線性代數(shù)考試題及答案解析

./__________________系__________專業(yè)___________班級(jí)姓名_______________學(xué)號(hào)_________________________________系__________專業(yè)___________班級(jí)姓名_______________學(xué)號(hào)_______________………………〔密………………〔封………………〔線………………密封線內(nèi)答題無(wú)效2009－2010學(xué)年第一學(xué)期期末考試《線性代數(shù)》試卷答卷說(shuō)明：1、本試卷共6頁(yè),五個(gè)大題,滿分100分,120分鐘完卷。2、閉卷考試。題號(hào)一二三四五總分分?jǐn)?shù)評(píng)閱人:_____________總分人：______________得分一、單項(xiàng)選擇題。<每小題3分,共24分>[]1.行列式<A><B><C><D>[]2.設(shè)為階方陣,數(shù),,則<A><B><C><D>[]3.已知為階方陣,則下列式子一定正確的是<A><B><C><D>[]4.設(shè)為階方陣,,則<A>〔B><C><D>[]5.設(shè)矩陣與等價(jià),則有<A><B><C><D>不能確定和的大小[]6.設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為,則有非零解的充分必要條件是<A><B><C><D>[]7.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是<A>中至少有一個(gè)零向量<B>中至少有兩個(gè)向量成比例 <C>中每個(gè)向量都能由其余個(gè)向量線性表示 <D>中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示[]8.階方陣與對(duì)角陣相似的充分必要條件是<A><B>有個(gè)互不相同的特征值<C>有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量<D>一定是對(duì)稱陣得分二、填空題。<每小題3分,共15分>1.已知階行列式的第行元素分別為,它們的余子式分別為,則。2.設(shè)矩陣方程,則。3.設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)特解,為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,則非齊次線性方程組的通解為.4.設(shè)矩陣的秩,則元齊次線性方程組的解集的最大無(wú)關(guān)組的秩。5.設(shè)是方陣的特征值,則是的特征值得分三、計(jì)算題<每小題8分,共40分>.1．計(jì)算行列式。2.已知矩陣,求其逆矩陣。3.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為,已知是它的三個(gè)解向量且,,求該方程組的通解。4.求矩陣的特征值和特征向量。5.用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型。得分四、綜合體<每小題8分,共16分>解下列非齊次線性方程組已知向量組求向量組的秩；向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示。得分五、證明題〔5分證明：設(shè)階方陣滿足,證明及都可逆,并求及。一、單項(xiàng)選擇題。<每小題3分,共24分1A2B3C4B5C6C7D8C二、填空題。<每小題3分,共15分>1.2.3.4.5.三、計(jì)算題<每小題8分,共40分>.1.解：=………………〔2分=………………〔2分=………………〔2分=0………………〔2分2.已知矩陣,求其逆矩陣。解：………………〔2分………………〔4分則………………〔2分3.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為,已知是它的三個(gè)解向量且,,求該方程組的通解。解：由已知可得：對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解集的秩為,因此齊次線性方程組的任意非零解即為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系?！?分令則所以為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系?！?分由此可得非齊次線性方程組的通解為：………………〔2分4.求矩陣的特征值和特征向量。解：的特征多項(xiàng)式為：所以的特征值為?！?分〔1當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量滿足,解得：則對(duì)應(yīng)的特征向量可取………………〔2分〔2當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的特征向量滿足,解得：則對(duì)應(yīng)的特征向量可取………………〔2分5.用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型。解：………………〔4分令則把化成標(biāo)準(zhǔn)型得：…………〔4分四．綜合題〔每小題8分,共16分>1.解下列非齊次線性方程組解：對(duì)增廣矩陣作初等行變換………………〔5分由上式可寫出原方程組的通解為：………………〔3分2.已知向量組求向量組的秩；向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示。解：………………〔2分則,………………〔2分故向量組的最大無(wú)關(guān)組有2個(gè)向量,知為向量組的一