山東省菏澤市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

2021——2022學(xué)年高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1

Z=-------

1.已知復(fù)數(shù)1+i,則復(fù)數(shù)Z共輾復(fù)數(shù)的虛部為()

11

A.—1B.1C.-------D.—

22

答案：D

11-i11.-11

解析：z=T7T=(ι÷i)(ι-i)^^i1'則z=5+3，

故復(fù)數(shù)Z共筑復(fù)數(shù)的虛部為T.

故選：D.

2.高一、1班有學(xué)生54人，高一、2班有學(xué)生42人，用分層抽樣的方法從這兩個(gè)班中抽出一

部分人組成4x4方隊(duì)，進(jìn)行會(huì)操比賽，則高一J班和高一、2班分別被抽取的人數(shù)是()

A.9、7B.15、1C.8、8D.12、4

答案：A

54

解析：由題意得高一、1班被抽取的人數(shù)為-------χl6=9人，

54+42

高一、2班被抽取的人數(shù)一二一χl6=7人，

54+42

故選：A

3.甲、乙兩名同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題，甲做對(duì)的概率為0?8,乙做對(duì)的概率為0.9,下列說法錯(cuò)

誤的是()

A.兩人都做對(duì)的概率是0.72B.恰好有一人做對(duì)的概率是0.26

C.兩人都做錯(cuò)的概率是0.15D.至少有一人做對(duì)的概率是0.98

答案：C

解析：由于甲做對(duì)的概率為0.8,乙做對(duì)的概率為0.9,

故兩人都做對(duì)的概率是0.8x0.9=0.72,所以A正確；

恰好有一人做對(duì)的概率是0?8X(1-0?9)+(1-0.8)X0.9=0.26,故B正確;

兩人都做錯(cuò)的概率是(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,故C錯(cuò)誤;

至少有一人做對(duì)的概率是1一(1—0.8)X(1-0.9)=0.98,故D正確，

故選：C

4.已知向量α=(-1,2),?=(2,∕M),若aLb，則m=()

-11

A.-1B.1C.--D.一

44

答案：B

解析：因?yàn)閍_Lb，

所以(―l)x2+2m=0,解得m=1.

故選：B

5.紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,

經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，如圖給

出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm),那么該壺的最大盛水量為()

C.20√H)τz-cm3D.204乃Cm3

答案：B

解析：由題意得上底面半徑為4,面積S∣=%x4?=16萬，

下底面半徑為6,面積S2=乃X6?=36萬，圓臺(tái)高力為6,

則圓臺(tái)的體積V=；(S∣+S2+占瓦)〃=；(16萬+364+√16τrχ36萬)χ6=1521cπ?.

故選：B

6.甲，乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為保證產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)從兩車間抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行檢

驗(yàn).采取以下方法抽取：從裝有除顏色不同外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋子里抽取

兩個(gè)球，如果抽到兩球顏色相同就從甲車間抽取一件產(chǎn)品，如果兩球顏色不同就從乙車間抽

取一件產(chǎn)品，兩車間分別抽取的產(chǎn)品數(shù)最接近的是()

A.甲車間30件，乙車間70件B.甲車間70件，乙車間30件

C.甲車間59件，乙車間41件D.甲車間41件，乙車間59件

答案：D

解析：解：因?yàn)閺难b有除顏色不同外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋子里抽取兩個(gè)球,

42

抽到兩球顏色相同的概率為C+C抽到兩球顏色不同的概率為

C

CC63

C-Io-5,

2

所以從兩車間抽取IOO件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，甲車間抽取產(chǎn)品數(shù)為IOoXM=40件，乙車間抽取

3

產(chǎn)品數(shù)為IoOXM=60件，

所以兩車間分別抽取的產(chǎn)品數(shù)最接近的是甲車間41件，乙車間59件，

故選：D.

7.在.?ΛBC中，角人及C對(duì)邊分別為a、b、c,且喀4=烏，當(dāng)α=J7"=2時(shí)，ABC

sinB3b

的面積是（）

A.3B.立D.平

r3√3

222

答案：C

解析：對(duì)于竺1=叵，用正弦定理得：COSA近SinA

sinB3b

因?yàn)锳w（0,?），且tanA=6,所以A=

由余弦定理/=∕72+C2-2%CoSA得：7=4+/—2x2cχ1,

2

解得：c=3（C=—1舍去）.

所以AfiC的面積是S=L從SinA=Lχ2x3x3

2222

故選：C

8.某餐廳提供自助餐和點(diǎn)餐兩種服務(wù)，為了進(jìn)一步提高菜品及服務(wù)質(zhì)量，餐廳從某日中午

就餐的顧客中隨機(jī)抽取了loo人作為樣本，進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)表格（單位：人

次），則下列說法正確的是（）

老年人中年人青年人

滿意

度

自助餐點(diǎn)餐自助餐點(diǎn)餐自助餐點(diǎn)餐

IO

分

121202201

（滿

意）

5分

（-2263412

般）

0分

（不

116232

滿

思）

A.滿意度為0.5

B.不滿意度為0.1

C.三種年齡層次的人群中，青年人更傾向于選擇自助餐

D,從點(diǎn)餐不滿意的顧客中選取2人，則兩人都是中年人的概率是0.1

答案：D

解析：解：對(duì)A：滿意度為12+1+2咚2土20±1=056,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

100

對(duì)B：不滿意度為"1+6丫上3+2=015,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

100

1532

對(duì)C：老年人選擇自助餐的頻率為［=至，中年人選擇自助餐的頻率為￡=云，青年人

27

選擇自助餐的頻率為A=石，由鳥>4>6,可得中年人更傾向于選擇自助餐，故選項(xiàng)C

錯(cuò)誤；

對(duì)D:從點(diǎn)餐不滿意的顧客中選取2人有C；=10種選法，其中兩人都是中年人有C；=l種

選法，所以從點(diǎn)餐不滿意的顧客中選取2人，則兩人都是中年人的概率是L=O.1,故選項(xiàng)

10

D正確.故選：D.

二、多選題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.某學(xué)校有Iooo名學(xué)生，為更好的了解學(xué)生身體健康情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)

試，測(cè)試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的有（）

A.頻率分布直方圖中“的值為0.005

B.估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為77

C估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為80

D.估計(jì)總體中成績(jī)落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為160

答案：AB

解析：對(duì)于A,由頻率分布直方圖可得10（2α+3α+7α+6α+2α）=l,解得α=0.005,

所以A正確，

對(duì)于B,由頻率分布直方圖可知，前2組的頻率和為10x5XQoO5=0.25<0.5,前3組的

頻率和為10xl2χ0.005=0.6>0.5,所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為χ,則

0.25+7X0.005（x-70）=0.5,解得XB77,所以B正確，

對(duì)于C,由頻率分布直方圖可知成績(jī)?cè)?0到80的最多，所以眾數(shù)為75,所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,由頻率分布直方圖可知成績(jī)?cè)冢?0,70）的頻率為3x0.005x10=0.15,所以總體

中成績(jī)落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約為0.15x1000=150人，所以D錯(cuò)誤，

故選：AB

JT

10.已知.ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為α,b,c,且NC=—，c=2,則下列

3

結(jié)論正確的有（）

A..ABC面積的最大值為GB.bcosA+acosB=>/2

cosR

CABC周長(zhǎng)的最大值為6D.的取值范圍為

cosA

答案：AC

ɑ?+—41

解析：解：對(duì)于A,由余弦定理得：COSC=U^_∑=l,解得：a2+b2^ab+4^

Iah2

由基本不等式得：a2+b2=ab+4≥2ab<當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)，等號(hào)成立，

所以a〃<4,故SABC=g4∕?SinC<g?故A正確；

對(duì)于B,∕?COSB+αcos3="?"-+a?a+C-=?^-=c=2，故B不正確;

2bc2ac2c

z>2+A2—41

對(duì)于C,由余弦定理得：CoSC=J^~-=-，解得：/+/=40+4,

2ab2

所以(α+b)2=3^+4≤3×+4，當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)，等號(hào)成立,

解得α+A<4,當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)，等號(hào)成立，

所以，A6C周長(zhǎng)∕=α+b+c<4+2=6,所以「ABC周長(zhǎng)的最大值為6,故C正確;

一CoS(A+]√3.λ1λ

——SinA——cosA∕τ

對(duì)于D,cosβ22√31，

—------------------=——tanAx——

cosAcosAcosA22

因?yàn)锳∈

f0,—,所以tan4∈b0?,-百)D(O,+8)

所以日tanA-g∈(-8,-2)

{2,+00故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.如圖，在ABC中，JBC=6,D,E是BC的三等分點(diǎn)，且AO?AE=4,則（）

A

—1—

B.AD=-AB+-AE

22

.2.2

d?A8~+AC~=28

答案：BCD

1?/??12

解析：對(duì)于A,AE^AC+CE^AC+-CB=AC+-（AB-AC]^-AB+-AC,故選

項(xiàng)A不正確；

對(duì)于B,由題意得。為8E的中點(diǎn)，所以Az）=—ABH—AE,故選項(xiàng)B正確；

22

對(duì)于C,取。E的中點(diǎn)G,由BC=6,￡>,E是BC的三等分點(diǎn)得G是BC的中點(diǎn)，且DE=2,

所以

.(IΛ(1、2I2

ADAE^?AG——DE?AG+-DE=AG——DE=4,

I2)I2J4

所以AG2=5，ABAC=（AΛG+∣BCj=ΛG2=5-9=-4,

故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,由G是BC的中點(diǎn)得AB+AC=2AG，兩邊平方得

AB2+2ABAC+AC2=4AG2-所以AB?+AC，=20+8=28，故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

12.如圖1所示，四邊形ABCZ）是邊長(zhǎng)為2的正方形，E、F、M分別為BC、CD、BE

的中點(diǎn)，分別沿AE、Af'及跖所在直線把“即、Z?AED和AEFc折起，使8、C、

。三點(diǎn)重合于點(diǎn)尸，得到如圖2所示的三棱錐P-g',則下列結(jié)論中正確的有（）

圖1圖2

A.四面體∕?EF中互相垂直的棱有3對(duì)

2

B.三棱錐河一AEE體積為§

C.4W與平面PEF所成角的正切值為4

Jl3TT

D.過點(diǎn)M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面的面積的取值范圍為

[42J

答案：CD

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，易知AE=A、=J2?+F=石,EF=√12+12=√2?

翻折前AB_L3E，CE1.CF,ADrDF,

翻折后，則有B4_LPE，PAYPF，PELPF,

所以PA_L平面尸"，PAlEF,

因?yàn)椤魅恕晔欠侵苯堑牡妊切?，所以，四面體24所中互相垂直的棱有4對(duì)，A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)锳4LPE,PA±PF,PELPF，PEPF=P,

PE、PFU平面PEF，PA上平面PEF,

M為PE的中點(diǎn),則“MEF=5工叼=∕X5Xl-=W,

?'?Vu-AEF~A-MEF-T^ΔMEF'卓=1]、2=ZB錯(cuò)；

534。

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)镼AJ_平面PM,W與平面？斯所成角為NAMP,

PA

在RtAMP中，tanNAMP=——=4,C對(duì)；

PM

對(duì)于D選項(xiàng)，將三棱錐AEF補(bǔ)成長(zhǎng)方體PEQA-FGN”，

則三棱錐P-AEF的外接球球心。為體對(duì)角線PN的中點(diǎn)，

且PN=JPE2+PF?+P#=娓,即球。的半徑為R=*，

所以，過點(diǎn)”的平面截三棱錐P-A所的外接球所得截面圓的半徑設(shè)為廣，

設(shè)球心。到截面圓的距離為d,則O≤d≤QM,

O、M分別為PN、PE的中點(diǎn)，則OM=LEN=立堂.=好,

222

則0≤d≤亭，："=找"e[；停;則%∕∈?,?,

TT377

因此，過點(diǎn)M的平面截三棱錐尸一AEE的外接球所得截面的面積的取值范圍為

[42

D對(duì).

故選：CD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.復(fù)數(shù)(α-i)(3+4i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，則實(shí)數(shù)

a=,

答案：7

解析：由題意得(α-i)(3+4i)=3α+4αi-3i-4i2=3α+4+(4α-3)i,

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3α+4,44-3)

因?yàn)樵擖c(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，

所以3α+4=4α-3,解得α=7.

故答案為：7

14.ABC中，AB=AC=5,BC=S,則此三角形的外接圓半徑是.

25

答案:

~6

解析：由余弦定理得CoSA=AC+AB—以：=25+2564=

2ACAB2×5×525

因?yàn)锳∈（0,九）,所以SinA=JI-COS2A=—,

25

BC=8

設(shè)外接圓半徑為R,由正弦定理得SinA-24—，解得R=三

石6

25

故答案：—

6

15.已知樣本的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,13,19,2θ（α力∈N）,

且樣本的中位數(shù)為10.5,則a+人=；若要使該樣本的方差最小，則

CIb=?

答案：①.21②.110

解析:解：因?yàn)闃颖镜母鱾€(gè)個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7,4,b,12,13,19,2θ（α,?∈N）,

且樣本的中位數(shù)為10.5,

a+b?

所以——=10.5,即4+0=21;

2

LLtIt???-1-ti∕、？2+3+3+7+α+”+12+13+19+20?

所以樣本平均λ數(shù)14為-------------------------------------=1i0,

10

要使樣本方差最小，即（0-10）2+S-IO-最小，

又因?yàn)?/p>

(a-10)2+0-10)2=(21-?-10)2+0-10)2

,,,(21Y1

=(ll-?)2+(h-10)2=2?2-42?+221=2b——+—,

I2J2

因?yàn)椤蔔,

所以當(dāng)A=Il或6=10時(shí),（α-10）2+S-10）2取得最小值,

又a+Z?=21,

所以α=ll,b=10或Q=Io=,

所以M=110?

故答案為：21；110.

16.如圖，已知二面角1一/一/?的棱/上有A,B兩點(diǎn)，c∈α,ACl/,Deβ,BDVl,

若AC=AB=8D=2,CD=20，有以下結(jié)論：

(1)直線AB與Cn所成角的大小為45。；

(2)二面角。一/一尸的大小為60。；

(3)三棱錐A-Bc。的體積為26;

(4)直線CO與平面/所成角的正弦值為亞.

4

則正確結(jié)論的序號(hào)為.

答案：(1)(2)(4)

解析：如圖，在夕內(nèi)作Z)E〃A3,AE〃瓦),交于E點(diǎn),

則NCDE即為直線AB與CD所成角或其補(bǔ)角，

因?yàn)锽OU,AB=BD=2,則AELA8,EOL8。，

故四邊形AEQB為正方形，則OEJ_AE,又AC_L/,則OElAC,

而ACCAE-A,故DE-L平面ACE,CEU平面ACE,

故DEJ_CE,又CD=2?j2,DE=AB=2,故cosNCDE=DE=

CD2

由于0"<NCDE≤90°，故NeoE=45，故（1）正確；

由于ACLA8,E4J.AB,故NcAE為二面角α—/-尸的平面角,

由以上分析可知CE=JE討二鬲=JH=2,AE=Bo=2,Ae=2，

故ZVlCE為正三角形，則NC4E=60，故(2)正確；

由于Z)El平面4CE,DEU平面AE￡>氏故平面ACEL平面AEDB,

且平面ACE｝平面AEE>8=AE,故作C〃_LAE,垂足為H,

則C”,平面AEo8,KCH=ACsin60=JL

所以匕BCD=7CABD=!$ABD，CH=-×-×2×2×G=冬巨,故(3)錯(cuò)誤；

A-BLDC-ADU?ΛoL)32V3

連接DH,由于CH，平面AEDB,故ACDH為直線CQ與平面￡所成角，

在RtCH。中，SinNCDH="=耳=顯,故(4)正確，

CD2√24

故答案為:(1)(2)(4)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，AB是：。的直徑，出垂直于：O所在的平面，C是圓周上不同于AB的任意一

點(diǎn)，且P4=A3.求證：

(I)平面PACJ_平面PBC；

(2)當(dāng)點(diǎn)C(不與A、8重合)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平面PBC與CO所在的平面所成二面

角大小的范圍.

答案：(1)證明見解析

(1)

因?yàn)橐源怪庇贑O所在的平面ABC,BCU平面ABC,

所以Q4LBC,PA1.AC,

因?yàn)?B是。。的直徑，

所以AClBC,

因PA,ACu平面以C,

所以BC工平面以C,

因?yàn)锽Cu平面PBC,

所以平面PAC，平面PBC

(2)

因?yàn)锽C工平面∕?C,PCU平面%C,

所以BCLPC,又AC工BC,

所以APCA即為平面PBC與(O所在的平面所成二面角的平面角,

設(shè)NCAB=6,6e[(),1],圓O的半徑為R,

則AC=2RcosG,又∕?=Aβ=2R,

PA2R1

所以tanNPCA

AC2Rcos6CoSe

因?yàn)閑e(o4)，所以CoSee(0』),

所以1211/尸。4=—!—〉1,

CoSe

因?yàn)镹PC4e1()，W

所以NPC4∈

所以平面PBC與-。所在的平面所成二面角大小的范圍為

18.第24屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日至2月20日由北京和張家口聯(lián)合舉

辦，這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，它掀起了中國(guó)人民參與冬季運(yùn)動(dòng)的熱潮.某比

賽場(chǎng)館為了順利完成比賽任務(wù)，招募了100名志愿者，并分成醫(yī)療組和服務(wù)組，根據(jù)他們的

年齡分布得到如圖頻率分布直方圖?

頻率

(1)試估計(jì)IOO名志愿者的平均年齡及第75百分位數(shù)；

(2)已知醫(yī)療組40人，服務(wù)組60人，如果按分層抽樣的方法從醫(yī)療組和服務(wù)組中共選取

5人，再從這5人中選取3人組成綜合組，求綜合組中至少有1人來自醫(yī)療組的概率.

答案：(1)平均年齡43.5歲，第75百分位數(shù)為52.5

(2)0.9

(1)

由題意得(0.015+0.025+a+0.02+0.01)×10=l,解得α=0.030,

所以100名志愿者的平均年齡為

25×0.015×10+35×0.025×10÷45χ0.03χl0+55χ0.02χl0+65χ0.01χl0=43.5歲，

因?yàn)?.015x10+0.025x10+0.03x10=0.7<0.75,

0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.02×10=0.9>0.75,

所以第75百分位數(shù)位于［50,60)內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)為X,

則0.7+(X—50)X0.02=0.75,解得X=52.5,

所以第75百分位數(shù)為52.5

(2)

40

醫(yī)療組抽取人數(shù)為5x-------=2人，設(shè)為a,b,則服務(wù)組抽取5-2=3人，設(shè)為A、B、C,

40+60

5人中選取3人組成綜合組，情況可能為(αS,A),(α,伍3),(α,"C),(α,AB),(a,4,0,

(a,B,Q,(b,A,B?(b,A,C),(b,B,C),(A,BQ,共10種，

至少有1人來自醫(yī)療組的情況為

(a,b,A),(a,b,B),(a,b,C),(a,A,B),(a,A,C),(a,B,C),(b,A,B),(b,A,C),(b,B,C),共9

種，

9

所以綜合組中至少有1人來自醫(yī)療組的概率P=Z=0?9

IO

19.如圖，一條河兩岸平行，河的寬度AC=瘋m，一艘船從河邊的A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對(duì)岸的

3點(diǎn)，船只在河內(nèi)行駛的路程ΛB=2km,行駛時(shí)間為0.2h?已知船在靜水中的速度W的大小

為間，水流的速度%的大小為∣%∣=2kιWh?求:

⑴

(2)船在靜水中速度匕與水流速度為夾角的余弦值.

答案：(1)∣W∣=2>∕ΣT

⑵叵

14

(1)

因?yàn)榇辉诤觾?nèi)行駛的路程AB=Tkm,行駛時(shí)間為0?2h，

所以船只沿AB方向的速度為M=—=1Okm/h.

II0.2

由AC=J^km，Aβ=2km,根據(jù)勾股定理可得：BC=拉?-3=1km,所以ZBAC=30°,

即(丫2,丫)=6。。

由U=H+%，得：v1=v2-V?

所以M=J=-2丫；?r+v~=Λ∕22-2×2×10COS60O+102=2^∣21.

(2)

因?yàn)閁=M+%,所以一二卜［+匕)，

即10()=(2√ΣTy+2x2歷x2CoS(vrW)+22,解得：CoSel,匕)=答

即船在靜水中速度匕與水流速度嶺夾角的余弦值為叵.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是梯形，AD//BC,且AT>=26C,

PA±PD,AB=PB.

(1)若F為鞏的中點(diǎn)，求證防〃平面PCD

(2)求證QA_L平面尸CD

答案：(1)證明見解析

(2)證明見解析

(1)

取Pz)中點(diǎn)E,連接EF、EC,如圖所示

因?yàn)橥逨分別為尸。、以中點(diǎn)，

所以EE//A。，且EF=；A。，

又因?yàn)锳?！˙C,且AZ)=2BC,

所以EF//BC且EF=BC,

所以四邊形MBC為平行四邊形，

所以BF//EC，

因?yàn)锽/Z平面Pe7),ECU平面PCr>,

所以班1〃平面PCz)

(2)

因?yàn)锳B=P8,尸為雨中點(diǎn)，

所以跖_(tái)LAT5,則EC_LAP,

因?yàn)镼4,PE＞，EC,POu平面PCQ,

所以Q4L平面PCD

21.如圖，在A5C中，已知AC=1,AB=3,ABAC=W,且尸A+PB+PC=0?求

COSZAPC.

???,11√91

答案：-??

182

解析：由題意得IABl=3,∣AC∣=1,AB,AC的夾角為Nfi4C=60。，

PA+PB+PC=O，則PB+PC=-PA，

又4月=尸月一PA=定一Λ4,所以AB+AC=PB—P4+PC—PA=-3PA，

1111

故P4=—§(AB+AC),同理尸C=§(8C+AC)=§(AC—AB+AC)=§(2AC-AB)

于是

,1,12211B

∣PA∣2=[--(AB+4C)]2=-(A8+2ABAC+AC)=-(9+2×3×l×-+l)=—,

??∣PA∣=平，

L-I?

1122

∣PC∣29=-(2AC-AB)=-(AB-4ABAC+4AC)

=’(9-4x3χlχL+4)=Z,.??∣PCI=—，

9293

I1

pa.pγ--(AB+AC)?-(2AC