8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積（ 原卷版）

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積圖形表面積多面體多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和，也就是展開(kāi)圖的面積考點(diǎn)二棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積幾何體體積說(shuō)明棱柱V棱柱＝ShS為棱柱的底面積，h為棱柱的高棱錐V棱錐＝eq\f(1,3)ShS為棱錐的底面積，h為棱錐的高棱臺(tái)V棱臺(tái)＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hS′，S分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，h為棱臺(tái)的高【題型歸納】題型一：棱柱側(cè)面積和表面積1．（2023·高一）若正三棱錐的底面邊長(zhǎng)等于，三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高一）為了給熱愛(ài)朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐與六棱柱的高的比值為1∶3，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．3．（2022春·河南周口·高一?？计谀┮阎粋€(gè)直三棱柱的高為2，如圖，其底面ABC水平放置的直觀(guān)圖（斜二測(cè)畫(huà)法）為，其中，則此三棱柱的表面積為（

）A． B． C． D．題型二：棱錐的側(cè)面積和表面積4．（2022春·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，高為2，則該三棱錐的表面積是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高一）已知三棱錐的三條側(cè)棱長(zhǎng)均為2，側(cè)面有兩個(gè)是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個(gè)三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．6．（2021春·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)到底面的距離為3，則三棱錐的表面積是（

）A． B． C． D．題型三：棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積7．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為和的正方形，側(cè)面均為腰長(zhǎng)為的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的表面積為（

）A． B．C． D．8．（2022春·江蘇淮安·高一金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）“斗”不僅是我國(guó)古代容量單位，還是量糧食的器具，如圖所示．其可近似看作正四棱臺(tái)，上底面是邊長(zhǎng)為的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為．“斗”的面的厚度忽略不計(jì)，則該“斗”的所有側(cè)面的面積之和與下底面的面積之比為（

）A． B． C． D．9．（2020·浙江杭州·高一期末）直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的長(zhǎng)度之比為，那么以垂直于底的腰所在的直線(xiàn)為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓臺(tái)上、下底面積和側(cè)面面積之比是（

）A． B． C． D．題型四：棱柱的體積10．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三棱柱的體積為V，P是側(cè)棱上任意一點(diǎn)，則四棱錐的體積是（）A．V B．V C．V D．V11．（2023春·全國(guó)·高一）如圖1，水平放置的直三棱柱容器中，，，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2．將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h(yuǎn)為（

）A．3 B．4 C． D．612．（2022春·河北承德·高一統(tǒng)考期末）如圖，某圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的斜二測(cè)直觀(guān)圖為平行四邊形，已知，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．題型五：棱錐的體積13．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，“鱉臑”是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體．如圖，在“鱉臑”中，平面，平面，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．14．（2022·全國(guó)·高一期末）如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，，切點(diǎn)分別為，現(xiàn)將沿折起到，使點(diǎn)在圓所在平面上的射影為圓心，若三棱錐的體積是圓錐體積的，則（

）A． B． C．或 D．或15．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）中國(guó)古代計(jì)時(shí)器的發(fā)明時(shí)間不晚于戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時(shí)裝置，它根據(jù)細(xì)沙從一個(gè)容器漏到另一個(gè)容器的時(shí)間來(lái)計(jì)量時(shí)間．如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐容器組成，圓錐的底面直徑和高均為，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（兩圓錐連接處長(zhǎng)度忽略不計(jì)）．若細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高為（

）A． B． C． D．題型六：棱臺(tái)的體積16．（2023·高一單元測(cè)試）米斗是古代官倉(cāng)、米行等用來(lái)稱(chēng)量糧食的器具，鑒于其儲(chǔ)物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個(gè)正四棱臺(tái)形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長(zhǎng)分別為、，側(cè)棱長(zhǎng)為，若將該米斗盛滿(mǎn)大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重千克，則該米斗盛裝大米約（

）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克17．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正四棱臺(tái)中，，若該四棱臺(tái)的體積為，求這個(gè)四棱臺(tái)的表面積為（

）A．24 B．44 C． D．18．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知在三棱錐中，平面，為等腰直角三角形，且，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作平行于底面的截面，那么三棱臺(tái)的體積等于（

）．A． B． C． D．題型七：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積綜合19．（2022春·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，正六棱錐的底面周長(zhǎng)為24，H是的中點(diǎn)，O為底面中心，，(1)求出正六棱錐的高；斜高；側(cè)棱長(zhǎng)(2)求出六棱錐的表面和體積20．（2022·高一）如圖，已知斜三棱柱的底面為正三角形，側(cè)棱與底面所成角為30°，側(cè)棱的長(zhǎng)為3cm，三棱柱的體積為，求該三棱柱底面邊長(zhǎng)．21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知在正方體中，截下一個(gè)四棱錐，，E為棱中點(diǎn).(1)求四棱錐的表面積；(2)求四棱錐的體積與剩余部分的體積之比；(3)若點(diǎn)F是AB上的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【雙基達(dá)標(biāo)】單選題22．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面積相等，圓柱的體積是圓錐體積的2倍，則圓柱的高是圓錐高的（

）A． B． C． D．23．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知三棱柱的體積為1，、Q、R分別為側(cè)棱、、上的點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．24．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一，也稱(chēng)陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，其直觀(guān)圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（

）A． B． C． D．25．（2023秋·吉林·高一吉林一中?？茧A段練習(xí)）已知用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)梯形OABC的直觀(guān)圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點(diǎn)，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為（

）A． B． C． D．26．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，書(shū)中記載有如下一個(gè)問(wèn)題：“今有圓亭，下周三丈，上周兩丈，高一丈，問(wèn)積幾何”.意思為“今有一圓臺(tái)體建筑物，下周長(zhǎng)為3丈，上周長(zhǎng)為2丈，高為1丈，問(wèn)它的體積為多少”，則該建筑物的體積（單位：立方丈）為（

）A． B． C． D．27．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）木楔子在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿(mǎn)足，是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀(guān)圖，其中四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且均為正三角形，，則該木楔子的體積為（

）A． B． C． D．28．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正三棱錐S﹣ABC的底面邊長(zhǎng)為2，正三棱錐的高SO＝1．(1)求正三棱錐S﹣ABC的體積；(2)求正三棱錐S﹣ABC表面積．29．（2022·高一）如圖，在正三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)．若截面是面積為6的直角三角形，求此三棱柱的表面積．【高分突破】一、單選題30．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半徑為18，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．31．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為、，高為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．32．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在各棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，過(guò)、、三點(diǎn)的截面將三棱柱分成上下兩部分，記體積較小部分的體積為，另一部分的體積為，則的值為（

）A． B． C． D．33．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）“李白斗酒詩(shī)百篇，長(zhǎng)安市上酒家眠”，本詩(shī)句中的“斗”的本義是指盛酒的器具，后又作為計(jì)量糧食的工具，某數(shù)學(xué)興趣小組利用相關(guān)材料制作了一個(gè)如圖所示的正四棱臺(tái)來(lái)模擬“斗”，用它研究“斗”的相關(guān)幾何性質(zhì)，已知該四棱臺(tái)的上、下底的邊長(zhǎng)分別是2、4，高為1，則該四棱臺(tái)的表面積為（

）A． B．32 C． D．34．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）“塹堵”“陽(yáng)馬”和“鱉臑”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱(chēng)謂．《九章算術(shù)．商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉臑”，即一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面斜解（圖1）．得到一模一樣的兩個(gè)塹堵（圖2），再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解（圖2），得一個(gè)四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬（圖3），一個(gè)三棱維稱(chēng)為鱉臑（圖4）．若長(zhǎng)方體的體積為V，由該長(zhǎng)方體斜解所得到的塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑的體積分別為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．二、多選題35．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）用一張長(zhǎng)為、寬為的矩形鐵皮圍成圓柱的側(cè)面，則這個(gè)圓柱的體積為（

）A． B． C． D．36．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為30°，側(cè)棱長(zhǎng)為米，則該正四棱錐的（

）A．底面邊長(zhǎng)為6米 B．側(cè)棱與底面所成角的余弦值為C．側(cè)面積為平方米 D．體積為立方米37．（2022春·黑龍江大慶·高一大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點(diǎn)是屋頂為單檐四角攢（cuán）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近30°，若取，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為24m B．正四棱錐的高為C．正四棱錐的體積為 D．正四棱錐的側(cè)面積為38．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谀┠彻S(chǎng)生產(chǎn)出一種機(jī)械零件，如圖所示零件的幾何結(jié)構(gòu)為圓臺(tái)，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝4cm，CD＝2AB，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．該圓臺(tái)的高為B．該圓臺(tái)軸截面面積為C．該圓臺(tái)的體積為D．一只螞蟻從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的最短路程為10cm39．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知正四棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則（

）A．正四棱臺(tái)的高為 B．正四棱臺(tái)的斜高為C．正四棱臺(tái)的表面積為 D．正四棱臺(tái)的體積為40．（2022春·廣東惠州·高一統(tǒng)考期末）已知圓錐的底面半徑為1，高為，為頂點(diǎn)，，為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A．圓錐的體積為B．圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為C．圓錐截面的面積的最大值為D．從點(diǎn)出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)的無(wú)彈性細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為41．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則（

）A． B．C． D．三、填空題42．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）將邊長(zhǎng)分別為和的矩形，繞邊長(zhǎng)為的一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，則該圓柱的體積為_(kāi)_____．43．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在三棱臺(tái)中，三棱錐體積為，三棱錐體積為，則該三棱臺(tái)體積為_(kāi)_____.44．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，圓錐形量杯的口徑（圓錐底面的直徑）為d，高為h，則圓錐形量杯側(cè)面上刻度V（容積）與液面深度x的函數(shù)關(guān)系為_(kāi)_____.45．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光”，外觀(guān)取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛(ài)好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為12cm，外層底面直徑為16cm，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為20cm的球面上，則此模型的體積為_(kāi)____cm3.46．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題