(shí)數(shù)X。

30.三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，公差為3,又a,b+l,c+6成等比數(shù)

列，求a,b,Co

31.已知拋物線y2=4x與直線y=2x+b相交與A,B兩點(diǎn)，弦長為2指,

求b的值。

o?^(∣)-a+(0.25)5-7(^+H3∣x(l)U(√2+3)0

JZ.1T舁N4/

33.四棱錐S-ABCD中，底面ABOD為平行四邊形，側(cè)面SBC_L底面

ABCD

(1)證明：SA.1BC

/(x)=sm—+?/?eos-

34.已知函數(shù)2

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最值

g(x)=/(x+-)

(2)令3判斷函數(shù)g(X)的奇偶性，并說明理由

35.已知函數(shù)：”“，求X的取值范圍。

五、解答題（10題）

36.

已知圖1是一個邊長為1的正三角形，三邊中點(diǎn)的連線將它分成四個小三角形，去

掉中間的一個小三角形，得到圖2,再對圖2中剩下的三個小三角形重復(fù)前述操作，得到圖3,

重復(fù)這種操作可以得到一系列圖形.記第"個圖形中所有剩下的小三角形的面積之和為“，

所以去掉的三角形的周長之和為4.

-AAAA

（II）試求（，b?.L_____?/V?AAAA????

圖1圖2圖3圖4

37.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽

取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)

段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面

的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）.

A.簡單隨機(jī)抽樣B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣

38.設(shè)橢圓χ2∕a2+y2∕b2的方程為點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,

0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,b）,點(diǎn)M在線段AB上，滿足IBMI=2∣MAl直線

OM的斜率為I.

（1）求E的離心率e

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-b）,N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MNLAB

39.已知函數(shù)f(x)=Iogil+x∕l-x.

(1)求f(x)的定義域；

(2)討論f(x)的奇偶性；

⑶用定義討論f(x)的單調(diào)性.

40.

等差數(shù)列｛4｝的公差不為零，首項(xiàng)4=1,能是q和小的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是

A.90B.100C.145D.190

己知數(shù)列｛”“｝的首項(xiàng)％=1,÷2n2-6n+3(n=2,3,-?)

數(shù)列｛b,J的通項(xiàng)公式””“+不：

(1)證明數(shù)列｛，」是等比數(shù)列.

41(2)求數(shù)列出“｝的前1】項(xiàng)和5,「

42.如圖，在三棱錐A-BCD中，ABJL平面BCD,BCJ^BD,BC=3,

BD=4,直線AD與平面BCD所成的角為45。點(diǎn)E,F分別是AC,AD

的中點(diǎn).

(1)求證:EF//平面BCD;

(2)求三棱錐A-BCD的體積.

43.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=(χ2+l)(x+a).若f(-l)=0,

求函數(shù)：y=f(x)在［-3/2,1］上的最大值和最小值。

44.某學(xué)校高二年級一個學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會實(shí)踐活動，決定對某“著

名品牌”A系列進(jìn)行市場銷售量調(diào)研，通過對該品牌的A系列一個階段

的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)A系列每日的銷售量f(x)(單位：千克)與銷售價格

x(元/千克)近似滿足關(guān)系式f(x)=a∕x-4+10(l-7)2其中4VχV7,a為?！?/p>

數(shù).已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出A系列15千克.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若A系列的成本為4元/千克，試確定銷售價格X的值，使該商場每

日銷售A系列所獲得的利潤最大.

45.已知等差數(shù)列｛atl｝的前72項(xiàng)和為Sn,a5=8,S3=6.

(1)求數(shù)列｛a∕的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛a11｝的前k項(xiàng)和Sk=72,求k的值.

六、單選題(0題)

46.已知向量a=(sinθ,-2),6=(1,cosθ),且a_l_b,則tan。的值為()

A.2B.-2C.1/2D.-1/2

參考答案

LB

獨(dú)立事件的概率.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能的結(jié)果：(正，

正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4種結(jié)果，至少有一

枚出現(xiàn)正面的結(jié)果有3種，所求的概率是3/4

2.C

圓與圓相切的性質(zhì).圓C］的圓心C∣(0,0),半徑rι=l,圓C2的方程可化

為(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圓心Cz(3,4),

半徑于N'25-m.從而Iag∣=√3?！?2

=5由兩圓外切得ICC2∣=r∣+L.即1+

√25-m=5,解得m=9,故選C.

3.D

4.B

橢圓的定義.a?=1,b2=l∕"6i'=vzrzτ*l*≡β2c=2.

5.B

6.B

7.C

cos(3π∕2+x)=cos(π∕2-x)=sinx,所以選項(xiàng)C表示同一函數(shù)。

8.C

等差數(shù)歹U的定義a+a7=a32d+a3+4d=2a3+2d,2a3+2d=-2,d=-3?

9.D

平面向量的線性運(yùn)算.AB=(-1-1/-(-1)=(-2,2).

10.A

平面向量的線性計(jì)算.因?yàn)閍=(2,4),b=(-l,1),所以2a-b=(2χ2-(-l),

2×4-1)=(5,7).

?l.n2,

1+3+5+...+(2^T)共有幾項(xiàng)

.?1+3+5+?.?+(2τι—1)

=?i×[l÷(2n—l)]×n

1C

2τι×n

=n2.

12.1.三角函數(shù)最值.因f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-

cosxsinφ=sin(x-φ)≤l,故函數(shù)f(x尸=Sin(X+φ)-2sinφcosx的最大值為1.

13.-3

由于COS(X+π∕6)的最小值為-1,所以函數(shù)f(x)的最小值為-3.

14.16.將實(shí)際問題求最值的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問

題.設(shè)矩形的長為Xm,則寬為：16-2x∕2=8-x(m).?,S矩形=x(8-x)=-

×2+8X=-(x-4)2+16<16.

15.①③④

16.25

程序框圖的運(yùn)算.經(jīng)過第一次循環(huán)得到的結(jié)果為S=l,n=3,過第二次循

環(huán)得到的結(jié)果為S=4,72=5,經(jīng)過第三次循環(huán)得到的結(jié)果為S=9,n=7,經(jīng)

過第四次循環(huán)得到的結(jié)果為s=16,n=9經(jīng)過第五次循環(huán)得到的結(jié)果為

s=25,n=ll,此時不滿足判斷框中的條件輸出S的值為25.故答案為

25.

17.2/3

兩直線的位置關(guān)系.由題意得-2∕ax(2a-l)=-l,解得a=2∕3

18.1,

解法一：由/(?)=---，得

c+2

解法二：由一--=-,解得C=L

l+23

19.23平面向量的線性運(yùn)算.由題意，得AXb=O.所以x+2(x+l)=0.所以

x=-2∕3.

20.5

21.解：⑴設(shè)所求直線I的方程為：2x-y+c=O

；直線1過點(diǎn)(3,2)

6-2+C=O

即C=-4

.?.所求直線I的方程為:2x-y-4=0

(2)：當(dāng)X=O時，y=-4

.?.直線I在y軸上的截距為-4

22.解：

實(shí)半軸長為4

∕?a=4

e=c∕a=3∕2,.?c=6

Λa2=16,b2=c2-a2=20

?1

￡上

雙曲線方程為16M

23.

解：(1)利用捆綁法

先內(nèi)部排：語文書、數(shù)學(xué)書、英語書排法分別為/?、4、W

再把語文書、數(shù)學(xué)書、英語書看成三類，排法為

排法為：WH=103680

(2)利用插空法

全排列：4*2

,

語文書3本，數(shù)學(xué)書4本排法為：A1

插空：英語書需要8個空中5個：4

英語書不挨著排的概率：P=4浮=工

/99

24.

解：⑴由題意可知：——>0,解得：-l<x<l,

1+x

.?.函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閄e(T,1)

(2)函數(shù)/(χ)是奇函數(shù)，理由如下:

//\11—(一χ)1i+χ1I-X√?∕?

/(-X)=Iog—=Iog--=-Iog--=-/(X)，

a1+(-x)a1-xu1+x

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

25.

解：設(shè)前三個數(shù)分別為b-10,b,b+10,因?yàn)閎,b+10成等比數(shù)列且公比為3

HlOC

Λ--------=3

b

Λb+10=3b,b=5

所以四個數(shù)為S5,15,45.

26.

2

解：(1〉lkSB=-2W-n,al≈Sl=-3

aFJ=SR-SW-1,-l-4n(n?2)

.?.an=[-4n(n》I)

(2)伍才是氏=-3,4=-4,三位等龍數(shù)列

.?.數(shù)列是首項(xiàng)〃L-3,d--8項(xiàng)數(shù)是13項(xiàng)的等差數(shù)列

則數(shù)歹U=13x(-3)+四2χ(-8)=-663

27.分析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法。

(1)推導(dǎo)出CD_LAB,AB±AC,由此能證明平面ABDJ_平面

ACD0

（2）取Be中點(diǎn)0,以O(shè)為原點(diǎn)，過O作CD的平行線為X軸，OC

為y軸，OA為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角

A-BD-C的正切值。

解答：

證明：（I）；面ABCj_底面BCD,ZBCD=90o,面ABCrl面

BCD=BC,X

.?.CDJL平面ABC,ΛCD±AB,

VZBAC=90o,ΛAB±AC,

VAC∩CD=C,

.?.平面ABD_L平面ACDo

解：（H）取BC中點(diǎn)0,二面ABCL底面BCD,NBAC=90。，

AB=AC,

ΛAO±BC,，AO_L平面BDC,

以O(shè)為原點(diǎn)，過O作CD的平行線為X軸，OC為y軸，OA為Z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

A(0,0,√2α),B(0,-√2α,0),D,√2a,0),

O

AB=(0,-√2α,-√2α),啟=√2α,-√2a),

O

設(shè)平面ABD的法向量盛=(x,y,z),

?AB=-y∕2ay—?∕2az=OTT

則_+L,取y=1,得九=(-√δ,1,-1),

7

ri?AD—八H+?∕2ay—?∕2az=O

平面BDC的法向量有=(00,1),

設(shè)二面角A-BD-C的平面角為仇

C?m?^n?1/I2χ∕7CL

5!kose=?--------=——,sinθ=/1—(——)=——,tanθ=√7.

∣m∣?∣n∣2√24V2√^2√2

.?.二面角A-BD-C的正切值為0.

y3≈4x

28.由已知得Iy=3x+陰

整理得(2x+m)2=4x

gp4xa+4(w-l)x+ma=0

m2

.?+?=-(w-l).X?=-

..14

再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得

a

\AB\-Jl+2'y∣(xl+x)-4X1X3=石y{↑-2m=275

3

2

29.

M=a+2b=(L2)+(x,1)=(2x,14)V=(2-x,3)

μ∕∕v

1

X=—-

.?.(2x+1.4)=(2-x,3)得2

α≡4-3

，c=?÷3

30.由已知得：松+尸=《+6)

Λ=4

<?=7

由上可解得L=1°

31.

y2=4x

由已知得d'?

y—3x

整理得(2x+b)a=4x

即4√+4(b-l)x÷Jb2=0

從

,X∣+XL(b—1),x∣Xv=—

4

再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得

22

IABI=Vl÷2&71+x2)-4xlx2=不?√1-2b-2\5

h=~-

2

32.

原式=(3)-2+(b3+3χ(1y+l=3χ2-2+1+l=]

243939

33.證明：作SO,BC,垂足為0,連接AO

:側(cè)面SB_L底面ABCD

ΛSO_L底面ABCD

VSA=SBΛOA=OB

又?.?ABC=45O.?.AOB是等腰直角三角形

則OA±OB得SA±BC

、X,rzX*,1X,簾X、、,Xn、

7(X)=SIn-+√3cos-=2(—sin—H------cos—)=2s?n(—H--)

34.(1)22222223

T=早=4『/(工)最小值=-2∕(x)最大值=2

2

/(x)=2s?n(—+—)

(2)22,

,g(x)=∕(?+y)=2sm(→?^)=2cof

-X

g(-x)=2cos—=2cos??=g(x)

又22

???函數(shù)是偶函數(shù)

35.

3x-4>0

解，由題意褥，，_工_4>0

3X-4<X2-X-4

X>4

36.

⑴解…4=袈》4《.

（H）解：由圖易知，后一個圖形中剩下的三角形個數(shù)是前一個的3倍,

.?.第〃個圖形中剩下的三角形個數(shù)為37.

又；后一個圖形中剩下的三角形邊長是前一個的1倍，

2

???第〃個圖形中每個剩下的三角形邊長是4廣?,面積是當(dāng)C）..

?,+ML

設(shè)第〃個圖形中所有剩下的小三角形周長為由圖可知，cπ-h=3.

因?yàn)楹笠粋€圖形中剩下的三角形邊長是前一個的1倍，

2

..第”個圖形中每個剩下的三角形邊長是（1）7,周長是3（?1Γi?

22

?.?！?3(；廣＞從而2=cfr-3=3(j尸-3.

37.C

38.

（1）解，由題設(shè)條件知?點(diǎn)M的坐標(biāo)為

，；川，乂h,a=拿，從而;=今進(jìn)而a—

oOIOZaIO

底b?c=Jd'—M=2b、故c=——

u5

（2）證：由N是.AC的中點(diǎn)知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（；.

ft〃U,

—5"）?可得NM==（^>?τ）.又Ab=?（一α?6）?從

N66

BlWAB?MN?"-α-I?6,-?<5?,-aj,）.

666

由（I）的計(jì)算結(jié)果nJ知a'-5".所以而?訴

=0,故MN_AB.

39.⑴要使函數(shù)f(x)=log21+x/l-x有意義，則須l+x∕l-x>0解得-IVXV

1,所以f(x)的定義域?yàn)閧x∣-l<x<I}?

(2)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閧x∣-l<x<l},且f(-x)=log2(l+x∕l-x)"=-bg

2l+x∕l-x=-f(x).所以f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù).

(3)設(shè)-IVXlVX2V1,則f(x1)-f(x2)=l0g1+x1∕l+x2=log(l+x1)(l-x2)f(l-

鼠FeIoV<1VZA<1<1-?.

1?1-■

≤1?JWUQVTT^-VIQVτ?,-V1?9。V

I-JTi

ST-4?L■■<1■UIog<——?------->

I?I-jr?f1÷I-jr∣

<?.B/(>l)</Cjl>?WU/(r)a*

Xl)(l+x2)v-l<x1<x2<l`w

40.B

41.

⑴依題意得：

圓C的圓心坐標(biāo)為C(LO)

半徑廠=Vs2-1=2V2

.?.圓r的方程為：

22

(X-1)+J=8

在橢圓D中，焦點(diǎn)在工軸上，

b=4,C=3

.?.a=yjh2+C2=√42+32=V25=5

.?.橢圓。的方程為：

X2y2

--H----=1

2516

(2)由⑴可知橢圓〃的方程為：+=1

則yj=16

25

在橢圓〃上任取一點(diǎn)〃(-v.y)

則圓C的圓心C(LO)到〃點(diǎn)的距離為

"=Jc-1)：=^(λ-I)^I16-^^-

=爐舒用N序考"

.?.圓C的圓心與橢圓D上任意一點(diǎn)的距離大于圓C的半徑.

42.

（1）【證明】E、F分別為AC.AD中點(diǎn)：.EF

//CDVCDU平面BCD.EFU平面BCD,

：.EF〃平面BCD.

（2）【胡】直線AD與平面BCD的夾角為45.又

V枉4ABD中?AB?BD,ΛZBDA=ZBAD

—45°,AB≡BD=4?又,?*S=3×4×?=

Le

6?∕?VABrD≡6X4X~β8.

e

43.

?.?/*(—1)=Of.?.3—2α+1==Otβ∣Ja—

2.Λ∕,Cz)=3X2÷4τ+l=3(x+-?-)(?+!).

e

由/(工)>0.得《V-I或工>一3由/(r)V

0,得一?l<?rVT因此，函數(shù)八件