2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第八章第2節(jié)　空間幾何體的表面積和體積

第2節(jié)空間幾何體的表面積和體積

考綱要求了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.多面體的表（側(cè)）面積

多面體的各個(gè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與

底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

77?

/`

側(cè)面展開圖2昌/?j?//2τ∏?

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2兀/7STOW=πr∕S圓臺(tái)側(cè)=π(rι+n)/

3.空間幾何體的表面積與體積公式

幾何小表面積體積

柱體

S表面積=S例+2S底V=S^h

（棱柱和圓柱）

錐體

V=∣S?Λ

S表面枳=S（W+S底

（棱錐和圓錐）

臺(tái)體

V=；(S上+Sκ+y∣S1.5?)h

S表面積=S側(cè)+S上+S下

（棱臺(tái)和圓臺(tái)）

-4^^'-

球S=4πR2V=^πR3

?—常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R

（1）若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=√54;

（2）若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=α;

（3）若球與正方體的各棱相切，則2/?=血&

2.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為α,h,c,外接球的半徑為R,則2R=7足+F+c2.

3.正四面體的外接球的半徑R=乎”，內(nèi)切球的半徑r=*α,其半徑R：r=3：l（α為該正

四面體的棱長(zhǎng)）.

診斷自測(cè)

?■思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)錐體的體積等于底面面積與高之積.()

(2)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方.()

(3)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.()

(4)已知球。的半徑為凡其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為“,則R=坐外()

答案(I)X(2)×(3)√(4)√

解析(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確.

(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.

〉教材衍化

2.已知圓錐的表面積等于12πcmz,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()

A.1cmB.2cm

3

C.3cmD.2Cm

答案B

解析設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,母線長(zhǎng)為/,因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以兀/=2”,

即∕=2r,所以πτ2+τrH=πr2+7tr?2r=3πr2=127r,解得r=2.

3.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下

的幾何體體積的比為.

答案1：47

解析設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為α,b,c,它截出棱錐的體積為0=；XBX)X3義

5=表4bc,剩下的幾何體的體積V2=abc—^abc=^α%c.所以V∣:V2=\:47.

＞考題體驗(yàn)

4.(2020.天津卷)若棱長(zhǎng)為2小的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()

A.12πB.24πC.36πD.144π

答案C

解析設(shè)球的半徑為R,由題意知球的直徑2R=-(2小y+(2√5)2+(2√5)2,得R=3,該球

的表面積S=4TΓR2=36兀.故選C.

5.（2020?全國(guó)III卷）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4√2B.4+4√2

C.6+2√3D.4+2√3

答案C

解析由三視圖知，該幾何體為從同一點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直的三棱錐P-ABC,其中PA

，平面ABC,ABLAC,AB=AC=AP=2,所以PB=PC=BC=2巾,故其表面積S=SAMB

+5Δ∕?C÷5?Λβc+SΔPBC=35ΔΛI(xiàn)B+SΔPBC=3×(IX2X2)+^X2Λ∕^XX^^=6+2小.故選

C.

6.（2020?浙江卷）已知圓錐的側(cè)面積（單位：cπ?）為2兀，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這

個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm）是

答案1

解析如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為r,則圓錐的側(cè)面積S制=πr∕=2π,即r?∕=2.

由于側(cè)面展開圖為半圓,

可知亍t∕2=2π,可得/=2,

因此r=1.

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一空間幾何體的表面積與側(cè)面積自主演練

1.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。ι,。2,過(guò)直線0102的平面截該圓柱所得的截面

是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12√2πB.12πC.8-?∕2πD.10π

答案B

解析由題意知，圓柱的軸截面是一個(gè)面積為8的正方形，則圓柱的高與底面直徑均為2√1

設(shè)圓柱的底面半徑為r,則2r=2也，得r=√l

所以圓柱的表面積卷汕兀乂豆乂兀+兀=兀.

SlH=2∕+2π=2π（√^+226=4812

2.（2020.北京卷）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為

（）

m□

H-I→H-1-H

正視圖惻視圖

俯視圖

A.6+√3B.6+2√3

C.12+√3D.12+2√3

答案D

解析由三視圖知該幾何體為正棱柱，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，高為2,則表面積為

S=2S底+Sw∣=2X坐X22+3X22=2√5+12.故選D.

3.（2021.成都診斷）如圖，四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱

的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心,圓柱的側(cè)面積是（）

A?SB.叫C,平兀D,冬

答案C

解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PEL平面ABC,E為垂足，點(diǎn)E為等邊三角形ABC的中心,

連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D

H

AE=^ADfAO=半，

??AE=gX?—?,

.,.PEKa2_AE2=普.

√3

設(shè)圓柱底面半徑為r,則r=AE=竽，

/.圓柱的側(cè)面積S=2πr?PE=2τrX坐X率=打譬.

感悟升華空間幾何體表面積的求法

(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)

應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.

(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

(3)以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.

考點(diǎn)二空間幾何體的體積多維探究

角度1簡(jiǎn)單幾何體的體積

【例1】(1)祖唯是我國(guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“寨勢(shì)既同，則積不容異”稱

為祖晅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式y(tǒng)∣"*=s∕j,其中S是柱體的底面積，〃是

柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該柱體的體積(單位：cm3)是()

俯視圖

A.158B.162C.182D.324

(2)(2019?天津卷)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為限的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為小.若圓柱的一個(gè)底面

的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體

積為.

答案(I)B(2)J

解析(1)由三視圖可知，該柱體是一個(gè)直五棱柱，如圖，棱柱的高為6,底面可以看作由兩

個(gè)直角梯形組合而成，其中一個(gè)上底為4,下底為6,高為3,另一個(gè)的上底為2,下底為6,

高為3.

4

則底面面積S=-^-X3+=-X3=27.

因此，該柱體的體積U=27X6=162.

(2)由題意知圓柱的高恰為四棱錐的高的一半，圓柱的底面直徑恰為四棱錐的底面正方形對(duì)

角線的一半.因?yàn)樗睦忮F的底面正方形的邊長(zhǎng)為戲，所以底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)為2,所以圓

柱的底面半徑為去

又因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)均為小，所以四棱錐的高為N(小A—J=2,所以圓柱的高為1.

所以圓柱的體積V=π({j2×l≈J.

感悟升華1.求規(guī)則幾何體的體積，主要利用“直接法”代入體積公式計(jì)算.第(2)題求解的

關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：(1)圓柱的高恰為圓錐高的一半；(2)圓柱的底面圓的直徑恰是四棱錐底面正

方形對(duì)角線的一半.

2.若已知三視圖求體積，應(yīng)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的

線面垂直等關(guān)系，進(jìn)而利用公式求解.

【訓(xùn)練1】⑴(2019?江蘇卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-ABlelDl的體積是120,E為Cel的中

點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是.

(2)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

答案⑴10(2)?pr

解析(1)設(shè)長(zhǎng)方體中BC=mCD=b,CCι=c,貝IJahC=I20,

VE-BCD=整于b×1c=τabc=10.

（2）由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)同底等高的圓錐，其體積為πX22χ2

—∣π×22×2=?yπ.

角度2不規(guī)則幾何體的體積

【例2】如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，且AAOE,

△BCF均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為

答案當(dāng)

解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)4,8作EF的垂線，垂足分別為G,H,連接。G,CH.

則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱.

依題意，三棱錐E-ADG的高EG==直三棱柱AGO-BHC的高AB=I.

則AG=NAE2-EG2=?JjQ>=坐

取4。的中點(diǎn)M,則MG=勺，

所以SZkAGO=EX?，

?,?V多面體=VE-AOG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG÷VAGD-BHC

UX坐只χ2+(XI=當(dāng)

感悟升華1.求不規(guī)則幾何體的體積：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過(guò)分割或者補(bǔ)形

的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計(jì)算.

2.本題利用“割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱（也可分割成四棱

錐）.另外，經(jīng)?？紤]把棱錐補(bǔ)成棱柱，把臺(tái)體補(bǔ)成錐體，把三棱錐補(bǔ)成四棱錐，把三棱柱

補(bǔ)成四棱柱，把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體，補(bǔ)一個(gè)同樣的幾何體等.

【訓(xùn)練2]（2020?浙江卷）某幾何體的三視圖（單位：Cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位:

Cm3）是（）

14

A.∣B.^yC.3D.6

答案A

解析由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)三棱柱和一個(gè)三棱錐組成的組合體，它們的公共面

是等腰直角三角形，如圖所示.

由三視圖知，三棱柱ABC-A'

三棱錐「一A'B'C的高為1,

又S^ABC=2X2X1=1,

所以該幾何體體積V=V≤K?P-A,BC+vABC-A'BC

=∣×1×1+1×2=^(cm3).

考點(diǎn)三多面體與球的切、接問(wèn)題典例遷移

【例31(經(jīng)典母題)(2021?長(zhǎng)沙檢測(cè))在封閉的直三棱柱ABC—4BJCl內(nèi)有一個(gè)體積為丫的

球.AB±BC,AB=6,BC=S,A4∣=3,則丫的最大值是.

9

答案7π

解析由AB_LBC,AB=6,BC=S,得AC=10.

要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面AABC

的內(nèi)切圓的半徑為r.

則T><6X8=Tx(6+8+10)?r,所以r=2.

2r=4>3,不合題意.

球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.

3

由2R=3,即R=/

z

故球的最大體積V=∣πR3=*t.

【遷移】本例中若將“直三棱柱”改為“棱長(zhǎng)為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切

球的體積各是多少？

解由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)即為其內(nèi)切球

的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為匚

又正方體的棱長(zhǎng)為4,故其體對(duì)角線長(zhǎng)為4小，

從而V漳玳=泰K'=^πX（2√3）5≈32√3π,

,,4a4-a32兀

V內(nèi)切林=WTIr=WTtX2'=-?-.

感悟升華1.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是

作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、”接

點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題.

2.若球面上四點(diǎn)P,A,B,C中朋，PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可

構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題.

【訓(xùn)練3】（1）（2020?全國(guó)Ill卷）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最

大的球的體積為.

（2）（2021?濟(jì)南質(zhì)檢）己知球。是三棱錐P—ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=I,CP=2√2,

點(diǎn)。是PB的中點(diǎn)，且CD=幣,則球。的表面積為（）

,28πC14π

A.亍B.—

28√∑lπ16兀

C.D.

273

答案⑴華(2)A

解析（1）當(dāng)球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球時(shí)，球的半徑最大.

如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時(shí)的軸截面圖.

其中球心為O,設(shè)其半徑為r,AC=3,O∣C=I,

22

：.AOi=y∣AC~OlC=2y∣2.

<OO[=OM=r,AO=AOi—OoI=2y∣2—r,

又TΔAM0^?Λ01C,

.OMAO即￡=《，，解得r=喙?

,,砧=Xe

該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V=:兀X閨3=等.

(2)依題意，由以=AC=2,CP=2√2,得AP_LAC.

連接AO,由點(diǎn)。是P8的中點(diǎn)且∕?=AB=PB=2,得AD=yβ,

又CD=巾,AC=I,可知AO_LAC,

又APCAO=A,APU平面RW,4。U平面∕?B,所以AeI.平面RW.

以aaiB為底面，AC為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，則球O是該三棱柱的外接球，球心。到底

面△/?B的距離J=∣AC=1.

PA2

由正弦定理得ABAB的外接圓半徑八

-2sin60O-√3,

所以球。

oo

故球O的表面積S=4πR2=弩7.r

核心素養(yǎng)/空間幾何體的實(shí)際應(yīng)用

“強(qiáng)調(diào)應(yīng)用”也是高考卷命題的指導(dǎo)思想，體現(xiàn)了新課標(biāo)的“在玩中學(xué)，在學(xué)中思，在思中

得”的嶄新理念，既有利于培養(yǎng)考生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神，又能夠很好地提升考生的數(shù)學(xué)

綜合素養(yǎng)，因而成為高考試卷中的一道亮麗的風(fēng)景線.如全國(guó)HI卷第16題是以學(xué)生到工廠

勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型為背景創(chuàng)設(shè)的與空間幾何體的體積有關(guān)的問(wèn)題.考查

運(yùn)用空間幾何求解實(shí)際問(wèn)題的能力.

【典例】(2019?全國(guó)Ill卷)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模

型為長(zhǎng)方體A8CD-A∣5GO∣挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體.其中。為長(zhǎng)方體的

中心，E,F,G,“分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=Gcm,AAl=4cm.3D打印所用原料密

度為0.9g∕c∏?,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

答案118.8

解析由題意得，四棱錐。一EFGH的底面積為4X6—4xgx2X3=12(cm2),其高為點(diǎn)。

到底面E/G，的距離，為3cm,則此四棱錐的體積為H=；X12X3=12(cm3).

3

又長(zhǎng)方體ABCo—4山|GQl的體積為V2=4×6×6=144(cm),

所以該模型的體積V=V2—Vl=I44-12=132(cn?),

因此模型所需原材料的質(zhì)量為0.9X132=118.8(g).

素養(yǎng)升華1.題目以“3D打印”技術(shù)制作模型為背景考查數(shù)學(xué)應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)

新意識(shí).

2.掌握長(zhǎng)方體、四棱錐的結(jié)構(gòu)與體積公式是解題的基礎(chǔ)，題目突出數(shù)學(xué)建模，直觀想象與

數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

【訓(xùn)練】(2021?濰坊聯(lián)考)如圖所示，直三棱柱ABC-AlBiCl是一塊石材，測(cè)量得NABC

=90。，AB=6,BC=8,AAl=I3.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，

則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為()

AI

32兀,C9TtC

Aa.-y,4B.3

32π

C.6π.4D.-?-,3

答案D

解析依題意知，當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大.

易知AC=y∣AB2+BC2=10.

設(shè)健身手球的最大半徑為R,

則g><(6+8+10)XR=gx6X8,解得R=2,

則健身手球的最大直徑為4.

因?yàn)锳4∣=13,所以最多可加工3個(gè)健身手球.

于是一個(gè)健身手球的最大體積V=∣4πΛ3=∣4π×23=23y9π.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

32

A.12πB.奇■兀C.8πD.4兀

答案A

解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為α,則/=8,解得a=2.設(shè)球的半徑為R,貝∣J2R=√5α,即R=√l

所以球的表面積5=4π∕？2=12π.

2.（2021?鄭州調(diào)研）現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，

則圓錐的側(cè)面積為（）

A.3πB.?C.D.y∣5π

答案D

解析設(shè)底面圓的半徑為R,圓柱的高為力，

依題意2R=h=2,.?.R=1.

二圓錐的母線l=y∣h2+R2=y∣21+1=y[5,

因此S圓錐例=TLR/=1Tt=

3.如圖所示，正三棱柱ABC—4SC的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為√L。為BC中點(diǎn)，則三棱

錐A—8。G的體積為（）

3

A.3B.2

C.1D.坐

答案C

解析由題意可知，AO_L平面3QCι,

即AO為三棱錐A—8。G的高，且40=竽X2=√5,

易求得SABioci=T><2X√5=√5,

所以VA-B∣DCI=3×Λ∕3×??∕3=1.

4.已知直三棱柱ΛβC-AιBιC∣的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,ABLAC,

AAi=12,則球0的半徑為（）

A.B.2-?[lQC.?D.3Λ∕TO

答案C

解析將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC-ABlE∣G,

則球O是長(zhǎng)方體ABfC-AlBiF1C,的外接球.

二體對(duì)角線BCI的長(zhǎng)為球。的直徑.

___________________14

因此2Λ≈√32+42+122=13,則R=?y.

5.己知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的

體積為（）

C3兀一兀C兀

A.πB?不C.2D?W

答案B

解析如圖畫出圓柱的軸截面A8C。，。為球心.球半徑R=OA=I,球心到底面圓的距離

為OM=

二底面圓半徑r=y∣OA2-OM2=^,

故圓柱體積V=TrM√z=7τ（雪＞χI=竽.

6.（2020.全國(guó)Il卷）已知aABC是面積為乎的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若

球。的表面積為16兀，則O到平面ABC的距離為（）

A.??∕3B.IC.1D.坐

答案C

解析如圖所示，過(guò)球心。作OOi_L平面ABC,則Oi為等邊aABC的中心.

設(shè)aABC的邊長(zhǎng)為",則坐層=與§,解得。=3（負(fù)值舍去）,

二ON=^X坐X3=小.

設(shè)球。的半徑為廣，則由4兀r2=16τι,得r=2,即04=2.

在RtZ?00∣A中，OOl=7。42-04=1,

即O到平面ABC的距離為1.

9

7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半徑為r的圓，若該兒何體的體積為

O

則它的表面積是（）

A9CC-45n54

A.］兀B.9πC.Z-兀D.N-兀

答案C

解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)半徑等于圓柱底面半徑的半球體，其中

圓柱的高等于半球的半徑r,所以該幾何體的體積v=π∕2×r-∣×∣πr1=∣πr3=∣π,/.r3=γ,

3I,,945

又知r>0,.」=1,.?.該幾何體的表面積S=7u?2+2πrXr+2X47∏2=5"~=5πXι=q^π.

8.（2021?安慶調(diào)研）已知在四面體PABC中，用=4,BC=2√6,PB=PC=9,平面

PBC,則四面體∕?BC的外接球的表面積是（）

A.160πB.128πC.40πD.32π

答案C

解析VPβ2+PC2=12+12=24=BC2,.?PBLPC,

又BA_L平面P8C,.'.PALPB,PALPC,

即∕?,PB,PC兩兩垂直，以以，PB,PC為從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，所以

該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為?√∕?2+PB2+pc2=V12+12+16=2d?,

故該四面體的外接球半徑為，而.

于是四面體P-ABC的外接球的表面積是4π（√Iδ）2=40π.

二、填空題

9.如圖，在圓柱0。2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱0。2的

體積為匕，球。的體積為丫2,則行的值是_______.

V2

3

答案2

解析設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,

則由題設(shè)可得圓柱0∣02的底面圓的半徑為尺高為2R,

,,VπR2-2R3

F1K?

10.如圖，已知正方體ABCD-AtBlCiD↑的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐A1-BB1DiP的體積為

箕案?

U殺3

解析因?yàn)檎襟wABCC-A/CQl的棱長(zhǎng)為1,

所以矩形881。。的長(zhǎng)和寬分別為√5,1,

因?yàn)樗睦忮FAi-BBiDiD的高是正方形A1β1C,D1面對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即為坐.

故VJS?ftAl-BBIDlD=β×1×√2×"^zzzβ?

11.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cπ?）為

答案6

解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V

=∣×（l+2）×2×2≈6.

12.（2021?太原質(zhì)檢）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓周上的兩點(diǎn)A、B滿足ASAB為等邊三角

形，且面積為4小，又知圓錐軸截面的面積為8,則圓錐的側(cè)面積為.

答案8√2π

解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,由ASAB為等邊三角形，且面積為4√5,所以吳訪W=4√5,

解得1=4；

又設(shè)圓錐底面半徑為r,高