2023版高考數(shù)學一輪復習講義：第六章數(shù)　列6-3 等比數(shù)列及其前n 項和

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和

,最新考綱,

1.理解等比數(shù)列的概念.

2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.

3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.

4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

?考向預測?

考情分析：等比數(shù)列的基本運算，等比數(shù)列的判斷與證明，等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用仍是

高考考查的熱點，三種題型都有可能出現(xiàn).

學科素養(yǎng)：通過等比數(shù)列的證明考查邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過等比數(shù)列的基本運算及

性質(zhì)的應(yīng)用考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實贏得良好開端

一、必記5個知識點

1.等比數(shù)列及其相關(guān)概念

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的________的比都等于

等比數(shù)列

公比等比數(shù)列定義中的________叫做等比數(shù)列的公比，常用字母q(qWO)表示

公式表示｛al1｝為等比數(shù)列Q.(n∈N*,」為非零常數(shù))

等比中項如果“，G,「成等比數(shù)列，則G叫做”，?的等比中項，此時

2.等比數(shù)列的通項公式

若等比數(shù)列｛?。氖醉検?,公比是則其通項公式為(Λ∈N*).

3.等比數(shù)列的前〃項和公式

(1)當公比(7=1時，Sn=.

(2)當公比qWl時，SK==.

4.項的性質(zhì)

(l)α,,=‰√,^m.

(2)4,”-《a,”+&a公(〃i>k,in?AeN).

(3)若wι+"=p+q=2k("i,n,p,q,?∈N*),則a,"S==a^.

(4)若數(shù)列｛.“｝,｛仇｝(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛入α7l｝,(∣αn∣｝,｛J,｛a^｝,｛αn-bn],

｛最｝(2W0)仍然是等比數(shù)列.

(5)在等比數(shù)列｛0,,｝中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，則斯，a,l+k,如+2&,an

+3?，…為等比數(shù)列，公比為..

5.和的性質(zhì)

n

(l)Sm+∏=S“+qSm.

S

(2)若等比數(shù)列｛小｝共2k(%∈N*)項，則詈=/

S奇

(3)公比不為一1的等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S“，則S〃，S2〃-S〃，仍成等

比數(shù)列，其公比為q",當公比為一1時，S”S2n-Sn,不一定構(gòu)成等比數(shù)列.

二、必明2個常用結(jié)論

I.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

當qWl時，斯=藁?√',可以看成函數(shù)y=cq?是一個不為O的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，

因此數(shù)列｛斯｝各項所對應(yīng)的點都在函數(shù)y=c4'.的圖象上.

2.等比數(shù)列的單調(diào)性

當q>l,aι>O或OVqV1,0〈0時，｛斯｝是遞增數(shù)列;

當g>l,為VO或0<qVl,0>0時，｛斯｝是遞減數(shù)列：

當q=l時，｛飆｝是常數(shù)列.

三、必練4類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

I.判斷下列說法是否正確（請在括號中打“J”或“X”）.

⑴滿足斯+尸眄（"dN*,g為常數(shù)）的數(shù)列｛如｝為等比數(shù)列.（）

（2）三個數(shù)α,b,C成等比數(shù)列的充要條件是A2=αc.（）

（3）如果數(shù)列｛4,,｝為等比數(shù)列，?=‰-l+‰,則數(shù)列｛兒｝也是等比數(shù)列.（）

（4）如果數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛lna,,｝是等差數(shù)列.（）

（5）等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項.（）

（二）教材改編

2.［必修5?P53練習T3改編1對任意等比數(shù)列｛如｝,下列說法一定正確的是（）

A.a↑,的，49成等比數(shù)列

B.?2>。3,。6成等比數(shù)列

C.az，a4,制成等比數(shù)列

D.<73，<76>成等比數(shù)列

3.［必修5?P54T8改編］在3與192中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則

這兩個數(shù)為.

（三）易錯易混

4.（忽視項符號的判斷）已知在等比數(shù)列｛〃”｝中，42。3a4=1，〃6?748=64,則“5=.

5.（忽視對公比的討論）設(shè)aeR,n∈N*,則l+α+a2+α3?∣---?-an=.

（四）走進高考

6.［2021.全國甲卷］等比數(shù)列｛詼｝的公比為q,前〃項和為S,.設(shè)甲：q>0,乙：｛S,｝是

遞增數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

提升關(guān)鍵能力——考點突破掌握類題通法

考點一等比數(shù)列的基本運算［基礎(chǔ)性］

1.［2022?安徽省合肥市檢測丁設(shè)正項等比數(shù)列｛4,,｝的前n項和為Sn,若a2a6=l6,2S3=

42+43+a4,則“∣=（）

A禺B.2C.iD.4

2.［2022臨川一中實驗學校檢測］已知己是等比數(shù)列｛詞的前N項和,若5$=1,Sio=

33,則數(shù)列｛如｝的公比是（）

A.8B.4C.3D.2

3.［2022?陜西省西安市檢測］等比數(shù)列｛a”｝中,ai=?,α5=4g設(shè)@為｛斯｝的前〃項和,

若S"=63,則機的值為（）

A.5B.6C.7D.8

4.［2020?全國卷∏］記S“為等比數(shù)列｛斯｝的前W項和.若%—協(xié)=12,06-04=24,則包

an

=（）

A.2n-lB.2-2'n

C.2-2"~'D.2'^π-l

反思感悟等比數(shù)列基本運算中的兩種常用數(shù)學思想

等比數(shù)列中有五個量的，n,q,a,S,一般可以“知三求二”，通過

方程思想nn

_____________列方程（組）求關(guān)鍵量0和q,問題可迎刃而解_____________

等比數(shù)列的前〃項和公式涉及對公比q的分類討論，當q=l時，｛m｝的

分類討

論思想前n項和為Sn-na??,當q≠l時，｛〃“｝的前H項和為Sft=當黑=”詈

［提醒］（1）等比數(shù)列求和需要討論4=1和兩種情況；（2）計算過程中，若出現(xiàn)/

=t,要注意”為奇數(shù)和偶數(shù)的區(qū)別.

考點二等比數(shù)列的判定與證明［綜合性］

［例IJ［2021?八省市新高考適應(yīng)性考試］已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛斯｝滿足an+2=2an+i

+3an.

（1）證明：數(shù)列｛%+%+］｝為等比數(shù)列；

（2）若4∣=$α2=∣＞求｛a4｝的通項公式.

聽課筆記：

反思感悟等比數(shù)列的判定方法

若汕=q（q為非零常數(shù)，zj∈N*）或上=虱夕為非零常數(shù)且“N2,

定義法an?n-1

"∈N*）,則｛斯｝是等比數(shù)列_______________________________________

中項

若數(shù)列｛如｝中，”,,≠0且a"i=a"％"+2（"GN*）,則｛““｝是等比數(shù)列

公式法

通項若數(shù)列｛a,,｝的通項公式可寫成斯=cq"∣（c,q均為非零常數(shù)，"∈N*）,

公式法則■“｝是等比數(shù)列_______________________________________________

前〃項和若數(shù)列｛斯｝的前〃項和S“=0—k伙為非零常數(shù)，q≠0,1）則｛m｝是等

公式法比數(shù)列_________________________________________________________

［提醒］如果要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)的三項不成等比數(shù)列

即可.

【對點訓練】

1.［2022?甘肅省高考診斷考試］數(shù)列｛α,,｝的前"項和為s“且S“=2斯一1,則包=()

an

A.2-2^,'B.2-2,^"

C.2-2"D.2-2n-l

2.［2022?湖南岳陽市高三一模］已知數(shù)列｛”“｝滿足“∣=l,且點(斯，為+1—2")在函數(shù)火》)

=3x的圖象上，求證：｛S+1｝是等比數(shù)列，并求｛斯｝的通項公式.

考點三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用［綜合性］

角度I等比數(shù)列項的性質(zhì)

［例2］(l)［2O22?廣東揭陽模擬］已知等比數(shù)列｛α.｝中，a4+as^-2,則46(他+2。6+40)

的值為()

A.4B.6C.8D.-9

(2)在等比數(shù)列｛α,J中，θπ>O>αι+42∏------?^as=4,的怎…<?=16,則上+????H---------■的

31a?Hg

值為()

A.2B.4C.8D.16

聽課筆記：

反思感悟在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性

質(zhì)“若∕%+”=p+q,則即S=即。/',可以減少運算量，提高解題速度.

角度2等比數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

［例3］(l)［2020?全國卷I］設(shè)｛&｝是等比數(shù)列,且0+α2+α3=l,02+43+44=2,則〃6

+s+α8=()

A.12B.24C.30D.32

(2)［2022?四川省雅安市檢測］若伍〃｝是等比數(shù)列，且前〃項和為S〃=3〃「+i,則t=()

C.-lD.1

(3)[2022?正陽縣高級中學檢測]設(shè)等比數(shù)列伍〃｝的前〃項和為S”若S3=5,S6=20,則

*S,9=()

A.66B.65C.64D.63

聽課筆記:

反思感悟與等比數(shù)列前n項和S11相關(guān)的結(jié)論

(1)項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列｛%｝中，公比為q.

①若共有2〃項，則SJS+=q;

②若共有2〃+1項，則SLSM=M+：魯二(/1且q≠-l).

n

(2)分段求和：S.+,"=Sfl+√‰θ?=??為公比)?

?m

［提醒］在運用等比數(shù)列的前〃項和公式時，必須注意對q=l與q≠l分類討論，防止

因忽略q=l這一特殊情形而導致解題失誤.

【對點訓練】

1.［2022?河南省濮陽市高三一模］已知公比大于1的等比數(shù)列｛斯｝滿足該加=a6a11,a?1

=。6。10，則，〃+〃=()

A.4B.8C.12D.16

2.［2022?山東省日照市高三模擬］已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，7“是其前八項之積，若

=a1,則乃的值是()

A.lB.2C.3D.4

3.［2022?湖北荊州模擬］已知等比數(shù)列｛〃“｝的公比不為一1,設(shè)S,為等比數(shù)列｛”“｝的前〃

項和，S∣2=75I4,則滬.

第三節(jié)等比數(shù)列及其前〃項和

積累必備知識

、

1.前一項同一個常數(shù)常數(shù)%1=qG2=ab

an

ni

2.an=a?q~

3.(l)nα.(2聲"上船

1—q1—q

4.⑶GpW

5.(3)S3〃—S2〃S3〃—S2〃

三、

1.答案：(I)X(2)×(3)×(4)×(5)√

2.解析：因為數(shù)列｛?。秊榈缺葦?shù)列，設(shè)其公比為％則"3?"9="ι?q2?αιq8=(α∣.g5)2=a3

所以“3,〃6,。9一定成等比數(shù)列.

答案：D

3.解析：設(shè)該數(shù)列的公比為分由題意知，192=3Xq3,爐=64,所以q=4.所以插入

的兩個數(shù)分別為3X4=12,12X4=48.

答案：1248

4.解析：由4243。4=1,。6〃7。8=64,得姆=1,a,=64,所以的=1,如=4,因此延=

4347=4.又因為。5與43同號，所以45=2.

答案：2

5.解析：當α=1時，1+α+a2+α3+1；當a≠0且α≠1時，1+α+a2+

1.Q∏+l1-Q∏+l

爐+...+/==;當kθ時，1+.+層+〃+...+"，=1滿足=:所以l+a+a2+a3+...

n+1,a=1

n

+a=l-an+1-Y

"^"?，a。1.

l-a

n+1,a=1

答案:n+1

l-a,a≠1

l-a

6.解析：當4=1,時，等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和S,=nA∣<O,可知｛S,｝是單調(diào)遞

減數(shù)列，因此甲不是乙的充分條件；

若｛y｝是遞增數(shù)列，則當〃》2時，‰=S,,-S,,-ι>O,即αq"r>0恒成立，而只有當?shù)?/p>

>0,q>0時，0q"-∣>O恒成立，所以可得q>0,因此甲是乙的必要條件.綜上，甲是乙

的必要條件但不是充分條件.故選B.

答案：B

提升關(guān)鍵能力

考點一

1.解析：設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為g且q>0.

由〃2。6=16,所以公=16=44=4,

又2S3=α2+α3+44,貝U2(〃]+〃2+。3)=。2+〃3+〃4=2。1+歐+4-〃4=0,

所以2αι+q∣q+αι/一〃q3=0=爐一/一4_2=0,

即(4一2)(爐+夕+1)=00夕=2,所以44=〃q3=4=的=].

答案：A

2.解析：設(shè)等比數(shù)列｛α,,｝的公比為q,由差=霽=1+爐=33,所以爐=32,q=2.

答案：D

3.解析：設(shè)公比為夕，因為〃5=4〃3,所以。q4=4〃q2,解得q=2或一2,

aι(l-qm)-l×(l-2m)

當夕=2時,-63解得"2=6；

ι-q1-2

當g=-2時，S,,,=當出=生苦B=63,無解.

11-q1+2

答案：B

ai(i-*)

4.解析：設(shè)等比數(shù)列｛α,,｝的公比為q,則%3=主U，=q=S=2,.?.包==∣E=2

a5-a3as-a3?2anal×2

一2廣".故選B.

答案：B

考點二

例1解析：(1)證明：因為。"+2=2斯+|+3%，

所以4,1+2+a"+13(a.+i+a”)，

因為｛““｝的各項均為正數(shù)，

所以α∣+α2≥0.

所以｛4,,+α,,+ι｝是公比為3,首項為由+。2的等比數(shù)列.

(2)因為S=g,〃2=|,

所以。]+。2=2.

又由(1)知｛&+斯+]｝是公比為3的等比數(shù)列，

所以小+斯+1=(4+。2)?3"-1=2X3n~1,

因為〃〃+22?！?I+3Cln,

所以z+2—3〃〃+]=一(〃〃+[—3?！?，

又。2=3a?9

所以痣―3〃]=0,

所以an+↑-3an=Q.

所以?！?1=3?”

所以α”=1X3L∣?

對點訓練

1.解析：當〃=1時，Si=2a?—1,解得〃ι=l,S∏=2an~1①，SLl=2α〃一]一1(〃22)

②，①一②得，a=2a-2a-↑,得工=2,所以數(shù)列｛斯｝是以卬=1為首項，2為公比的等

nfnan-ι

比數(shù)列，所以α.=2"-∣,%=43=2"—1,于是區(qū)=W=2—2∣F,故選B.

l-2sɑ2*

答案：B

2.解析：由點(如，Z+L2")在函數(shù)/)=3X的圖象上,

n

可得an+i=2+3an,

所以歿i=?1+ι,即*=鬻+也

也即舞1+1竹怎+1)，

又αι=l,所以∣∣+1=∣,

所以｛言+1｝是首項和公比均為I的等比數(shù)列，

則"+l=(∣)n.所以斯=3"-2".

考點三

例2解析：(1)由題意可得〃6(。2+2〃6+〃10)=。6。2+2磷"Aaeaio=W+2a4as√-α∣=(π4

+。8)2=(-2)2=4.故選A.

(2)由分數(shù)的性質(zhì)得到工+-+…+工=阻吧1+笆生+…+幺土眨因為痣0=4742=4346=

a

?la8a8ala7a2≡4S

。4。5,所以原式=蟲上逛++%=，-,又。］〃2…〃8=16=(。4。5)4,?。?,：?。4。5=2,，工+工H-…

34aS≡4a5ala2

+工=2.故選A.

a8

答案：(I)A(2)A